最新东北大学线性代数课件第一章_行列式
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
东北大学线性代数课件第一章_行列式
第一章 行列式
教学基本要求： 1. 1. 了解行列式的定义.
2. 掌握行列式的性质和计算行列式的方法.
3. 会计算简单的n 阶行列式.
4. 了解Cramer 法则.
一、行列式的定义 1. 定义
nn
n n n
n
a a a a a a a a a 212222111211称为n 阶行列式，记作D (或n D 或||ij n a )，它是n 2个数
(1,2,
,;1,2,
,)ij a i n j n ==的一个运算结果：
11
12121222111112121112
n n n n n n nn
a a a a a a D a A a A a A a a a =
=+++，(1.1)
其中，(1,2,,;1,2,,)ij a i n j n ==为行列式位于第i 行且第j 列的元素，
111(1)j j j A M +=-(1,2,,)j n =，而1j M 为划掉行列式第1行和第j 列的全部元素后余下的元素组成的1n -阶行列式，即
21
212122231
21
311
11
j j n j j n j n n j n j nn
a a a a a a a a M a a a a -+-+-+=
1j M 称为元素1j a 的余子式，1j A 称为元素1
j
a 的代数余子式.
2. 基本行列式：
(1)一阶行列式 a a =||. 例如，|106|106=，
2121-=-.
1112112212212122
a a a a a
a a a =-.
112233122331132132a a a a a a a a a ++ 132231122133112332a a a a a a a a a ---.
(4)三角形行列式
①对角行列式
11
1122
nn nn
a a a a a =.
②下三角行列式
11
1122
1nn n nn a a a a a a =.
③上三角行列式
11
11122
n
nn nn
a a a a a a =.
④
1(1)2
121
11
(1)
n
n n n n n n a a a a a --=-.
⑤
1(1)2
121
11(1)
n
n n n n n n nn a a a a a a --=-.
⑥
11
1(1)2
121
11
(1)
n
n n n n n n a a a a a a --=-.
3. 行列式的性质
nn
n n n n a a a a a a a a a D
2122221
11211
=
，nn
n n
n n T a a a a a a
a a a D
212
2212
12111=
性质1.1 D D T =. (1.2)
性质1.1的意义：行列式的行所具有的性质列也具有.
下面仅针对行叙述行列式的性质. 性质1.2(行列式的展开性质)
111212122211221
2
n n i i i i in in n n nn
a a a a a a a A a A a A a a a =+++, (1,2,,)i n =. (1.3)
例如，行列式1214020311
20
23020030
5
9
D A A -=
=+ 3214442396A A A ==+=.
一个n 阶行列式有 个余子式，有 个代数余子式； 一个元素的余子式与代数余子式或 或 .
应该注意到，一个元素的余子式或代数余子式与该元素的 有关，与该元素的 无关.
性质1.3(行列式的公因子性质)
1
1
i in i in ka ka k a a =. (1.4)
性质1.3还可以这样表述：用数k 乘以行列式某一行的每一个元素，等于用数k 乘以行列式.
例如，246123
40524052(58)116106106
=⨯=⨯-=---.
0.510.520.531234050.54050.5(58)29106106
⨯⨯⨯=⨯=⨯-=---. 推论 行列式的一行元素全为零，行列式为零.
性质1.4(行列式的拆分性质)
111211122
12
1112111
1211
2121
2
1
2
.n i i i i in in n n nn
n
n i i in i i in n n nn
n n nn
a a a
b
c b c b c a a a a a a a a a b b b c c c a a a a a a +++=+ (1.5)
性质1.4可以推广到一行有更多个数相加的情形.
性质1.5 行列式两行元素对应全相等，行列式为零. 推论1 行列式两行元素对应成比例，行列式为零. 推论2 设行列式||ij n D a =，则
1122i j i j in jn ij a A a A a A D δ++
+=⋅. (1.6)
这里，1,,
0,.ij i j i j δ=⎧=⎨
≠⎩
ij δ为Kronecker 符号.
性质1.6(行列式的不变性质)