第二章解析几何条件转化答案

第二章

解析几何条件转化

【例1】．（1）原曲线方程可化简得：22

188

52

x y m m +=--由题意可得：8852805802m m m

m ⎧>⎪--⎪⎪>⎨-⎪⎪>⎪-⎩，解得：752m <<（2）由已知直线代入椭圆方程化简得：22(21)16240k

x kx +++=，2=32(23)k ∆-，解得：23

2

k >由韦达定理得：21621

M N k x x k +=+①，22421M N x x k =+，②设(,4)N N N x k x +，(,4)M M M x kx +，(1)

G G x ，MB 方程为：62M M kx y x x +=

-，则316M M x G kx ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，，∴316M M x AG x k ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭ ，，()2N N AN x x k =+ ，，

欲证A G N ，，三点共线，只需证AG ，AN 共线即3(2)6

M N N M x x k x x k +=-+成立，化简得：(3)6()M N M N k k x x x x +=-+将①②代入易知等式成立，则A G N ，，三点共线得证。

【例2】【解法1】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程

的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力．（Ⅰ）由题意，得2333a c

c a

⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得1,3a c ==，∴2222b c a =-=，∴所求双曲线C 的方程为2

2

12y x -=.（Ⅱ）点()()0000,0P x y x y ≠在圆22

2x y +=上，

圆在点()00,P x y 处的切线方程为()0000x y y x x y -=-

-，化简得002x x y y +=.由2

200122y x x x y y ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩及22002x y +=得

()2

22000344820x x x x x --+-=，

∵切线l 与双曲线C 交于不同的两点A 、B ，且2002x <<，

∴20340x -≠，且()()22200016434820x x x ∆=--->，设A 、B 两点的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，则20012122200482,3434

x x x x x x x x -+==--，∵cos OA OB AOB OA OB ⋅∠=⋅ ，且()()121212010220

122OA OB x x y y x x x x x x y ⋅=+=+-- ，()21201201220

1422x x x x x x x x x ⎡⎤=+-++⎣⎦-()222200002222000082828143423434x x x x x x x x ⎡⎤--⎢⎥=+-+----⎢⎥⎣⎦

22002200828203434

x x x x --==-=--.∴AOB ∠的大小为90︒

.

【解法2】（Ⅰ）同解法1.（Ⅱ）点()()0000,0P x y x y ≠在圆22

2x y +=上，圆在点()00,P x y 处的切线方程为()0000

x y y x x y -=--，

化简得002x x y y +=.由2

20

0122y x x x y y ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩及22002x y +=得()222000344820x

x x x x --+-=①()222000348820x

y y x x ---+=②∵切线l 与双曲线C 交于不同的两点A 、B ，且2002x <<，∴20340x -≠，设A 、B 两点的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，则2200121222008228,3434

x x x x y y x x --==--，∴12120OA OB x x y y ⋅=+= ，∴AOB ∠的大小为90︒.

（∵22002x y +=且000x y ≠，∴220002,02x y <<<<，从而当20340x -≠时，方程①和方程②的判别式均大于零）.

【练1】解:（Ⅰ）依题意，2c =

，1b =，所以223a b c =+=.

故椭圆C 的方程为2

213

x y +=.……………4分（Ⅱ）①当直线l 的斜率不存在时，由221,13

x x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩解得61,3x y ==±.不妨设6(1,)3A ，6(1,)3

B -，因为136********

k k -++=+=，又1322k k k +=，所以21k =，所以,m n 的关系式为

213n m -=-，即10m n --=.………7分②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(1)y k x =-.

将(1)y k x =-代入2

213

x y +=整理化简得，2222(31)6330k x k x k +-+-=.

设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2122631k x x k +=+,21223331

k x x k -=+.………9分又11(1)y k x =-，22(1)y k x =-.所以12122113121222(2)(3)(2)(3)33(3)(3)

y y y x y x k k x x x x ----+--+=+=----12211212[2(1)](3)[2(1)](3)

3()9

k x x k x x x x x x ---+---=-++121212122(42)()612

3()9kx x k x x k x x x x -++++=

-++22

2222

223362(42)6123131336393131

k k k k k k k k k k k -⨯-+⨯++++=--⨯+++222(126) 2.126

k k +==+………12分所以222k =，所以2213

n k m -==-，所以,m n 的关系式为10m n --=.………13分综上所述，,m n 的关系式为10m n --=.

………14分【练2】

（Ⅰ）解：由222222519a b b e a a -===-，得23

b a =.………………2分

依题意△12MB B 是等腰直角三角形，从而2b =，故3a =.

………………4分

所以椭圆C 的

方程是22

194

x y +=.………………5分（Ⅱ）解：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线AB 的方程为2x my =+.

将直线AB 的方程与椭圆C 的方程联立，

消去x

得22(49)16200m y my ++-=.

………………7分