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高中高一数学试卷

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辽宁省重点高中协作校2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试卷

辽宁省重点高中协作校2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试卷

绝密★启用并使用完毕前辽宁省重点高中协作校2024-2025学年高一第一次月考—数学本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设全集}5|{*≤∈=x N x U ，集合}31{，=A 、集合}421{，，=B ，则=)(B C A U （ ）。

A 、}4210{，，， B 、}5310{，，， C 、}5421{，，， D 、}531{，，2．已知命题p ：R x ∈∀，01>−x x ，则p ¬为（ ）。

A 、R x ∈∀，01≤−x x B 、R x ∈∃，01≤−x x C 、R x ∈∀，01≤−x x 或01=−x D 、R x ∈∃，01≤−x x 或01=−x 3．若0<x ，则x x 1+（ ）。

A 、有最小值2− B 、有最大值2− C 、有最小值2 D 、有最大值24．若不等式02>−−c x ax 的解集为}211|{<<−x x ，则函数a x cx y −−=2的图像可以为（ ）。

A 、 B 、 C 、 D 、5．已知a 、b 是互不相等的正实数，则下列四个数中最大的数是（ ）。

A 、b a +2 B 、b a 11+ C 、ab2 D 、222b a + 6．已知集合}023|{2=+−=x x x M 、集合}053|{2=−+−=a ax x x N ，若M N M = ，则实数a 的取值集合为 （ ）。

A 、∅B 、}102{，C 、}102|{<≤a aD 、}102|{≤<a a7．手机屏幕面积与手机前面板面积的比值叫手机的“屏占比”，它是手机外观设计中一个重要参数，其值通常在0~1之间．若设计师将某款手机的屏幕面积和手机前面板面积同时增加相同的数量，升级为一款新手机，则该款手机的“屏占比”和升级前相比（ ）。

湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2024-2025学年高一上学期期中联考数学试题含答案

湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2024-2025学年高一上学期期中联考数学试题含答案

2024年秋季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校期中联考高一数学试卷（答案在最后）命题学校：考试时间：2024年11月11日上午08：00—10：00试卷满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列各组对象不能构成集合的是（）A.中国古代四大发明B.所有无理数C.2024年高考数学难题D.小于π的正整数【答案】C 【解析】【分析】根据题意利用集合中元素具有确定性的性质，对选项逐一判断可得结论.【详解】对于A ，中国古代四大发明是指造纸术、指南针、火药、印刷术，满足集合定义，即A 能构成集合；对于B ，所有无理数定义明确，即B 能构成集合;对于C ，2024年高考数学难题定义不明确不具有确定性，不符合集合的定义，即C 构不成集合；对于D ，小于π的正整数只有1，2，3，具有确定性，满足集合定义，即D 能构成集合.故选：C2.已知集合103x A x x ⎧⎫+=≤⎨⎬-⎩⎭，{}1B x x =≥，则A B = （）A.{}13x x -<< B.{}13x x <<C.{}13x x ≤≤ D.{}13x x ≤<【答案】D 【解析】【分析】解不等式化简集合A ，再利用交集的定义求解即得.【详解】依题意，1{|0}{|13}3x A x x x x +=≤=-≤<-，而{}1B x x =≥，所以{}13A B x x ⋂=≤<.故选：D3.已知函数()2222()1m m f x m m x --=--是幂函数，且在(0,+∞)上递增，则实数m =（）A.2B.1- C.4D.2或1-【答案】B 【解析】【分析】利用幂函数的定义求出m 值，再由单调性验证即得.【详解】因函数()2222()1m m f x m m x --=--是幂函数，则211m m --=，即220m m --=，解得1m =-或2m =，当1m =-时，函数()f x x =在(0,+∞)上递增，则1m =-，当2m =时，函数2()f x x -=在(0,+∞)上递减，不符合要求，实数1m =-.故选：B4.已知()f x 是定义在[]1,1-上的减函数，且()()113f x f x -<-，则x 的取值范围是（）A.12,23⎛⎤⎥⎝⎦B.10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C.10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A 【解析】【分析】根据()f x 的定义域以及单调性可得1x -，13x -满足的条件，由此即可解得x 的范围．【详解】由题意，函数()f x 是定义在[]1,1-上的减函数，因为()()113f x f x -<-，得1311131111x x x x -<-⎧⎪-≤-≤⎨⎪-≤-≤⎩，解得1223x <≤，所以x 的取值范围是12,23⎛⎤⎥⎝⎦.故选：A.5.若0a >，0b >，23a b +=，则12a b+的最小值为（）A.1B.3C.6D.9【答案】B 【解析】【分析】利用乘“1”法即可求出最值.【详解】根据题意可得()12112122121453;333a b a b a b a b b a ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝当且仅当22a bb a=即1,1a b ==时，等号成立，此时最小值为3.故选：B.6.我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休”.在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征.下面的图象对应的函数可能是（）A.()11f x x =-B.()11f x x =-C.()311f x x =+ D.()211f x x =+【答案】B 【解析】【分析】首先由函数的定义域排除CD ，再由01x <<时，()0f x <排除A ，即可得答案.【详解】由图象可知，函数的定义域为(,1)(1,1)(1,)-∞-⋃-⋃+∞，因为()311f x x =+的定义域为(,1)(1,)-∞-⋃-+∞，所以排除C ，因为()211f x x =+的定义域为R ，所以排除D ，因为当01x <<时，()101f x x =<-，所以排除A ，故选：B7.已知函数22()24f x x ax a =-+-，若关于x 的不等式(())0f f x <的解集为空集，则实数a 的取值范围是（）A.(),8-∞- B.[]8,6-- C.(],6∞-- D.(),6-∞-【答案】C 【解析】【分析】令()t f x =，求出不等式()0<f t 的解，再代入判断列式求解.【详解】函数2()()44f x x a =--≥-，设()t f x =，不等式(())0f f x <为()0<f t ，即2()40t a --<，解得22a t a -<<+，依题意，22()42a x a a -<--<+无解，即不等式22()6a x a a +<-<+无解，因此60a +≤，解得6a ≤-，所以实数a 的取值范围是6a ≤-.故选：C8.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉.函数()[]f x x =称为高斯函数，其中x ∈R ，[]x 表示不超过x 的最大整数，例如：[]21.1-=-，[]2.52=，则方程][[21]4x x x ++=的所有大于零的解之和为（）A.12 B.34C.32D.74【答案】D 【解析】【分析】x ∀∈R ，k ∃∈Z ，使211k x k ≤+<+，可得122k kx -≤<，2242k x k -≤<，分类讨论k 为奇数和偶数的情况，求出k 的值，再代入求解即可.【详解】x ∀∈R ，k ∃∈Z ，使211k x k ≤+<+，则[21]x k +=，于是122k kx -≤<，2242k x k -≤<，若k 为奇数，则12k -∈Z ，1[]2k x -=，1[21]42[]k x k x x -++=+=，则312222k k k --≤<，解得13k -<≤，1k =或3k =，当1k =时，102x ≤<，[]0x =，[21]1x +=，104x +=，解得11[0,42x =∈，当3k =时，312x ≤<，[]1x =，[21]3x +=，314x +=，解得31[1,2x =∈；若k 为偶数，则2k ∈Z ，则[]12kx =-，[21]14[]2k x k x x ++=+-=，则322122kk k -≤-<，解得2k -2<≤，0k =或2k =，当0k =时，102x -≤<，[]1x =-，[21]0x +=，104x -+=，解得11[,0)42x =-∈-，当2k =时，112x ≤<，[]0x =，[21]2x +=，024x +=，解得11[,1)22x =∈，所以所有大于零的解之和为1171424++=.故选：D【点睛】结论点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18'分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.有下列四种说法，正确的说法有（）A.奇函数图象不一定过坐标原点B.命题“x ∀∈R ，210x x ++>”的否定是“x ∃∈R ，210x x ++<”C.若,,a b c ∈R ，则“22ab cb >”的充要条件是“a c >”D.定义在R 上的函数()y f x =对任意两个不等实数a ，b ，总有()()0f a f b a b->-成立，则()y f x =在R 上是增函数【答案】AD 【解析】【分析】对A 举反例即可；对B ，利用全称命题的否定为特称命题即可判断；对C ，举反例0b =即可；对D ，根据单调性的定义即可判断.【详解】对于A ，奇函数的图象不一定过坐标原点，如()()10f x x x=≠是奇函数，它的图象不过原点，所以A 正确；对于B ，命题“x ∀∈R ，210x x ++>”的否定是“2R,10x x x ∃∈++≤”，B 错误；对于C ，若0b =，则由a c >不能推出²²ab cb >，故“a c >”不是“²²”ab cb >的充要条件，故C 错误；对于D ，根据题意知，a b >时，()()f a f b >，a b <时，()()f a f b <，由单调性的定义知，=在R 上是增函数，D 正确.故选：AD.10.已知关于x 的不等式20ax bx c ++≤的解集为{|2x x ≤-或3}x ≥，则下列说法正确的是（）A.0a > B.0ax c +>的解集为{}6x x <C.8430a b c ++>D.20cx bx a ++<的解集为11{|}23x x -<<【答案】BCD 【解析】【分析】根据给定条件，可得6,,0c a b a a =-=-<，再给一元二次不等式的求解逐项判断即得.【详解】由不等式20ax bx c ++≤的解集为{|2x x ≤-或3}x ≥，得0a <且2,3-是方程²0ax bx c ++=的两个根，则3(2),3(2)c ba a⨯-=+-=-，即6,c a b a =-=-，对于A ，0a <，A 错误；对于B ，不等式0ax c +>为60ax a ->，而0a <，解得6x <，B 正确；对于C ，843843(6)140a b c a a a a ++=-+-=->，C 正确；对于D ，不等式²0cx bx a ++<为260ax ax a --+<，即2610x x +-<，解得1123x -<<，D 正确.故选：BCD11.已知函数()f x 的定义域为R ，对任意实数x ，y 满足：()()()1f x y f x f y -=-+，且()10f =.当0x >时，()1f x <.则下列选项正确的是（）A.()01f =B.()21f =-C.()1f x -为奇函数 D.()f x 为R 上的增函数【答案】ABC 【解析】【分析】对A 直接赋值0x y ==即可；对B ，赋值2,1x y ==即可；对C ，利用奇偶性定义判断即可；对D ，根据单调性的判断方法判断即可.【详解】对于A ，由题可知()()()0001f f f =-+，故()01f =，故A 正确；对于B ，由题可知()()()()()()21211122111f f f f f f -=-+==-=-，，故B 正确；对于C ，()()()()0012f x f f x f x -=-+=-，故()()()111f x f x f x ⎡⎤--=---⎣⎦，为奇函数，故C 正确；对于D ，当12x x >时，()()()12121f x f x f x x -=--，∵1>2,∴1−2>0,∴1−2−1<0∴是R 上的减函数，故D 错误.故选：ABC.二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.函数()()01f x x =++的定义域为______.【答案】()(],11,3-∞-- 【解析】【分析】根据每个式子有意义的条件分别求出自变量x 的取值范围，再求交集即可.【详解】因为()()01f x x =+，所以3010x x -≥⎧⎨+≠⎩，解得3x ≤且1x ≠-，所以函数的定义域为(()(],11,3∞--⋃-.故答案为：()(],11,3∞--⋃-.13.已知集合,,1y A x x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，{}2,,0B x x y =+，若A B =，则2x y +=_________.【答案】2-【解析】【分析】根据题意利用集合中元素的互异性分类讨论即可求得结果.【详解】依题意可知0x ≠，由于A B =可知0y =，此时{},0,1A x =，{}2,,0B x x =所以21x =，解得1x =-或1x =(舍去)即22x y +=-.故答案为：2-14.设函数22,2()26,2x x x f x x x ⎧-≤=⎨-+>⎩关于x 的方程()f x a =有三个不等实根123,,x x x ，且123x x x <<，则123223x x x ++的取值范围是_________.【答案】29[13,2【解析】【分析】画出函数图象，数形结合得到122x x +=，37[3,2x ∈，求出答案.【详解】画出函数()f x 的图象，观察图形知，仅当10a -<≤时，方程()f x a =有三个不等实根，分别对应直线y a =与图象三个交点的横坐标，其中两个交点位于二次函数图象上，不妨设123x x x <<，显然12,x x 关于1x =对称，则122x x +=，另一个交点位于直线26y x =-+上，在26y x =-+中，当10y -<≤时，732x ≤<，即37[3,2x ∈，因此12321224,3[9,)2x x x +=∈，所以12329223[13,2x x x ++∈.故答案为：29[13,2三、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字、证明过程或演算步骤.15.设全集U =R ，已知集合{}2430A x x x =-+≤，{}1B x m x m =≤≤+.（1）若A B =∅ ，求实数m 的取值范围；（2）若“x B ∈”是“x A ∈”的充分条件，求实数m 的取值范围.【答案】（1）{|0m m <或3}m >（2）{|12}m m ≤≤【解析】【分析】（1）先求出集合A ，然后结合集合的交集运算即可求解；（2）由题意得B A ⊆，然后结合集合的包含关系即可求解．【小问1详解】由²430x x -+≤，解得13x ≤≤，所以{|13}A x x =≤≤．因为A B =∅ ，且B ≠∅，所以11m +<或3m >，得0m <或3m >，所以实数m 的取值范围是{|0m m <或3}m >；【小问2详解】因为“x B ∈”是“x A ∈”的充分条件，所以B A ⊆，所以113m m ≥⎧⎨+≤⎩，解得12m ≤≤，所以实数m 的取值范围是{|12}m m ≤≤．16.用篱笆在一块靠墙的空地围一个面积为2的等腰梯形菜园，如图所示，用墙的一部分做下底AD ，用篱笆做两腰及上底，且腰与墙成60︒，当等腰梯形的腰长为多少时，所用篱笆的长度最小?并求出所用篱笆长度的最小值.【答案】等腰三角形腰长为20m ，所用篱笆长度的最小值为60m .【解析】【分析】建立函数模型，利用基本不等式求解.【详解】设()()m 0AB a a =>，上底()()m 0BC b b =>，分别过点B ，C 作下底的垂线，垂足分别为E ，F ，则2BE a=，2a AE DF ==，则下底22a a AD b a b =++=+，该等腰梯形的面积()()2224b a b S a a b a ++=⋅=+=，所以()21200a b a +=，则6002a b a =-，所用篱笆长为6006003226022a a l a b a a a =+=+-=+≥=，当且仅当60032aa =即()20m a =，()20mb =时取等号.所以，当等腰梯形的腰长为20m 时，所用篱笆长度最小，其最小值为60m .17.函数()f x 的定义域为{}0D x x =∈≠R ，且满足对于任意12,x x D ∈，有()()()1212f x x f x f x ⋅=+，当1x >时，()0f x >.（1）证明：()f x 是偶函数；（2）如果()41f =，解不等式()23f x -<.【答案】（1）证明见解析（2）(62,2)(2,66)-⋃【解析】【分析】（1）令12,1x x x ==-，121x x ==-从而得到()()f x f x -=，即可证明；（2）通过赋值代换得(|2|)(64)f x f -<，再证明其单调性，从而得到不等式组，解出即可.【小问1详解】因对定义域内的任意12,x x D ∈，有()()()1212f x x f x f x ⋅=+，令12,1x x x ==-，则有()()(1)f x f x f -=+-，又令121x x ==-，得2(1)(1)f f -=，再令121x x ==，得(1)0f =，从而(1)0f -=，于是有()()f x f x -=，所以()f x 是偶函数.【小问2详解】由于(4)1f =，所以3111(4)(4)(4)(444)(64)f f f f f =++=++=⨯⨯=，于是不等式(2)3f x -<可化为(2)(64)f x f -<，由（1）可知函数()f x 是偶函数，则不等式可化为(|2|)(64)f x f -<，设120x x <<，则()()()()()222121111111x x x f x f x f x f x f x f x f f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-⨯=-+=-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，由于120x x <<，所以211x x >，所以210x f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以()()120f x f x -<，所以()()12f x f x <，所以()f x 在(0,)+∞上是增函数，所以可得26420x x ⎧-<⎪⎨-≠⎪⎩，解得62662x x -<<⎧⎨≠⎩，所以不等式(2)3f x -<的解集为(62,2)(2,66)-⋃.18.已知函数()322x ax b f x x --=+为R 上的奇函数，且()21f -=.（1）求实数,a b 的值；（2）试判断函数()f x 在区间()1,+∞的单调性，并说明理由；（3）求函数()()()21g x f x mf x ⎡⎤=--⎣⎦（其中33x -≤≤）的值域.【答案】（1）7a =，0b =；（2）函数()f x 在区间()1,+∞单调递增，理由见解析；（3）答案见解析【解析】【分析】（1）根据奇偶性定义以及函数值解方程可得结果；（2）利用单调性定义按照步骤即可证明()f x 在区间1,+∞单调递增；（3）由换元法得出函数()g x 的表达式，再由（2）中的结论得出其在33x -≤≤上的单调性，利用二次函数性质分类讨论即可得出结果.【小问1详解】根据题意可得()00f =，即()02b f x =-=，可得0b =；再由()21f -=可得()82142a f x -+==+，解得7a =；当7a =，0b =可得()3272x x f x x -=+，经检验此时()f x 满足()()3272x x f x f x x -+-==-+，为奇函数，所以7a =，0b =【小问2详解】取任意()12,1,x x ∞∈+，且12x x <，则()()()()()()()()323233112221112112222212124242442222x x x x x x x x x x f x f x x x x x -+--+---=-=++++()()()()22221212121222129221422x x x x x x x x x x -+++-=++;由()12,1,x x ∞∈+，12x x <可得120x x -<，2222121212922140x x x x x x +++->；所以()()120f x f x -<，即可得()()12f x f x <，即函数()f x 在区间1,+∞的单调递增；【小问3详解】由()()()()6612,12,3,31111f f f f =--==-=-，由(2)得当[]12,0,1x x ∈时，2222121212210,092214x x x x x x x x <+++<-<，所以()()120f x f x ->，即()()12f x f x >，所以函数()f x 在0,1上单调递减；因此函数()f x 在0,1上单调递减，在1,+∞上单调递增，又函数()f x 为上的奇函数，所以函数()f x 的减区间为[]1,1-，递增区间为()(),11,∞∞--⋃+,当33x -≤≤时，()22f x -≤≤,令()()22f x t t =-≤≤，有()2221124m m g x t mt t ⎛⎫=--=--- ⎪⎝⎭，①当22m ≤-时，即4m ≤-，()()()()223,232g x g m g x g m ≥-=+≤=-,此时函数()g x 的值域为[]23,32m m +-;②当202m -<≤时，即40m -<≤时，可得()()()2minmax 1,23224m m g x g g x g m ⎛⎫==--==- ⎪⎝⎭，此时函数()g x 的值域为21,32;4m m ⎡⎤---⎢⎥⎣⎦③当022m <<时，即04m <<时，()()()2minmax 1,22324m m g x g g x g m ⎛⎫==--=-=+ ⎪⎝⎭，此时函数()g x 的值域为21,23;4m m ⎡⎤--+⎢⎥⎣⎦④当22m ≥时，即4≥m ，()()()()223,232g x g m g x g m ≤-=+≥=-，此时函数()g x 的值域为[]32,23m m -+，综上所述，4m ≤-时，其值域为[]23,32m m +-;当40m -<≤时，值域为21,32;4m m ⎡⎤---⎢⎥⎣⎦当04m <<时，值域为21,234m m ⎡⎤--+⎢⎥⎣⎦；当4≥m 时，值域为[]32,23m m -+【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用换元法得出函数()g x 的表达式，再证明得出函数的单调性，利用二次函数性质分类讨论即可得出结果函数()g x 的值域.19.已知n 为正整数，集合(){}{}12,,,0,1,1,2,,n n i M x x x x i n =⋅⋅⋅∈=⋅⋅⋅，对于n M 中任意两个元素()12,,,n a a a α=⋅⋅⋅和()12,,,n b b b β=⋅⋅⋅，定义：()1122,,,n n a b a b a b αβ-=--⋅⋅⋅-；()1122,n nd a b a b a b αβ=-+-+⋅⋅⋅+-（1）当3n =时，设()1,0,1α=，()1,1,0β=，写出αβ-，并计算(),d αβ；（2）若集合S 满足3S M ⊆，且,S αβ∀∈，(),2d αβ=，求集合S 中元素个数的最大值，写出此时的集合S ，并证明你的结论；（3）若,n M αβ∈，且(),d k αβ=，任取n M γ∈，求(),d αγβγ--的值.【答案】（1）()0,1,1αβ-=，(),2d αβ=（2）最大值是4，证明见解析（3）(),d kαγβγ--=【解析】【分析】（1）根据定义直接求解即可；（2）根据定义，结合反证法进行求解即可；（3）根据定义，结合绝对值的性质进行证明即可．【小问1详解】当3n =时，设()1,0,1α=，()1,1,0β=，则()0,1,1αβ-=，所以(),0112d αβ=++=；【小问2详解】最大值是4．理由如下：此时()()()(){}0,0,0,0,1,1,1,0,1,1,1,0S =或()()()(){}0,0,1,0,1,0,1,0,0,1,1,1S =．若还有第5个元素，则必有()()1,0,0,0,1,1和()()0,0,1,1,1,0和()()0,1,0,1,0,1和()()1,1,1,0,0,0之一出现，其对应的(,)3d αβ=，不符合题意．【小问3详解】设()12,,,n a a a α=⋅⋅⋅，()12,,,n b b b β=⋅⋅⋅，()12,,,n c c c γ=⋅⋅⋅，所以{},,0,1i i i a b c ∈，{}0,1i i a b -∈，(1i =，2，3，)n ，从而()1122,,,n n n a b a b a b M αβ-=--⋅⋅⋅-∈，又()11112222,n n n n d a c b c a c b c a c b c αγβγ--=---+---+⋅⋅⋅+---，当0i c =时，i i i i i i a c b c a b ---=-；当1i c =时，()()11i i i i i i i i a c b c a b a b ---=---=-，所以()(),,d d αγβγαβ--=，所以(),d k αγβγ--=．。

