最新东北大学线性代数课件第一章_行列式

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线性代数课件1-4行列式按行(列)展开

实例解析
• 实例2：考虑行列式$\begin{vmatrix}
实例解析
01
a&b&c
02
d&e&f
g&h&i
03
实例解析
• \end{vmatrix}$，按第2行展开，得到 $D=b\times\begin{vmatrix}
实例解析
d&f g&i
end{vmatrix}+ctimesbegin{vmatrix}
二阶行列式
由两个元素$a_{11}$和$a_{12}$，以及$a_{21}$ 和$a_{22}$构成的矩形，其值为$a_{11}a_{22} a_{12}a_{21}$。
三阶行列式
由八个元素构成的三个二阶行列式，其结果为三个二阶行列式的代数和。
n阶行列式
由n阶方阵的n个元素构成的n个二阶行列式的代数和。
行列式的性质
01
交换律：行列式的行和列可以交换，即$|begin{matrix} a_{11} & a_{12} a_{21} & a_{22} end{matrix}| = | begin{matrix} a_{21} & a_{22} a_{11} & a_{12} end{matrix}|$。
02
结合律：行列式的行和列的乘法可以按照任意组合进行，即 $|begin{matrix} a_{11} & a_{12} a_{21} & a_{22} end{matrix}| = | begin{matrix} a_{11} & a_{12} a_{21} & a_{22} end{matrix}| - | begin{matrix} a_{11} & a_{21} a_{12} & a_{22} end{matrix}|$。

线性代数课件第一章行列式

an1 an2
ann
0
0
(1) a a ( j1 j2 jn ) 1 j1 2 j2
j1 j2 jn
ann
(1) (1 j2
a a jn ) 11 2 j2
1 j2 jn
(1) (123 n) a11a22 ann
a11a22 ann
anjn anjn
a11 0
0
计算主对角线行列式 0 a22
a13 a23 a33
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a11a23a32 a12a21a33
说明（1）三阶行列式共有 6 项，即 3! 项．
（2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积．
23
（3）每项的正负号都取决于位于不同行不同列的三个元素的下标排列．
= 1 + 4 + 0 + 0 + 1+ 0 = 6 14
τ(314625)=5，314625是奇排列。 τ(314652)=6，314652是偶排列。
逆序数的性质
(12n) 0，
(n(n 1)321) n(n 1)
2
0 (i1i2
in )
n(n 1) 2
15
定义2.3 把一个排列中两个数i , j的位置互换而保持其余数字的位置不动，则称对这个排列施行了一个对换，记作(i , j). 两个相邻位置数字的对换称为相邻对换，否则称为一般对换。
数的排列称为奇排列。逆序数为偶数的排列称为偶排列。
如：314652中， 31是逆序，65是逆序，32是逆序，42是逆序 62是逆序，52是逆序数。逆序数τ(314652)=6
记τk = 排列j1j2…jn中数字k前面比k大的数的个数。则 τ(314652)= τ1 + τ2 + τ3 + τ4 + τ5 + τ6

线性代数-行列式PPT课件

矩阵的秩和行列式
矩阵的秩和行列式之间也存在关系。矩阵的秩等于其行向量或列向量生成的子空间的维数，而行向量或列向量生成的子空间的维数又等于该矩阵的阶数与非零特征值的个数之和减去一，而一个矩阵的非零特征值的个数又等于该矩阵的行列式的值。
05
特殊行列式介绍
二阶行列式
定义
二阶行列式表示为2x2的矩阵，其计算公式为a11*a22a12*a21。
对于任何n阶方阵A，其行列式|A|和转置行列式|A^T|相等，即|A^T| = |A|。
行列式的乘法规则
总结词
行列式的乘法规则
详细描述
行列式的乘法规则是两个矩阵的行列式相乘等于它们对应元素相乘后的行列式。即，如果矩阵A和B分别是m×n 和n×p矩阵，那么它们的行列式相乘|AB| = |A||B|。
向量和向量的外积
行列式可以用来描述向量的外积，即两个向量的叉积。叉积的结果是一个向量，其方向垂直于作为叉积运算输入的两个向量，大小等于这两个向量的模的乘积与它们之间夹角的正弦的乘积。
在线性方程组中的应用
解线性方程组
行列式可以用来判断线性方程组是否有解，以及解的个数。如果一个线性方程组的系数矩阵的行列式不为零，则该线性方程组有唯一解；如果系数矩阵的行列式为零，则该线性方程组可能无解、有唯一解或有无穷多解。
线性代数-行列式ppt课件
• 引言 • 行列式的计算方法 • 行列式的性质 • 行列式的应用 • 特殊行列式介绍 • 行列式的计算技巧
01
引言
主题简介
01
行列式是线性代数中的基本概念之一，用于描述矩阵的某些性质和运算规则。
02
行列式在数学、物理、工程等领域有广泛的应用，是解决实际问题的重要工具。

