自适应信号处理 沈福民 答案
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1．求下列R 的特征值设
(1)⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=4202630341R (2)⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-=2)3/exp(6)3/exp(632ππj j R
解：(1)令λ为R 的特征值，则 (2)令λ为R 的特征值： 0)d e t (=-I R λ 0)d e t (=-I R λ
即：
042
2630
34=---λ
λ
λ
即：
02)
3/exp(6)3/exp(63=---λ
ππλ
j j
于是R 1的三个特征值分别为： 于是R 2 的两个特征值为： 1451454321－＝，＋＝，λλλ= 5,021==λλ
2．证明任何两个实数的单输入自适应线性组合器的特征向量矩阵均为：
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡-=111121Q
证明：由已知条件知相关矩阵为R ：
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=a b b a R 则R 的特征值为：b a b a -=+=21,λλ
当b a +=1λ时，⎥
⎦⎤
⎢⎣⎡--=-b b b b I R λ，则特征向量为：]1,1[11q x = 当b a -=2λ时，⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=-b b b b I R λ，则特征向量为：]1,1[22-=q x
则特征向量为：
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-=
111121Q 3．如图3.1所示，若自适应系统的输入和期待响应分别为： (1))6/2cos(],6/)1(2sin[),6/2sin(10k d k x k x k k k πππ=-== (2)6/)]5.1(2[]6/)2(2[]6)1(2[1)6/2(04,,2--+-=+==k j k k j k j k k j k e d e e x e x ππππ
试计算最佳权向量和最小均方误差输出，并说明在两种情况下的自适应系统有什么不同？
解：(1)由题中条件知：
5.0][2
0=k x E 5.0][2
1=k x E
[]
25.010=*
k k x x E
[]00=k k x d E 4/3][1-=k k x d E 于是输入相关矩阵为：
⎥⎦⎤⎢⎣⎡=5.025.025.05.0R ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=4/30P 则最优权为：⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡-==*-1547.15774.01P R W opt 最小均方误差为：3889.0][2
min -=-=opt T k W P d E ζ (2)由题中已知条件知：
4][2
0=k x E 6/26/22
12][ππj j k e e x E -++=
6/308][πj k k
e x d E =*
6/6/144][ππj j k k e e x d E -*+= 6/46/21022][ππj j k k e e x x E --*+= 6/46
/21122][ππj j k k e e
x x E +=* 于是输入相关矩阵为：
⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++=---6/26/26/46
/26/46/2222224ππππππj j j j j j e e e e e e R ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+=-6/6/6
/3448πππj j j e e e P
R 的逆不存在， 则最优权为：
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣⎡-=j c c W o p t 3234 最小均方误差为：0][2
min =-=opt T k W P d E ζ
区别：(1)中输入为实数信号，得到的权值也实数权，(2)中输入为复数信号，
权值为复数权
4．设信号的相关矩阵和噪声的相关矩阵分别为：
⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡-=2)3/e xp (6)3/e xp (63
ππj j R s
及I R n 05.0=，试计算MSN 性能测度的最佳权向量解和输出最大信噪比。 解：由已知条件知：系统输出的信噪比SNR 为瑞利商形式，可表示为
W
W W
R W S N R H s H 20=
最大信噪比输出时系统的权向量应为信号相关矩阵R s 的最大特征值对应的特征向量，而
0]d e t [=-I R s λ
即：
02)
3/e x p (6)3/e x p (63=---λ
ππλj j
5,021==λλ 当01=λ时，得到的特征向量为：]2
61[3
/00πj e c q --
= 当52=λ时，得到的特征向量为：]3
61
[3
/11πj e c q = 自适应最大信噪比时输出时的权向量为： ]3
61[3/1πμμj M S N e q W '== 最大输出信噪比为：
100361361361266336120
3/3/3/3/3/3/max =⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣
⎡⎥⎦⎤⎢⎣
⎡
⎥⎥
⎦⎤
⎢
⎢⎣⎡
⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣
⎡=-ππππππj j j j j j e e e e
e e SNR
5．设某一实单变量性能表面由下式给出：