湖北省武汉2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷含答案

湖北省武汉2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷含答案

武汉2023-2024学年度下学期期末考试高一数学试卷（答案在最后）命题教师：考试时间：2024年7月1日考试时长：120分钟试卷满分：150分一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数z 满足(2i)3i z +=-，则z =（）A.1i +B.1i- C.1i-+ D.1i--【答案】A 【解析】【分析】先利用复数的除法运算法则化简得到复数z ，再根据共轭复数的概念即可求解.【详解】因为(2i)3i z +=-，所以3i (3i)(2i)1i 2i 41z ---===-++，所以1i z =+.故选：A2.△ABC 中，60A =︒，BC =AC =C 的大小为（）A.75︒B.45︒C.135︒D.45︒或135︒【答案】A 【解析】【分析】利用正弦定理可得sin B =45B = ，由三角形内角和即可求解.【详解】由正弦定理可得sin sin BC AC A B=,故32sin 2B ==,由于60A =︒，故0120B ︒︒<<,故45B = ，18075C A B =--= ,故选：A3.已知数据1x ，2x ，L ，9x 的方差为25，则数据131x +，231x +，L ，931x +的标准差为（）A.25B.75C.15D.【答案】C 【解析】【分析】根据方差的性质求出新数据的方差，进而计算标准差即可.【详解】因为数据1x ，2x ，L ，9x 的方差为25，所以另一组数据131x +，231x +，L ，931x +的方差为2325225⨯=，15=.故选：C4.在正方形ABCD 中，M 是BC 的中点．若AC AM BD λμ=+，则λμ+的值为（）A.43B.53C.158D.2【答案】B 【解析】【分析】建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算求解作答.【详解】在正方形ABCD 中，以点A 为原点，直线AB ，AD 分别为x ，y 轴建立平面直角坐标系，如图，令||2AB =，则(2,0),(2,2),(0,2),(2,1)B C D M ，(2,2),(2,1),(2,2)AC AM BD ===-，(22,2)AM BD λμλμλμ+=-+ ，因AC AM BD λμ=+ ，于是得22222λμλμ-=⎧⎨+=⎩，解得41,33λμ==，53λμ+=所以λμ+的值为53.故选：B5.正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2D 为BC 中点，则三棱锥11A B DC -的体积为A.3B.32C.1D.32【答案】C 【解析】【详解】试题分析：如下图所示，连接AD ，因为ABC ∆是正三角形，且D 为BC 中点，则AD BC ⊥，又因为1BB ⊥面ABC ，故1BB AD ⊥，且1BB BC B ⋂=，所以AD ⊥面11BCC B ，所以AD 是三棱锥11A B DC -的高，所以11111133133A B DC B DC V S AD -∆=⋅==．考点：1、直线和平面垂直的判断和性质；2、三棱锥体积．6.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos cos sin sin()sin B C AA C b c C ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，3B π=，则a c +的取值范围是（）A.332⎛⎝ B.332⎛⎝ C.332⎣ D.332⎡⎢⎣【答案】A 【解析】【分析】利用三角恒等变换及正弦定理将cos cos sin sin()sin B C AA C bc C ⎛⎫++=⎪⎝⎭进行化简，可求出b 的值，再利用边化角将a c +化成角，然后利用辅助角公式及角的范围即可得到答案.【详解】由题知cos cos sin sin()sin B C AA C bc C ⎛⎫++=⎪⎝⎭，3B π=∴cos cos sin sin sin B C AB bc C ⎛⎫+=⎪⎝⎭即cos cos 3sin B C Ab c C+=由正弦定理化简得∴sin cos cos 3sin 3A cB bC C ⋅+⋅==∴23sin sin cos cos sin 3AC B C B +=∴23sin sin()sin 3AB C A +==∴2b =3B π=∴1sin sin sin a b cA B C===∴23sin sin sin sin()sin cos )3226a c A C A A A A A ππ+=+=+-=+=+ 203A π<<∴5666A πππ<+<∴)26A π<+≤即2a c <+≤故选：A .【点睛】方法点睛：边角互化的方法（1）边化角：利用正弦定理2sin sin sin a b cr A B C===（r 为ABC 外接圆半径）得2sin a r A =，2sin b r B =，2sin c r C =；（2）角化边：①利用正弦定理：sin 2aA r=，sin 2b B r =，sin 2c C r=②利用余弦定理：222cos 2b c a A bc+-=7.设O 为△ABC 的外心，若2AO AB AC =+，则sin BAC ∠的值为（）A.4B.4C.4-D.4【答案】D 【解析】【分析】设ABC 的外接圆半径为R ，由已知条件可得,2AC BO = ，所以12AC R =，且//AC BO ，取AC的中点M ，连接OM 可得π2BOM ∠=，计算cos sin BOC MOC ∠=-∠的值，再由余弦定理求出BC ，在ABC 中，由正弦定理即可求解.【详解】设ABC 的外接圆半径为R ，因为2AO AB AC =+ ,2AC AO AB BO =-=，所以1122AC BO R ==，且//AC BO ，取AC 的中点M ，连接OM ，则OM AC ⊥，因为//AC BO ，所以OM BO ⊥，即π2BOM ∠=，所以11π124cos cos sin 24AC RMC BOC MOC MOC OC OB R ⎛⎫∠=+∠=-∠=-=-=-=- ⎪⎝⎭,在BOC中由余弦定理可得：2BC R ===，在ABC中，由正弦定理得：2sin 224RBCBAC RR ∠===.故选：D8.高为8的圆台内有一个半径为2的球1O ，球心1O 在圆台的轴上，球1O 与圆台的上底面、侧面都相切.圆台内可再放入一个半径为3的球2O ，使得球2O 与球1O 、圆台的下底面及侧面都只有一个公共点.除球2O ，圆台内最多还能放入半径为3的球的个数是（）A.1 B.2C.3D.4【答案】B 【解析】【详解】作过2O 的圆台的轴截面，如图1.再作过2O 与圆台的轴垂直的截面，过截面与圆台的轴交于圆O .由图1.易求得24OO =.图1这个问题等价于：在以O 为圆心、4为半径的圆上，除2O 外最多还可放几个点，使以这些点及2O 为圆心、3为半径的圆彼此至多有一个公共点.由图2，3sin45sin sin604θ︒<=︒，有4560θ︒<<︒.图2所以，最多还可以放入36013122θ︒⎡⎤-=-=⎢⎣⎦个点，满足上述要求.因此，圆台内最多还可以放入半径为3的球2个.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知某地区有小学生120000人，初中生75000人，高中生55000人，当地教育部门为了了解本地区中小学生的近视率，按小学生、初中生、高中生进行分层抽样，抽取一个容量为2000的样本，得到小学生，初中生，高中生的近视率分别为30%，70%，80%.下列说法中正确的有（）A.从高中生中抽取了460人B.每名学生被抽到的概率为1125C.估计该地区中小学生总体的平均近视率为60%D.估计高中学生的近视人数约为44000【答案】BD 【解析】【分析】根据分层抽样、古典概型、频率公式等知识对选项进行分析，从而确定正确选项.【详解】高中生抽取5500020004401200007500055000⨯=++人，A 选项错误.每名学生被抽到的概率为200011200007500055000125=++，B 选项正确.学生总人数为1200007500055000250000++=，估计该地区中小学生总体的平均近视率为1200007500055000132.50.30.70.80.53250000250000250000250⨯+⨯+⨯==，C 选项错误.高中学生近视人数约为550000.844000⨯=人，D 选项正确.故选：BD10.G 是ABC 的重心，2,4,120,AB AC CAB P ∠=== 是ABC 所在平面内的一点，则下列结论正确的是（）A.0GA GB GC ++= B.AB 在AC上的投影向量等于12- AC .C.3AG =D.()AP BP CP ⋅+ 的最小值为32-【答案】ACD 【解析】【分析】根据向量的线性运算，并结合重心的性质，即可判断A ，根据投影向量的定义，判断B ；根据向量数量积公式，以及重心的性质，判断C ；根据向量数量积的运算率，结合图形转化，即可判断D.【详解】A.以,GB GC 为邻边作平行四边形GBDC ，,GD BC 交于点O ，O 是BC 的中点，因为G 是ABC 的重心，所以,,A G O 三点共线，且2AG GO =，所以2GB GC GD GO +== ，2GA AG GO =-=- ，所以0GA GB GC ++=，故A 正确；B.AB 在AC 上的投影向量等于1cos1204AC AB AC AC ⨯=-，故B 错误；C.如图，因为()12AO AB AC =+ ，所以()222124AO AB AC AB AC =++⋅,即211416224342AO ⎛⎫=+-⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，即3AO = 因为点G 是ABC 的重心，22333AG AO ==，故C 正确；D.取BC 的中点O ，连结,PO PA ，取AO 中点M ，则2PA PO PM += ，()12AO AB AC =+，()()2221124816344AO AB AB AC AC =+⋅+=⨯-+= ,则()()()()221224AP BP CP PA PB PC PA PO PA PO PA PO ⎡⎤⋅+=⋅+=⋅=⨯+--⎢⎥⎣⎦，222132222PM OA PM =-=- ,显然当,P M 重合时，20PM = ，()AP BP CP ⋅+ 取最小值32-，故D 正确.故选：ACD【点睛】关键点点睛：本题的关键是对于重心性质的应用，以及向量的转化.11.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，O 为正方体的中心，M 为1DD 的中点，F 为侧面正方形11AA D D 内一动点，且满足1B F ∥平面1BC M ，则（）A.三棱锥1D DCB -的外接球表面积为12πB.动点F 的轨迹的线段为22C.三棱锥1F BC M -的体积为43D.若过A ，M ，1C 三点作正方体的截面Ω，Q 为截面Ω上一点，则线段1AQ 长度的取值范围为45,225⎡⎢⎣⎦【答案】AC 【解析】【分析】选项A ：三棱锥1D DCB -的外接球即为正方体的外接球，结合正方体的外接球分析；选项B ：分别取1AA ，11A D 的中点H ，G ，连接1B G ，GH ，1HB ，1AD ；证明平面1B GH ∥平面1BC M ，从而得到点F 的轨迹为线段GH ；选项C ：根据选项B 可得出GH ∥平面1BC M ，从而得到点F 到平面1BC M 的距离为H 到平面1BC M 的距离，再结合线面垂直及等体积法，利用四棱锥的体积求解所求三棱锥的体积；选项D ：设N 为1BB 的中点，从而根据面面平行的性质定理可得到截面Ω即为面1AMC N ，从而线段1AQ 长度的最大值为线段11A C 的长，最小值为四棱锥11A AMC N -以1A 为顶点的高.【详解】对于A ：由题意可知：三棱锥1D DCB -的外接球即为正方体的外接球，可知正方体的外接球的半径3R =所以三棱锥1D DCB -的外接球表面积为24π12πR =，故A 正确；对于B ：如图分别取1AA ，11A D 的中点H ，G ，连接1B G ，GH ，1HB ，1AD ．由正方体的性质可得11B H C M ∥，且1B H ⊂平面1B GH ，1C M ⊄平面1B GH ，所以1C M //平面1B GH ，同理可得：1BC //平面1B GH ，且111BC C M C ⋂=，11,BC C M ⊂平面1BC M ，所以平面1B GH ∥平面1BC M ，而1B F ∥平面1BC M ，所以1B F ⊂平面1B GH ，所以点F 的轨迹为线段GH ，其长度为12222⨯=，故B 错误；对于C ：由选项B 可知，点F 的轨迹为线段GH ，因为GH ∥平面1BC M ，则点F 到平面1BC M 的距离为H 到平面1BC M 的距离，过点B 作1BP B H ⊥，因为11B C ⊥平面11ABB A ，BP ⊂平面11ABB A ，所以11B C BP ⊥，又1111⋂=B C B H B ，111,B C B H ⊂平面11B C MH ，所以BP ⊥平面11B C MH ，所以1111111111114252232335F BC M H BC M B C MH B B C MH B C MHV V V V S BP ----====⨯=⨯⨯⨯⨯，故C 正确；对于D ：如图，设平面Ω与平面11AA B B 交于AN ，N 在1BB 上，因为截面Ω⋂平面11AA D D AM =，平面11AA D D ∥平面11BB C C ，所以1AM C N ∥，同理可证1AN C M ∥，所以截面1AMC N 为平行四边形，所以点N 为1BB 的中点，在四棱锥11A AMC N -中，侧棱11A C 最长，且11A C =设棱锥11A AMC N -的高为h ，因为1AM C M ==1AMC N 为菱形，所以1AMC 的边1AC ，又1AC =则112AMC S =⨯=△1111111142223323C AA M AA M V SD C -=⋅=⨯⨯⨯⨯=△，所以1111114333A AMC AMC C AA M V S h V --=⋅===△，解得3h =.综上，可知1AQ 长度的取值范围是,3⎡⎢⎣，故D 错误.故选：AC【点睛】关键点睛：由面面平行的性质得到动点的轨迹，再由锥体的体积公式即可判断C ，D 选项关键是找到临界点，求出临界值.三、填空题：本小题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知复数()221i i()z m m m =-++⋅∈R 表示纯虚数，则m =________．【答案】1-【解析】【分析】根据2i 1=-和复数的分类要求得出参数值；【详解】因为复数()()2221ii=11i()z m m mm m =-++⋅-+-⋅∈R 表示纯虚数，所以210,10,m m ⎧-=⎨-≠⎩解得1m =-，故答案为：1-.13.定义集合(){},02024,03,,Z |A x y x y x y =≤≤≤≤∈，则从A 中任选一个元素()00,x y ，它满足00124x y -+-<的概率是________．【答案】42025【解析】【分析】利用列举法求解符合条件的()00,x y ，即可利用古典概型的概率公式求解.【详解】当0y =时，02024,Z x x ≤≤∈，有2025种选择，当1,2,3y =时，02024,Z x x ≤≤∈，分别有2025种选择，因此从A 中任选一个元素()00,x y ，共有202548100⨯=种选择，若00y =，则022y -=，此时由00124x y -+-<得012x -<，此时0x 可取0，1，2，若01y =或3，则021y -=，此时由00124x y -+-<得013x -<，此时0x 可取0，1，2，3，若02y =，则020y -=，此时由00124x y -+-<得014x -<，此时0x 可取0，1，2，3，4，综上可得满足00124x y -+-<的共有342516+⨯+=种情况，故概率为16481002025=故答案为：4202514.在ABC 和AEF △中，B 是EF的中点，1,6,AB EF BC CA ====，若2AB AE AC AF ⋅+⋅= ，则EF 与BC的夹角的余弦值等于__________.【答案】23【解析】【分析】【详解】由题意有：()()2AB AE AC AF AB AB BE AC AB BF ⋅+⋅=⋅++⋅+=,即22AB AB BE AC AB AC BF +⋅+⋅+⋅= ，而21AB =，据此可得：11,AC AB BE BF ⋅=⨯-=- ，即()112,2BF AC AB BF BC +⋅--=∴⋅= ，设EF 与BC 的夹角为θ，则2cos 2,cos 3BF BC θθ⨯⨯=∴= .四、解答题：本小题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.某学校为了解本校历史、物理方向学生的学业水平模拟测试数学成绩情况，分别从物理方向的学生中随机抽取60人的成绩得到样本甲，从历史方向的学生中随机抽取n 人的成绩得到样本乙，根据两个样本数据分别得到如下直方图：已知乙样本中数据在[70,80)的有10个．（1）求n 和乙样本直方图中a 的值；（2）试估计该校物理方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值和历史方向的学生本次模拟测试数学成绩的第75百位数（同一组中的数据用该组区间中点值为代表）；（3）采用分层抽样的方法从甲样本数据中分数在[60,70)和[70,80)的学生中抽取6人，并从这6人中任取2人，求这两人分数都在[70,80)中的概率．【答案】（1）50n =，0.018a =；（2）物理方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值为81.5，历史方向的学生本次模拟测试数学成绩的第75百位数为88.25；（3）25【解析】【分析】（1）由频率分布直方图得乙样本中数据在[70,80)的频率为0.2，这个组学生有10人，由此能求出n ，由乙样本数据直方图能求出a ；（2）利用甲、乙样本数据频率分布直方图能估计估计该校物理方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值和历史方向的学生本次模拟测试数学成绩的第75百位数；（3）由频率分布直方图可知从分数在[60,70)和[70,80)的学生中分别抽取2人和4人，将从分数在[60,70)中抽取的2名学生分别记为1A ，2A ，从分数在[70,80)中抽取的4名学生分别记为1b ，2b ，3b ，4b ，利用列举法能求出这两人分数都在[70,80)中的概率．【小问1详解】解：由直方图可知，乙样本中数据在[70,80)的频率为0.020100.20⨯=，则100.20n=，解得50n =；由乙样本数据直方图可知，(0.0060.0160.0200.040)101a ++++⨯=，解得0.018a =；【小问2详解】解：甲样本数据的平均值估计值为(550.005650.010750.020850.045950.020)1081.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=，乙样本数据直方图中前3组的频率之和为(0.0060.0160.02)100.420.75++⨯=<，前4组的频率之和为(0.0060.0160.020.04)100.820.75+++⨯=>，所以乙样本数据的第75百位数在第4组，设第75百位数为x ，(80)0.040.420.75x -⨯+=，解得88.25x =，所以乙样本数据的第75百位数为88.25，即物理方向的学生本次模拟测试数学成绩的平均值为81.5，历史方向的学生本次模拟测试数学成绩的第75百位数为88.25；【小问3详解】解：由频率分布直方图可知从分数在[60,70)和[70,80)的学生中分别抽取2人和4人，将从分数在[60,70)中抽取的2名学生分别记为1A ，2A ，从分数在[70,80)中抽取的4名学生分别记为1b ，2b ，3b ，4b ，则从这6人中随机抽取2人的基本事件有：12(,)A A ，11(,)A b ，12(,)A b ，13(,)A b ，14(,)A b ，21(,)A b ，22(,)A b ，23(,)A b ，24(,)A b ，12()b b ,，13(,)b b ，14(,)b b ，23(,)b b ，24(,)b b ，34(,)b b 共15个，所抽取的两人分数都在[70,80)中的基本事件有6个，即这两人分数都在[70,80)中的概率为62155=．16.（建立空间直角坐标系答题不得分）如图，在四棱锥11A BCC B -中，平面ABC ⊥平面11BCC B ，△ABC 是正三角形，四边形11BCC B 是正方形，D 是AC 的中点．（1）求证：1//AB 平面1BDC ；（2）求直线BC 和平面1BDC 所成角的正弦值的大小．【答案】（1）证明见解析（2）55【解析】【分析】（1）连接1B C ，交1BC 于点O ，连接OD ，由中位线的性质，可知1//OD AB ，再由线面平行的判定定理，得证；（2）过点C 作1CE C D ⊥于点E ，连接BE ，可证CE ⊥平面1BDC ，从而知CBE ∠即为所求，再结合等面积法与三角函数的定义，得解．【小问1详解】连接1B C ，交1BC 于点O ，连接OD ，则O 为1B C 的中点，因为D 是AC 的中点，所以1//OD AB ，又OD ⊂平面1BDC ，1AB ⊄平面1BDC ，所以1AB ∥平面1BDC ．【小问2详解】过点C 作1CE C D ⊥于点E ，连接BE ，因为四边形11BCC B 是正方形，所以1BC CC ⊥，又平面ABC⊥平面11BCC B ，1CC ⊂平面11BCC B ，平面ABC ⋂平面11BCC B BC =，所以1CC ⊥平面ABC ，因为BD ⊂平面ABC ，所以1CC BD ⊥，因为ABC 是正三角形，且D 是AC 的中点，所以BD AC ⊥，又1CC AC C =I ，1,⊂CC AC 平面1ACC ，所以BD ⊥平面1ACC ，因为CE ⊂平面1ACC ，所以BD CE ⊥，又1C D BD D =I ，1,C D BD ⊂平面1BDC ，所以CE ⊥平面1BDC ，所以CBE ∠就是直线BC 和平面1BDC 所成角，设2BC =，在1Rt DCC 中，11CE DC CD CC ⋅=⋅，所以5CE ==，在Rt BCE 中，5sin 25CE CBE BC ∠===.17.甲、乙两人进行乒乓球对抗赛，每局依次轮流发球，连续赢2个球者获胜，且比赛结束，通过分析甲、乙过去比赛的数据知，甲发球甲赢的概率为23，乙发球甲赢的概率为25，不同球的结果互不影响，已知某局甲先发球.（1）求该局打4个球甲赢的概率；（2）求该局打5个球结束的概率.【答案】（1）875（2）44675【解析】【分析】（1）先设甲发球甲赢为事件A ，乙发球甲赢为事件B ，然后分析这4个球的发球者及输赢者，即可得到所求事件的构成，利用相互独立事件的概率计算公式即可求解；（2）先将所求事件分成甲赢与乙赢这两个互斥事件，再分析各事件的构成，利用互斥事件和相互独立事件的概率计算公式即可求得概率.【小问1详解】设甲发球甲赢为事件A ，乙发球甲赢为事件B ，该局打4个球甲赢为事件C ，由题知，2()3P A =，2()5P B =，则C ABAB =，所以23228()()()(()()353575P C P ABAB P A P B P A P B ===⨯⨯⨯=，所以该局打4个球甲赢的概率为875.【小问2详解】设该局打5个球结束时甲赢为事件D ，乙赢为事件E ，打5个球结束为事件F ，易知D ，E 为互斥事件，D ABABA =，E ABABA =，F D E =⋃，所以()()()()()()()P D P ABABA P A P B P A P B P A ==2222281135353675⎛⎫⎛⎫=-⨯⨯-⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()()()()()P E P ABABA P A P B P A P B P A ==2222241113535375⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯⨯-⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以8444()()()()67575675P F P D E P D P E =⋃=+=+=，所以该局打5个球结束的概率为44675.18.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，22cos a c b C -=.（1）求B ；（2）若点D 为边BC 的中点，点E ，F 分别在边AB ，AC （包括顶点）上，π6EDF ∠=，2b c ==.设BDE α∠=，将DEF 的面积S 表示为α的函数，并求S 的取值范围.【答案】（1）π3（2）3ππ,π328sin 23S αα=≤≤⎛⎫- ⎪⎝⎭，3,84S ⎡∈⎢⎣⎦【解析】【分析】（1）由题干及余弦定理可得222a c b ac +-=，再根据余弦定理即可求解；（2）由题可得ABC 为等边三角形，ππ32α≤≤，在BDE 与CDF 中，分别由正弦定理求出DE ，DF ，根据三角形面积公式可得3ππ,2ππ3216sin sin 36S ααα=≤≤⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由三角恒等变换及正弦函数的图象与性质即可求解.【小问1详解】因为22cos a c b C -=，所以222222222a b c a b c a c b ab a +-+--=⋅=，即222a cb ac +-=，所以2221cos 222a cb ac B ac ac +-===.因为()0,πB ∈，所以π3B =.【小问2详解】由π3B=及2b c==可知ABC为等边三角形.又因为π6EDF∠=，BDEα∠=，所以ππ32α≤≤.在BDE中，2π3BEDα∠=-，由正弦定理可得sin sinDE BDB BED∠=，即32π2sin3DEα=⎛⎫-⎪⎝⎭.在CDF中，π6CFDα∠=-，由正弦定理可得sin sinDF CDC CFD∠=，即π2sin6DFα=⎛⎫-⎪⎝⎭.所以31π3ππsin,2ππ2ππ8632 sin sin16sin sin3636Sααααα=⨯⨯=≤≤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫----⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.因为2ππ11sin sin cos sin sin cos362222αααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=+-⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2213313sin cos cos sin sin2cos224444αααααα=-+=-1πsin223α⎛⎫=-⎪⎝⎭，因为ππ32α≤≤，所以ππ2π2,333α⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，所以π3sin2,132α⎤⎛⎫-∈⎥⎪⎝⎭⎣⎦，所以1π1sin2,2342α⎤⎛⎫-∈⎥⎪⎝⎭⎣⎦.所以2ππ16sin sin36αα⎛⎫⎛⎫⎡⎤--∈⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭，所以33,2ππ8416sin sin36αα⎡∈⎢⎛⎫⎛⎫⎣⎦--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以333,2ππ8416sin sin36Sαα⎡=∈⎢⎛⎫⎛⎫⎣⎦--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以S 的取值范围为3,84⎡⎢⎣⎦.19.（建立空间直角坐标系答题不得分）如图，在三棱柱ADP BCQ -中，侧面ABCD 为矩形．（1）若PD⊥面ABCD ，22PD AD CD ==，2NC PN =，求证：DN BN ⊥；（2）若二面角Q BC D --的大小为θ，π2π,43θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且2cos 2AD AB θ=⋅，设直线BD 和平面QCB 所成角为α，求sin α的最大值．【答案】（1）证明见解析（2）12-【解析】【分析】（1）问题转化为证明DN⊥平面BCP ，即证明ND BC ⊥和DN PC ⊥，ND BC ⊥转化为证明BC ⊥平面PQCD ，而ND BC ⊥则只需证明PDN PCD△△（2）作出二面角Q BC D --的平面角以及直线BD 与平面QCB 所成的角，列出sin α的表达式，最后把问题转化为函数最值问题.【小问1详解】因为PD⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以PD BC ⊥，又CD BC ⊥，PD CD D ⋂=，,PD CD ⊂平面PCD ，所以BC ⊥平面PQCD ，又ND ⊂平面PQCD ，所以ND BC ⊥，在Rt PCD 中，2PD ==，则CD =3PC =，所以2NC =，1PN =，由PN PDND PC=，DPN CPD ∠=∠，所以PDN PCD △△，所以DN PC ⊥，又因为ND BC ⊥，PC BC C ⋂=，,PC BC ⊂平面BCP ，所以DN⊥平面BCP ，又因为BN ⊂平面BCP ，所以DN BN ⊥.【小问2详解】在平面QBC 中，过点C 作CF BC ⊥，因为ABCD 为矩形，所以BC CD ⊥，所以DCF ∠为二面角Q BC D --的平面角，且DCF θ∠=，又⋂=CF CD C ，,CD CF ⊂平面CDF ，所以BC ⊥平面CDF ，在平面CDF 中，过点D 作DG FC ⊥，垂足为G ，连接BG ，因为BC ⊥平面CDF ，DG ⊂平面CDF ，所以DG BC ⊥，又BC FC C ⋂=，,BC FC ⊂平面BCQ ，所以DG ⊥平面BCQ ，所以DBG ∠为直线BD 与平面QCB 所成的角，即DBG α∠=，sin DG DC θ=，又因为2cos 2AD AB θ=⋅，所以222sin 32cos 14cos 2DGBDAB AD αθθ===+++π2π,43θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可得12cos ,22θ⎡∈-⎢⎣⎦，21cos 0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，设32cos t θ=+，2,32t ⎤∈+⎥⎦，则23cos 2t θ-=，()2223sin 1cos 14t θθ-=-=-，所以()2222563125651sin 14222t t t t α⎛⎫-++ ⎪--+⎝⎭=-=≤=，当且仅当25t =时等号，所以sin α51-.【点睛】关键点点睛：本题的关键是作出二面角Q BC D --的平面角以及直线BD 与平面QCB 所成的角，然后写出sin α的表达式，最后求函数最值问题利用了换元法和基本不等式.。