线性代数第一章行列式课件

a11
a12
a1n
a11 a12
a1n a11 a12
a1n
ai1 bi1 ai2 bi2
ain bin ai1 ai2
ain bi1 bi2
bin
an1
an2
ann
an1 an2
ann an1 an2
ann
性质5 将行列式的某一行（列）的所有元素同乘以一个数 k 加到另外一行（列）上，行列式不变，即
a1,n1 a2,n1
a1n a2n
a11 a21
a12 a22
a1,n1 a2,n1
an1,1 0
an1,2 0
an1,n1 0
an1,n 1
a a n1,1
n1,2
an1,n1
其中等号左端的行列式是一个 n 阶行列式；等号右端
的行列式是左端 n 阶行列式的前 n-1 行前 n-1 列的元
素所组成的 n-1 阶行列式，即左端行列式第 n 行第 n
j 1, 2, , n
ann
a1n
(1)i j aij
ai 1,1 ai1,1
ai1, j1 ai1, j1
ai1, j1 ai1, j1
ai1,n ai1,n
an1
an, j1
an, j1
ann
定理4 设
a11 a12
a1n
D a21 a22
a2n
an1 an2
ann
是一个 n 阶行列式， Aij 为 D 的第 i 行第 j 列元素 aij 的代数余子式，则有
1
2
n ( n 1)
(1) 2 12 n
n
二、行列式的基本性质
定义6 设

线性代数1行列式PPT

0 0 0 0 b11 b1n bn1 bnn
a11 a1k D1 ak1 akk

b11 b1n D2 bn1 bnn

则有： D1 D2 要求：记住D的形式以及本题结论。 D
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 an1 x1 an 2 x2 ann xn bn
2
仍然看例
解：令 D D2
的位置换到先把为了利用前面的结果11aaijnnnnnaaaaaaad????????2122221110?34????11idnnjnjnnnijijijiinijijijiinjjjijaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa?????????????????????????1111?11?1?11?11?1?11?1?11?11?111111110000????????前页35nnjnjnnnjnijijiijinijijiijinjjjijjiaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa????????????????????????1111?11?11?11?1?1?11?11?11?1?111111111100001?1?????????????引理得证
b11 b12 b1n D b21 b22 b2 n bn1 bn 2 bnn
a11 a21 an1 a12 a22 an 2 a1n a2 n ann
19
bij a ji (i, j 1,, n)
则称D'为D的转置行列式，且有D=D'。
1
2 4
17
行列式的定义二（用行标排列）: S n 阶行列式也可定义为: D (1) aq 1 aq n , 其中 s 为行标排列 q1q2 qn 的逆序数。总结：事实上，行列式的定义可以写出三种形式：

线性代数课件PPT第一章行列式 S1_3 行列式定义

任意一项前面的符号就是
(1) (i1,i2, ,in) ( j1, j2, , jn)
特别的，若我们把各项的列指标按自然顺序排列成
a a k11 k2 2 aknn 时，则有该项前符号应为： (1) (k1,k2 , ,kn ) (1,2, ,n) (1) (k1,k2 , ,kn )
因此n阶行列式的展开式也可以定义为
11 j2 jn
( j2 jn ) 2 j2
anjn
而
a22 a23
B a32 a33
a2n
a3n
(1) ( j2
a jn ) 2 j2
anjn
j2 jn
an2 an3
ann
故左端＝ a11 B =右端.
14
回顾：在行列式的定义中，为了决定每一项的正负号，我们把 n个元按行标自然顺序排列起来。
6
例1 计算反对角行列式 0 0 0 1
0020
0300
解：（分析）
4000
展开式中项的一般形式是 a1 a p1 2 a p2 3 a p3 4 p4 若 p1 4 a1 p1 0, 所以 p1 只需要取4 ,
同理可得 p2 3, p3 2, p4 1
即行列式中不为零的项为 a a a a 14 23 32 41 .
a a a 1 j1 2 j2 3 j3
j1 j1 j3 是1,2,3 的某个排列。这样的排列共有 P33 3! 6
个，分别对应了展开式中的六项。
2
再来计算各项列指标构成排列的反序数：
a11 a12 a13
a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
a31 a32 a33
a11 a12

