实对称矩阵的特征值和特征向量
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§3.3 实对称矩阵特征值和特征向量
实数域上的对称矩阵简称为实对称矩阵。
永远可以对角化。 这类矩阵的最大优点是特征值都是实数，
一、 实对称矩阵特征值的性质 定理4.12 实对称矩阵的特征值都是实数。 0是矩阵 A 的在复数 证明：设 A 是 n 阶实对称矩阵， 域上的任一特征值， 属于 0 的特征向量为 (a1 , a 2 ,, a n )T 则 A 0 ( 0) ， 于是，两边取复数共轭得到
2 分别是属于特征值 1 ， 2 的特征向量。 于是 A1 11 (1 0) ， A 2 2 2 ( 2 0) T 对上面第一式两边左乘 2 ， 得到
2 T A1 1 2 T 1
而
T T T T T
（4.12）
T
2 A1 ( A 2 ) 1 ( A 2 ) 1 (2 2 ) 1 2 2 1
A 0
A 0
A 0
(4.11)
实对称矩阵特征值的性质
对最后一式取复数转置， 得到 定理4.12 实对称矩阵 T T A 0 的特征值都是实数。 两边再右乘 ， 得到 T A 0 T 0 T 0 T (0 0 ) T 0
证明： 对矩阵 A 的阶数 n 用数学归纳法。 当 n 1 时, 定理结论显然成立. 假设对于所有 n 1 阶实对称矩阵来说定理成立。 下面证明对于阶实对称矩阵来说定理成立。 1 是属于特征值 1 的特征 设 1 是 A 的一个特征值， 1 向量, 显然单位向量 1 1 也是 A 的属于 1 的 特征向量. 故不妨设1是单位向量， 记 Q1 是以 1 为 第一列任意正交矩阵。 把 Q1 分块为 Q1 (1 , Q0 )， 其中 Q0 为 n (n 1) 矩阵。
及1与Q0 的各列向量都正交， 所以
0 1 0 1 Q1 AQ1 T 0 Q0 AQ0 0 A1
1
其中 A1 Q0 AQ0 为 n 1 阶实对称矩阵。 根据归纳法假设， 对 A1 存在 n 1 阶正交矩阵 Q2 使得 1 T Q2 A1Q2 Q2 A1Q2 diag(2 , 3 ,, n )
2 , 3 是正交组， 将它们单位化： 则 1 ，
1 2 T 1 (0, 1, 1) 1 2 2 2 (1, 0, 0)T 2 3 2 3 (0, 1, 1)T 3 2
构造矩阵
Q ( 1 , 2 , 3 )
0 2 1 2 1 2
T 而 齐次线性方程组1 X 0 的基础解系， T 1 X 0 (0,1, 1)( x1 , x2 , x3 )T 0 x2
T 1 (0,1, 1)，求矩阵 A。
x3 0
所以，可取 2 (1, 0, 0)T , 3 (0, 1, 1)T （彼此正交）
向量 (2, 1, 2)T , (1 2, 0)T 和 3 8 对应特征向量 (1, 0, 1)T 都正交。 当然，(2, 1, 2)T , (1 2, 0)T 彼此不正交，但可以通过 标准正交化方法 把它们化为标准正交组。
定理4.14 设 A 是阶 n 实对称矩阵, 则 T 1 Q Q AQ Q AQ 为对角阵. , 使 存在正交阵
0 1 0 Q T AQ 2 1 2
1 0
0 1 1 Q2 0
0 1 A1 0
Biblioteka Baidu
0 Q2
这表明 Q 1 AQ 为对角矩阵。 根据数学归纳法原理，
diag(1, 2 , 3 ,, n )
6
则 Q 为正交矩阵，并且使得矩阵 A T 1 Q AQ Q AQ 。 对角化为 ： 例3．设三阶实对称矩阵 A 的特征值为 1 0 ， 2 3 1（二重）， A 的属于0的特征向量为
解： 因三阶实对称矩阵必可对角化，本题中对应于二重 特征值1的线性无关向量 应有两个特征向量组成， 设为 2 , 3 。 根据定理4.13, 它们都与 1 正交，故 2 , 3 是
对任意
n
阶实对称矩阵定理结论成立。
二、 实对称矩阵对角化方法
根据定理4.14，任意一个实对称矩阵都可以对角化。 具体步骤如下: 第一步 对给定实对称矩阵 A ， 解特征方程， det(E A) 0 求出 A 的所有特征值, 设 A 的所有不同的特征值为 1 , 2 ,, m
