专题05 二次函数背景下的特殊三角形存在性判定(解析版)

备战2020年中考数学压轴题之二次函数

专题05 二次函数背景下的特殊三角形存在性判定

【方法综述】

特殊三角形包括直角三角形和等腰三角形，在每一种种特殊三角形的基础上，此类问题分为固定边的三角形计算与判定和三角形的分类讨论。

直角三角形的分类讨论要对三边分别为斜边的情况分类讨论，主要应用直角的存在，并以此为条件利用勾股定理和三角形相似构造等式，同时还有可能应用隐形的圆中直径所对圆周角是直角的性质或其逆定理。

等腰三角形的分类讨论主要在是当三角形的边为等腰三角形的腰和底边。对于定长线段为腰时，为了找到相关点，可以分别以该线段的两个端点为圆心，定长线段为半径作圆，分别找到满足条件的点，再由勾股定理或相似三角形进行计算或构造方程解决问题。当讨论某一条边为等腰三角形的底边是，往往所求第三个顶点在该边的垂直平分线上，通过做线段垂直平分线，利用线段垂直平分线的性质来构造方程，来解决问题。

【典例示范】

类型一 固定边的直角三角形判定

例1：如图，抛物线y ＝x 2+bx +c 与x 轴交于点A （﹣1，0），B （4，0）与y 轴交于点C ，点D 与点C 关于x 轴对称，点P 是x 轴上的一个动点，设点P 的坐标为（m ，0），过点P 作x 轴的垂线1，交抛物线与点Q ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当点P 在线段OB 上运动时，直线1交BD 于点M ，试探究m 为何值时，四边形CQMD 是平行四边形； （3）在点P 运动的过程中，坐标平面内是否存在点Q ，使△BDQ 是以BD 为直角边的直角三角形？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．

12

【答案】(1) ;(2) 当m ＝2时，四边形CQMD 为平行四边形;(3) Q 1（8，18）、Q 2（﹣1，0）、Q 3（3，﹣2）

【思路引导】 （1）直接将A （-1，0），B （4，0）代入抛物线y=x 2+bx+c 方程即可； （2）由（1）中的解析式得出点C 的坐标C （0，-2），从而得出点D （0，2），求出直线BD ：y ＝−

x+2，设点M(m ，

−m+2)，Q(m ，m 2−m−2)，可得MQ=−m 2+m+4，根据平行四边形的性质可得QM=CD=4，即−m 2+m+4＝4可解得m=2； （3）由Q 是以BD 为直角边的直角三角形，所以分两种情况讨论，①当∠BDQ=90°时，则BD 2+DQ 2=BQ 2，列出方程可以求出Q 1（8，18），Q 2（-1，0），②当∠DBQ=90°时，则BD 2+BQ 2=DQ 2，列出方程可以求出Q 3（3，-2）．

【解析】

（1）由题意知，

∵点A （﹣1，0），B （4，0）在抛物线y ＝x 2+bx +c 上， ∴解得： ∴所求抛物线的解析式为 （2）由（1）知抛物线的解析式为，令x ＝0，得y ＝﹣2 ∴点C 的坐标为C （0，﹣2）

213222

y x x =

--12

121212321212

12

210214402

b c b c ⎧-+=⎪⎪⎨⎪⨯++=⎪⎩322b c ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩213222

y x x =

--213222y x x =--

∵点D 与点C 关于x 轴对称

∴点D 的坐标为D （0，2）

设直线BD 的解析式为：y ＝kx +2且B （4，0）

∴0＝4k +2，解得： ∴直线BD 的解析式为： ∵点P 的坐标为（m ，0），过点P 作x 轴的垂线1，交BD 于点M ，交抛物线与点Q

∴可设点M ，Q ∴MQ ＝ ∵四边形CQMD 是平行四边形 ∴QM ＝CD ＝4，即=4 解得：m 1＝2，m 2＝0（舍去）

∴当m ＝2时，四边形CQMD 为平行四边形

（3）由题意，可设点Q 且B （4，0）、D （0，2） ∴BQ 2＝ DQ 2＝ BD 2＝20

①当∠BDQ ＝90°时，则BD 2+DQ 2＝BQ 2， ∴ 解得：m 1＝8，m 2＝﹣1，此时Q 1（8，18），Q 2（﹣1，0）

②当∠DBQ ＝90°时，则BD 2+BQ 2＝DQ 2，

∴ 解得：m 3＝3，m 4＝4，（舍去）此时Q 3（3，﹣2）

1k 2

=-122

y x =+1m,22m ⎛⎫-

+ ⎪⎝⎭213,222m m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭2142

m m -++2142m m -

++213,222m m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭

2

2213(4)222m m m ⎛⎫-+-- ⎪⎝⎭

22213422m m m ⎛⎫+-- ⎪⎝⎭

22

22221313204(4)22222m m m m m m ⎛⎫⎛⎫++--=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22

2222131320(4)242222m m m m m m ⎛⎫⎛⎫+-+--=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

∴满足条件的点Q 的坐标有三个，分别为：Q 1（8，18）、Q 2（﹣1，0）、Q 3（3，﹣2）．

【方法总结】

此题考查了待定系数法求解析式，还考查了平行四边形及直角三角形的定义，要注意第3问分两种情形求解．

针对训练

1．在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC 放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，点C 为 (－1，0)．如图17所示，B 点在抛物线图象上，过点B 作BD ⊥x 轴，垂足为D ，且B 点横坐标为－3．

（1）求证：△BDC ≌△COA ；

（2）求BC 所在直线的函数关系式；

（3）抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△ACP 是以AC 为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）见解析；（2）（3）存在，P 1（， ）、P 2（，） 【解析】 解：（1）证明：∵∠BCD ＋∠ACO ＝90°，∠ACO ＋∠OAC ＝90°，

∴∠BCD ＝∠OAC 。

∵△ABC 为等腰直角三角形 ，∴BC ＝AC 。

在△BDC 和△COA 中，∠BDC ＝∠COA ＝90°，∠BCD ＝∠OAC ，BC ＝AC ，

∴△BDC ≌△COA （AAS ）。

（2）∵C 点坐标为 (－1，0)，∴BD ＝CO ＝1。

∵B 点横坐标为－3，∴B 点坐标为 (－3，1)。

设BC 所在直线的函数关系式为y ＝kx ＋b ，

211222

y x x =

+

-1122y x =--12-14-12-94