线性代数行列式课件

行列式与空间向量的关系
总结词
行列式可以用来表示空间向量的方向和大小。
详细描述
在三维空间中，行列式可以用来表示向量的方向和大小。通过行列式，我们可以计算出向量的模长以及向量的方向余弦值，从而确定向量的方向和大小。此外，行列式还可以用来表示向量的外积和混合积，进一步揭示了行列式与空间向量的关系。
END
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PART 05
行列式的应用实例
在线性方程组中的应用
总结词
行列式在解决线性方程组问题中起到关键作用，通过克拉默法则，我们可以利用行列式值来求解线性方程组的解。
详细描述
在解决线性方程组问题时，克拉默法则是一个重要的工具。该法则指出，如果一个线性方程组中的系数行列式不为零，则该方程组有唯一解。通过计算系数行列式和将系数行列式设置为零，我们可以找到使方程组无解
ONE
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线性代数行列式课件
目录
• 行列式的定义与性质 • 行列式的展开定理 • 行列式的计算技巧 • 行列式在几何中的应用 • 行列式的应用实例
PART 01
行列式的定义与性质
行列式的定义
总结词
行列式是n阶方阵所有可能的二阶子方阵的行列式之积。
详细描述
行列式是由n阶方阵的元素构成的，按照一定的排列顺序形成的n阶方阵，其值是一个标量，表示n阶方阵的线性变换对单位体积的改变量。
行列式的性质
总结词
行列式的性质包括转置、交换、代数余子式等。
详细描述
行列式的一个重要的性质是转置，即把行列式的行变为列，得到的新的行列式的值与原行列式的值互为转置。交换行列式的两行，行列式的值变号。代数余子式是去掉一个子行列式后剩下的元素构成的行列式，其值等于原行列式值的负一倍。

《线性代数》课件第1章

3
1
1 r1 6
1131
1113
1 1 1 1 r2 r1 1 1 1 1
1 3 1 1 r3 r1 0 2 0 0
6
6
48
1 1 3 1 r4 r 1 0 0 2 0
11 1 3
0002
例1.3.4 计算
a1 a1 0 0
0
a2 a2
0 .
0 0 a3 a3
11 1 1
解根据行列式的特点，可将第1列加至第2列，然后将
an1 an2
a nj
a nn
an1 an2
bn
a nn
性质6 把行列式的某一行(列)的各元素乘以同一数然后加到另一行(列)对应的元素上去，行列式的值不变，即
a11
a1n
a11
a1n
ai1
ain ri krj ai1 ka j1
ain a jn
a j1
a jn
(1.3.1.3) a1…alabb1…bmc1…cn
再作m+1次相邻对换，式(1.1.4) a1…albb1…bmac1…cn
(1.1.2) (1.1.3) (1.1.4) ( 1.1.5)
1.2 行列式的定义
1.2.1
定义1.2.1 由4个元素aij(i=1，2；j=1，2)排成两行两列，并定义
3a11 a12
5a23 2 3a21 a22
5a33
3a31 a32
a11 2 (3) 5 a21
a31
5a13 5a23 5a33
a12 a13 a22 a23 a32 a33
2 (3) 51 30.
例1.3.2 计算
3 1 1 2 5 1 3 4 D 2 0 1 1 1 5 3 3