n1 n2 nm n ； 其中 i 为 ni 重的， 第二步 对每个 i , 解齐次线性方程组 (i E A) X 0 求出它的一个基础解系 i1 , i 2 ,, ini (i 1,2,, m) ； 第三步 利用施米特正交化方法，把 i1 , i 2 ,, ini
2
0 1 1
2 3 2 T 3 (0, 1, 1) 3 2
T
把 1 (2,1, 0) 正交化： T 1 1 (2,1, 0)
T
2 (2, 0,1)
T
4 2 4 T 2 T 1 T T 2 2 T 1 (2, 0,1) (2,1, 0) ( , ,1) 5 5 5 1 1 将 1 , 2 , 3 单位化， 得到 构造矩阵 Q ( 1 , 2 , 3 ) 1 5 T 1 (2, 1, 0) 6 2 5 1 5 5 2 5 3 4 2 5 2 (2, 4, 5)T 15 2 15 0 5 2 5 3 1 2 2T 3 3 ( , , ) 3 3 3 3 3
正交化， 得到正交向量组 i1 , i 2 ,, ini ，
再把 i1 , i 2 ,, ini 单位化，得到一个 标准正交组 i1, i 2 ,, ini ， (i 1,2,, m)
；
注意：它们都是属于 i 的线性无关特征向量！！
第四步 令 Q (11 ,12 ,,1n1 ,, m1 , m 2 ,, mnm ) ， 则 Q 是正交阵, Q T AQ Q 1 AQ 为对角阵， 且
det(E A) 0
解齐次线性方程组 对于 1 2 3 ， 即求解 (3E A) X 0 1 2 2 x1 0 2 4 4 x2 0 2 4 4 x 0 3 得到一个基础解系 1 (2,1, 0)T， 2 (2, 0,1)T 。 对于 3 6 ， 解齐次线性方程组 (6 E A) X 0 ， 8 2 2 x1 0 即求解 2 5 4 x2 0 2 4 5 x 0 3 得到一个基础解系 3 (1, 2, 2) 。
（实对称矩阵A 的标准形！！）
2 2 2 A 2 1 4 2 4 1 求一正交阵 Q , 使 Q 1 AQ 成对角矩阵。 解： 矩阵 A 的特征多项式为
例2 对矩阵
2 2 2 2 2 0 det(E A) 2 1 4 2 1 3 2 4 1 0 3 2( 3) ( 3) 2 ( 6) 3 6 。 解特征方程得特征值 1 2 3 （二重），
于是有
1 2 1 2 2 1 (1 2 ) 2 1 0 这样，由 1 2 得到 2 T 1 0，即 1 与 2 是正交的。
T
T
T
【注】 实对称矩阵 A 的属于不同特征值的 特征向量相互正交的线性无关组。 例1 在§4.1中里4中，矩阵 3 2 4 A 2 0 2 4 2 3 是实对称矩阵， 特征值 1 2 1 （二重）对应特征
则 Q 为正交矩阵， 并且使得 矩阵 A 对角化为 ：
Q T AQ Q 1 AQ
0 0 1 0 1 0 1 1
于是 A QQ T
0 2 1 2 1
1 1 0 0 0 2 0 1 1 2 0 0 2 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 2 0 1 1 1 (0, 1, 1)T 2 1 2 0 1 1 2 2 (1, 0, 0)T
T 2
由于 0 ，所以有 0 0 0 0 0 这样，0 是实数。由 0 的任意性，实对称矩阵 A 的 特征值都是实数。
附注：进一步地有， 实对称矩阵 A 的属于特征值的 特征向量都是实数向量。
定理4.13 实对称矩阵 A 的属于不同 特征值的 特征向量相互正交。 证明： 设 1 ， 2 是实对称矩阵 A 的不同特征值， 1 ，
1
则
T T T A AQ 1 T 1 1 1 1 0 A(1 , Q0 ) Q1 AQ1 Q1 AQ1 Q T Q T A Q T AQ 0 0 1 0 0 注意到 A1 11 1T 1 1, A AT
nm n1 n2 QT AQ Q 1 AQ diag(1 ,, 1 , 2 ,, 2 ,, m ,, m )
附注： 矩阵 主对角线元素（特征值！）排列顺序 与 Q 中正交列向量组（特征向量！）排列顺序相对应。 这种对角化形式是唯一的。 在不计排列顺序情况下，
T
1 0 令 Q ， , Q Q Q 3 1 3 0 Q 2 则 Q3 , Q 均为 n 阶正交矩阵， 并且
1 0 Q AQ Q3 (Q1 AQ1 )Q3 0 Q 2