2023-2024学年河北省保定市部分高中高一(上)期中数学试卷【答案版】

2023-2024学年河北省保定市部分高中高一(上)期中数学试卷【答案版】

2023-2024学年河北省保定市部分高中高一（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．命题“∀x ∈（1，2），x 2+2x ＞3”的否定是（ ） A ．∃x ∈（1，2），x 2+2x ＞3 B ．∃x ∉（1，2），x 2+2x ≤3C ．∃x ∈（1，2），x 2+2x ≤3D ．∀x ∈（1，2），x 2+2x ≤32．设集合A ＝{x |x ＞﹣3}，B ＝{x |x 2+2x ＜0}，则（ ） A ．A ∩B ＝AB ．A ∪B ＝AC ．A ∪（∁R B ）＝AD ．B ∪（∁R A ）＝R3．在半径为10cm 的圆上，有一条弧的长是5cm ，则该弧所对的圆心角（正角）的弧度数为（ ） A ．12B ．π2C ．2πD ．24．已知f （x ）是定义在[﹣2，6]上的减函数，且f （﹣2）＞0，f （﹣1）＞0，f （0）＞0，f （3）＜0，f （6）＜0，则f （x ）的零点可能为（ ） A ．﹣1.5B ．﹣0.5C ．2D ．45．溶液酸碱度是通过计算pH 计量的．pH 的计算公式为pH ＝﹣lg [H +]，其中[H +]表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升．已知某溶液中氢离子的浓度为2×10﹣7摩尔/升，取lg 2＝0.301，则该溶液的pH 值为（ ） A ．7.201B ．6.799C ．7.301D ．6.6996．已知f(x)={(m −1)x ，x ＜1，log 5−m x +2，x ≥1在R 上是增函数，则m 的取值范围是（ ）A ．（2，4）B ．（2，3）C ．[3，4）D ．（2，3]7．已知函数f （2x ﹣1）的定义域为（﹣1，9），则函数f （3x +1）的定义域为（ ） A ．(−13，43)B ．(−43，163) C ．(−23，83)D ．（﹣2，28）8．已知函数f(x)=0．32x−x 2，设a =log 34，b =log 32，c =log 9√15，则（ ） A ．f （a ）＜f （c ）＜f （b ） B ．f （a ）＜f （b ）＜f （c ） C ．f （c ）＜f （b ）＜f （a ）D ．f （b ）＜f （c ）＜f （a ）二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．设α为第二象限角，则2α可能是（ ） A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角D ．第四象限角10．下列命题为真命题的是（）A．函数y=(√2−1)x+1是指数函数B．幂函数f（x）＝（2a2﹣7a+4）x a是增函数C．“t为偶数”是“t2为偶数”的充分不必要条件D．集合{x|x⩾﹣1}与集合{y|y＝|x|﹣1，x∈R}相等11．已知f（x）是定义在[﹣2，2]上的函数，函数p（x）＝[f（x）﹣log23][f（x）+1]（﹣2≤x≤2）恰有5个零点，则f（x）的大致图象可能是（）A．B．C．D．12．某超市在双十二当天推出单次消费满188元有机会获得消费券的活动，消费券共有4个等级，等级x 与消费券面值y（元）的关系式为y＝2ax+8+b（x＝1，2，3，4），其中a，b为常数，且a为整数．已知单张消费券的最大面值为68元，等级2的消费券的面值为20元，则（）A．消费券的等级越小，面值越大B．单张消费券的最小面值为5元C．消费券的等级越大，面值越大D．单张消费券的最小面值为10元三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13．已知函数f（x）＝3a2x﹣4+1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A，则点A的坐标为．14．函数f（x）＝|x﹣7|+|x+7|（x∈R）是（填入“偶”“奇”“非奇非偶”中的一个）函数．15．请写出一个同时满足下列两个条件的函数：f（x）＝．①f（x）的定义域为（0，+∞）；②函数y=f(x−x)x在（0，+∞）上是单调递减的对数函数．16．已知x＞1，y＞0，且x+4y =2，则1x−1+y的最小值是．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知函数f(x)=12−x+ln(x+1)．（1）求f（0），f（a+2）的值；（2）求f （x ）的定义域．18．（12分）从以下三题中任选两题作答，若三题都分别作答，则按前两题作答计分，作答时，请在答题卷上标明你选的两个题的题号． （1）已知√a √aa 74⋅a −2=a m (a ＞1)，求m 的值；（2）已知10a ＝3，3b ＝25，求2lg 2+ab 的值； （3）求方程log √2[lg(x 2−15x)]=2的解集． 19．（12分）已知函数f （x ）＝2×4x +4﹣x ．（1）求f （x ）的最小值；（2）证明：当x ＞0时，f （x ）＞2x +1+2﹣x ．20．（12分）如图，在正方形ABCD 中，AB ＝6m ，F ，G 分别为BC ，AD 的中点，E 为AB 边上更靠近点A 的三等分点，一个质点P 从点F 出发（出发时刻t ＝0），沿着线段FC ，CD ，DG 做匀速运动，且速度v ＝1m /s ，记△PBE 的面积为Sm 2． （1）当质点P 运动10s 后，求S 的值；（2）在质点P 从点F 运动到点G 的过程中，求S 关于运动时间t （单位：s ）的函数表达式．21．（12分）设a ＞0，且a ≠1，f （x ）＝a •2x ﹣a ﹣x +1是定义在R 上的奇函数，且f （x ）不是常数函数．（1）求a 的值；（2）若f(log 13x −lnm)+f(a −1)＞0对x ∈(13，9)恒成立，求m 的取值范围．22．（12分）已知函数f （x ）的定义域D ⊆（0，+∞），且对任意x 1，x 2∈D ，当x 1＜x 2时，f(x 1)−f(x 2)＞log 2x1x 2恒成立，则称f （x ）为D 上的T 函数．（1）若定义在（0，+∞）上的函数g （x ）为减函数，判断g （x ）是否为（0，+∞）上的T 函数，并说明理由；（2）若f （x ）为（0，+∞）上的T 函数，且f （2）＝5，求不等式f （2x ）＞log 2（32x ）的解集； （3）若k(x)=(log 2x +a 3)log 2x 为[12，2]上的T 函数，求a 的取值范围．2023-2024学年河北省保定市部分高中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．命题“∀x ∈（1，2），x 2+2x ＞3”的否定是（ ） A ．∃x ∈（1，2），x 2+2x ＞3 B ．∃x ∉（1，2），x 2+2x ≤3C ．∃x ∈（1，2），x 2+2x ≤3D ．∀x ∈（1，2），x 2+2x ≤3解：命题为全称命题，则命题的否定为：∃x ∈（1，2），x 2+2x ≤3． 故选：C ．2．设集合A ＝{x |x ＞﹣3}，B ＝{x |x 2+2x ＜0}，则（ ） A ．A ∩B ＝AB ．A ∪B ＝AC ．A ∪（∁R B ）＝AD ．B ∪（∁R A ）＝R解：因为集合A ＝{x |x ＞﹣3}，B ＝{x |﹣2＜x ＜0}，所以B ⊆A ，则A ∩B ＝B ，A ∪B ＝A ，A ∪（∁R B ）＝R ，B ∪（∁R A ）≠R ． 故选：B ．3．在半径为10cm 的圆上，有一条弧的长是5cm ，则该弧所对的圆心角（正角）的弧度数为（ ） A ．12B ．π2C ．2πD ．2解：在半径为10cm 的圆上，有一条弧的长是5cm ， 则该弧所对的圆心角（正角）的弧度数为510=12．故选：A ．4．已知f （x ）是定义在[﹣2，6]上的减函数，且f （﹣2）＞0，f （﹣1）＞0，f （0）＞0，f （3）＜0，f （6）＜0，则f （x ）的零点可能为（ ） A ．﹣1.5B ．﹣0.5C ．2D ．4解：根据题意，f （x ）是定义在[﹣2，6]上的减函数，且f （0）f （3）＜0， 所以f （x ）的零点必在区间（0，3）内， 分析选项，f （x ）的零点可能为2． 故选：C ．5．溶液酸碱度是通过计算pH 计量的．pH 的计算公式为pH ＝﹣lg [H +]，其中[H +]表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升．已知某溶液中氢离子的浓度为2×10﹣7摩尔/升，取lg 2＝0.301，则该溶液的pH 值为（ ） A ．7.201B ．6.799C ．7.301D ．6.699解：因为溶液中氢离子的浓度为2×10﹣7摩尔/升，所以该溶液的pH 值为﹣lg （2×10﹣7）＝7﹣lg 2＝6.699． 故选：D ．6．已知f(x)={(m −1)x ，x ＜1，log 5−m x +2，x ≥1在R 上是增函数，则m 的取值范围是（ ）A ．（2，4）B ．（2，3）C ．[3，4）D ．（2，3]解：根据题意，f(x)={(m −1)x ，x ＜1，log 5−m x +2，x ≥1在R 上是增函数，则有{m −1＞15−m ＞1(m −1)1≤log 5−m 1+2，解可得2＜m ≤3，即m 的取值范围为（2，3]．故选：D ．7．已知函数f （2x ﹣1）的定义域为（﹣1，9），则函数f （3x +1）的定义域为（ ） A ．(−13，43)B ．(−43，163) C ．(−23，83)D ．（﹣2，28）解：因为函数f （2x ﹣1）的定义域为（﹣1，9），所以2x ﹣1∈（﹣3，17）， 所以函数f （x ）的定义域为（﹣3，17）．对于函数f （3x +1），由3x +1∈（﹣3，17），得x ∈(−43，163)， 所以函数f （3x +1）的定义域为(−43，163)． 故选：B ．8．已知函数f(x)=0．32x−x 2，设a =log 34，b =log 32，c =log 9√15，则（ ） A ．f （a ）＜f （c ）＜f （b ） B ．f （a ）＜f （b ）＜f （c ） C ．f （c ）＜f （b ）＜f （a ）D ．f （b ）＜f （c ）＜f （a ）解：因为f(x)=0.32x−x 2，所以f （x ）的图象关于直线x ＝1对称．又y ＝0.3u 为减函数且u ＝2x ﹣x 2在（﹣∞，1）上单调递增，所以f(x)=0.32x−x 2在（﹣∞，1）上单调递减．因为a ＝log 34＞1，b ＝log 32＜1，且a +b ＝log 38＜log 39＝2，所以f （a ）＜f （b ）．因为b =log 32=log 94＞log 9√15=c ，所以f （b ）＜f （c ）． 综上，f （a ）＜f （b ）＜f （c ）． 故选：B ．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．设α为第二象限角，则2α可能是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角解：因为α为第二象限角，所以2kπ+π2＜α＜2kπ+π(k∈Z)，所以4kπ+π＜2α＜4kπ+2π（k∈Z），所以2α可能是第三象限角，也可能是第四象限角．故选：CD．10．下列命题为真命题的是（）A．函数y=(√2−1)x+1是指数函数B．幂函数f（x）＝（2a2﹣7a+4）x a是增函数C．“t为偶数”是“t2为偶数”的充分不必要条件D．集合{x|x⩾﹣1}与集合{y|y＝|x|﹣1，x∈R}相等解：因为(√2−1)x+1不能化为a x的形式，所以函数y=(√2−1)x+1不是指数函数，A错误；若f（x）＝（2a2﹣7a+4）x a是幂函数，则2a2﹣7a+4＝1，得a=12或a＝3，则f(x)=√x或f（x）＝x3，这两个函数在其定义域内都是增函数，B正确．因为偶数与偶数的乘积为偶数，所以若t为偶数，则t2为偶数，反之不成立，C正确．因为y＝|x|﹣1⩾﹣1（当且仅当x＝0时，等号成立），所以{y|y＝|x|﹣1，x∈R}＝[﹣1，+∞），D正确．故选：BCD．11．已知f（x）是定义在[﹣2，2]上的函数，函数p（x）＝[f（x）﹣log23][f（x）+1]（﹣2≤x≤2）恰有5个零点，则f（x）的大致图象可能是（）A．B．C．D．解：令p（x）＝0，得f（x）＝log23或f（x）＝﹣1，设直线y＝log23与f（x）的图象的交点个数为m，直线y＝﹣1与f（x）的图象的交点个数为n，依题意得m+n＝5，log23∈（1，2）．对于选项A，m＝n＝3，则m+n＝6，不符合题意；对于选项B，m＝3，n＝2，则m+n＝5，符合题意；对于选项C，m＝3，n＝2，则m+n＝5，符合题意；对于选项D，m＝1，n＝4，则m+n＝5，符合题意．故选：BCD．12．某超市在双十二当天推出单次消费满188元有机会获得消费券的活动，消费券共有4个等级，等级x 与消费券面值y（元）的关系式为y＝2ax+8+b（x＝1，2，3，4），其中a，b为常数，且a为整数．已知单张消费券的最大面值为68元，等级2的消费券的面值为20元，则（）A．消费券的等级越小，面值越大B．单张消费券的最小面值为5元C．消费券的等级越大，面值越大D．单张消费券的最小面值为10元解：设a＞0，则y＝2ax+8+b（x＝1，2，3，4）为增函数，则等级4的消费券的面值为68元，所以{22a+8+b=2024a+8+b=68，两式相减得24a+8﹣22a+8＝48，则(22a)2−22a=3 16，令t＝22a，因为a＞0，所以t＞1，则t2−t=316，解得t=22a=2±√74，此时a不是整数，所以a＞0不满足条件．设a＝0，则y＝2ax+8+b（x＝1，2，3，4）为常数函数，显然不满足条件．设a＜0，则y＝2ax+8+b（x＝1，2，3，4）为减函数，则等级1的消费券的面值为68元，所以{22a+8+b=202a+8+b=68，两式相减得2a+8﹣22a+8＝48，则2a−(2a)2=316，令t＝2a，因为a＜0，所以0＜t＜1，则t2−t=−316，解得t=2a=14或34，因为a为整数，所以a＝﹣2，此时b＝4，所以消费券的等级越小，面值越大，且单张消费券的最小面值为2﹣2×4+8+4＝5元．故选：AB．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13．已知函数f（x）＝3a2x﹣4+1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A，则点A的坐标为（2，4）．解：令2x﹣4＝0，解得x＝2，故f（2）＝3+1＝4，所以点A的坐标为（2，4）．故答案为：（2，4）．14．函数f（x）＝|x﹣7|+|x+7|（x∈R）是偶（填入“偶”“奇”“非奇非偶”中的一个）函数．解：因为f（﹣x）＝|﹣x﹣7|+|﹣x+7|＝|x+7|+|x﹣7|＝f（x），x∈R，所以f（x）＝|x﹣7|+|x+7|（x∈R）是偶函数．故答案为：偶．15．请写出一个同时满足下列两个条件的函数：f（x）＝log2x．①f（x）的定义域为（0，+∞）；②函数y=f(x−x)x在（0，+∞）上是单调递减的对数函数．解：因为函数y=f(x−x)x在（0，+∞）上是单调递减的对数函数，因为log a x−x=−xlog a x，所以可设f（x）＝log a x，则y=f(x−x)x=−log a x=log1ax，因为函数y=f(x−x)x在（0，+∞）上单调递减，所以0＜1a＜1，则a＞1，所以f（x）＝log a x（a＞1）满足这两个条件．故答案为：log2x（答案不唯一，形如log a x（a＞1）均可）．16．已知x＞1，y＞0，且x+4y =2，则1x−1+y的最小值是9．解：因为x+4y=2，所以x−1+4y=1，所以1x−1+y=(x−1+4y)(1x−1+y)=5+(x−1)y+4(x−1)y⩾5+2√4=9，当且仅当(x−1)y=4(x−1)y，即（x﹣1）y＝2，所以x=43，y=6时，等号成立．所以1x−1+y的最小值是9．故答案为：9．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知函数f(x)=12−x+ln(x+1)．（1）求f（0），f（a+2）的值；（2）求f（x）的定义域．解：（1）由题意得，f(0)=12+ln1=12，f(a +2)=12−(a+2)+ln(a +3)=−1a+ln(a +3)． （2）由题意得，{2−x ＞0x +1＞0，解得x ＞﹣1且x ≠2，所以f （x ）的定义域为（﹣1，2）∪（2，+∞）．18．（12分）从以下三题中任选两题作答，若三题都分别作答，则按前两题作答计分，作答时，请在答题卷上标明你选的两个题的题号． （1）已知√a √aa 74⋅a −2=a m (a ＞1)，求m 的值；（2）已知10a ＝3，3b ＝25，求2lg 2+ab 的值； （3）求方程log √2[lg(x 2−15x)]=2的解集． 解：（1）因为√a √aa 74⋅a−2=(a⋅a 12)12a 74⋅a−2=a(1+12)×12−74−2=a −3，所以m ＝﹣3．（2）因为10a ＝3，3b ＝25，所以a ＝lg 3，b ＝log 325， 所以2lg 2+ab ＝2lg 2+lg 3•log 325＝2lg 2+lg 3•lg25lg3=2lg 2+2lg 5＝2lg （2×5）＝2．（3）由题意知，{x 2−15x ＞0lg(x 2−15x)＞0，所以x 2﹣15x ＞1①，因为log √2[lg(x 2−15x)]=2， 所以lg （x 2﹣15x ）=(√2)2=2，所以x 2﹣15x ＝102＝100，即（x ﹣20）（x +5）＝0，解得x ＝﹣5或x ＝20， 代入①式检验，均符合题意，故方程log √2[lg(x 2−15x)]=2的解集为{﹣5，20}． 19．（12分）已知函数f （x ）＝2×4x +4﹣x ．（1）求f （x ）的最小值；（2）证明：当x ＞0时，f （x ）＞2x +1+2﹣x ．解：（1）f （x ）＝2×4x +4﹣x ≥2√2×4x ×4−x =2√2，当且仅当2×4x ＝4﹣x ，即42x =12，24x ＝2﹣1，即x =−14时，等号成立，所以f （x ）的最小值为2√2；（2）证明：因为f(x)−(2x+1+2−x )=2×4x +4−x −(2x+1+2−x )=2×(4x −2x )+14x −12x ＝2×2x×（2x﹣1）+14x −12x ＝（2x ﹣1）×2×23x −14x ＝（2x ﹣1）×23x+1−14x，因为x ＞0，所以2x ＞1， 所以2x﹣1＞0，23x+1−14x＞0，所以f （x ）﹣（2x +1+2﹣x ）＞0， 即f （x ）＞2x +1+2﹣x ．20．（12分）如图，在正方形ABCD 中，AB ＝6m ，F ，G 分别为BC ，AD 的中点，E 为AB 边上更靠近点A 的三等分点，一个质点P 从点F 出发（出发时刻t ＝0），沿着线段FC ，CD ，DG 做匀速运动，且速度v ＝1m /s ，记△PBE 的面积为Sm 2． （1）当质点P 运动10s 后，求S 的值；（2）在质点P 从点F 运动到点G 的过程中，求S 关于运动时间t （单位：s ）的函数表达式．解：（1）由题意知，FC +CD ＝3+6＝9m ， ∴当质点P 运动到点D 时，所用时间为91=9s ，∴当质点P 运动10s 后，P 在线段DG 上，且P A ＝6﹣（10﹣9）×1＝5m ， ∴S =12×BE ×PA =12×4×5=10m 2． （2）当0⩽t ⩽3时，S =12×BE ×PB =12×4×(3+t ×1)=6+2t ； 当3＜t ⩽9时，S =12×BE ×BC =12×4×6=12； 当9＜t ⩽12时，S =12×BE ×PA =12×4×[6−(t −9)×1]=30−2t ， 综上所述，S 关于运动时间t （单位：s ）的函数表达式为S ={6+2t ，0≤t ≤312，3＜t ≤930−2t ，9＜t ≤12．21．（12分）设a ＞0，且a ≠1，f （x ）＝a •2x ﹣a ﹣x +1是定义在R 上的奇函数，且f （x ）不是常数函数．（1）求a 的值；（2）若f(log 13x −lnm)+f(a −1)＞0对x ∈(13，9)恒成立，求m 的取值范围． 解：（1）因为函数f （x ）＝a •2x ﹣a﹣x +1是定义在R 上的奇函数，且f （x ）不是常数函数，所以f （﹣1）＝﹣f （1），即12a −a 2=−(2a −1)，解得a =12或a ＝2．当a=12时，f（x）＝0不符合题意；当a＝2时，f（x）＝2x+1﹣2﹣x+1，满足f（﹣x）＝﹣f（x）；所以a＝2．（2）由（1）知a＝2，所以不等式f(log13x−lnm)+f(a−1)＞0可化为f（log13x﹣lnm）＞﹣f（1），又因为f（﹣1）＝﹣f（1），所以f（log13x﹣lnm）＞f（﹣1）；由y＝2x+1是定义域R上的单调增函数，y＝2﹣x+1是定义域R上的单调减函数，所以f（x）＝2x+1﹣2﹣x+1是定义域R上的单调增函数，所以问题等价于log13x−lnm＞−1对x∈(13，9)恒成立，即1+log13x＞lnm对x∈(13，9)恒成立．当x∈(13，9)时，log13x+1∈(−1，2)，所以lnm⩽﹣1，解得0＜m⩽1e，所以实数m的取值范围是{m|0＜m≤1e}．22．（12分）已知函数f（x）的定义域D⊆（0，+∞），且对任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，f(x1)−f(x2)＞log2x1x2恒成立，则称f（x）为D上的T函数．（1）若定义在（0，+∞）上的函数g（x）为减函数，判断g（x）是否为（0，+∞）上的T函数，并说明理由；（2）若f（x）为（0，+∞）上的T函数，且f（2）＝5，求不等式f（2x）＞log2（32x）的解集；（3）若k(x)=(log2x+a3)log2x为[12，2]上的T函数，求a的取值范围．解：（1）任取x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，∵定义在（0，+∞）上的函数g（x）为减函数，∴g（x1）＞g（x2），∴g（x1）﹣g（x2）＞0．∵x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，∴0＜x1x2＜1，所以log2x1x2＜0，∴g(x1)−g(x2)＞log2x1x2恒成立，∴g（x）为（0，+∞）上的T函数．（2）由f(x1)−f(x2)＞log2x1x2，得f（x1）﹣log2x1＞f（x2）﹣log2x2，∵f（x）为（0，+∞）上的T函数，∴h（x）＝f（x）﹣log2x在（0，+∞）上单调递减．∵f（2）＝5，∴h（2）＝4，又f（2x）＞log2（32x），∴f（2x）﹣log2（2x）＞log216＝4，∴h（2x）＞h（2），∴0＜2x＜2，解得0＜x＜1，∴不等式f（2x）＞log2（32x）的解集为{x|0＜x＜1}．（3）∵函数k（x）为[12，2]上的T函数，∴p(x)=(log2x+a3)log2x−log2x在[12，2]上单调递减．令t＝log2x，则t∈[﹣1，1]，∴q（t）＝t2+（a3﹣1）t在[﹣1，1]上为减函数，∴−a3−12⩾1，∴a3⩽﹣1，∵y＝x3为R上的增函数，∴a⩽﹣1，∴a的取值范围为（﹣∞，﹣1]．。

辽宁省沈阳市东北育才中学2024-2025学年高一上学期第一次月考(10月)数学试题(含解析)

辽宁省沈阳市东北育才中学2024-2025学年高一上学期第一次月考(10月)数学试题(含解析)