线性代数行列式的性质与计算课件

=1(-1)1+1 1 3 +0(-1)1+2 1 3 +(-2) (-1)1+3 1 1
31
-2 1
-2 3
=1(-8)+0+(-2)5 =-18.
例1．分别按第一行与第二列展开行列式
1 0 -2 D= 1 1 3
-2 3 1
解：按第一行展开
Da11A11 +a12A12 +a1nA1n =1(-8)+0+(-2)5 =-18.
an1 an2 … ann
推论1 如果行列式的某一行(列)的元素为零，则D＝0. 推论2 如果D中有两行(列)成比例，则D=0.
行列式的性质
性质4 若行列式中的某一行(列)的元素都是两数之和，
则此行列式可以写成两个行列式之和.即
a11 a12 … a1n
a11 a12 … a1n a11 a12 … a1n
row (行)
要点：利用性质将其化为上三角行列式，再进co行lum计n（算列。）
为表述方便，引入下列记号(行用r，列用c)：
1)交换行列式的第 i 行与第 j 行，用 ri rj表示； 2)以数k乘以行列式的第i行，用kri表示； 3)以数k乘以行列式的第i行加到第j行，用rj+kri表示.
为了不引起混淆, 每步最好只进行一个操作. 例如:
D
1 2 4 2
02 3 3
2 1 3 1
0 1 1 11
1 0 1 5
1 0 1 5
1 0 1 5
r3 2r2
0 r4 r2 0
1 0
3 3
8
0 r3 r4
19
0
1 0

线性代数课件第1章：矩阵与行列式

0
1
0
1
0
0
1
0
1
0
0
这个数表反映了四城市间交通联接情况.
矩阵的定义
由 m n 个数 aij i 1,2,,m; j 1,2,,n
排成的 m行 n列的数表
a11 a12 a1n
a21 a22 a2n
am1 am2 amn
称为 m n矩阵. 记作
a11
A
a21
a12
a22
a1n a2n
二、数与矩阵相乘
1、定义
数与矩阵A的乘积记作A或A , 规定为
a11
A
A
a21
a12
a22
a1n
a2n
.
am1 am1 amn
2、数乘矩阵的运算规律（设 A、B为 m n 矩阵， ,为数）
1 A A;
2 A A A;
3 A B A B.
矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的线性运算.
a12b1 a22b2 a32b3
b1 a13b1 a23b2 a33b3） b2
b3
a11b12 a22b22 a33b32 2a12b1b2 2a13b1b3 2a23b2b3 .
例4
设A
0
1
0 1
求Ak
.
0 0
1 0 1 0
解
A2 0 1 0 1
表示一个从变量x1, x2,, xn 到变量 y1, y2,, ym的线性变换. 其中aij为常数.
y1 a11x1 a12 x2 a1n xn ,
y2 a21x1 a22 x2 a2n xn ,
ym am1 x1 am2 x2 amn xn .