1 1 1
1
1 0 1 0 0 A 0 Q 1 2
实数域上的对称矩阵简称为实对称矩阵。
永远可以对角化。 这类矩阵的最大优点是特征值都是实数，
一、 实对称矩阵特征值的性质 定理4.12 实对称矩阵的特征值都是实数。 0是矩阵 A 的在复数 证明：设 A 是 n 阶实对称矩阵， 域上的任一特征值， 属于 0 的特征向量为 (a1 , a 2 ,, a n )T 则 A 0 ( 0) ， 于是，两边取复数共轭得到
2 分别是属于特征值 1 ， 2 的特征向量。 于是 A1 11 (1 0) ， A 2 2 2 ( 2 0) T 对上面第一式两边左乘 2 ， 得到
2 T A1 1 2 T 1
而
T T T T T
（4.12）
T
2 A1 ( A 2 ) 1 ( A 2 ) 1 (2 2 ) 1 2 2 1
A 0
A 0
A 0
(4.11)
实对称矩阵特征值的性质
对最后一式取复数转置， 得到 定理4.12 实对称矩阵 T T A 0 的特征值都是实数。 两边再右乘 ， 得到 T A 0 T 0 T 0 T (0 0 ) T 0
证明： 对矩阵 A 的阶数 n 用数学归纳法。 当 n 1 时, 定理结论显然成立. 假设对于所有 n 1 阶实对称矩阵来说定理成立。 下面证明对于阶实对称矩阵来说定理成立。 1 是属于特征值 1 的特征 设 1 是 A 的一个特征值， 1 向量, 显然单位向量 1 1 也是 A 的属于 1 的 特征向量. 故不妨设1是单位向量， 记 Q1 是以 1 为 第一列任意正交矩阵。 把 Q1 分块为 Q1 (1 , Q0 )， 其中 Q0 为 n (n 1) 矩阵。
及1与Q0 的各列向量都正交， 所以
0 1 0 1 Q1 AQ1 T 0 Q0 AQ0 0 A1
1
其中 A1 Q0 AQ0 为 n 1 阶实对称矩阵。 根据归纳法假设， 对 A1 存在 n 1 阶正交矩阵 Q2 使得 1 T Q2 A1Q2 Q2 A1Q2 diag(2 , 3 ,, n )
2 , 3 是正交组， 将它们单位化： 则 1 ，
1 2 T 1 (0, 1, 1) 1 2 2 2 (1, 0, 0)T 2 3 2 3 (0, 1, 1)T 3 2
构造矩阵
Q ( 1 , 2 , 3 )
0 2 1 2 1 2
T 而 齐次线性方程组1 X 0 的基础解系， T 1 X 0 (0,1, 1)( x1 , x2 , x3 )T 0 x2
T 1 (0,1, 1)，求矩阵 A。
x3 0
所以，可取 2 (1, 0, 0)T , 3 (0, 1, 1)T （彼此正交）
向量 (2, 1, 2)T , (1 2, 0)T 和 3 8 对应特征向量 (1, 0, 1)T 都正交。 当然，(2, 1, 2)T , (1 2, 0)T 彼此不正交，但可以通过 标准正交化方法 把它们化为标准正交组。
定理4.14 设 A 是阶 n 实对称矩阵, 则 T 1 Q Q AQ Q AQ 为对角阵. , 使 存在正交阵
0 1 0 Q T AQ 2 1 2
1 0
0 1 1 Q2 0
0 1 A1 0
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0 Q2
这表明 Q 1 AQ 为对角矩阵。 根据数学归纳法原理，
diag(1, 2 , 3 ,, n )
6
则 Q 为正交矩阵，并且使得矩阵 A T 1 Q AQ Q AQ 。 对角化为 ： 例3．设三阶实对称矩阵 A 的特征值为 1 0 ， 2 3 1（二重）， A 的属于0的特征向量为
解： 因三阶实对称矩阵必可对角化，本题中对应于二重 特征值1的线性无关向量 应有两个特征向量组成， 设为 2 , 3 。 根据定理4.13, 它们都与 1 正交，故 2 , 3 是
对任意
n
阶实对称矩阵定理结论成立。
二、 实对称矩阵对角化方法
根据定理4.14，任意一个实对称矩阵都可以对角化。 具体步骤如下: 第一步 对给定实对称矩阵 A ， 解特征方程， det(E A) 0 求出 A 的所有特征值, 设 A 的所有不同的特征值为 1 , 2 ,, m
n1 n2 nm n ； 其中 i 为 ni 重的， 第二步 对每个 i , 解齐次线性方程组 (i E A) X 0 求出它的一个基础解系 i1 , i 2 ,, ini (i 1,2,, m) ； 第三步 利用施米特正交化方法，把 i1 , i 2 ,, ini