东北育才高中2024-2025学年度上学期高一年级数学科第一次月考试卷时间：120分钟 满分：150分一､单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的.1.已知集合，则中元素个数为（ ）A.2B.3C.4D.62.设集合，则集合的真子集的个数为（ ）A.3B.4C.15D.163.命题“，不等式”为假命题的一个必要不充分条件是（ ）A.B.C. D.4.设，则下列命题正确的是（ ）A.若，则B.若，则C.若则D.若，则5.若集合，若，则实数的取值范围是（ ）A.B.C.D.6.对于实数，当且仅当时，规定，则不等式的解集是（）A. B.C. D.7.已知，则的最小值为（ ）(){}(){}*,,,,,8A x y x y y x B x y x y =∈≥=+=N ∣∣A B ⋂{}{}{}1,2,3,4,5,,,A B M xx a b a A b B ====+∈∈∣M x ∃∈R 2210ax x -+≤0a >1a >102a <<2a >,a b ∈R ,x y a b >>a x b y ->-a b >11a b<,x y a b >>ax by >a b >22a b >{}30,101x A xB x ax x ⎧⎫-===+=⎨⎬+⎩⎭∣B A ⊆a 13⎧⎫-⎨⎬⎩⎭1,13⎧⎫-⎨⎬⎩⎭10,3⎧⎫-⎨⎬⎩⎭10,,13⎧⎫-⎨⎬⎩⎭x ()1n x n n ≤<+∈N []x n =[]24[]36450x x -+<{28}xx ≤<∣31522xx ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭{}27xx ≤≤∣{27}x x <≤∣0,0,23x y x y >>+=23x yxy+A. B.8.方程至少有一个负实根的充要条件是（ ）A. B.C.D.或二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分，9.设均为非空集合，且满足，则下列各式中正确的是（ ）A. B.C.D.10.下列四个命题中正确的是（ ）A.由所确定的实数集合为B.同时满足的整数解的集合为C.集合可以化简为D.中含有三个元素11.已知关于的不等式的解集为，则下列结论正确的是（）A. B.的最大值为C.的最小值为8 D.的最小值为三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.的解集是__________.13.某班举行数学､物理､化学三科竞赛，每人至少参加一科，已知参加数学竞赛的有27人，参加物理竞赛的有25人，参加化学竞赛的有27人，其中同时只参加数学､物理两科的有10人，同时只参加物理､化学两科的有7人，同时只参加数学､化学两科的有11人，而参加数学､物理､化学三科的有4人，则全班共有__________人.3-11-1+2210ax x ++=01a <≤1a <1a ≤01a <≤0a <A B U ､､A B U ⊆⊆()U A B U ⋃=ð()()U U U A B B ⋂=ððð()U A B ⋂=∅ð()()U U A B U⋃=ðð(),a b a b ab+∈R {}2,0,2-240,121x x x +>⎧⎨+≥-⎩{}1,0,1,2-(){},3216,,x y x y x y +=∈∈N N ∣()()(){}0,8,2,5,4,26,3A aa a ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭N Z x ()()()2323100,0a m x b m x a b +---<>>11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭21a b +=ab 1812a b +224a b +1222150x x -->14.已知关于的不等式（其中）的解集为，若满足（其中为整数集），则使得集合中元素个数最少时的取值范围是__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.（本小题13分）已知集合为全体实数集，或.（1）若，求；（2）若，求实数的取值范围.16.（本小题15分）已知全集，集合，集合.（1）若，求实数的取值集合；（2）若集合，且集合满足条件__________（从下列三个条件中任选一个作答），求实数的取值集合.条件①是的充分不必要条件：②是的必要不充分条件：③，使得.17.（本小题15分）设，且.（1介于之间；（2）求；（3）你能设计一个比的吗？并说明理由.18.（本小题17分）对于二次函数，若，使得成立，则称为二次函数的不动点.（1）求二次函数的不动点：（2）若二次函数有两个不相等的不动点，且，求的最小值.x ()()2640mx m x --+<m ∈R A A B ⋂=Z Z B m U {2M xx =<-∣{}5},121x N x a x a >=+≤≤-∣3a =()U M N ⋃ðU N M ⊆ða U =R A x y ⎧⎪==⎨⎪⎩()(){}2440B x x m x m =---<∣B =∅m B ≠∅,A B m x A ∈x B ∈x A ∈x B ∈12,x A x B ∀∈∃∈12x x =10a >1a ≈21111a a =++12,a a 12,a a 2a 3a ()20y ax bx c a =++≠0x ∃∈R 2000ax bx c x ++=0x ()20y ax bx c a =++≠222y x x =+-()2221y x a x a =-++-12,x x 12,0x x >2112x x x x +19.（本小题17分）已知是非空数集，如果对任意，都有，则称是封闭集.（1）判断集合是否为封闭集，并说明理由：（2）判断以下两个命题的真假，并说明理由：命题：若非空集合是封闭集，则也是封闭集；命题：若非空集合是封闭集，且，则也是封闭集：（3）若非空集合是封闭集合，且为实数集，求证：不是封闭集.A ,x y A ∈,x y A xy A +∈∈A {}{}0,1,0,1BC ==-p 12,A A 12A A ⋃q 12,A A 12A A ⋂≠∅12A A ⋂A ,A ≠R R A R ð东北育才高中2024-2025学年度上学期高一年级数学科第一次月考答案【解析】1.解：在集合中，观察集合的条件，当是正整数且时，有等4个元素，则中元素个数为4个.故选C.2.解：由题意可知，集合，集合中有4个元素，则集合的真子集有个，故选C.3.解：命题“，不等式”为假命题，则命题“，不等式”为真命题，所以，解得，所以使得命题“，不等式”为假命题，则实数的取值范围为1，则命题“，不等式”为假命题的一个必要不充分条件是，故选：A.4.解：A ：令，则，故错误；B ：令，则，故错误；C ：令，则，故错误；D ：因为，所以即，故正确；故选D.5.解：由题可知：.当时，显然不成立即，则满足；B 8x y +=A ,x y y x ≥()()()()1,7,2,6,3,5,4,4A B ⋂{}5,6,7,8M =M 42115-=x ∃∈R 2210ax x -+≤x ∀∈R 2210ax x -+>0Δ440a a >⎧⎨=-<⎩1a >x ∃∈R 2210ax x -+≤a a >x ∃∈R 2210ax x -+≤0a >1,3,2,0x y a b ==-==13a x b y -=<-=0,0a b ><11a b>0,1,1,0x y a b ==-==0ax by ==a a b >…22||a b >22a b >{}3031x A xx ⎧⎫-===⎨⎬+⎩⎭0a =10…B =∅B A ⊆当时，，由可得：；综上所述实数的取值范围为.故选C.6.解：由，根据的定义可知：不等式的解集是.故选A.7.解：因为，则，当且仅当时，即当，且，等号成立，故的最小值为故选B.8.当时，方程为有一个负实根，反之，时，则于是得；当时，，若，则，方程有两个不等实根，，即与一正一负，反之，方程有一正一负的两根时，则这两根之积小于，于是得，若，由，即知，方程有两个实根，0a ≠1B x x a ⎧⎫==-⎨⎬⎩⎭B A ⊆1133a a -=⇒=-a 10,3⎧⎫-⎨⎬⎩⎭[]24[]36450x x -+<[]()[]()232150x x ⇒--<[]31522x ⇒<<[]x []24[]36450x x -+<{28}xx <∣…0,0,23x y x y >>+=()22222322111x x y y x y x xy y x y xy xy xy y x +++++===+++=+…222x y =3x =-y =23x y xy+1+0a =210x +=12x =-12x =-0,a =0a =0a ≠Δ44a =-0a <Δ0>12,x x 1210x x a=<1x 2x 1a0,0a <0a <0a >Δ0≥01a <≤12,x x必有，此时与都是负数，反之，方程两根都为负，则，解得，于是得，综上，当时，方程至少有一个负实根，反之，方程至少有一个负实根，必有.所以方程至少有一个负实根的充要条件是.故选：9.解：因为，如下图所示，则，选项A 正确：，选项B 正确：，选项正确：，选项D 错误.故选ABC.10.解：分别取同正､同负和一正一负时，可以得到的值分别为，故A 正确；由得，12122010x x a x x a ⎧+=-<⎪⎪⎨⎪=>⎪⎩1x 2x 2210ax x ++=12,x x 1212Δ4402010a x x a x x a ⎧⎪=-≥⎪⎪+=-<⎨⎪⎪=>⎪⎩01a <≤01a <≤1a ≤2210ax x ++=2210ax x ++=1a ≤2210ax x ++=1a ≤CA B U ⊆⊆()U U U ,B A A B U ⊆⋃=ððð()()UUUA B B ⋂=ððð()U A B ⋂=∅ðð()()UUUA B A U ⋃=≠ððð,a b (),a b a b ab+∈R 2,2,0-240,121,x x x +>⎧⎨+≥-⎩22x -<≤所以符合条件的整数解的集合为，故B 正确；由，可以得到符合条件的数对有，故C 正确；当时，；当时，，当时，；当时，；当时，；当时，，所以集合含有四个元素，故D 错误，故选ABC.11.解：由题意，，且方程的两根为和，所以，所以，所以A 正确；因为，所以，可得，当且仅当时取等号，所以的最大值为B 正确；，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为C 错误；，当且仅当时取等号，所以的最小值为，所以D 正确.故选ABD.12.解：由，，{}1,0,1,2-3216,,x y x y +=∈∈N N ()()()0,8,2,5,4,22a =666332a ==∈--N 1a =663331a ==∈--N 0a =662330a ==∈--N 1a =-66331a =∉-+N 2a =-6635a =∉-N 3a =-66136a ==∈-N A 2,1,0,3-30a m +>()()232310a m x b m x +---=1-12123111,12323b m a m a m--+=-⨯=-++32,231a m b m +=-=-21,a b +=0,0a b >>21a b +=≥18ab ≤122a b ==ab 1,8()121222255549b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+=+= ⎪⎝⎭22b a a b =13a b ==12a b+9,22222114(2)(2)22a b a b a b +=+≥+=122a b ==224a b +1222150x x -->2||2150x x ∴-->()()530x x ∴-+>解得：或（舍去），或，即所求的解集为，故答案为.13.解：设参加数学､物理､化学三科竞赛的人分别组成集合，各集合中元素的个数如图所示，则全班人数为.故答案为43.14.解：分情况讨论：当时，，解得；当时，，当且仅当解得或；当时，，当且仅当由，解得.因为，集合中元素个数最少，所以不符合题意；所以要使集合中元素个数最少，需要，解得.故答案为：.15.（本小题13分）5x >3x <-5x ∴<-5x >()(),55,∞∞--⋃+()(),55,∞∞--⋃+,,A B C 24510711443++++++=0m =()640x -+<{}4A xx =>-∣0m <()2266640,4m m x x m m m m ⎛⎫++-+>=+-<- ⎪⎝⎭…m =26{|m A x x m +=<4}x >-0m >2664m m m m+=+≥>m =()2640m x x m ⎛⎫+-+< ⎪⎝⎭264m A x x m ⎧⎫+⎪⎪=-<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭A B ⋂=Z B 0m ≤B 265m m +≤23m ≤≤{}23mm ∣……【答案】解：（1）当时，，所以或，又或，所以或；（2）由题可得，①当时，则，即时，此时满足；②当时，则，所以，综上，实数的取值范围为.16.（本小题15分）【答案】解：（1）若，则，解得，所以实数的取值集合为（2）集合，集合，则此时，则集合，当选择条件①时，是的充分不必要条件，有 ，则，且不能同时取等，解得，所以实数的取值集合为当选择条件②时，是的必要不充分条件，有 ，则，且不能同时取等，解得，所以实数的取值集合为当选择条件③时，，使得，有，则，解得，所以实数的取值集合为3a ={}45N xx =≤≤∣U {4N x x =<∣ð5}x >{2M xx =<-∣5}x >()U {4M N x x ⋃=<∣ð5}x >{}U 25M xx =-≤≤∣ðN =∅121a a +>-2a <U N C M ⊆N ≠∅12112215a a a a +≤-⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩23a ≤≤a {}3aa ∣…B =∅244m m =+2m =m {}2{}2200{45}A xx x x x =-++>=-<<∣∣B ≠∅2,m ≠2244(2)0m m m +-=->{}244B xm x m =<<+∣x A ∈x B ∈A B 24445m m ≤-⎧⎨+≥⎩1m <-m (),1∞--x A ∈x B ∈B A 24445m m ≥-⎧⎨+≤⎩11m -<≤m (]1,1-12,x A x B ∀∈∃∈12x x =A B ⊆24445m m ≤-⎧⎨+≥⎩1m ≤-m (],1∞--17.（本小题15分）【答案】解：（1）证明：.之间.（2比.（3）令，则比.证明如下：由（2.故比18.（本小题17分）【答案】解：（1）由题意知：，，解得，所以，二次函数的不动点为和1.（2）依题意，有两个不相等的正实数根，即方程有两个不相等的正实数根，所以，解得，所以，所以))12111101a a a a ⎫=-⋅--=<⎪+⎭12a a ､11a --1a -2a ∴1a 32111a a =++3a 2a 32a a -=--3a 2a 222x x x +-=()()120x x ∴-+=122,1x x =-=222y x x =+-2-()2221x a x a x -++-=()22310x a x a -++-=()2Δ(3)810a a =+-->12302a x x ++=>1a >12102a x x -⎛⎫=> ⎪⎝⎭121231,22a a x x x x +-+==()222121221121212122x x x x x x x x x x x x x x +-++==，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为6.19.（本小题17分）【答案】（1）解：对于集合，因为，所以是封闭集；对于集合，因为，所以集合不是封闭集；（2）解：对命题：令，则集合是封闭集，但不是封闭集，故错误；对于命题：设，则有，又因为集合是封闭集，所以，同理可得，所以，所以是封闭集，故正确；（3）证明：假设结论成立，设，若，矛盾，所以，所以有，设且，否则，所以有，矛盾，故假设不成立，原结论成立，证毕.()()()22231(1)41162132121212a a a a a a a a a +⎛⎫-+ ⎪-+-+++⎝⎭===---1822621a a -=++≥=-1821a a -=-5a =1221x x x x +{}0B =000,000B B +=∈⨯=∈{}0B ={}1,0,1C =-()112,112,C C -+-=-∉+=∉{}1,0,1C =-p {}{}122,,3,A xx k k A x x k k ==∈==∈Z Z ∣∣12,A A 12A A ⋃q ()12,a b A A ∈⋂1,a b A ∈1A 11,a b A ab A +∈∈22,a b A ab A +∈∈()()1212,a b A A ab A A +∈⋂∈⋂12A A ⋂2a A a A ∈⇒∈2R ()a A a A -∈⇒-∈R ðða A -∈0a a A -+=∈2R R b A b A ∈⇒∈ððR b A -∈ð2()b A b A -∈⇒-∈R 0b b A -+=∈ð。

辽宁省大连市滨城高中联盟2024-2025学年高一上学期10月份考试数学试卷

辽宁省大连市滨城高中联盟2024-2025学年高一上学期10月份考试数学试卷

辽宁省大连市滨城高中联盟2024-2025学年高一上学期10月份考试数学试卷一、单选题1．已知集合{}2,1,1,3,5A =--，集合{}250,B x x x =-+>∈Z ，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）A ．{}2,1,1--B ．{}0,3,5C ．{}0,1D ．{}0,22．若a <0，b <0，则p ＝2b a ＋2a b与q ＝a ＋b 的大小关系为（ ）A ．p <qB ．p ≤qC ．p >qD ．p ≥q3．命题“2R,10x x ax ∃∈-+<”为假命题的一个必要不充分条件是（ ） A ．[2,2]a ∈- B ．(2,1)a ∈- C ．[2,3]a ∈-D ．(2,3)a ∈-4．下列不等式正确的是（ ）A ．已知14a b ≤+≤，12a b -≤-≤，则42a b -的取值范围是[]2,10-B ．若11a b>，则a b < C ．若22ac bc ≥，则a b ≥ D ．若0a >，0b >，且a b <，则a m ab m b+>+ 5．若关于x 、y 的方程组2204210y kx y x y --=⎧⎨--+=⎩的解集中只有一个元素，则实数k 的值为（ ）A ．1B ．0或1C ．1-D ．0或1-6．当一个非空数集G 满足“如果,a b G ∈，则a b +，a b -，ab G ∈，且0b ≠时，aG b∈”时，我们称G 就是一个数域，以下四个数域的命题：①0是任何数域的元素：②若数域G 有非零元素，则2024G ∈；③集合{}3,Z P xx k k ==∈∣是一个数域 ④有理数集是一个数域 其中真命题的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．47．已知关于x 的不等式210ax bx -+>的解集为()2,,m m ⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭，其中0m >，则1b m +的最小值为（ ）A ．4B ．C ．2D ．18．对于问题“已知关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为()2,4-，解关于x 的不等式20ax bx c -+>”，给出一种解法：由20ax bx c ++>的解集为()2,4-，得()()2a xb xc -+-+>的解集为()4,2-，即关于x 的不等式20ax bx c -+>的解集为()4,2-，类比上述解法，若关于x 的不等式320ax bx cxd +++>的解集为()()1,48,+∞U ，则关于x 的不等式320842a b cd x x x-+-+>的解集为（ ） A ．()(),168,2-∞---U B ．()(),42,1-∞---U C ．111,,2816⎛⎫⎛⎫-∞--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭UD ．111,,02816⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U二、多选题9．已知正数x ，y 满足2x y +=，则下列选项正确的是（ ） A ．11x y+的最小值是2B ．xy 的最小值是1C ．22x y +的最小值是4D ．()1x y +的最大值是9410．下面命题正确的是（ ）A ．对任意的x ∈R ，2214x a x a -+-+≥恒成立，则1a ≤-或3a ≥B 2的最小值是2C ．已知a ，b ，(),0c ∈-∞，则1a b +，4b c +，9c a +至少有一个不大于4-D ．设a ，b ∈R ，则“0a ≠”是“0ab ≠”的必要不充分条件11．设非空集合}{S x m x n =≤≤满足：当x ∈S 时，有x 2∈S .给出如下命题，其中真命题是（ ）A ．若m =1，则{}|1S x x =≥B ．若12m =-，则14≤n ≤1C ．若12n =，则0m ≤ D ．若n =1，则10m -≤≤三、填空题12．命题“1x ∀≤，20x x ->”的否定是.13．关于x 的一元二次方程()2640x ax a -+-=的两个正实数根分别为12,x x ，且1228x x +=，则a 的值是.14．若1a b >>，且35a b +=，则141a b b +--的最小值为，2ab b a b --+的最大值为．四、解答题15．已知集合4110A xx ⎧⎫=≤-⎨⎬-⎩⎭，{}221B x a x a =+<<+. (1)当3a =时，求A B ⋂；(2)若A B A =U ，求实数a 的取值范围.16．已知a ，b 为正实数，且满足216ab a b ++=． (1)求ab 的最大值； (2)求a b +的最小值； (3)写出1112+++a b 的最小值（直接写出结果即可）． 17．（1）已知[]0,2a ∀∈时，不等式()231102ax a x a +++-<恒成立，求x 的取值范围.（2）已知存在[]2,2x ∈-，使不等式2320x mx m ++-≤成立，求m 的取值范围. 18．若实数x 、y 、m 满足x m y m -<-，则称x 比y 接近m ， (1)2x 比0接近1，求x 的取值范围；(2)判断：“x 比y 接近0”是“22x yy x+>-”的什么条件（充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分又不必要条件），并加以证明.19．已知函数()222,R y ax a x a =-++∈(1)求不等式0y ≥的解集；(2)若存在0m >使关于x 的方程()21221ax a x m m-++=++有4个不同的实根，求实数a 的取值范围。