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东北大学线性代数课件第一章_行列式第一章行列式教学基本要求： 1. 1. 了解行列式的定义.2. 掌握行列式的性质和计算行列式的方法.3. 会计算简单的n 阶行列式.4. 了解Cramer 法则.一、行列式的定义 1. 定义nnn n nna a a a a a a a a 212222111211称为n 阶行列式，记作D (或n D 或||ij n a )，它是n 2个数(1,2,,;1,2,,)ij a i n j n ==的一个运算结果：1112121222111112121112n n n n n n nna a a a a a D a A a A a A a a a ==+++，(1.1)其中，(1,2,,;1,2,,)ij a i n j n ==为行列式位于第i 行且第j 列的元素，111(1)j j j A M +=-(1,2,,)j n =，而1j M 为划掉行列式第1行和第j 列的全部元素后余下的元素组成的1n -阶行列式，即212121222312131111j j n j j n j n n j n j nna a a a a a a a M a a a a -+-+-+=1j M 称为元素1j a 的余子式，1j A 称为元素1ja 的代数余子式.2. 基本行列式：(1)一阶行列式 a a =||. 例如，|106|106=，2121-=-.1112112212212122a a a a aa a a =-.112233122331132132a a a a a a a a a ++ 132231122133112332a a a a a a a a a ---.(4)三角形行列式①对角行列式111122nn nna a a a a =.②下三角行列式1111221nn n nn a a a a a a =.③上三角行列式1111122nnn nna a a a a a =.④1(1)212111(1)nn n n n n n a a a a a --=-.⑤1(1)212111(1)nn n n n n n nn a a a a a a --=-.⑥111(1)212111(1)nn n n n n n a a a a a a --=-.3. 行列式的性质nnn n n n a a a a a a a a a D212222111211=，nnn nn n T a a a a a aa a a D212221212111=性质1.1 D D T =. (1.2)性质1.1的意义：行列式的行所具有的性质列也具有.下面仅针对行叙述行列式的性质. 性质1.2(行列式的展开性质)1112121222112212n n i i i i in in n n nna a a a a a a A a A a A a a a =+++, (1,2,,)i n =. (1.3)例如，行列式1214020311202302003059D A A -==+ 3214442396A A A ==+=.一个n 阶行列式有个余子式，有个代数余子式；一个元素的余子式与代数余子式或或 .应该注意到，一个元素的余子式或代数余子式与该元素的有关，与该元素的无关.性质1.3(行列式的公因子性质)11i in i in ka ka k a a =. (1.4)性质1.3还可以这样表述：用数k 乘以行列式某一行的每一个元素，等于用数k 乘以行列式.例如，24612340524052(58)116106106=⨯=⨯-=---.0.510.520.531234050.54050.5(58)29106106⨯⨯⨯=⨯=⨯-=---. 推论行列式的一行元素全为零，行列式为零.性质1.4(行列式的拆分性质)11121112212111211112112121212.n i i i i in in n n nnnn i i in i i in n n nnn n nna a abc b c b c a a a a a a a a a b b b c c c a a a a a a +++=+ (1.5)性质1.4可以推广到一行有更多个数相加的情形.性质1.5 行列式两行元素对应全相等，行列式为零. 推论1 行列式两行元素对应成比例，行列式为零. 推论2 设行列式||ij n D a =，则1122i j i j in jn ij a A a A a A D δ+++=⋅. (1.6)这里，1,,0,.ij i j i j δ=⎧=⎨≠⎩ij δ为Kronecker 符号.性质1.6(行列式的不变性质)nnjn inn n j i n j i nn in jn in n n i j in i j i a a a a a a a a a a a a a ka a a a a ka a a a a ka a a a122212111111222212111111=+++. (1.7)性质1.6的意义：任何一个行列式都可化为三角形行列式，从而算出值.性质1.7(行列式的变号性质)12121212()i i inj j jnj j jni i ina a a a a a i j a a a a a a =-≠. (1.8)总结：利用性质1.6及其它性质与推论，可以更容易地将一个行列式化为“三角形”行列式.步骤如下：111211111121112122212222121212100n nn n n n n n n n nn nn nnnnna a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ------'''''''→'''(n 1)(n 1)(n 1)(n 1)11121111112111(n 1)(n 1)(n 1)2221222212(n 1)100000n n n n n n n nnnnnnna a a a a a a a a a a a a a a a a -------------''''''''''''''→→→''''.例如，582900610312540610312610540312601504321-=-=-=--=-.在实际计算中，往往是“化零”与“展开”结合着进行，需要根据行列式的特点灵活地运用行列式的性质．二、行列式的计算行列式的计算过程，大多可以通过如下符号指示：交换i , j 两行(列)：i j r r ↔（i j c c ↔）；第i 行(列)提取公因子k ：i r k ÷（i c k ÷）；第j 行(列)的k 倍加到第i 行(列)：i j r kr +（i j c kc +）.