2
0 1 1
2 3 2 T 3 (0, 1, 1) 3 2
T
把 1 (2,1, 0) 正交化： T 1 1 (2,1, 0)
T
2 (2, 0,1)
T
4 2 4 T 2 T 1 T T 2 2 T 1 (2, 0,1) (2,1, 0) ( , ,1) 5 5 5 1 1 将 1 , 2 , 3 单位化， 得到 构造矩阵 Q ( 1 , 2 , 3 ) 1 5 T 1 (2, 1, 0) 6 2 5 1 5 5 2 5 3 4 2 5 2 (2, 4, 5)T 15 2 15 0 5 2 5 3 1 2 2T 3 3 ( , , ) 3 3 3 3 3
正交化， 得到正交向量组 i1 , i 2 ,, ini ，
再把 i1 , i 2 ,, ini 单位化，得到一个 标准正交组 i1, i 2 ,, ini ， (i 1,2,, m)
；
注意：它们都是属于 i 的线性无关特征向量！！
第四步 令 Q (11 ,12 ,,1n1 ,, m1 , m 2 ,, mnm ) ， 则 Q 是正交阵, Q T AQ Q 1 AQ 为对角阵， 且
det(E A) 0
解齐次线性方程组 对于 1 2 3 ， 即求解 (3E A) X 0 1 2 2 x1 0 2 4 4 x2 0 2 4 4 x 0 3 得到一个基础解系 1 (2,1, 0)T， 2 (2, 0,1)T 。 对于 3 6 ， 解齐次线性方程组 (6 E A) X 0 ， 8 2 2 x1 0 即求解 2 5 4 x2 0 2 4 5 x 0 3 得到一个基础解系 3 (1, 2, 2) 。
（实对称矩阵A 的标准形！！）
2 2 2 A 2 1 4 2 4 1 求一正交阵 Q , 使 Q 1 AQ 成对角矩阵。 解： 矩阵 A 的特征多项式为
例2 对矩阵
2 2 2 2 2 0 det(E A) 2 1 4 2 1 3 2 4 1 0 3 2( 3) ( 3) 2 ( 6) 3 6 。 解特征方程得特征值 1 2 3 （二重），
于是有
1 2 1 2 2 1 (1 2 ) 2 1 0 这样，由 1 2 得到 2 T 1 0，即 1 与 2 是正交的。
T
T
T
【注】 实对称矩阵 A 的属于不同特征值的 特征向量相互正交的线性无关组。 例1 在§4.1中里4中，矩阵 3 2 4 A 2 0 2 4 2 3 是实对称矩阵， 特征值 1 2 1 （二重）对应特征
则 Q 为正交矩阵， 并且使得 矩阵 A 对角化为 ：
Q T AQ Q 1 AQ
0 0 1 0 1 0 1 1
于是 A QQ T
0 2 1 2 1
1 1 0 0 0 2 0 1 1 2 0 0 2 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 2 0 1 1 1 (0, 1, 1)T 2 1 2 0 1 1 2 2 (1, 0, 0)T
T 2
由于 0 ，所以有 0 0 0 0 0 这样，0 是实数。由 0 的任意性，实对称矩阵 A 的 特征值都是实数。
附注：进一步地有， 实对称矩阵 A 的属于特征值的 特征向量都是实数向量。
定理4.13 实对称矩阵 A 的属于不同 特征值的 特征向量相互正交。 证明： 设 1 ， 2 是实对称矩阵 A 的不同特征值， 1 ，
1
则
T T T A AQ 1 T 1 1 1 1 0 A(1 , Q0 ) Q1 AQ1 Q1 AQ1 Q T Q T A Q T AQ 0 0 1 0 0 注意到 A1 11 1T 1 1, A AT
nm n1 n2 QT AQ Q 1 AQ diag(1 ,, 1 , 2 ,, 2 ,, m ,, m )
附注： 矩阵 主对角线元素（特征值！）排列顺序 与 Q 中正交列向量组（特征向量！）排列顺序相对应。 这种对角化形式是唯一的。 在不计排列顺序情况下，
T
1 0 令 Q ， , Q Q Q 3 1 3 0 Q 2 则 Q3 , Q 均为 n 阶正交矩阵， 并且
1 0 Q AQ Q3 (Q1 AQ1 )Q3 0 Q 2
1 1 1
1
1 0 1 0 0 A 0 Q 1 2