河南省郑州市十所省级示范性高中2024-2025学年高一上学期期中联考数学试卷含答案

河南省郑州市十所省级示范性高中2024-2025学年高一上学期期中联考数学试卷含答案

2024-2025学年上期高一年级期中联考试题数学学科（答案在最后）命题人：考试时间：120分钟分值：150分注意事项：本试卷分试题卷和答题卡两部分.考生应首先阅读试题卷上的文字信息，然后在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡）.在试题卷上作答无效.一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2,0,1,2,3M =-，{}|114N x x =-<-≤，则M N = （）A.{}2,0,1,2,3- B.{}2,0,1- C.{}0,1,2,3 D.{}20-，【答案】B 【解析】【分析】利用集合交集的定义求解即可．【详解】因为{}2,0,1,2,3M =-，{}|32N x x =-≤<，所以{}2,0,1M N ⋂=-.故选：B 2.函数0()(3)f x x =+的定义域是（）A.(,3)(3,)-∞-⋃+∞B.(,3)(3,3)-∞-- C.(,3)-∞- D.(,3)-∞【答案】B 【解析】【分析】根据函数解析式，只需解析式有意义，即3030x x ->⎧⎨+≠⎩，解不等式即可求解.【详解】由0()(3)f x x =+，则3030x x ->⎧⎨+≠⎩，解得3x <且3x ≠-，所以函数的定义域为(,3)(3,3)-∞-- 故选：B3.已知p ：223x x +=，q ：2x =，则p 是q 的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】【分析】解方程223x x +=和2x =，根据充分条件、必要条件即可求解.【详解】由223x x +=，得1x =-或3x =，由2x =，得3x =或0x =，因为1x =-或3x =成立推不出3x =或0x =成立，反之也不成立，所以p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件.故选：D4.若()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，且()()3xf xg x +=，则()f x 的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】根据函数的奇偶性可得()()3xf xg x --=，即可求解()f x 解析式，通过排除可得答案．【详解】解：由()()3xf xg x +=得：()()3xf xg x --+-=，即()()3xf xg x --=，由()()()()33xx f x g x f x g x -⎧+=⎪⎨-=⎪⎩解得：()332x x f x -+=，由33122x x -+≥=，排除BC ．由指数函数的性质（指数爆炸性）排除D ．故选：A5.函数y =）A.5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ B.(),1-∞ C.[)4,+∞ D.5,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】根据复合函数的单调性即可求解.【详解】2540x x -+≥，即(4)(1)0x x --≥，解得4x ≥或1x ≤，令254t x x -=+，则254t x x -=+的对称轴为5522x -=-=，254t x x ∴=-+在(,1)-∞上单调递减，在[4,)+∞上单调递增，又y =是增函数，y ∴=在(,1)-∞上单调递减，在[4,)+∞上单调递增.故选：B.6.若函数()2,142,12x ax x f x a x x ⎧+>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩是R 上的增函数，则实数a 的取值范围为（）A.(2,)-+∞B.(2,8)- C.10,83⎛⎫⎪⎝⎭D.10,83⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D 【解析】【分析】根据条件，要使函数是R 上的增函数，每一段函数在其定义域内必须为增函数且左端的最大值小于等于右端的最小值，列出不等式组求解即可.【详解】因为函数2,1()(4)2,12x ax x f x ax x ⎧+>⎪=⎨-+≤⎪⎩是R 上的增函数，所以1240214+22aaa a ⎧-≤⎪⎪⎪->⎨⎪⎪+≥-⎪⎩，解得：1083a ≤<，故选：D .7.已知()f x 的定义域为()0,∞+，且满足()41f =，对任意()12,0,x x ∈+∞，都有()()()1212f x x f x f x ⋅=+，当()0,1x ∈时，()0f x <.则()()31263f x f x ++-≤的解集为（）A.(]0,4 B.(]3,5 C.()3,6 D.[)4,5【答案】B 【解析】【分析】利用单调性定义可判断函数为增函数，再结合单调性可求不等式的解.【详解】设()34,0,x x ∞∈+且34x x <，对任意(),0,x y ∈+∞，都有()()()f xy f x f y =+即()()()f xy f x f y -=，∴()()3344x f x f x f x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,340x x << ，3401x x ∴<<，又当()0,1x ∈时,()0f x <，()()33440x f x f x f x ⎛⎫-=<⎪⎝⎭,()f x \在()0,∞+上是增函数，令124x x ==,则()()()16442f f f =+=,令14x =,216x =，则()()()644163f f f =+=，()()()3126364f x f x f ∴++-≤=，结合()f x 的定义域为()0,∞+，且在()0,∞+上是增函数，又()()()1212f x x f x f x ⋅=+恒成立，()()()312664f x x f ⎡⎤∴+⋅-≤⎣⎦，()()310260312664x x x x +>⎧⎪->∴⎨⎪+-≤⎩(]3,5x ∴∈，∴不等式的解集为(]3,5，故选：B .8.已知函数()f x 是R 上的奇函数，对任意的()12,,0x x ∞∈-，()()()211212120,x f x x f x x x x x ->≠-，设()1523,,1325a f b f c f ⎛⎫⎛⎫==--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是（）A.a b c >>B.c a b>> C.c b a>> D.b c a>>【答案】A 【解析】【分析】确定数()()f x g x x=在(),0-∞上单调递增，()g x 是()(),00,-∞+∞ 上的偶数，变换得到13a g ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，25b g ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()1c g =-，根据单调性得到答案.【详解】()()()211212120,x f x x f x x x x x ->≠-，即()()()121212120,f x f x x x x x x x ->≠-，故函数()()f x g x x=在(),0-∞上单调递增，()f x 是R 上的奇函数，故()g x 是()(),00,-∞+∞ 上的偶数，1113333a f g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫===- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，522255b f g ⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()111c f g g ===-.12135->->-，故a b c >>.故选：A二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.至少有一个实数x ，使210x +=B.“0a b >>”是“11a b<”的充分不必要条件C.命题“21,04x x x ∃∈-+<R ”的否定是假命题D.“集合{}210A x ax x =++=”中只有一个元素是“14a =”的必要不充分条件【答案】BD 【解析】【分析】由在实数范围内，20x >可得A 错误；举反例可得必要性不成立，可得B 正确；由全称与特称命题的性质和二次函数的性质可得C 错误；由集合A 中只有一个元素可得0a =或14，再由必要性可得D 正确；【详解】对于A ，在实数范围内，20x >，210x +>，故A 错误；对于B ，若0a b >>，则11a b<，充分性成立，若11a b<，如1,2a b =-=-，此时0a b >>，必要性不成立，所以“0a b >>”是“11a b<”的充分不必要条件，故B 正确；对于C ，命题“21,04x x x ∃∈-+<R ”的否定是21,04x x x ∀∈-+≥R ，由二次函数的性质可得()214f x x x =-+开口向上，0∆=，所以()0f x ≥恒成立，故C 错误；对于D ，若集合{}210A x ax x =++=中只有一个元素，当0a =时，1x =-；当0a ≠时，可得11404a a D =-=Þ=，所以必要性成立，故D 正确；故选：BD.10.已知正实数,x y 满足22x y +=，则下列说法不正确的是（）A.3x y +的最大值为174B.42x y +的最小值为2C.2xy 的最大值为2D.211x y+的最小值为2【答案】AC 【解析】【分析】直接利用基本不等式即可求解BC ，利用乘“1“法即可判断D ，利用二次函数的性质可求解A.【详解】对于A ，因为22x y +=，所以22x y =-，因为,x y 为正实数，所以220y ->，解得：0<<y ，2231732324x y y y y ⎛⎫+=-+=--+ ⎪⎝⎭，由二次函数的性质可知3x y +的无最大值，故A 错误；对于B ，22422(22x y x y ++≥⨯=，当且仅当21x y ==时取等号，故B 正确；对于C ，22212x y xy ⎛⎫+≤= ⎪⎝⎭，当且仅当21x y ==时取等号，所以2xy 的最大值为1，故C 错误；对于D ，因为22x y +=，所以2122x y +=，222222111111=1=12222x y y xx y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅+⋅+=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭111222≥+=+⨯=，当且仅当2222y xx y=，即21x y ==时取等，故D 正确.故选：AC .11.给出定义：若()1122m x m m -<≤+∈Z ，则称m 为离实数x 最近的整数，记作{}x m =.在此基础上给出下列关于函数(){}f x x x =-的四个结论，其中正确的是（）A.函数()y f x =值域为10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.函数()y f x =是偶函数C.函数()y f x =在11,22⎡⎤-⎢⎣⎦上单调递增D.函数()y f x =图象关于直线()2kx k =∈Z 对称【答案】ABD 【解析】【分析】根据{}x 的定义，画出函数的图象，根据图象判定即可.【详解】根据{}x 的定义知函数()y f x =的定义域为R ,又{}x m =，则{}{}11,22x x x -<≤+即{}11,22x x -<-≤所以{}10,2x x ≤-≤故函数()y f x =值域为10,2⎡⎤⎢⎣⎦，A 正确；函数()y f x =的图象如下图所示，有图可知函数()y f x =是偶函数，B 正确；函数()y f x =在11,22⎡⎤-⎢⎣⎦上有增有减，C 错误；由图可知()y f x =的图象关于()2kx k =∈Z 对称，D 正确.故选：ABD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数()()222,22,2x x x f x f x x ⎧-++≤⎪=⎨->⎪⎩，则()5f =__________.【答案】3【解析】【分析】将5x =代入分段函数中即可得出答案.【详解】因为()()222,22,2x x x f x f x x ⎧-++≤⎪=⎨->⎪⎩，所以()()()()()55233211223f f f f f =-==-==-++=.故答案为：3.13.已知函数()1f x xx=+，计算()()()()1111122024202420232f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭_________．【答案】2024【解析】【分析】先求出1()()f x f x+，再观察所求，倒序相加即可得解.【详解】由()1xf x x=+，得111()()111111x x x f x f x x x x x+=+=+=++++，所以111()()()(1)(1)(2)(2024)202420232f f f f f f f ++++++++ 111[((2024)][()(2023)][()(2)][(1)(1)]202420232f f f f f f f f =++++++++ 11112024=++++= .故答案为：2024.14.下列结论中，正确的结论有__________（填序号）.①若1x <-，则11x x ++的最大值为2-②当0x ≥时，函数21244x y x x +=++的最大值为1③若正数,x y 满足23x y xy +=，则2x y +的最小值为83④若,a b 为不相等的正实数，满足11a b a b +=+，则118a b a b++≥+【答案】③④【解析】【分析】对①：借助基本不等式计算可得；对②：借助整体思想可得()12211y x x =+++，再利用基本不等式计算即可得；对③：由23x y xy +=可得12133y x+=，再借助基本不等式中“1”的活用计算即可得；对④：由11a b a b+=+可得1ab =，再通分后借助基本不等式计算即可得.【详解】对①：由1x <-，则10x -->，故()()11111311x x x x +=---+-≤-=-+---当且仅当()111x x --=--，即2x =-时，等号成立，即11x x ++的最大值为3-，故①错误；对②：()()22111122444212211x x y x x x x x ++===≤+++++++，当且仅当0x =时，等号成立，故函数21244x y x x +=++的最大值为14，故②错误；对③：由23x y xy +=，故2121333x y xy y x+=+=，又,x y 为正数，故()12224482233333333x y x y x y y x y x ⎛⎫+=++=+++≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当423x y ==时，等号成立，故2x y +的最小值为83，故③正确；对④：若,a b 为不相等的正实数，满足11a b a b +=+，则118a b a b++≥+由11a b a b +=+，则11a b a b b a ab--=-=，又,a b 为不相等的正实数，故1ab =，则11888a b a b a b a b ab a b a b+++=+=++≥+++当且仅当1a =+，1b =-或1a =-，1b =+时，等号成立，故④正确.故答案为：③④.四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明､证明过程及验算步骤.15.（1）求值：110340.064(π)(16)--++；（2）已知()112230a aa -+=>，求值：12222a a a a --++++.【答案】（1）8π5-；（2）949【解析】【分析】（1）根据题意，由指数幂的运算即可得到结果；（2）由()112230a aa -+=>平方可得1a a -+的值，再对1a a -+平方可得22a a -+的值，代入即可得出答案.【详解】（1）110340.064(π)(16)--++()1313442123π5⎡⎤⎛⎫=-++-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦212π35=-++-8π5=-（2）()112230a a a -+=> ，21112227,a a a a --⎛⎫∴+=+-= ⎪⎝⎭()2221247,a a a a --+=+-=12229.249a a a a --++∴=++16.设全集U =R ，集合{}{}02,123A x x B x a x a =<≤=-<<+.（1）若2a =时，求(),U A B A B ⋃⋂ð；（2）若A B B = ，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{}07A B x x ⋃=<<，(){}01U A B x x ⋂=<≤ð（2）(],4-∞-【解析】【分析】（1）得到集合B 后，结合并集定义即可得A B ，结合交集与补集定义即可得()U A B ⋂ð；（2）由A B B = 可得B A ⊆，分B =∅及B ≠∅计算即可得解.【小问1详解】当2a =时，{}17B x x =<<，则{}07A B x x ⋃=<<，{1U B x x =≤ð或}7x ≥，故(){}01U A B x x ⋂=<≤ð；【小问2详解】因为A B B = ，所以B A ⊆，若B =∅，则231a a +≤-，即4a ≤-，若B ≠∅，则232410a a a +≤⎧⎪>-⎨⎪-≥⎩，无解；综上，当A B B = 时，a 的取值范围是(,4ù-¥-û.17.已知函数2()()2f x x a b x a =-++.（1）若关于x 的不等式()0f x <的解集为{|12}x x <<，求,a b 的值；（2）当2b =时，（i ）若函数()f x 在[2,1]-上为单调递增函数，求实数a 的取值范围；（ii ）解关于x 的不等式()0f x >.【答案】（1）12a b =⎧⎨=⎩（2）（i ）6a ≤-；（ii ）答案见解析【解析】【分析】(1)根据一元二次不等式解集与一元二次方程根的关系，借助韦达定理列式计算即得.(2)把2b =代入，利用二次函数的单调性列出不等式即可得解；分类讨论解一元二次不等式即可作答.【小问1详解】依题意，关于x 的方程2()20x a b x a -++=的两个根为1和2，于是得322a b a +=⎧⎨=⎩，解得12a b =⎧⎨=⎩，所以12a b =⎧⎨=⎩.【小问2详解】当2b =时，2()(2)2f x x a x a =-++，（i ）函数()f x 的对称轴为22a x +=，因函数()f x 在[2,1]-上为单调递增函数，则222a +≤-，解得6a ≤-，所以实数a 的取值范围是6a ≤-；（ii ）不等式为2(2)20x a x a -++>，即()(2)0x a x -->，当2a <时，解得x a <或2x >，当2a =时，解得2x ≠，当2a >时，解得2x <或x a >，综上可知，当2a <时，不等式的解集为(,)(2,)a -∞⋃+∞，当2a =时，不等式的解集为(2)(2,)-∞⋃+∞，，当2a >时，不等式的解集为(2)(,)a -∞⋃+∞，.18.在园林博览会上，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放市场，已知该种设备年固定研发成本为50万元，每生产一台需另投入90元，设该公司一年内生产该设备x 万台且全部售完，每万台的销售收入()G x （万元）与年产量x （万台）满足如下关系式：()()180,0202000800070,201x x G x x x x x -<≤⎧⎪=⎨+->⎪-⎩.（1）写出年利润()W x （万元）关于年产量x （万台）的函数解析式（利润=销售收入-成本）（2）当年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大，并求出最大利润．【答案】（1）()()25090,0208000201950,201x x x W x x x x ⎧-+-<≤⎪=⎨-+->⎪-⎩（2）20，1350【解析】【分析】（1）由利润等于销售收入减去投入成本和固定成本可得解析式；（2）分别求出分段函数每一段的最大值后比较可得结论.【小问1详解】因为()()180,0202000800070,201x x G x x x x x -<≤⎧⎪=⎨+->⎪-⎩，所以()()()25090,02050908000201950,201x x x W x G x x x x x x ⎧-+-<≤⎪=--=⎨-+->⎪-⎩；【小问2详解】当020x <≤时，()()225090451975W x x x x =-+-=--+，由函数性质可知当45x ≤时单调递增，所以当20x =时，()max 1350W x =，当20x >时，()()()8000400201950201193011W x x x x x ⎡⎤=-+-=--++⎢⎥--⎣⎦，由不等式性质可知()()4002011930202193011301W x x x ⎡⎤=--++≤-⨯⨯=⎢⎥-⎣⎦，当且仅当40011x x -=-，即21x =时，等号成立，所以()max 1130W x =，综上当20x =时，()max 1350W x =.19.已知函数()()2210g x ax ax b a =-++>在区间[]2,3上有最大值4和最小值1．设()()g x f x x =．（1）求,a b 的值;（2）若不等式()220x x f k -⋅≥在[]1,1x ∈-上有解,求实数k 的取值范围;（3）若()2213021x x f k k -+⋅-=-有三个不同的实数解,求实数k 的取值范围．【答案】（1）1,0a b ==（2）(],1-∞（3）()0,∞+【解析】【分析】(1)根据()g x 的函数性质,即可判断()g x 在[]2,3上单调性,即有()()21,34g g ==,解出,a b 即可;(2)根据(1)中结论,代入题中,先对式子全分离,再用换元求出其最值即可得出结果;(3)将(1)中结论,代入题中式子,令()21xh x t =-=,根据图像变换画出函数图象,根据()()2213221210x x k k --+⋅-++=有三个不同的根及()h x 图象性质可知,只需()()232210t k t k -+++=有两个不同的实数解1t 、2t ,且有101t <<,21t >,或101t <<,21t =成立即可,根据二次函数根的分布问题,分别列出不等式解出即可.【小问1详解】解:由题知()()211g x a x b a =-++-,因为0a >,所以()g x 为开口向上的抛物线,且有对称轴为1x =,所以()g x 在区间[]2,3上是单调增函数,则()()2134g g ⎧=⎪⎨=⎪⎩,即11414a b a a b a ++-=⎧⎨++-=⎩,解得1,0a b ==;【小问2详解】由(1)得()221g x x x =-+,则()12f x x x =+-,因为()220x x f k -⋅≥在[]1,1x ∈-上有解,即[]1,1x ∃∈-,使得12222x x x k +-≥⋅成立,因为20x >,所以有2111222x x k ⎛⎫+-⋅≥ ⎪⎝⎭成立,令12x t =,因为[]1,1x ∈-,所以1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,即1,22t ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦,使得221k t t ≤-+成立,只需()2max 21k t t ≤-+即可,记()()22211h t t t t =-+=-,因为1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,得()()max 21h t h ==,所以k 的取值范围是(],1-∞;【小问3详解】因为()2213021x x f k k -+⋅-=-有三个不同实数解,即()()2213221210x x k k --+⋅-++=有三个不同的根,令()21x h x t =-=,则()0,t ∈+∞,则()h x 图象是由2x y =图象先向下平移一个单位,再将x 轴下方图像翻折到x 轴上方,画出函数图象如下:根据图像可知,一个()h x 的函数值,最多对应两个x 值,要使()()2213221210x x k k --+⋅-++=有三个不同的根,则需()()232210t k t k -+++=有两个不同的实数解1t 、2t ,且有101t <<,21t >,或101t <<,21t =,记()()()23221m t t k t k =-+++,当101t <<,21t >时,只需()()021010m k m k ⎧=+>⎪⎨=-<⎪⎩,解得0k >,当101t <<,21t =,只需()()021********m k m k k ⎧⎪=+>⎪=-=⎨⎪+⎪<<⎩,解得不存在,故舍去,综上:实数k 的取值范围是()0,∞+.【点睛】方法点睛:本题考查函数与方程的综合问题,属于中难题,关于方程根的个数问题的思路有:(1)对方程进行整体换元;(2)根据换元的对象,由图像变换,画出其图象;(3)根据方程根的个数,分析函数值的取值范围及二次方程根的个数;(4)利用二次函数根的分布问题进行解决即可.。