例1.1 计算行列式011212120112110-----=D .解 011212120112110-----=D112121110121121210111265----⨯-⨯+---⨯-⨯=）（）（46242=⨯+⨯-=.或 01120112110210101210121021102110D -----==---- 51012(1)1212(2)4211=⨯---=-⨯-=.例1.2 计算行列式0203112002003059D -=. 解 653216953021300)1(25=-=⨯-⨯=D . 或 144414443939(3)(2)906D A A M M =+=-+=-⨯-+⨯=.或 0203112002003059D -=4130203112002003650r r --=- 5112123(1)0206635365-=⨯-=-=-.例1.3 计算行列式653511311280111----=D .解 11100010821161113101410153562256D --===-------.例1.4 计算n 阶行列式121231.1232212221n n n nn D n n n n n n n n -+=---+--解 11120 3.n , n D , n , n =⎧⎪=-=⎨⎪≥⎩，，例1.5(例1.10 P 16) 计算n 阶行列式na b b b a b b b a D=.解分析：注意到该行列式的特点是，主对角线上的元素是同一个值，主对角线之外的元素都相同，那么运用，有12(1)(1)(1)nn i c c na nb b b a n b a b D a n b ba =++-∑+-=+-(这时行列式，继续)12,,(1)00i c c i nna nb bba ba b -=+--=-(这时行列式，继续)1[(1)]()n a n b a b -=+--．例1.6(例1.11 P 16) 设行列式n ij a D =的阶数n 为奇数，且ji ij a a -=),,2,1,(n j i =，求D ．解分析：条件ji ij a a -=),,2,1,(n j i =表明),,2,1(0n i a ii ==，000321323132231211312n nnn nn a a a a a a a a a a a a D ------= (称为反对称行列式) (每行提取公因子-1，然后做转置运算，有)121311223213233123121*********23312300(1)00000,0n n n n nn n n nn nnna a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a D a a a -----=---=---=----从而D =0．例1.7(例1.12 P 17) 计算n 阶行列式nn D 2112112112=. (三对角行列式)解分析：该行列式对角线上的元素全为２，次对角线上的元素全是１，其余元素都是0．由于0元素比较多，所以利用展开性质(也说降阶法)来计算.将D n 按第１行展开，有121112M M D n ⋅-⋅=.注意到111-=n D M ，如果再将12M 按第１列展开，即有212-=n D M ．于是得到一个递推公式212---=n n n D D D .现在考虑数列}{n D ，由211----=-n n n n D D D D 可知，数列}{n D 是一个等差数列，公差为12312=-=-D D ，首项21=D ，从而第n 项1+=n D n ．降阶法是求三对角行列式的常用方法，但不是唯一的方法. 另解，nr r nn D 2112123012212112112112122-==3243342121032032043043111110236421211212r r r r nn--=⨯=⨯== nn n n nn 1011342030121)!1(1+-⨯-1+=n .三对角行列式的一般形式为nnn n n n a c b a c b a c b a D 111222111---=. (1.9)例1.8(例1.13 P 17) Vandermonde 行列式()1232222123111111231111n n n ji i j nn n n n na a a a D a a a a aa a a a a ≤<≤----==-∏. (1.10)记住Vandermonde 行列式的特点、结果，了解证明方法.三、行列式应用1. 求解特殊的线性方程组考虑n 元线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++.,,22112222212111212111n n nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a (1.11) 记 111212122212n n n n nna a a a a a D a a a =，1121222212n n nn nnb a a b a a D b a a =，1111212221n n n nnna b a a b a D a b a =，，111212122212n n n na ab a a b D a a b =.定理(Cramer 法则) 若线性方程组(1.11)的系数行列式0≠D ，则该方程组有惟一解：i i x D D =（1,2,,i n =）． (1.12)例1.9(例1.14 P 20) 解线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=---=++=-+.0 2,23 2 ,1 2321321321x x x x x x x x x 解该方程组的系数行列式D 及D 1、D 2和D 3分别为20121312121=---=D ，31203121211-=----=D ，51013221112=---=D ，130212121213-=--=D .由于0≠D ，故方程组有唯一解：20311-==D D x ，4120522===D D x ，201333-==D D x ．对于齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++,0,0,0221122221211212111n nn n n n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a (1.13) 有如下结论：推论当齐次线性方程组(1.13)的系数行列式不为零时，它只有零解．