高考数学立体几何理科专题 折叠与探究性问题

2018届高考数学立体几何（理科）专题03 折叠与探究性问题

1．如图，四棱柱1111ABCD A B C D -的底面为菱形， 0120BAD ∠=， 2AB =， ,E F 为1,CD AA 中点. （1）求证： //DF 平面1B AE ；

（2）若1AA ⊥底面ABCD ，且直线1AD 与平面1B AE 所成线面角的正弦值为34

，求1AA 的长.

2．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形， PD DA ⊥, PD DC ⊥. （Ⅰ）若E 是PA 的中点，求证： //PC 平面BED ；

（Ⅱ）若PD AD =， 2PE AE =，求直线PB 与平面BED 所成角的正弦值.

3．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是棱AB 上的动点. （1）求证： 11DA ED ⊥；

（2）若直线1DA 与平面1CED 所成的角是45，请你确定点E 的位置，并证明你的结论.

4．如图所示，在四棱台ABCD­A1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，四边形ABCD为菱形，∠BAD＝120°，AB＝AA1＝2A1B1＝2.

(1)若M为CD中点，求证：AM⊥平面AA1B1B；

(2)求直线DD1与平面A1BD所成角的正弦值．

5．如图，在直角梯形中，.直角梯形通过直角梯形以直线为轴旋转得到，且使得平面平面. (Ⅰ)求证：平面平面；

(Ⅱ)延长至点，使为平面内的动点，若直线与平面所成的角为，且，求点到点的距离的最小值.

AD BC，6．已知如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为等腰梯形，// ====.

BC AB AD PA

2224

（1）求证：平面PAC⊥平面PAB；

（2）已知E为PC中点，求AE与平面PBC所成角的正弦值.

2018届高考数学立体几何（理科）专题03 折叠与探究性问题（教师版）

1．如图，四棱柱

1111

ABCD A B C D

-的底面为菱形，0

120

BAD

∠=，2

AB=，,E F为

1

,

CD AA中点. （1）求证：//

DF平面

1

B AE；（2）若

1

AA⊥底面ABCD，且直线

1

AD与平面

1

B AE

所成线面角的正弦值为

3

4

，求

1

AA的长.

【答案】(1)证明见解析；(2)2.

所以//

DF平面

1

B AE.

（2）因为ABCD是菱形，且0

60

ABD

∠=，所以ABC

∆是等边三角形

取BC中点G，则AG AD

⊥，因为

1

AA⊥平面ABCD，所以

1

AA AG

⊥，

1

AA AD

⊥

建立如图的空间直角坐标系，令

1

(0)

AA t t

=>，

则()

3

30

2

n AE x y

⋅=+=且

1

30

n AB x y tz

⋅=-+=，

取()

3,,4

n t t

=-，设直线

1

AD与平面

1

B AE所成角为θ，

则()

1

2

1

63

sin

4

24

n AD t

t

n AD

θ

⋅

===

+

⋅

，解得2

t=，故线段

1

AA的长为2.

2．如图，在四棱锥P ABCD

-中，底面ABCD为正方形，PD DA

⊥, PD DC

⊥.

（Ⅰ）若E是PA的中点，求证：//

PC平面BED；

（Ⅱ）若PD AD

=，2

PE AE

=，求直线PB与平面BED所成角的正弦值.

【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)

2

3

.

（Ⅱ）设

2CD =，则2AB BC AD PD ====，且2

3

PE PA =.分别以,,DA DC DP 为,,x y z 轴的正方向建立坐标系，则()()()()()4

20,0,0,2,0,0,,0,,0,2,0,2,2,0,0,0,23

3D A E C B P ⎛⎫

⎪⎝⎭ ∴()()4

22,2,0,,0,,2,2,23

3DB DE PB ⎛⎫===-

⎪⎝⎭，设平面BED 的一个法向量为(),,n x y z =，则220

0{ { 42

00

33

x y n DB x z n DE +=⋅=⇒+=⋅=,令1x =-，则1y =，∴2z =∴()1,1,2n =- 设直线PB 与平面BED 所成的角为α，则2

sin cos ,3

PB n n PB PB n

α⋅==

=

⋅ 所以PB 与平面BED 所成角的正弦值为

2 3．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是棱AB 上的动点. （1）求证： 11DA ED ⊥；

（2）若直线1DA 与平面1CED 所成的角是45，请你确定点E 的位置，并证明你的结论. 【答案】(1)见解析(2) 直线1DA 与平面1CED 所成的角是45时，点E 在线段AB 中点处

所以DA 1⊥ED 1

另解： 1AE ADA ⊥平面，所以1AE A D ⊥.

又A D AD ⊥，所以A D D AE ⊥平面. 所以DA ED ⊥