浙江省9+1高中联盟2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷含答案

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2024学年第一学期浙江省9+1高中联盟高一年级期中考试数学（答案在最后）考生须知：1.本卷满分150分，考试时间120分钟；2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场、座位号及准考证号并核对条形码信息；3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效，考试结束后，只需上交答题卷；一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）1.已知集合{1,0,1,2,3},{2,3},{0,1}U A B =-==，则()U B A ⋂=ð（）A.{1,0,1}-B.{0,1}C.{0}D.{1}【答案】B 【解析】【分析】先计算补集{}1,0,1U A =-ð，再计算交集()U A B ⋂ð；【详解】{}(){}1,0,1,0,1U UA AB =-∴⋂= 痧,故选:B.2.命题“[)1,x ∃∈+∞，21x ≤”的否定形式为（）A.[)1,x ∀∈+∞，21x >B.(),1x ∀∈-∞，21x >C.[)1,x ∀∈+∞，21x ≤D.(),1x ∀∈-∞，21x ≤【答案】A 【解析】【分析】特称命题的否定：①∃⇒∀，②否定结论.【详解】命题“[)1,x ∃∈+∞，21x ≤”的否定形式为：“[)1,x ∀∈+∞，21x >”，故选：A.3.函数()f x =）A.[]1,3 B.1,12⎛⎫⎪⎝⎭C.1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D 【解析】【分析】由根式有意义可以列出不等式求解.【详解】依题意得10210x ⎧≥⎪⎨-≥⎪⎩，解得112x ≤≤，所以()f x 的定义域为1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦,故选：D.4.已知()f x 在R 上的奇函数，当0x >时，2()21f x x x =--，则((1))f f -=（）A.2B.2- C.1D.1-【答案】D 【解析】【分析】利用函数奇偶性，由内向外求值即可.【详解】由题意()()112f f -=-=，所以((1))(2)1f f f -==-.故选：D5.已知R a b c ∈,,，则a b c ==是222a b c ab bc ac ++=++成立的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义分析判断即可.【详解】当a b c ==时，222223,3a b c a ab bc ac a ++=++=，所以222a b c ab bc ac ++=++，当222a b c ab bc ac ++=++时，2220a b c ab bc ac ++---=，所以2222222220a b c ab bc ac ++---=，所以()()()2222222220a ab baac c b bc c -++-++-+=，所以()()()2220a b a c b c -+-+-=，因为()()()2220,0,0a b a c b c -≥-≥-≥，所以()()()2220a b a c b c -=-=-=，所以a b c ==，所以a b c ==是222a b c ab bc ac ++=++成立的充要条件，故选：C6.若函数()()2222422xx x x f x m --=+-++有且只有一个零点，则实数m 的值为（）A.3B.4C.5D.6【答案】D 【解析】【分析】根据偶函数的性质结合题意得()00f =即可求解.【详解】由题函数定义域为R ，关于原点对称，又由于()()()2222422,x x x x f x m f x ---=+-++=故()f x 为R 上的偶函数，由于()f x 只有一个零点，因此()00f =，故2420m -⨯+=，解得6m =，故选：D.7.当01a <<时，关于x 的不等式()()()3130x a x a ⎡⎤--+->⎣⎦的解集为（）A.33, 1a x x x a -⎧⎫><⎨⎬-⎩⎭∣或 B.331a x x a ⎧⎫-<<⎨⎬-⎩⎭C.33, 1a xx x a -⎧⎫<>⎨⎬-⎩⎭∣或 D.331a xx a ⎧⎫-<<⎨⎬-⎩⎭【答案】B 【解析】【分析】确定二次项的系数符号和两根的大小关系，直接写出解集即可.【详解】因为333323=111a a a aa a a ---+--=---，又因为01a <<，所以201a a ->-，所以3>31a a --，又因为10a -<，于是()()()3130x a x a ⎡⎤--+->⎣⎦等价于()3301a x x a -⎡⎤--<⎢⎥-⎣⎦，可得331a x a -<<-，所以()()()3130x a x a ⎡⎤--+->⎣⎦的解集为331a x x a ⎧⎫-<<⎨⎬-⎩⎭.故选：B8.已知()()2,12,1xa x x f x x a xb x ⎧+≤⎪=⎨--+>⎪⎩，存在实数(0a >且)1a ≠，对于R 上任意不相同的12,x x ，都有()()21211f x f x x x ->-，则实数b 的取值范围是（）A.()0,∞+ B.[)4,+∞ C.(]0,4 D.[]0,4【答案】A 【解析】【分析】先将问题转化为分段函数()()g x f x x =-的单调性问题，然后根据各段函数的单调性以及分段点处函数值大小关系得到,a b 的不等关系，再由题意可分析出b 的取值范围.【详解】对于R 上任意不相同的12,x x ，都有()()21211f x f x x x ->-，即对于R 上任意不相同的12,x x ，都有()()2211210f x x f x x x x ---⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦>-，所以()()g x f x x =-是R 上的增函数，且()()2,11,1xa x g x x a xb x ⎧≤⎪=⎨--+>⎪⎩，所以()1111211a a a a b>⎧⎪-⎪≤⎨⎪≤--+⎪⎩，所以1322a b a <≤⎧⎨≥-⎩，故由题意可知，存在(]1,3a ∈使得22b a ≥-，所以()min 22b a ≥-，且22a -最小值无限逼近0，所以0b >，故选：A.二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题列出的四个选项中，有多项符合题目要求；全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知0a b c >>>，则（）A.2a c b c +>+ B.ac bc >C.a ba cb c>++ D.cc a b <【答案】BC 【解析】【分析】对于A ，利用特殊值可以排除；对于B 、C ，根据给定条件,利用不等式的性质可以判断；对于D ，结合幂函数性质判断即可.【详解】对于A ，因为0a b c >>>，不妨取3,2,1a b c ===，则42a c b c +=+=，5，此时2a c b c +<+，故A 错误；对于B ，因为0a b c >>>，由不等式的可乘性得ac bc >，故B 正确；对于C ，由B 知ac bc >，所以()()0a b ac bca cbc a c b c --=>++++，即a b a c b c>++，故C 正确；对于D ，函数c y x =在()0,∞+上单调递增，则c c a b >，故D 错误.故选:BC10.已知函数()f x 的定义域为R ，满足：①对于任意的x ，y ∈R ，都有()()()f xy f x f y =，②存在1x ，2x ∈R ，使得()()12f x f x ≠，则（）A.()00f = B.()22f =C.当()11f -=-时，()f x 为奇函数 D.当()11f -=时，()f x 为偶函数【答案】ACD 【解析】【分析】通过赋值，函数奇偶性的概念逐个判断即可.【详解】对于A ：令0x y ==，可得：()()200f f=，解得：()00f =或()01f =，当()01f =时，令0y =，可得：()()()00f f x f =，得()1f x =，不满足存在1x ，2x ∈R ，使得()()12f x f x ≠，舍去，故()00f =；正确；对于B ：令()2f x x =，满足()()()()222f xy xy f x f y x y ===，且存在1x ，2x ∈R ，使得()()12f x f x ≠，此时()24f =，故错误；对于C ：令1y =-，可得：()()f x f x -=-，奇函数，正确；对于D ：令1y =-，可得：()()f x f x -=，偶函数，正确；故选：ACD11.给定数集A =R ，(],0B ∞=-，方程2210s t ++=①，则（）A.任给s A ∈，对应关系f 使方程①的解s 与t 对应，则()t f s =为函数B.任给t B ∈，对应关系g 使方程①的解t 与s 对应，则()s g t =为函数C.任给方程①的两组不同解()11,s t ，()22,s t ，其中1s ，2s B ∈，则11221221t s t s t s t s +>+D.存在方程①的两组不同解()11,s t ，()22,s t ，其中1s ，2s B ∈，使得1212(,)22s s t t ++也是方程①的解【答案】AC 【解析】【分析】根据函数的定义判断A,B 易得；对于C ，由题意得到211210s t ++=，222210s t ++=，化简整理得121212()()2()0s s s s t t +-+-=，根据12,(,0]s s ∈-∞推得1212()()0t t s s -->，展开即可判断；对于D ，运用反证法，假设1212(,22s s t t ++也是方程①的解，通过22121211,22s s t t ++=-=-，替代化简推出12s s =，得出矛盾即可.【详解】对于A ，由①可得，21122t s =--，对于任意的s A ∈，都有唯一确定的t 值与之对应，故()t f s =为函数，故A 正确；对于B ，由①可得221s t =--，因t B ∈，若取0t =，则21s =-，此时不存在实数s 与之对应，若考虑虚数解，会出现i s =±两个虚数与之对应，不符合函数的定义，故B 错误；对于C ，依题意，211210s t ++=，222210s t ++=，两式相减，整理得121212()()2()0s s s s t t +-+-=，因12s s ≠且12,(,0]s s ∈-∞，则有1212122()0t t s s s s -+=-<-，即得1212()()0t t s s -->，展开整理，即得11221221t s t s t s t s +>+，故C 正确；对于D ，由题意，12s s ≠，12,(,0]s s ∈-∞，假设1212(,22s s t t ++也是方程①的解，则有21212(2()1022s s t t++++=（*），因22121211,22s s t t ++=-=-，则22121212s s t t ++=--，代入（*）式，整理得：22121220s s s s +-=，即得12s s =，这与题意不符，故D 错误.故选：AC.【点睛】思路点睛：本题主要考查函数的定义、方程的解的应用，属于难题.对于判断两个变量是否构成函数，主要根据函数的定义，检测对于每一个自变量的取值，是否一定存在唯一的另一个值与之对应；对于方程的解，一般应从字母范围，解析式特点等方面考虑.三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.函数()11f x x =+，()1,x ∈+∞的值域是__________.【答案】10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】由函数在()1,+∞的单调性得到函数值域.【详解】由反比例函数的图像可知：函数()f x 区间()1,-+∞上单调递减，∵()()1,1,+∞⊆-+∞，∴()f x 区间()1,+∞上单调递减，∴()()112f x f <=，又∵10x +>，∴()0f x >，∴()10,2f x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故答案为：10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.13.已知实数x ，y 满足0x >，0y >，231xy x y =++，则xy 的最小值是__________.【答案】42+【解析】【分析】利用基本不等式将题设方程转化成不等式210-≥，求出即得xy 的最小值.【详解】由231xy x y =++，可得213xy x y -=+≥，当且仅当3x y =时取等号，即210-≥，设t =2210t t --≥，解得352t ≤或352t ≥，因0t =>，故得235(2xy ≥，即4152xy +≥，由3231x y xy x y =⎧⎨=++⎩解得3632x y ⎧+=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，即当36x =，32y +=时，xy取得最小值为42+.故答案为：42+.14.已知=，R x ∈，且()03f =，()()()0.520.51f n f n =+，*n ∈N ，请写出()f x 的一个解析式__________.【答案】134xy ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭（答案不唯一）【解析】【分析】根据()()()0.520.51f n f n =+可考虑指数型函数，再设()x f x a b =⋅分析求解即可.【详解】设()xf x a b =⋅，由()()()0.520.51f n f n =+可得()0.50.512n n a b a b+⋅=⋅，即0.512b=，故4b =，又()03f =，故043a ⋅=，则3a =，134xy ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭.故答案为：134xy ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.（1）求值：)1112141431620.75624--⎛⎫⎛⎫+-+⨯⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（2）设22xm=，且0m >，求33x xxxm m m m--++的值.【答案】（1）2-；（2）32【解析】【分析】（1）根据指数幂及其运算性质化简求值即可；（2）运用三次方公式化简，再根据分数指数幂的运算性质求解即可.【详解】（1）)11121414331620.75624--⎛⎫⎛⎫++⨯⨯ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()111124443272424-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭)1144432722344⎛⎫⎛⎫=-+⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭14432743234432⨯⎛⎫=+⨯=⨯= ⎪⨯⎝⎭.（2）因为22x m =，且0m >，所以()()3333xxxxx x x xm m mm m m m m ----++=++()()22xxxx x xx xm m mm m m m m ----+-⋅+=+.2222113112122x x x xm m m m -=-+=-+=-+=.16.已知集合{}2560A xx x =--≥∣，403x B x x ⎧⎫-=<⎨⎬+⎩⎭，{3}C x x a =-<.（1）求A B ；（2）若x B ∈是x C ∈的充分条件，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{4xx <∣或6}x ≥（2）{}6a a ≥【解析】【分析】（1）解二次不等式和分式不等式分别得到集合,A B ，再求并集；（2）解绝对值不等式得到集合C ，由充分条件得到包含关系，建立不等式，求得a 的取值范围.【小问1详解】因为{}2560{6A xx x x x =--≥=≥∣∣或1}x ≤-，40{34}3x B x x x x ⎧⎫-=<=-<<⎨⎬+⎩⎭∣，所以{4A B xx =< ∣或6}x ≥.【小问2详解】{3}{33}C x x a x a x a =-<=-+<<+∣若x B ∈是x C ∈的充分条件，则B C ⊆，所以3334a a -≤-⎧⎨+≥⎩，解得6a ≥，故a 的取值范围为{}6a a ≥.17.已知幂函数=经过点2,4（）.（1）求12f ⎛⎫⎪⎝⎭的值；（2）记()()g x f x x =-，若()g x 在[]1,a -上是不单调的，求实数a 的取值范围；（3）记()()h x f x x b =++，若ℎ与()()h h x 值域相同，求实数b 的最大值.【答案】（1）14（2）1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭（3）14-【解析】【分析】（1）待定系数法求函数解析式后计算求值；（2）根据二次函数的对称轴与定义域的关系列出不等式即可得解；（3）根据二次函数的性质，值域相同转化为1142b -≤-求解即可.【小问1详解】设幂函数为a y x =，42a ∴=，2a ∴=，2y x ∴=，∴当12x =时，21124y ⎛⎫== ⎪⎝⎭.【小问2详解】()()221124g x f x x x x x ⎛⎫=-=-=-- ⎪⎝⎭，因为()g x 在[]1,a -上是不单调的，所以12a >，所以a 的取值范围是1,2∞⎛⎫+⎪⎝⎭.【小问3详解】函数()22111,244h x x x b x b b ∞⎛⎫⎡⎫=++=++-∈-+ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭，令()t h x =，则()()()221124h h x h t t t b t b ⎛⎫==++=++- ⎪⎝⎭，1,4t b ∞⎡⎫∈-+⎪⎢⎣⎭，因为函数ℎ的值域和函数()()h h x 相同，可得1142b -≤-，解得14b ≤-，所以实数b 的最大值为14-.18.设矩形ABCD 的周长为20，其中AB AD >.如图所示，E 为CD 边上一动点，把四边形ABCE 沿AE 折叠，使得AB 与DC 交于点P .设DP x =，PE y =.（1）若3AD =，将y 表示成x 的函数=，并求定义域；（2）在（1）条件下，判断并证明=的单调性；（3）求ADP △面积的最大值.【答案】（1）29y x =+，200,7⎛⎤ ⎥⎝⎦（2）29y x =+200,7x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦上单调递增，证明见解析（3）752-.【解析】【分析】（1）通过几何关系确定AP EP =，利用R Rt ADP 的三边关系建立x ，y 的关系，再利用7x y +≤，进而确定x 的范围即可.（2）应用函数单调性的定义证明即可；（3）设AD m =，将面积表示为()5510m m S m ⨯⨯-=-，适当变形应用基本不等式求解最值即可.【小问1详解】解：根据题意，由3AD =，得7AB =，由已知PAE PEA ∠=∠，故AP EP y ==，又因为DP x=故在Rt ADP 中，则222AP AD DP =+，即229y x =+，整理得29y x =+又7x y +≤，则297x x ++≤297x x +≤-，2294914x x x+≤+-207x ≤，所以，定义域为200,7⎛⎤ ⎥⎝⎦.【小问2详解】解：因为y =200,7x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，任取1x ，2200,7x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦且12x x >，则12y y -+-=因为212007x x <<≤，所以120x x ->，120x x +>0>所以120y y ->，即y =200,7x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦上单调递增.【小问3详解】解：易知，当E 点位于C 点时，ADP △面积最大.此时再设AD m =，DP n =，那么10AP n m =--，由222AP AD DP =+得501010m n m-=-，()0,5m ∈，所以，ADP △的面积()55115010221010m m m S nm m m m⨯⨯--==⋅=--，令10m t -=，则()10510m t t =-<<，10m t -=-，故()5510m m S m⨯⨯-=-()()510510t tt⨯-⨯+-=5051551575t t ⎛⎫⎛⎫=-⨯+-≤-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当50t t=，即t =10m =-故当10AD =-ADP △的面积S 的最大值为75-.19.设A ，B 是非空实数集，如果对于集合A 中的任意两个实数x ，y ，按照某种确定的关系f ，在B 中都有唯一确定的数z 和它对应，那么就称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个二元函数，记作(),z f x y =，x ，y A Î，其中A 称为二元函数f 的定义域.（1）已知(),f x y =若()11,1f x y =，()22,2f x y =，12122x x y y +=，求()1212,f x x y y ++；（2）设二元函数f 的定义域为I ，如果存在实数M 满足：①x ∀，y I ∈，都有(),f x y M ≥，②0x ∃，0y I ∈，使得()00,f x y M =.那么，我们称M 是二元函数(),f x y 的下确界.若x ，()0,y ∈+∞，且111x y+=，判断函数()22,8f x y x y xy =+-是否存在下确界，若存在，求出此函数的下确界，若不存在，说明理由.（3）(),f x y 的定义域为R ，若0h ∃>，对于x ∀，y D ∈⊆R ，都有()(),,f x y f x h y h ≤++，则称f 在D 上是关于h 单调递增.已知()2,4ay f x y kx y =-+在[]1,2上是关于a 单调递增，求实数k 的取值范围.【答案】（1）()1212,3f x x y y ++=（2）答案见解析（3）1,5∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭.【解析】【分析】（1）由二元函数的定义求解即可；（2）根据基本不等式即二次函数的性质判断即可；（3）根据二元函数在定义域上单调递增的定义求解即可；【小问1详解】由()11,1f x y =可得，22111x y +=，由()22,2f x y =可得，22224x y +=，由()1212,f x x y y ++==又12122x x y y +=，所以()1212,3f x x y y ++=；【小问2详解】由111x y+=可得，x y xy +=，由xy xy +=可得，x y xy +=≥，所以4xy ≥，()()()()22222,8101052525f x y x y xy x y xy xy xy xy =+-=+-=-=--≥-，当且仅当5xy =，即52x +=，552y =或52x =，52y +=时取等号.【小问3详解】因为()2,4ay f x y kx y =-+在[]1,2上是关于a 单调递增，所以()(),,f x y f x a y a ≤++，即存在0a >，对于任意的x ，[]1,2y ∈，都有()()()2244a y a ay kx k x a y y a +-≤+-+++，化简可得()()22044y a y k y y a ++-≥+++，即()()2224044a y ay k y a y +-+≥⎡⎤⎡⎤+++⎣⎦⎣⎦，下面求函数()()()222444a y ay g y y a y +-=⎡⎤⎡⎤+++⎣⎦⎣⎦的最小值，设24y ay t +-=，[]3,2t a a ∈-，()()2222224464164644416a y ay at a a t t a y a y t t +-==++++⎡⎤⎡⎤+++++⎣⎦⎣⎦，所以函数()246416ah t a t t=+++在[]3,2a a -递增，()()()2min 233525a a h t h a a a -=-=++，即存在0a >，使得()2230525a a k a a -+≥++，设()22325a a a a a ϕ-=++，0a >，①当03a <≤时，()223025a a a a a ϕ-=≤++，②当3a >时，()()22251312525a a a a a a a a ϕ+-==-++++，设14u a =+>，221110,42545a u a a u u u+⎛⎫==∈ ⎪+++⎝⎭+，所以()()2230,125a a a a a ϕ-=∈++，综上，105k +≥，所以k 的取值范围是1,5⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭.【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的：遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决．。

江西省部分高中学校2024-2025学年高一上学期十一月联考数学试卷

江西省部分高中学校2024-2025学年高一上学期十一月联考数学试卷

江西省部分高中学校2024-2025学年高一上学期十一月联考数学试卷一、单选题1．已知集合{}{}92,3A x x B x x =->=∣∣ ，则A B = （）A ．[)3,7B ．()3,7C ．[)3,+∞D ．()7,+∞2．命题“小数都是无理数”的否定为（）A ．所有小数都不是无理数B ．有些小数是无理数C ．有些小数不是无理数D ．所有小数都是无理数3．若幂函数()f x 的图象经过点()2,8，则()4f -=（）A ．16B ．16-C ．64D ．64-4．若235,34a x x b x =++=+，则（）A ．a b <B ．a b >C ．a b=D ．,a b 的大小关系无法确定5．若关于x 的不等式21702x ax -+-≤恒成立，则a 的取值范围为（）A ．(B ．⎡⎣C ．(),∞∞-⋃+D ．(),-∞+∞6．若函数()f x 的部分图象如图所示，则()f x 的解析式可能为（）A ．()1xf x x =+B ．()211x f x x +=+C ．()211x f x x -=+D ．()231x f x x -=+7．已知函数112(0)f x x x x x ⎛⎫-=-> ⎪⎝⎭，则()f x =（）A BC D 8．已知函数()2,323,3ax x f x x ax x ≤-⎧=⎨-+->-⎩，若对任意12x x ≠，()()21210f x f x x x -<-恒成立，则a 的取值范围为（）A ．[)3,0-B ．(]0,3C ．[]4,3--D ．(]4,3--二、多选题9．下列各组函数中，两个函数为同一函数的是（）A ．()()333,355f x xg t t =-=-B ．()()32,x f x g x x x==C ．()()11,22f xg x x ==+D ．()()241,1f x xg x x =+=+10．已知集合{}{}2231,12320A xa x a B x x x =≤≤-=-+<∣∣，且A 是B 的真子集，则a 的值可以是（）A ．12B ．1C ．2D ．5211．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，()2f x +为偶函数，且()210f =，则（）A ．()410f =-B ．()f x 的图象关于直线2x =对称C ．()f x 的图象关于点()4,0中心对称D ．()20610f =-三、填空题12．函数()f x =的定义域为.13．已知225a b +=，则2241a b +的最小值为.14．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且()f x 在[)0,+∞上单调递减，则不等式()()31210f x f x ---<的解集为.四、解答题15．已知()f x 是定义在D 上的函数，对任意的x D ∈，存在常数0M >，使得()f x M ≤恒成立，则称()f x 是在D 上的限定值为M 的受限函数．(1)若函数()5f x x =+是在(,5]-∞上的限定值为M 的受限函数，求M 的取值范围；(2)若函数2()43g x x x =-+是在[1,]m 上的限定值为3的受限函数，求m 的最大值．16．已知函数()3f x x x=+.(1)判断()f x 在()2,+∞上的单调性，并用定义证明；(2)判断命题“R a ∀∈，()2244f a a ++≥”的真假，并说明理由.17．眼下正值金柚热销之时，某水果网店为促销金柚，提供了阶梯式购买方案，购买方案如下表：购买的金柚重量/kg 金柚单价/（元/kg ）不超过5kg 的部分10超过5kg 但不超过10kg 的部分9超过10kg 的部分8记顾客购买的金柚重量为kg x ，消费额为()f x 元．(1)求函数()f x 的解析式．(2)已知甲、乙两人商量在这家网店购买金柚，甲、乙计划购买的金柚重量分别为4kg ，8kg ．请你为他们设计一种购买方案，使得甲、乙两人的消费总额最少，并求出此时的消费总额．18．已知幂函数()()235m f x m m x +=--是奇函数，函数()()()2g x f x af x =-.(1)求m ；(2)若()g x 在[]1,5-上单调，求a 的取值范围；(3)求()g x 在[]1,3上的最小值为54a -，求a .19．已知0a b ≥>．(1)比较2232a b -与22a ab -的大小；(2)求22116a b +的最小值；(3)求221ab ab a b b++-的最小值．。

湖北鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2024-2025学年高一上学期起点考试数学试题(含解析)

湖北鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2024-2025学年高一上学期起点考试数学试题(含解析)

2024年秋季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校起点考试高一数学试题考试时间：2024年10月14日上午8：00—10：00 试卷满分：150分一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（ ）A.B.C.D.2.命题“”的否定为（ ）A. B.C. D.3.已知集合，则集合A 的所有非空子集的个数为（ ）A.5个B.6个C.7个D.8个4.下列各组函数表示相同函数的是（ ）A. B.C. D.5.设，则“”是“”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.已知，则正确的结论是（ ）A. B.C.D.与的大小不确定7.已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（）A. B.，或C. D.{1,0,1,2,3},{12}A B xx =-=-<≤∣A B ⋂={1,0}-{1,0,1}-{0,1}{0,1,2}2[1,3],320x x x ∀∈--+≤2000[1,3],320x x x ∃∈--+≥2[1,3],320x x x ∃∈--+>2[1,3],320x x x ∀∈--+≥2000[1,3],320x x x ∃∉--+≥86A x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭=∈∈-N N ()1,()|1|f x x g x x =+=+0()1,()f x g x x ==2()()f m g n ==32(),()1x xf xg x xx +==+x ∈R |32|3x -≤(2)0x x -≤1,c a b >==a b <a b>a b =a b x 20ax bx c ++>{23}xx <<∣x 20bx ax c ++<615x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭{1x x <-∣6}5x >213x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭213x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭，或8.若正实数满足，不等式有解，则的取值范围是（ ）A. B.C. D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.图中阴影部分用集合符号可以表示为（）A. B.C. D.10.若，且，则下列说法正确的是（ ）A.有最大值有最大值2C.有最小值5 D.11.下列命题正确的有（）A.若方程有两个根，一个大于1另一个小于1，则实数的取值范围为B.设，若且，则C.设，命题是命题的充分不必要条件D.若集合和至少有一个集合不是空集，则实数的取值范围是或三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数的定义域为，则函数的定义域为______.,x y 24x y +=212131m m x y +>++m 4,13⎛⎫-⎪⎝⎭4,(1,)3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭41,3⎛⎫- ⎪⎝⎭4(,1),3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭()U ()B A C ⋂⋃ðU (()())A B B C ⋂⋃⋂ð()()U A C B⋃⋂ð()()()()U UA BC B ⋂⋃⋂ðð0,0a b >>41a b +=ab 1161a a b +2216a b +2210ax x -+=a (0,1),a b ∈R 12a b -……24a b +……54210a b -……,a b ∈R :p a b >:||||q a a b b >{}{}2220,220,A xx x a B x x ax A =+-==++=∣∣B a a (1)a -…()y f x =[3,2]-(21)1f x y x +=+13.已知为二次函数，满足，则函数______.14.设集合，函数，已知，且，则的取值范围为______.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）已知集合.（1）若，求；（2）若，求实数的取值范围.16.（15分）设命题：对任意，不等式恒成立，命题：存在使得不等式成立.（1）若为真命题，求实数的取值范围；（2）若命题与命题一真一假，求实数的取值范围.17.（15分）已知关于的不等式.（1）若不等式的解集为或，求的值；（2）求关于的不等式的解集.18.（17分）某公司销售甲､乙两种产品，根据市场调查和预测，甲产品的利润（万元）与投资额（万元）成正比，其关系如图（1）所示；乙产品的利润（万元）与投资额（万元）的算术平方根成正比，其关系式如图（2）所示，（1）分别将甲､乙两种产品的利润表示为投资额的函数；（2）若该公司投资万元资金，并全部用于甲､乙两种产品的营销，问：怎样分配这万元投资，才能使公司获得最大利润？其最大利润为多少？19.（17分）设，其中，记.（1）若，求的值域；()f x 2()(1)2f x f x x ++=()f x =[0,1),[1,3]M N ==21,()63,x x Mf x x x N+∈⎧=⎨-∈⎩a M ∈(())f f a M ∈a {68},{123}A xx B x m x m =-<=++∣∣………1m =()A B ⋂R ðA B A ⋃=m p [0,1]x ∈2234x m m --…q [1,1]x ∈-2210x x m -+-…p m p q m x 31,1ax x a x +->∈-R {1xx <∣2}x >a x y x y x (0)a a >a 22()21,()41f x x tx g x x tx =-+=-++0t >()min{(),()}F x f x g x =1t =()F x（2）若，记函数对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围；（3）若，求实数的取值范围.2024年秋季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校起点考试高一数学参考答案0t >2()()1h x f x tx t =+-+1,x t t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦1,22m t t⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()h x m =t 13[0,3],()22x F x ∀∈-≤t一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】D【详解】因为，所以.故选：D.2.【答案】B【详解】由全称命题的否定为特称命题知：原命题的否定为：故选：B 3.【答案】C 【详解】由题设，，即8可被整除且，故集合A 的所有非空子集的个数为4.【答案】D【解答】解：与的对应关系不同，不是同一函数：定义域不同，不是同一函数：，而的定义域为，不是同一函数：与的定义域都为，对应关系相同，是同一函数.故途：D.5.【答案】D【解答】根据题意，不等式，则，即，解集为不等式，即，解集为，因为且，所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故选：D.6.【解新】方法一：特值法取特殊值，令，则易知，排除B ，C ，还不能排除D ，猜测选A.方法二：作差法，分析法{1,0,1,2,3),{12}A Bxx =-=-<≤∣{}0,1,2A B ⋂=2000[1,3],320x x x ∃∈--+>86x∈-N 6x -60,x x ->∈N {2,4,5},A ∴=3217-=()1f x x =+()1g x x =+0()1,()f x g x x ==()f m =R 2()g n =[0,)∞+32()1x xf x x +=+()g x x =R 323x -...3323x -- (15)33x -≤≤15,33⎤-⎥⎦()20x x -…02x ……[]0,2[]15,0,233-⊂[]150,2,33⎤⊄-⎥⎦324x -…()20x x -…2c =1a b ==-a b <要比较比较与的大小（遇到二次根式可考虑平方去掉恨号）比较的大小与的大小..，故.故选：A.方法三：有理化法，故选A.7.【答案】A【解答】因为不等式的解集为，所以2和3是方程的两个实数解，且；由根和系数的关系知，所以；所以不等式可化为，叫，解得，所求不等式的解集为故选：A.8.【答栥】B 【详解】由a b -=-=-,a b +⇔24c ⇔2c +4c ⇔c c <<a b <====1100.c c ∴+>->⇒>⇒>>1.c ∀><a b <20ax bx c ++>{23}xx <<∣20ax bx c ++=0a <2323b ac a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪⨯=⎪⎩5,6b a c a =-=20bx ax c ++<2560ax ax a -++<2560x x --<615x -<<615x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，仅当，即时等号成立.要使不等式有解，只需.所以.故选：B二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.【答案】AD【解答】解：图中阴影部分用集合符号可以表示为或.故选：AD.10.【答案】AC【解答】解：对于A ，，当且仅当且，当时取等号，不以有最大值故A 正确，对于B.因为.，当且仅当时取等号，，故B 错误对于C ，，当且仅当且叫且，即时取等号，所以有最小值5，故C 正确()()412112111421441616163y x x y x y x y x y ⎡⎡⎤+⎛⎫⎡⎤⎢+=+++=⨯++≥⨯+=⎢⎥ ⎪⎣⎦+++⎢⎝⎭⎣⎦⎣()411y x xy +=+13,2x y ==212131m m x y +>++()()221434341033m m m m m m +>⇒+-=+->()4,1,3m ∞∞⎛⎫∈--⋃+ ⎪⎝⎭()()U B A C ⋂⋃ð()()()()U UA B C B ⋂⋃⋂ðð211(4)1444416a b ab ab +=⨯≤⨯=4a b =41a b +=11,82b a ==ab 1,1624442a b a b a b +=++≤+++=+≤142a b ==+144115a a b a b a a b a b a b ++=+=++≥+=4b a a b =41,a b +=2a b =41a b +=11,36a b ==1aa b+对于D.因为.所以，所以，当且仅当且，即时取等号，所以有最小值，故错误.故选：AC 11.【答案】ABD 【解答】选项A ：函数有两个两点，，而且一个大于1另一个小于1.则或，解得.实数的取值范围为，故A 正确；选项B ：令，则.由解得所以.因为，所以，则.故B 正确；选项C ：若既有；若显然有；若，则，而，所以，故可以推出若，当时，如果，不等式显然成立，此时有如果，则有，因而当时，，此时有.因而，敬可以推出，综合知是的充要条件221624a b ab +⨯…()222222161624(4)a b a b ab a b +++⨯=+ (22)2(4)11622a b a b ++≥=4a b =41a b +=11,82b a ==2216a b +12D ()()221f x x x x α=-+∈R 0a ∴≠()01210a f a >⎧⎨=-+<⎩()01210a f a <⎧⎨=-+>⎩01a <<∴a ()0,1,a b u a b v +=-=24,12u v …………a b u a b v +=⎧⎨-=⎩22u v a u v b +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩424222322u v u v a b u v u v u v +--=⋅-⋅=+-+=+24,336u v ............5310u v +......54210a b - (22)0,a b a b >≥>a a b b >0,a b ≥>0a a b b >>0a b >>22a b <22,a a a b b b =-=-a a b b >a b >||||a ab b >a a b b >0b <0a ≥1a b >0a <22a b ->-1a b >0b ≥0a >22a b >a b >a a b b >a b >p q故C 不正确；选项D ：假设两个方程无实根（即均是空集），则有.所以当或时，两个方程至少有一个方程有实根，即两个集合至少有一个不是空集.故填或，故D 正确三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.【答案】【详解】由题意得：，解得：，由，解得：，故函数的定义域是.13.【答案】【解答】解：设，满足，所以，解得则函数.14.【答案】【解答】解：因为.所以，则，由，可得，解得.,A B 1221Δ440Δ480a a a a ⎧<-⎧=+<⎪⎪⇒⎨⎨=-<<<⎪⎪⎩⎩1a <<-a ≤1a -…a ≤1a ≥-[)12,11,2⎛⎤--⋃- ⎥⎝⎦3212x -≤+≤122x -≤≤10+≠x 1≠-x [)12,11,2⎛⎤--⋃- ⎥⎝⎦()2f x x x=-()2f x ax bx c =++()()212f x f x x ++=()()()2221(1)12f x f x ax bx c a x b x c x ++=+++++++=2212201200a a ab b a bc c ⎧==⎧⎪⎪+=⇒=-⎨⎨⎪⎪++==⎩⎩()2f x x x =-11,32⎛⎤ ⎥⎝⎦a M ∈()[)211,3f a a =+∈()()()632136f f a a a =-+=-()()ff a M ∈0361a -< (1132)a <≤故答案为：.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）【解答】解：（1）时，，则或，则或（2），等价于，当，则，船得，符合题意当.则，解得.综上，实数的取值范围为16.（15分）【解析】（1）因为为真命题，所以对任意不等式恒成立，所以其中，所以，解得，有以的取值范围，（2）若为真命题，即存在.使得不等式成立，则，其中，1]，而，所以，故：因为一真一假.所以为真命题，为假命题或为假命题，为真命题，若为真命题，为假命题，则，所以；若为假命题，为真命题.则或，所以.综上，或，所以的取值范围为.17.（15分）【解答】解：（1）不等式可化为，原不等式的解集为或.故；11,32⎛⎤ ⎥⎝⎦1m ={25}B xx =<∣…{2R B x x =<∣ð5}x >(){62A A B xx ⋂=-<<∣ð58}x <…A B A ⋃=B A ⊆B =∅123m m +>+2m <-B ≠∅12316238m m m m +≤+⎧⎪+>-⎨⎪+≤⎩522m -≤≤m 5,2∞⎛⎤- ⎥⎝⎦p [0,1],x ∈2234x m m -- (2)min (23)4x m m -≥-[]0,1x ∈234m m --…13m ……m []1,3q []1,1x ∈-2210x x m -+-…()2min210x x m -+-…[1x ∈-()2min212x x m m -+-=-+20m -+…2m ….p q p q p q p q 132m m ≤≤⎧⎨>⎩23m <≤p q 12m m <⎧⎨≤⎩32m m >⎧⎨≤⎩1m <1m <23m <…m ()(],12,3∞-⋃ 311ax x x +->-()()210ax x -->{1xx <∣2}x >1a =（2）①当时，不等式为，解得：②当时，方程的两根分别为，（i ）当时，，故不等式的解为：（ii ）当时，若，即时，不等式的解为或.若，即时，不等式的解为；考，即时，不等式得解为或.综上可知，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为当时，不等式的解集为或；当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为或.18.（17分）【解答】解：（1）由题知，甲产品的利润函数为乙产品的利润函数为.由题知，函数经过d 点，有，所以.函数经过点，有由，所以.（2）设乙产品的投资金额为万元，则甲产的投资金额为万元.所获得总利润为万元，则，0a =220x -+>1x <0a ≠()2220ax a x -++=21,a0a <21a <21x a<<0a >21a >02a <<1x <2x a >21a=2a =1x ≠21a <2a >2x a <1x >0a <21x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭0a ={}|1x x <02a <<{1xx <∣2}x a >2a ={}1x x ≠∣2a >{1xx >∣2}x a <()(0)f x kx x =…())0g x x =>()f x ()1.8,0.4510.45 1.8,4k k ==()()104f x x x =…()g x ()9,3.75 3.75=54k =())0g x x =…(0)x x a <…()a x -y ()1,(0)4y a x x a =+-<…令，则，函数图象开口问上，对称轴为，所以当时，函数在上单调递增，当，即时，.时，函数在上递增，在上递减，当，即时，有最大值.综上得：时，乙产品投资万元，甲产品投资万元，该公司可获得最大利润，最大利润为万元.时，乙产品投资万元：时，乙产品投资万元，印产品投资万元，该公司可获得最大利润，最大利润为万元19.【解答】（1），即作图可知，函数的最大值为值域为.（2）由题意，只需在上的值域为的子集即可，因为，所以，对称轴为，由得，t =2x t =()2251151.44444y t a t t t a =+-=-++5541224t =-=-⨯502<⎡⎣t =x a =y 52>50,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦52⎛ ⎝52t =254x =y 42516a +52>254254a ⎛⎫- ⎪⎝⎭42516a +52a 52>254254a ⎛⎫- ⎪⎝⎭42516a +()()2221,41f x x x g x x x =-+=-++ ()()()22623,f xg x x x x x ∴-=-=-()()(),03,,3,f x x F x g x x ⎧≤≤⎪∴=⎨>⎪⎩()[]()()2221,0,3,41,,03,.x x x F x x x x ∞∞⎧-+∈⎪=⎨-++∈-⋃+⎪⎩()F x ()()3 4.F F x =(],4∞-()h x 1,x t t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦1,22t t⎡⎤⎢⎥⎣⎦0t >()2222324t h x x tx t x t ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭2t x =1,x t t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦1t >①当，即在的图象可知，，由题意得由（时取等号.放第一个式子成立，由第二个式子得故此时②当，即时，在递减，在上递增.此时最小值为，最大值为，所以，综上，所求的范围为.（3）.①当时，无解，②当时，解得.12t t ≤1t <≤()h x 1,t t ⎡⎤⎢⎥⎣⎦2221()1,h x r t t ⎡⎤∈+-⎢⎥⎣⎦22211122t t t t t⎧≤+-⎪⎨⎪≥⎩221111t t +-≥=1t =02t <…1t <≤12t t >1>()h x 1,2t t ⎡⎫⎪⎢⎣⎭,2t t ⎡⎤⎢⎥⎣⎦2324t t h ⎛⎫= ⎪⎝⎭2()h t t =2231422t t t t ⎧≥⎪⎨⎪≤⎩2t ≤≤2t <≤t (1,2]()()131222F x F x -≤⇔-≤≤()()()22623,f xg x x tx x x t -=-=- ∴01t <≤()()[]()(]()()()1,,0,3,32,,3,3.31,f t f x x t F x f t g x x t g ⎧⎧≥-∈⎪⎪=∴≤⎨⎨∈⎪⎪≥-⎩⎩13t <<()()[]()()1,,0,3,32,f t F x f x x f ⎧≥-⎪=∈∴⎨≤⎪⎩43t ≤≤③当时，，解得，舍去.综上，3t ≥()()[](),0,3,31F x f x x f =∈∴≥-116t ≤413≤≤。