该结论也可以表述为：若齐次线性方程组有非零解, 则方程组的系数行列式必为零.2. 用行列式表示几何图形的面积和体积.3. 用行列式表示直线、平面方程和判定三点是否共线、四点是否共面.4. 用行列式解决多项式函数的插值问题.四、习题(P 26-30) 选择题：1. 112,,111010(1)01i r r n i nD --=-==--.填空题：5. 4142434441424344M M M M A A A A +++=-+-+3040222207001111==---.解答题：1. 解 414243213114204232011420A A A -++==-.2. 提示：由A 31=-2，求出x ，再计算A 12.3.(3) n 2n 222121(1)1n n n a D aD a D a a a a----=====-.(4) ()nnn112n i i i i i 111nn a d a d D a b c d .c b c b ===-∏(5) 33(1,2,4,,)(1,2,4,,)1, 1,7, 2,6(3)!, 3.i i r r i n c c i n n D n n n -=-==⎧⎪=-=⎨⎪-≥⎩(6) i i n 1112n 1n 2n 1n nc a c i i 1,2,,ni 1nx a a a a a 10x a a a 1D(x a )00x a 101+---==-----==--∏.(7) i 1i r r i n,,212n 1n1111n D 111n 111n 11+-=--=-- i 11ic c i 2,,nni 21c c ni 2,,n(n 1)(n2)nn 12i 2n(n 1)n 1211n 2n 1100n 10n 01n 0011(i 1)1n 2n 1n 000n 00n 00n1(1)(n)(1(i 1))n (n 1)n (1).2-==+=---=-----=--+----=--=--+-+=-∑∑(8) 12n 1n12n x a a 1a x a 1D a a x 10001=i i n 1i n 1ii i 1122c a c i 1,2,,nn n12n1122ar r xa i 1,2,,nn nni i 1i ini11n n i 1i ix a 0010x a 0100x a 1a a a 1x a 0010x a 0100x a 1a 01x a a (x a )(x a )(1).x a ++-=+-===--=------=-+-=--+-∑∑(11) 12n a x a a 1aa x a1D aa ax 1001++=+i n 112c ac i 1,,nn 12nni 1in1n i 1ix 0010x 0100x 1a a a 1x 0010x 0100x 1a 001(1)x a x x (1(1)).x +-====---=++=++∑∑(9)方法一左端按最后一行展开方法二左端按第一列展开，产生递推公式1n n n D xD a -=+. 方法三左端产生下三角行列式.从第二列开始，依次将前一列的1x倍加到后一列上.方法四左端从最后一列开始，依次将后一列的x 倍加到前一列，然后按第一列展开.(10) 方法一n na b ab 1a b abD 1a b ab1a b ++=++n 1n 2(a b)D abD --=+-⇒ ()()n 2n n n 1n 1n 221D aD b D aD b D aD b -----=-==-=⇒n n n 1n 1n 1n 2221D aD b D aD b D aD b -----=-=-=⇒n 1n n 1n 22n nn 1n 22n 1nD a (a b)b ab a b a ab ab ab b .------=+++++=+++++方法二n na b ab1a b abD 1a b ab1a b ++=++nnn 1nn 1n 1a abb ab1a b ab 0a b ab 11a baba b ab1a b 1a b a 01a ab bD 1a b ab1a b a ab1a b ab a bD 1a b ab1a b ---++=+++++=++++=+++n n 1a bD -=+ (1)同理，n n n 1D b aD -=+ (2)由(1)×a, (2)×b 得aD n -a n+1= bD n -b n+1，所以 D n =(b n+1-a n+1)/(b-a)=n n 1n 22n 1n a a b a b ab b ---+++++.(12) 设 1232222212311111123123111111nn n n n n n n n n n n n nn n n nnn a a a a x D a a a a x a a a a x a a a a x ----------+=，这是一个范德蒙行列式.111121111112111()()()()() nni i j i n i j nnnn i j n i j n i j n i j n n n n n n n n D x a a a a a x a a a a a x x A x A xA A =≥>≥-≥>≥≥>≥-+++++=--=--+++-+=++++∏∏∏∏123222211111231111211111 ()().n n n n n nn n n nnn n n n n nn i j n i j a a a a a a a a a a a a D x M A a a a a a -----++≥>≥==-=+++-∏的元素的余子式7. 提示：x=D x /D, D=-4 ⇒ x a b c a 11111b 11D 4111c 11-=-=-=--.8. 提示：(0,3),(2,2)→→==AB AC ，03622=-，故三角形ABC 的面积为3.五、计算实践实践指导：（1）注意到上（下）三角行列式和对角行列式的值等于其对角线上元素的乘积，所以利用行列式的性质应尽可能地把行列式化为三角形行列式；（2）利用行列式的性质尽把行列式的某一行（列）元素可能多地化为零，然后按行（列）展开，通过降阶的方式达到计算行列式的目的；（3）利用Laplace 展开式；（4）利用范德蒙行列式；（5）计算行列式的可使用的方法有定义法、性质法、降阶法、递推法、归纳法、加边升阶法及方阵行列式法等.例1 计算行列式 14 0 1 136 0 01 11 25 1. 3 13 12 113 1 1------ 解分析：仔细观察之后发现，第2行为0的元素多且非0元素成整数比关系，因此先利用性质把这一行元素大部分化为0，然后按第2行降阶. 依照此理，接下来又选择了第1行、第3行降阶.