河北省保定市部分高中2024-2025学年高一(1+3)上学期11月期中考试数学试题含答案

河北省保定市部分高中2024-2025学年高一(1+3)上学期11月期中考试数学试题含答案

高一1+3期中考试数学试卷（答案在最后）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4．本试卷主要考试内容：人教A 版必修第一册第五章至必修第二册第六章前三节.一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.已知向量()2,5OA =--，()6,3OB =-，()1,2OC m m =-，若AB O C∥，则实数m 的值为（）A.2B.12C.2- D.12-【答案】B 【解析】【分析】由平面向量共线的坐标表示，代入计算，即可得到结果.【详解】由题意可得，()4,8AB OB OA =-=- ，且()1,2OC m m =-，由AB O C ∥可得4812m m -=-，解得12m =.故选：B2.若cos 4t =，则tan 4=（）A.1t t- B.1t tC. D.【答案】A 【解析】【分析】3π4π,2⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，利用同角三角函数关系得到正弦和正切值.【详解】3π4π,2⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故sin 40<，则sin 4=，故sin 4tan 4cos 4t==-.故选：A3.已知角θ的终边经过点3,−4，将角θ的终边顺时针旋转π4后得到角β，则tan β=（）A.17-B.7C.17D.7-【答案】B 【解析】【分析】根据任意角的三角函数定义及两角差的正切公式计算即可.【详解】角θ的终边经过点3,−4，则4tan 3θ-=将角θ的终边顺时针旋转π4后得到角β，则41πtan 13tan tan 7441tan 13θβθθ---⎛⎫=-=== ⎪+⎝⎭-.故选：B.4.水滴是刘慈欣的科幻小说《三体Ⅱ·黑暗森林》中提到的由三体文明使用强互作用力（SIM ）材料所制成的宇宙探测器，因为其外形与水滴相似，所以被人类称为水滴．如图所示，水滴是由线段AB ，AC 和圆的优弧BC 围成，其中AB ，AC 恰好与圆弧相切.若圆弧所在圆的半径为2，点A到圆弧所在圆圆心的距离为4，则该封闭图形的面积为（）A.8π3+B.4π3+C.8π3D.4π3+【答案】C 【解析】【分析】作出辅助线，得到2π3BDC ∠=，AB AC ==，利用扇形面积公式和三角形面积公式得到答案.【详解】取优弧BC 所在圆的圆心D ，连接AD ，,BD CD ，则BD ⊥AB ，CD ⊥AC ，则4,2AD BD CD ===，所以π6BAD CAD ∠=∠=，则2π3BDC ∠=，AB AC ===，故优弧BC 对应的圆心角为4π3，对应的扇形面积为2148π2π233⨯⨯=，而122ABD ACD S S ==⨯= ，所以该封闭图形的面积为88ππ33ABD ACD S S ++=+故选：C5.已知π5sin cos 62αα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则()πcos sin 3π23π5πcos sin 22αααα⎛⎫+- ⎪⎝⎭=⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（）A.B.-C.36-D.【答案】D 【解析】【分析】利用诱导公式化简再结合所给条件求解出代数式值即可.【详解】()πcos sin 3πsin sin 2tan 3π5πsin cos cos sin 22ααααααααα⎛⎫+- ⎪-⋅⎝⎭==-⋅⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再由π5sin cos 62αα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，可知15sin cos cos 222ααα-=，即sin 3cos 2αα=，则tan α=.故选：D.6.若直线π3x =-是函数()cos sin f x x b x =-图象的一条对称轴，则（）A.函数()f x 的周期为πB.函数()f x 在ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的值域为,22⎡-⎢⎣⎦C.函数()f x 在3ππ,2⎛⎫⎪⎝⎭单调递增D.将函数()f x 图象上的每一个点的纵坐标变为原来的12倍，再将所得到的图象向左平移π6个单位长度，可以得到sin y x =的图象【答案】C 【解析】【分析】由已知，得()π2cos 3f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，求出周期，判断A ；求出()f x 在ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的值域，判断B ；求出()f x 的单调递增区间，判断C ；由三角函数图象的伸缩变换得到变换后的函数解析式，即可判断D.【详解】因为直线π3x =-是函数()cos sin f x x b x =-图象的一条对称轴，所以()2π03f f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即1122b =-+，解得b =所以()πcos 2cos 3f x x x x ⎛⎫=-=+⎪⎝⎭，则其周期为2π，故A 错误；当ππ,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，ππ5π,366x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，则πcos ,132x ⎡⎤⎛⎫+∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，所以π2cos 23x ⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎣⎦⎝⎭，即函数()f x 在ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的值域为2⎡⎤⎣⎦，故B 错误；由[]()ππ+2π,2π3x k k k +∈-∈Z ，则()4ππ+2π,+2π33x k k k ⎡⎤∈--∈⎢⎥⎣⎦Z ，则函数()π2cos 3f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的单调递增区间为()4ππ+2π,+2π33k k k ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦Z ，因为()3π4πππ,+2π,+2π233k k k ⎛⎫⎡⎤⊆--∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦Z ，所以函数()f x 在3ππ,2⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，故C 正确；将函数()π2cos 3f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭图象上的每一个点的纵坐标变为原来的12倍，再将所得到的图象向左平移π6个单位长度，则得到1πππ2cos cos sin 2632y x x x ⎛⎫⎛⎫=⨯++=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象，故D 错误.故选：C.7.已知ABC V 外接圆圆心为O ，G 为ABC V 所在平面内一点，且0GA GB GC ++=．若72AB AC AO += ，则sin BOG ∠=（）A.72 B.378C.4D.78【答案】C 【解析】【分析】作出辅助线，得到23AG AD = ，47AO AD =，所以,,,A O G D 四点共线，由三线合一知，OD ⊥BC ，所以AB AC =，不妨设7AD =，求出各边长，所以3cos 4BOG ∠=，由同角三角函数关系得到答案.【详解】取BC 的中点D ，连接AD ，则2AB AC AD +=，00GA GB GC GA GA AB GA AC ++=⇒++++= ，故()13GA AB AC =-+，3AB AC AG += ，则23AG AD = ，而72AB AC AO += ，所以()264777AO AB AC AG AD =+==，所以,,,A O G D 四点共线，又O 为ABC V 外接圆圆心，连接,OB OC ，则OB OC OA ==，由三线合一知，OD ⊥BC ，所以AB AC =，不妨设7AD =，则4,3AO BO OD ===，所以3cos cos 4OD BOG BOD OB ∠=∠==，故4s 7in BOG ∠==故选：C8.已知0ω>，π2ϕ<，函数()()2sin 1f x x ωϕ=++的图象如图所示，A ，C ，D 是()f x 的图象与1y =相邻的三个交点，与x 轴交于相邻的两个交点O ，B ，若在区间(),a b 上，()f x 有2027个零点，则b a -的最大值为（）A.1014πB.3040π3C.2022πD.3038π3【答案】A 【解析】【分析】根据函数图象得到π6ϕ=-和2ω=，得到函数解析式，得到相邻两个零点的距离有两种，可能为π2π,33，数形结合得到当b a -为1014个2π3和1014个π3时，b a -取得最大值，得到答案.【详解】将原点坐标代入得1sin 2ϕ=-，又π2ϕ<，所以π6ϕ=-，故()π2sin 16f x x ω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，OB 的中点横坐标为π0π326-+=-，故1ππ66sin ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭--，又对应的点为y 轴左侧第一个最低点，所以πππ662ω--=-，解得ππ63ω=，解得2ω=，所以()π2sin 216f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，令()0f x =得π1sin 262x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则ππ2π,Z 662k x k -=-+∈或11Z 2π7π2π,66k k x -=+∈，解得π,Z x k k =∈或112ππ,Z 3k x k =+∈，所以相邻两个零点的距离有两种，可能为π2π,33，在(),a b 上，()f x 有2027个零点，要求b a -的最大值，则当b a -为1014个2π3和1014个π3时，b a -取得最大值，故最大值为π21ππ3101401134401⨯+=⨯.故选：A二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）9.有下列四个命题，其中说法正确的是（）A.点()1,1M -，()3,2N -，与向量MN 方向相反的单位向量为43,55⎛⎫- ⎪⎝⎭B.若sin tan 0αα⋅>且cos tan 0αα⋅<，则角2α为第二或第四象限角C.若向量()2,1a =- ，()6,2b = ，则向量b 在向量a上的投影向量为2a- D.20a b a b a +=-=≠ ，则a b + 与a b - 的夹角为60°【答案】BC 【解析】【分析】对于A 选项，考单位向量，向量MN方向相反的单位向量为MN MN-；对于B 选项，先找出α为第四象限角，从而得到角2α为第二或第四象限角；对于C 选项，向量b 在向量a上的投影向量为cos a a b a b a aaθ⋅⋅=⋅；对于D 选项，由平行四边法则，作图求解即可.【详解】对于A ，()4,3,5MN MN =-= ，与向量MN方向相反的单位向量为43,55MN MN ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，故A 选项错误;对于B ，sin sin 0cos 0cos sin sin 0cos 0cos αααααααα⎧⋅>⎪>⎧⎪⇒⎨⎨<⎩⎪⋅<⎪⎩，故α为第四象限角，π2π2π,Z 2k k k α-+<<∈，πππ,42k k α-+<<故角2α为第二或第四象限角，故B 选项正确；对于C,向量b 在向量a上的投影向量为cos 2a a b a b a a aaθ⋅⋅=⋅=-，故C 选项正确；对于D ，如图，由平行四边形法则，20a b a b a +=-=≠，故a b ⊥且30ACO ︒∠=，60AOC ︒∠=,作//OE BA ,OE BA = ,故COE ∠即为a b + 与a b - 的夹角，且OCE △为等腰三角形，故120COE ︒∠=，故选项D 错误；故选：BC.10.已知π04βα<<<，且()3sin 10αβ-=，tan 4tan αβ=，则（）A.3sin cos 5αβ= B.1sin cos 10βα=C.4sin 2sin 225αβ=D.π6αβ+=【答案】BCD 【解析】【分析】根据两角差的正弦公式以及商数关系求解出sin cos ,sin cos αββα的值，可判断AB 选项；根据二倍角的正弦公式可求解出sin 2sin 2αβ的值，由此可判断C 选项；逆用两角和的正弦公式求解出()sin αβ+的值，结合角的范围可求αβ+的值，由此可判断D 选项.【详解】因为()3sin 10tan 4tan αβαβ⎧-=⎪⎨⎪=⎩，所以3sin cos sin cos 10sin 4sin cos cos αββααβαβ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以3sin cos sin cos 10sin cos 4sin cos αββααββα⎧-=⎪⎨⎪=⎩，解得2sin cos 51sin cos 10αββα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故A 错误，B 正确；又因为()()()()214sin 2sin 22sin cos 2sin cos 4sin cos sin cos 451025αβααββαββα===⨯⨯=，故C 正确；因为()211sin cos sin cos sin 5102αββααβ+=+=+=，且π04βα<<<，所以()π0,2αβ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以π6αβ+=，故D 正确；故选：BCD.11.已知点O 是ABC V 内的一点，则以下说法正确的有（）A.若230OA OB OC ++=，ABC S ，BOC S 分别表示ABC V ，BOC 的面积，则:3:1ABC BOC S S =△△B.若()sin sin AB AC AO AB B AC C λλ⎛⎫ ⎪=+∈ ⎪⎝⎭R ，则动点O 的轨迹一定通过ABC V 的重心C.若0AB CA BA CB BC CA OA OB OC AB CA BA CBBC CA⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⋅+=⋅+=⋅= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则点O 是ABC V 的垂心D.若E ，F ，G 分别为AB ，BC ，AC 的中点，且2AC BG ==，0PA PC ⋅= ，则PE PF ⋅的最大值为154【答案】ABD 【解析】【分析】A 选项，作出辅助线，得到2OH OF -=，从而得到所以13OF AB =，即可判断；B 选项，作出辅助线，得到2AO AF AE λ=，故点O 在中线AF 上，故向量一定经过ABC V 的重心；C 选项，作出辅助线，得到AB CA MN AB CA +=，故OA ⊥MN ，并得到O 在A ∠的平分线上，同理可得，O 在,B C ∠∠的平分线上.D 根据0PA PC ⋅=得到点P 的轨迹，将,PE PF 转化为11,22BO GA BO GA +-uu u r uu r uu u r uu r ，然后求数量积，根据点P 的轨迹求最值.【详解】对于A ：如图，,F H 分别为,BC AC 的中点，()23020OA OB OC OA OC OB OC ++=⇒+++= ，则420OH OF += ，故2OH OF -= ，所以2133OF HF AB ==，故:1:3BOC ABC S S = ，A正确；对于B ：过点A 作AE ⊥BC 于点E ，取BC 的中点F ，连接AF ，则sin AB B AE = ，sin AC C AE =，则()2sin sin AB AC AB AC AO AB AC AF AB B AC C AE AEAE AE λλλλ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=+==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故点O 在中线AF 上，故向量一定经过ABC V 的重心，B 正确；对于C ：,AB CA AB CA分别表示,AB CA 方向上的单位向量,AN MA，故AB CA AN MA MN AB CA+=+=，0AB CA OA OA MN AB CA ⎛⎫ ⎪⋅+=⋅= ⎪⎝⎭，故OA ⊥MN ，由三线合一可得，O 在A ∠的平分线上，同理可得，O 在,B C ∠∠的平分线上，则点O 是ABC V 的内心，C 错误.D 选项，设BG 中点为O，因为0PA PC ⋅=，所以点P 的轨迹为以AC 为直径的圆，结合上图，()()PE PF BE BP BF BP⋅=-⋅-1122BA BP BC BP ⎛⎫⎛⎫=-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11112222BG GA BP BG GA BP ⎛⎫⎛⎫=+-⋅-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1122BO GA BP BO GA BP ⎛⎫⎛⎫=+-⋅-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1122PO GA PO GA ⎛⎫⎛⎫=+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2214PO GA =- 214PO =- ，当PO 为直径时PE PF ⋅ 最大，最大为154，故D 正确.故选：ABD【点睛】结论点睛：O 为ABC V 所在平面内的点，且0OA OB OC ++=，则点O 为ABC V 的重心，点O 为ABC V 所在平面内的点，且OA OB OB OC OA OC ⋅=⋅=⋅，则点O 为ABC V 的垂心，点O 为ABC V 所在平面内的点，且OA OB OC ==，则点O 为ABC V 的外心，点O 为ABC V 所在平面内的点，且0aOA bOB cOC ++=，则点O 为ABC V 的内心，三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡中的横线上．）12.已知α，β都为锐角，5cos 13α=，()3sin 5αβ-=，则cos β=______．【答案】5665【解析】【分析】根据题意，由同角三角函数的平方关系分别得到sin α，()cos αβ-，再由()cos cos βααβ=--⎡⎤⎣⎦，结合和差角公式代入计算，即可得到结果.【详解】因为α，β都为锐角，所以ππ22αβ-<-<，由5cos 13α=可得12sin 13α==，由()3sin 5αβ-=可得()4cos 5αβ-==，所以()()()cos cos cos cos sin sin βααβααβααβ=--=-+-⎡⎤⎣⎦541235613513565=⨯+⨯=.故答案为：566513.在ABC V 中，2AB =，3AC =，60BAC ∠=︒，BM BC λ= ，2CN NA =，若6AM BN ⋅=- ，则实数λ的值为______．【答案】1-【解析】【分析】用AB 、AC作为一组基地表示出AM 、BN ，再由数量积的运算律计算可得.【详解】因为BM BC λ=，所以()()1AM AB BM AB BC AB AC AB AB AC λλλλ=+=+=+-=-+ ，又2CN NA =，所以13AN AC = ，则13BN AN AB AC AB =-=- ，又2AB =，3AC =，60BAC ∠=︒，所以12332AC AB ⋅=⨯⨯= ，所以()113AM BN AB AC AC AB λλ⎛⎫⎡⎤⋅=-+⋅- ⎪⎣⎦⎝⎭ ()()22111133AB AC AB AC AC ABλλλλ=--+-⋅+-⋅()()2114113333333λλλλλ=--+-⨯+⨯-=-，又6AM BN ⋅=-，即336λ-=-，解得1λ=-.故答案为：1-14.如图，圆O 与x 轴的正半轴的交点为A ，点C ，B 在圆O 上，且点C 位于第一象限，点B 的坐标为34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭，AOC α∠=．若1BC =2sin cos 2222ααα--的值为______．【答案】45##0.8【解析】【分析】根据三角函数的定义可得43sin ,cos 55ββ=-=，进而由图可得π3αβ=+，利用二倍角公式即可化简求解45【详解】由于B 的坐标为34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭，故2234155⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 在单位圆上，设OB 终边所对角为π,,02ββ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，由于1BC =，故π3BOC ∠=,43sin ,cos 55ββ=-=，所以π3αβ-=，故π3αβ=+，221sin cos 2cos 12sin cos 222222222αααααα⎛⎫--=--⨯ ⎪⎝⎭31ππππ4cos sin cos cos cos sin 2263625αααβββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=+=+=+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故答案为：45四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15.已知向量()2cos ,1a θ=，()2sin ,1b θ=- ，其中π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．（1）若a b ⊥，求角θ的大小；（2）若2a b b -=，求tan θ的值．【答案】（1）π12θ=或5π12θ=（2）1tan 3θ=【解析】【分析】（1）由a b ⊥ ，得0a b ⋅=，利用向量垂直坐标运算列式，进而解出θ的值即可；（2）由题意解出24cos θ-2sinθcosθ3=，进而弦化切得出23tan θ2tan θ-10+=，再根据角的范围解出1tan 3θ=即可.【小问1详解】由a b ⊥ ，得0a b ⋅= ，所以4cos sin 10θθ-=，即1sin 22θ=，因为π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以2(0,π)θ∈，所以π26θ=或5π26θ=，解得π12θ=或5π12θ=.【小问2详解】由题得，224a b b -= ，化简得2223a a b b-⋅=即224cos 12(4sin θcos 1)3(4sin θ1)θθ+--=+，整理得24cos θ-2sinθcosθ3=，因为π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos 0θ≠，齐次化后得242tan θ3tan θ1-=+，即23tan θ2tan θ-10+=，即(3tanθ-1)(tanθ1)0+=，解得1tan θtan θ13==-或因为π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以1tan 3θ=.16.如图，在ABC V 中，12AM AB = ，23CN CB = ．设AB a =，AC b = ．（1）用a，b 表示AN ，MN ；（2）若P 为ABC V 内部一点，且4199BP a b =-+．求证：M ，P ，N 三点共线．【答案】（1）AN = 1233b a + ，1136MN b a=+（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用平面向量线性运算法则，计算出1233AN b a =+ ，进而得到1136MN AN AM b a =-=+；（2）计算出11918MP b a =+，结合（1）可得3MN MP =，证明出结论.【小问1详解】由题可知，22(33AN AC CN AC CB AC AB AC =+=+=+- ）12123333AC AB b a =+=+，12111()33236MN AN AM b a a b a=-=+-=+ 【小问2详解】14111()299918MP MB BP a a b b a=+=+-+=+3MN MP =，且有公共点MM ∴，P ，N 三点共线.17.已知以下四个式子的值都等于同一个常数22sin 26cos 3426cos34+- ；22sin 39cos 2139cos 21+- ；()()22sin 52cos 11252cos112-+- ；22sin 30cos 3030cos30+-.（1）试从上述四个式子中选择一个，求出这个常数.（2）根据（1）的计算结果，推广为三角恒等式，并证明你的结论.【答案】（1）选第四个式子，14；（2）证明见解析.【解析】【分析】(1)选第四个式子，由1sin 30,cos3022︒=︒=即可求三角函数式的值；(2)由题意，设一个角为α，另一个角为60α︒-，应用两角差的余弦公式展开三角函数，由同角正余弦的平方和关系化简求值【详解】（1）由第四个式子：221331sin 30cos 3030cos304444+-=+-=（2）证明：()()22sincos 60cos 60αααα+--- 2211sin cos cos 2222αααααα⎛⎫⎛⎫=++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2222133sin cos sin cos sin sin cos sin 42422αααααααα=+++--14=【点睛】本题考查了三角函数，利用特殊角的函数值求三角函数式的值，应用两角差余弦公式展开三角函数式及同角的正余弦平方和关系化简求值，属于简单题18.某同学用“五点法”画函数()()πsin 0,2f x A x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：φx ω+0π2π3π22πxmπ3n5π6p()sin φA x ω+033-0（1）求出实数m ，n ，p 和函数()f x 的解析式；（2）将()y f x =图象上的所有点向右平移()0θθ>个单位长度，并把图象上所有点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），得到()y g x =的图象.已知()g x 图象的一个对称中心为5π,012⎛⎫⎪⎝⎭，求θ的最小值；（3）在（2）的条件下，当θ取最小值时，若对ππ,66x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，关于x 的方程()1g x a =-恰有两个实数根，求实数a 的取值范围.【答案】（1）π5π13π,,121212m n p ===，π()3sin(26f x x =-（2）π4（3）(2,1]-【解析】【分析】（1）根据表中()f x 的最值可得3A =，根据5ππ2π63T ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，可解得,ωϕ的值，从而得出解析式；（2）根据伸缩平移变换可得π()3sin(42)6g x x θ=--，结合5π,012⎛⎫⎪⎝⎭为对称中心，从而求得实数θ的最小值；（3）在（2）的条件下结合ππ,66x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，利用三角函数的性质，数形结合即可得解.【小问1详解】由题意得5ππ2π63T ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以π44T =，所以πππππ5π5ππ13π,,341234126412m n p =-==+==+=，故π5π13π,,121212m n p ===，根据表中已知数据，3,πA T ==，所以2ω=，ππ232ϕ∴⨯+=，所以π6ϕ=-，π()3sin(2)6f x x ∴=-.【小问2详解】π()3sin(2)6f x x =-的图象向右平移(0)θθ>个单位，再将图象上所有点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），可得π()3sin(42)6g x x θ=--的图象，则5π4π2π,Z 126k k θ⨯--=∈，得3ππ,Z 42k k θ=-∈，所以当1k =时，此时θ最小值为π4.【小问3详解】当θ取最小值π4时，2π()3sin(4)3g x x =-，当ππ[,]66x ∈-时，2π4π4,033x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，此时2π()3sin(4)3,32g x x ⎡=-∈-⎢⎣⎦，()1g x a =- 恰有两个实数根，所以()g x 与1y a =-的图象有两个交点，结合图象可知310a -<-≤，即21a -<≤，(2,1]a ∴∈-.19.已知平面直角坐标系中，点s 0，点()0,B b （其中a ，b 为常数，且0ab ≠），点O 为坐标原点．（1）设点P 为线段AB 上靠近A 的三等分点，()()1OP OA OB λλλ=+-∈R，求λ的值；（2）如图所示，设点1P ，2P ，3P ，…，1n P -是线段AB 的n 等分点，其中*n ∈N ，2n ≥，①当2028n =时，求121n OA OP OP OP OB -+++++的值（用含a ，b 的式子表示）；②当1a b ==，8n =时，求()()*1,1,,i i j OP OP OP i j n i j ⋅+≤≤-∈N 的最小值．（说明：可能用到的计算公式：()11232n n n +++++= ，*n ∈N ）．【答案】（1）23λ=（22220292a b +1516【解析】【分析】（1）根据向量的线性运算化简即可得解；（2）①由特殊到一般，可得对满足条件的,m n ，m n OP OP OA OB +=+，即可化简求向量的模；②根据条件用,OA OB表示出向量(),i i j OP OP OP + ，再由数量积化简，转化为关于,i j 的式子，分类讨论求最值.【小问1详解】因为()()()()()1111AP OP OA OA OB OA OB BA λλλλ=-=-+-=--=- 而点P 为线段AB 上靠近点A 的三等分点，则13AP AB = ，可得113λ-=-，所以23λ=.【小问2详解】①由题意得，12027120282028OP OA OB =+，22026220282028OP OA OB =+ ，20271202720282028OP OA OB =+ ，所以12027OP OP OA OB +=+ ，事实上，对任意正整数,m n ，且2028m n +=时，202820282028m m m OP OA OB -=+ ，202820282028n n n OP OA OB -=+ ，有m n OP OP OA OB +=+ ，所以1220272029()2OA OP OP OP OB OA OB +++⋅⋅⋅++=+，所以12202720292OA OP OP OP OB OA OB +++⋅⋅⋅++=+= .②当1a b ==，8n =时，888i i i OP OA OB -=+ ，888j j j OP OA OB -=+，∴16()88i j i j i j OP OP OA OB -+++=+，∴816()()()[]8888i i j i i i j i j OP OP OP OA OB OA OB --++⋅+=+⋅+2(8)[16()]()(4)1264646432i i j i i j i j i i --++-+-+=+=令2(4)1264()32i j i i M j -+-+=，当1i =，2，3时，22(4)71264536()(7)3232i i i i i M j m -⨯+-+-+≥==当2i =或3时，上式有最小值为1516当4i =时，2412464()132M j -⨯+==当5i =，6，7时，21160()(1)32i i M j M -+≥=，当5i =或6时，上式有最小值为1516综上，()i i j OP OP OP ⋅+ 的最小值为1516.【点睛】关键点点睛：解题时要有特殊到一般的类比思想，发现一般性规律，化简所求复杂向量求和，对于第二问的第二小问，利用数量积化简后需要分类讨论，对能力要求很高.。