原式2112c 2c c 3c 22 0 1 1 0 0 0 012 3 25 13 73 1 22 1 3 1 1+----=-----2522012325(1)(1)37312131+----=-⨯----211423c c c 2c c c 140011252511031033112521252(1)110311330330031233459.113-+-+--=---=---=-== 例2 计算三对角行列式1112223n n 2n 2n 1n 1n 1na b c a b c a D b c a b c a -----=.解这类题的一般做法是产生递推公式. 按第n 行展开有1112n (n 1)n n 1n n 1n 2n 2n 1a b c a D (1)c a D a 0c b +------=-+n (n 1)(n 1)(n 1)n n 1n 1n 1n 2n n 1n 1n 1n 2a D (1)(1)b c D a D b c D .+--+---------=+--=-令n n 1n 1x y a xy b c --+=⎧⎨=⎩，则x,y 是方程2n n 1n 1z a z b c 0---+=的根，代入上式得 n n 1n 2D (x y)D xyD --=+-.()()n n 1n 1n 2n 221n 221D xD y D xD y D xD y r. (r=D xD )------=-==-=-n 2n n 1n 3n 2n 2n 1n 2n 3n 2121D xD xy x(xD xy )y r x D (x x y y )r. (r=D xD )---------=+=++==++++-对于具体的三对角行列式，一般计算会简单些.例3 计算三对角行列式n na b b a a b b a a b Da b b a a b +++=++.解方法一利用例2得到的递推公式.n n 1n 2D (a b)D abD --=+-n n 1n n 1n 2aD b a(aD b )b ---=+=++（这里递推公式中的x,y 显然分别为a,b ）n 1n 22n1nn 1na D ab b a a b b .---==+++=+++方法二按第一行拆分，有i i 1n nnc c n 1i 2,,nnn n 1a 0 b ba ab b a a b b a a baa b Da b ba b ba ab a a b b 0 a b 0 a baD b 0 a b aD b .---=-++++=+++++=+=+①考虑对称性，也有n n n 1D bD a -=+. ②联立①、②，解之得n 1n 1n n 1n n a b D a a b b .a b++--==+++-对称性在本题中起了重要作用. 本题还可以用数学归纳法做.例4 计算三对角行列式11223n 1nn1 a 11a a 11a a11a a 1 1a ---------.解分析：把第2至第n+1行依次加到第1行，那么新的第1行元素将只有最后一个元素不为0，然后降阶.原式1223n 1nn0 0 111a a 11a a11a a 1 1a -----=----n 1i i 212r 21(n 1)n 1n 111a a 11a (1) 1a1a 1+=+++------∑=----1r （上三角行列式）1(n 1)n (1)(1) 1.++=--=例5 计算行列式n n 1n 111111n n 1n 122222i i n n 1n 1nn n n na ab a b a a b a b , (a b 0,i 1,,n).a a b a b ------≠=解分析：注意到本行列式元素的特点，自然想到会要使用范德蒙行列式的结果. 易见如果第1至第n 行分别提取公因子n n 1n a ,,a ，那么可将其化为范德蒙行列式.原式()n 11111n 122n12n 22n 1nn nn b b 1a ab b 1a a a a a b b 1a a ---⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪=⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭()nj i 12n 1j i n i j b b a a a a a ≤<≤⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭∏. 六、知识扩展1. 设123,,ααα均为3维列向量,记矩阵()123,,A ααα=,(123123,24,B αααααα=++++)12339ααα++.如果1A =,求B . （2005 一）（答案: 2）2. 已知12,αα均为2维列向量, 矩阵()()1212122,,A B αααααα=+-=,. 若6A =, 求B . （2006四）（答案: -2）3.设矩阵2112A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭, E 为2阶单位矩阵, 矩阵B 满足2BA B E =+, 求B . （2006一）（答案: 2）提示: 方法一()()112211112211112BA B E B A E E B A E B --=+⇒-=-⎛⎫⎛⎫⇒=-== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⇒= 方法二() 2242BA B E B A E E B A E B =+⇒-=⇒⋅-=⇒=4. 计算五阶行列式5100011001100011011aa a a D a aa a a---=------. （1996 四）5. 设有齐次方程组()()()1212121 0 22 200n n n a x x x x a x x nx nx n a x ++++=⎧⎪++++=⎪⎨⎪⎪++++=⎩, 试问a 取何值时该方程组才能有非零解？（2004 一二）（答案: 0或(1)2n n +-）6. 已知行列式111212122212n n n n nna a a a a a D a a a =和齐次线性方程11220i i in n a x a x a x +++=, 证明:()()()12,,,11,2,,;nj j jnM M M j n j i --=≠都是该方程的解. 提示: 10,,=1,2,,()nik jk k a A i j n i j ==≠∑.。

最新东北大学线性代数课件第一章_行列式

线性代数课件1-4行列式按行(列)展开

线性代数课件第一章 行列式