高中数学必修一试卷

高中数学必修一试卷

高中数学必修一试卷一、选择题（每题5分，共60分）1. 设集合A = {xx^2-3x + 2 = 0}，B={xx^2-ax + a - 1 = 0}，若A∪ B = A，则实数a的值为（）A. 2B. 3C. 2或3D. 1或2或32. 函数y=√(x^2)-1的定义域为（）A. (-∞,-1]∪[1,+∞)B. [-1,1]C. (-∞,-1)∪(1,+∞)D. (-1,1)3. 已知函数f(x)=log_a(x + 1)（a>0且a≠1）在区间[1,7]上的最大值比最小值大(1)/(2)，则a的值为（）A. (1)/(2)或(7)/(2)B. (2)/(3)或(3)/(2)C. (1)/(2)或(3)/(2)D. (2)/(3)或(7)/(2)4. 若函数y = f(x)是函数y = a^x(a>0且a≠1)的反函数，且f(2)=1，则f(x)=（）A. log_2xB. (1)/(2^x)C. log_(1)/(2)xD. 2^x - 25. 函数y = x^2+2x - 3在区间[-3,0]上的值域为（）A. [-4, - 3]B. [-4,0]C. [-3,0]D. [0,1]6. 下列函数中，在(0,+∞)上为增函数的是（）A. y=<=ft((1)/(2))^xB. y = x^-2C. y=log_(1)/(2)xD. y=ln x7. 设a = log_32，b=log_52，c=log_23，则（）A. a>c>bB. b>c>aC. c>b>aD. c>a>b8. 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=x^2-2x，则f(x)在R上的表达式为（）A. f(x)=x(x - 2)B. f(x)=<=ft{begin{array}{ll}x(x - 2),x>0 0,x = 0 -x(x + 2),x<0end{array}right.C. f(x)=<=ft{begin{array}{ll}x(x - 2),x≥slant0 -x(x + 2),x<0end{array}right.D. f(x)=x(x2)9. 若函数f(x)=a^x-x - a(a>0且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是（）A. (0,1)B. (1,+∞)C. (0,+∞)D. (0,1)∪(1,+∞)10. 已知y = f(x)是偶函数，当x>0时，f(x)=x+(4)/(x)，且当x∈[-3,-1]时，n≤slant f(x)≤slant m恒成立，则m - n的最小值是（）A. (1)/(3)B. (2)/(3)C. 1D. (4)/(3)11. 函数y = f(x)的图象与函数y = log_3x(x>0)的图象关于直线y = x对称，则f(x)=（）A. 3^x(x∈ R)B. 3^x(x>0)C. <=ft((1)/(3))^x(x∈ R)D. <=ft((1)/(3))^x(x>0)12. 设函数f(x)=<=ft{begin{array}{ll}2^x,x≤slant0 log_2x,x>0end{array}right.，若f(a)=(1)/(2)，则a=（）A. -1或√(2)B. -1或(1)/(2)C. -1D. (1)/(2)二、填空题（每题5分，共20分）13. 计算：log_2√(2)+log_927=_ 。

2024-2025学年辽宁省普通高中高一(上)月考数学试卷(10月份)+答案解析

2024-2025学年辽宁省普通高中高一(上)月考数学试卷(10月份)+答案解析

2024-2025学年辽宁省普通高中高一（上）月考数学试卷（10月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.命题“，”的否定为()A.，B.，C.，D.，2.若集合，，且，则()A.0或2B.2C.0D.3.三星堆博物馆位于全国重点文物保护单位三星堆遗址东北角，是中国一座现代化的专题性遗址博物馆.该馆常设“世纪逐梦”、“巍然王都”、“天地人神”3个展厅，则甲在三星堆博物馆是甲在“世纪逐梦”展厅的()A.充分不必要条件B.充要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件4.将12写成两个正数的积，则这两个正数的和的最小值为()A.7B.C.D.5.已知集合，，则图中阴影部分表示的集合是()A.或B.或C.或D.或6.若，，，则()A. B. C. D.7.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，，，P，Q均是平面内的动点，集合，，则的元素个数为()A.1B.4C.2D.88.对任意的，关于x的不等式恒成立，则a的取值范围为()A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.若AD为的一条中线，则“是等腰三角形”的一个充分不必要条件可以是()A. B.C. D.10.已知关于x的不等式的解集为，则()A. B. C. D.11.我们将数集S的任意一个非空子集中的各元素之和称为S的一个子集和若S的子集只有一个元素，则该元素为S的一个子集和若有限数集S中的元素均为正整数，且S的任何两个子集和均不相等，则称S 为异和型集，下列结论正确的是()A.集合的一个子集和可能为5B.存在含有4个元素的异和型集N，其元素均小于9C.集合为异和型集D.任意一个含有n个元素的异和型集S，其元素之和不小于三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.方程组的解集为______.13.9月10日，在第10届女子世界消防救援锦标赛女子手拾机动泵出水打靶比赛中，中国女队首次夺得冠军.深受中国夺冠女队的影响，某消防队为提高消防员的业务水平，举行了全员手拾机动泵出水打靶训练.该训练分为水泵启动、水带连接、水枪射击3项.已知参与水带连接的有14人，参与水枪射击的有7人，同时参与水带连接和水枪射击的有4人，参与水泵启动的有3人，且这3人不参与其他2项训练，则该消防队共有______人.14.已知关于x的不等式对恒成立，且，则______，的最小值是______.四、解答题：本题共5小题，共77分。

2024-2025学年辽宁省大连市滨城高中联盟高一上学期10月份考试数学试卷(含答案)

2024-2025学年辽宁省大连市滨城高中联盟高一上学期10月份考试数学试卷(含答案)

2024-2025学年辽宁省大连市滨城高中联盟高一上学期10月份考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A={−2,−1,1,3,5}，集合B={x|−x2+5>0,x∈Z}，则图中阴影部分所表示的集合为( )A. {−2,−1,1}B. {0,3,5}C. {0,1}D. {0,2}2.若a<0，b<0，则p=b2a +a2b与q=a+b的大小关系为( )A. p<qB. p≤qC. p>qD. p≥q3.命题“∃x∈R,x2−ax+1<0”为假命题的一个必要不充分条件是( )A. a∈[−2,2]B. a∈(−2,1)C. a∈[−2,3]D. a∈(−2,3)4.下列不等式正确的是( )A. 已知1≤a+b≤4，−1≤a−b≤2，则4a−2b取值范围是[−2,10]B. 若1a >1b，则a<bC. 若ac2≥bc2，则a≥bD. 若a>0，b>0，且a<b，则a+mb+m >ab5.若关于x、y的方程组{y−kx−2=0y2−4x−2y+1=0的解集中只有一个元素，则实数k的值为( )A. 1B. 0或1C. −1D. 0或−16.当一个非空数集G满足“如果a,b∈G，则a+b，a−b，ab∈G，且b≠0时，ab∈G”时，我们称G就是一个数域，以下四个数域的命题：①0是任何数域的元素：②若数域G有非零元素，则2024∈G；③集合P={x∣x=3k,k∈Z}是一个数域④有理数集是一个数域其中真命题的个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 47.已知关于x 的不等式ax 2−bx +1>0的解集为(−∞,2m )∪(m,+∞)，其中m >0，则b +1m 的最小值为( )A. 4B. 2 2C. 2D. 18.对于问题“已知关于x 的不等式ax 2+bx +c >0的解集为(−2,4)，解关于x 的不等式ax 2−bx +c >0”，给出一种解法：由ax 2+bx +c >0的解集为(−2,4)，得a (−x )2+b (−x )+c >0的解集为(−4,2)，即关于x 的不等式ax 2−bx +c >0的解集为(−4,2)，类比上述解法，若关于x 的不等式ax 3+bx 2+cx +d >0的解集为(1,4)∪(8,+∞)，则关于x 的不等式−a 8x 3+b 4x 2−c 2x +d >0的解集为( )A. (−∞,−16)∪(−8,−2)B. (−∞,−4)∪(−2,−1)C. (−∞,−12)∪(−18,−116)D. (−12,−18)∪(−116,0)二、多选题：本题共3小题，共18分。

2024-2025学年广西示范性高中高一(上)期中数学试卷(含答案)

2024-2025学年广西示范性高中高一(上)期中数学试卷(含答案)

2024-2025学年广西示范性高中高一（上）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.集合{x ∈N|x +1≤2}的另一种表示为( )A. {0,1,2,3}B. {0,1,2}C. {0,1}D. {1,2}2.命题“∃x >1，x 2−2x +3>0”的否定形式为( )A. ∃x ≤1，x 2−2x +3≤0B. ∃x >1，x 2−2x +3≤0C. ∀x ≤1，x 2−2x +3≤0D. ∀x >1，x 2−2x +3≤03.“a >0，b >0”是“ab >0”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4.已知函数f(x +1)=2x ，则f(1)=( )A. 0B. 1C. 2D. 35.已知函数y =f(x)的定义域是[−2,2]，函数g(x)=f(x−1)x ，则函数y =g(x)的定义域是( )A. [−1,3] B. [−1,0)∪(0,3] C. [1,3] D. [−3,0)∪(0,1]6.在同一直角坐标系中，函数y =x 2+2ax +a−1与y =a x (a >0且a ≠1)的图象可能是( )A. B. C. D.7.已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数，满足f(1)=0，且f(x)在(0,+∞)上单调递减，则不等式xf(x)<0的解集为( )A. (−∞,−1)∪(1,+∞)B. (−1,1)C. (−∞,−1)∪(0,1)D. (−1,0)∪(1,+∞)8.已知函数f(x)={(2a−1)x ,x <0−x 2+(4a−3)x +3a−1,x ≥0，满足对任意x 1≠x 2都有(x 1−x 2)[f(x 1)−f(x 2)]<0成立，则实数a 的取值范围是( )A. (12,1)B. (12,23]C. [23,34]D. (12,34]二、多选题：本题共3小题，共18分。

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2
11. 下表显示出函数值 y 随自变量 x 变化的一组数据，判断它最可能的函数模型是（ ）
x
4
5
6
7
8
9
10
y
15
17
19
21
23
25
27
A. 一次函数模型
B．二次函数模型
C．指数函数模型
D．对数函数模型
12、下列所给 4 个图象中，与所给 3 件事吻合最好的顺序为 （ ）
1 我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再上学；
D、（4）（1）（2）
第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分）
二、填空题：本大题 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 把正确答案填在题中横线上.
13．函数 y x 4 的定义域为
.
x 2
14. 若 f (x) 是一次函数， f [ f (x)] 4x 1且，则 f (x) =
.
15. 已知幂函数 y f (x) 的图象过点(2, 2),则f (9)
.
16. 若一次函数 f (x) ax b 有一个零点 2，那么函数 g(x) bx2 ax 的零点是
.
三、解答题：本大题共 5 小题，共 56 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（本小题 10 分）
已知集合 A {x | a 1 x 2a 1} ， B {x | 0 x 1}，若 A B ，求实数 a 的取值范围。
A、1 个
B、2 个
C、3 个
D、4 个
4、如果函数 f (x) x2 2(a 1)x 2 在区间, 4上单调递减，那么实数a 的取值范围是
（
）
A、 a ≤ 3
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学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
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绝密★启用前
凌源市金鼎高级中学
2019-2020学年度3月月考数学试卷
考试范围：第五章统计与概率；考试时间：120分钟；试卷总分:150分命题人：张春明注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上
第I 卷（选择题)
单选共12道题，
一、单选题（共12道题，每题5分，总分60分)
1．口袋中有100个大小相同的红球、白球、黑球，其中红球45个，从口袋中摸出一个球，摸出白球的概率为0.23，则摸出黑球的概率为（）
A ．0.45
B ．0.67
C ．0.64
D ．0.32
2．下列说法正确的是(
)A ．甲、乙二人比赛，甲胜的概率为
3
5
，则比赛5场，甲胜3场B ．某医院治疗一种疾病的治愈率为10%，前9个病人没有治愈，则第10个病人一定治愈
C ．随机试验的频率与概率相等
D ．天气预报中，预报明天降水概率为90%，是指降水的可能性是90%
3．在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，以为概率的事件是()
A ．恰有1件一等品
B ．至少有一件一等品
C ．至多有一件一等品
D ．都不是一等品
4．从装有2个白球和2个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是A ．至少有一个黑球与都是黑球B ．至少有一个黑球与至少有一个白球C ．恰好有一个黑球与恰好有两个黑球
D ．至少有一个黑球与都是白球
5．把红、黄、蓝、白4张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁4个人，每人分得一张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是A ．对立事件B ．互斥但不对立事件C ．不可能事件
D ．以上都不对
6．某学校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时）
，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是17.5，30]，样本数据分组为17.5，20），20，22.5），
试卷第2页，总5页
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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
22.5,25）
，25，27.5），27.5，30）.根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（
）
A ．56
B ．60
C ．140
D ．120
7．对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A ={两次都击中飞机}，B ={两次都没击中飞机}，C ={恰有一弹击中飞机}，D ={至少有一弹击中飞机}，下列关系不正确的是（）
A ．A D
⊆B ．B D =∅
C ．A C D
⋃=D ．A C B D
= 8．甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为40%，甲不输的概率为90%，则甲、乙下成平局的概率为（）
A ．50%
B ．30%
C ．10%
D ．60%
9．若A ，B 为互斥事件，则（）
A ．()()1P A P
B +<B ．()()1P A P B +≤
C ．()()1
P A P B +=D ．()()1
P A P B +>10．从含有10件正品、2件次品的12件产品中，任意抽取3件，则必然事件是（）
A ．3件都是正品
B ．3件都是次品
C ．至少有1件次品
D ．至少有1件正品
11．先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6)，骰子朝上的面的点数分别为,x y ，则2log 1x y =的概率为()
A ．
16
B ．
536
C ．
112D ．
12
12．某公司10位员工的月工资（单位：元）为1x ，2x ，…，10x ，其均值和方差分别为x 和2s ，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的均值和方差分别为（）
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学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
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A ．x ，22s 100+
B ．100x +，22s 100+
C ．x ，2
s D ．100x +，2
s 第II 卷（非选择题)
二、填空题（共4道题，每题5分)
13．某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取________件.
14．某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本.若样本中的青年职工为7人，则样本容量为
．
15．袋中有形状、大小都相同的3只球，其中1只白球，1只红球，1只黄球．从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色为一红一黄的概率为_______．16．连续抛掷一颗骰子2次，则掷出的点数之和为8的概率为____.三、解答题（共6道题，17题10分，18-22题每题12分)17．某转盘被平均分成10份（如图所示）.
转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字.
问题
（1）设事件A =“转出的数字是5”，事件A 是必然事件、不可能事件还是随机事件？（2）设事件B =“转出的数字是0”，事件B 是必然事件、不可能事件还是随机事件？（3）设事件C =“转出的数字x 满足110x ≤≤，x ∈Z ”，事件C 是必然事件、不可能事件还是随机事件？
18．已知甲、乙两组数据可以整理成如图所示的茎叶图，分别求这两组数的中位数、25%分位数、75%分位数、平均数、方差.
试卷第4页，总5页
………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
19．一盒中装有12个球，其中5个红球，4个黑球，2个白球，1个绿球．从中随机取出1球，求：
(1)取出1球是红球或黑球的概率；(2)取出1球是红球或黑球或白球的概率．
20．某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为：[40,50)，[50,60)，…，[80,90)，[90,100].
（1）求频率分布直方图中a 的值；
（2）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率.
21．为了全面贯彻党的教育方针，坚持以人文本、德育为先，全面推进素质教育，让学生接触自然，了解社会，拓宽视野，丰富知识，提高社会实践能力和综合素质，减轻学生过重负担，培养学生兴趣爱好，丰富学生的课余生活，使广大学生在社会实践中，提高创新精神和实践能力，树立学生社会责任感，因此学校鼓励学生利用课余时间参加社会活动实践．寒假归来，某校高三（2）班班主任收集了所有学生参加社会活动信息，整理出如图所示的图．
……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
（1）求高三（2）班同学人均参加社会活动的次数；（2）求班上的小明同学仅参加1次社会活动的概率；（3）用分层抽样的方法从班上参加活动2次及以上
的同学中抽取一个容量为5的样本，从这5人中任选3人，其中仅有两人参加2次活动的概率．.
22．某单位员工500人参加“学雷锋”志愿活动，按年龄分组：第1组[)25,30，第2组
[)30,35,第3组[)35,40,第4组[)40,45,第5组[)45,50，得到的频率分布直方图如图
所示.
（1）下表是年龄的频率分布表，求正整数,a b 的值；区间
[)25,30[)30,35[)35,40[)40,45[)
45,50人数
5050
a
150b
（2）现在要从年龄较小的第1,2,3组中用分层抽样的方法抽取6人，年龄在第1,2,3组抽取的员工的人数分别是多少？
（3）在（2）的前提下，从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动，求至少有1人年龄在第3组的概率.。

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