2014年高考真题(理科数学)四川卷 纯Word版解析可编辑

2014·四川卷(理科数学)
1．
[2014·四川卷] 已知集合A ＝{x |x 2－x －2≤0}，集合B 为整数集，则A ∩B ＝( ) A ．{－1，0，1，2} B ．{－2，－1，0，1} C ．{0，1} D ．{－1，0} 1．A [解析] 由题意可知，集合A ＝{x |－1≤x ≤2}，其中的整数有－1，0，1，2，故A ∩B ＝{－1，0，1，2}，故选A.
2．[2014·四川卷] 在x (1＋x )6的展开式中，含x 3项的系数为( ) A ．30 B ．20 C ．15 D ．10
2．C [解析] x (1＋x )6的展开式中x 3项的系数与(1＋x )6的展开式中x 2项的系数相同，故其系数为C 26＝15.
3．[2014·四川卷] 为了得到函数y ＝sin (2x ＋1)的图像，只需把函数y ＝sin 2x 的图像上所有的点( )
A ．向左平行移动1
2个单位长度
B ．向右平行移动1
2个单位长度
C ．向左平行移动1个单位长度
D ．向右平行移动1个单位长度
3．A [解析] 因为y ＝sin(2x ＋1)＝sin2⎝⎛⎭⎫x ＋1
2，所以为得到函数y ＝sin(2x ＋1)的图像，只需要将y ＝sin 2x 的图像向左平行移动1
2
个单位长度．
4．[2014·四川卷] 若a >b >0，c <d <0，则一定有( ) A.a c >b d B.a c <b d C.a d >b c D.a d <b c
4．D [解析] 因为c ＜d ＜0，所以1d <1c ＜0，即－1d >－1
c ＞0，与a ＞b ＞0对应相乘得，
－a d >－b c ＞0，所以a d <b
c
.故选D. 5．，[2014·四川卷] 执行如图1-1所示的程序框图，如果输入的x ，y ∈R ，那么输出的S 的最大值为( )
图1-1
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
5．C [解析] 题中程序输出的是在⎩⎪⎨⎪
⎧x ＋y ≤1，x ≥0，y ≥0的条件下S ＝2x ＋y 的最大值与1中较大
的数．结合图像可得，当x ＝1，y ＝0时，S ＝2x ＋y 取得最大值2，2>1，故选C.
6．[2014·四川卷] 六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，
则不同的排法共有( )
A ．192种
B ．216种
C ．240种
D ．288种
6．B [解析] 当甲在最左端时，有A 55＝120(种)排法；当甲不在最左端时，乙必须在最
左端，且甲也不在最右端，有A 11A 14A 4
4＝4×24＝96(种)排法，共计120＋96＝216(种)排法．故选B.
7．[2014·四川卷] 平面向量a ＝(1，2)，b ＝(4，2)，c ＝m a ＋b (m ∈R )，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝( )
A ．－2
B ．－1
C ．1
D ．2
7．2 [解析] c ＝m a ＋b ＝(m ＋4，2m ＋2)，由题意知
a ·c |a |·|c |＝
b ·
c |b |·|c |
，即（1，2）·（m ＋4，2m ＋2）12＋22＝（4，2）·（m ＋4，2m ＋2）42＋22
，即5m ＋8＝8m ＋20
2，解得m ＝
2.
图1-2
8．[2014·四川卷] 如图1-2，在正方体ABCD - A 1B 1C 1D 1中，点O 为线段BD 的中点，设点P 在线段CC 1上，直线OP 与平面A 1BD 所成的角为α，则sin α的取值范围是( )
A.⎣⎡⎦⎤33，1
B.⎣⎡⎦
⎤63，1 C.⎣⎡
⎦⎤63，
223 D.⎣⎡⎦
⎤
223，1 8．B [解析] 连接A 1O ，OP 和P A 1，不难知∠POA 1就是直线OP 与平面A 1BD 所成的角(或其补角)设正方体棱长为2，则A 1O ＝ 6.
(1)当P 点与C 点重合时，PO ＝2，A 1P ＝23，且cos α＝6＋2－122×6×2＝－3
3，此时
α＝∠A 1OP 为钝角，sin α＝1－cos 2α＝
6
3
； (2)当P 点与C 1点重合时，PO ＝A 1O ＝6，A 1P ＝22，且cos α＝6＋6－82×6×6＝1
3，
此时α＝∠A 1OP 为锐角，sin α＝1－cos 2 α＝22
3
；
(3)在α从钝角到锐角逐渐变化的过程中，CC 1上一定存在一点P ，使得α＝∠A 1OP ＝90°.又因为
63＜223，故sin α的取值范围是⎣⎡⎦
⎤6
3，1，故选B. 9．[2014·四川卷] 已知f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )，x ∈(－1，1)．现有下列命题： ①f (－x )＝－f (x )；②f ⎝⎛⎭
⎫2x
1＋x 2＝2f (x )；
③|f (x )|≥2|x |.
其中的所有正确命题的序号是( )
A ．①②③
B ．②③
C ．①③
D ．①② 9．A [解析] f (－x )＝ln(1－x )－ln(1＋x ) ＝ln
1－x 1＋x ＝－ln 1＋x
1－x
＝－[]ln （1＋x ）－ln （1－x ） ＝－f (x )，故①正确；当x ∈(－1，1)时，2x 1＋x 2∈(－1，1)，且f ⎝⎛⎭⎫2x 1＋x 2＝ln ⎝⎛⎭⎫1＋2x 1＋x 2－ln ⎝⎛⎭⎫1－2x 1＋x 2＝ln 1＋2x
1＋x 2
1－
2x 1＋x 2＝ln 1＋x 2＋2x 1＋x 2－2x ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 1－x 2＝2ln 1＋x 1－x ＝2[ln(1＋x )－ln(1－x )]＝2f (x )，故②正确；
由①知，f (x )为奇函数，所以|f (x )|为偶函数，则只需判断当x ∈[0，1)时，f (x )与2x 的大小关系即可．
记g (x )＝f (x )－2x ，0≤x ＜1，
即g (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )－2x ，0≤x <1，
g ′(x )＝11＋x ＋11－x －2＝2x 2
1－x 2
，0≤x ＜1.
当0≤x ＜1时，g ′(x )≥0，
即g (x )在[0，1)上为增函数，且g (0)＝0，所以g (x )≥0， 即f (x )－2x ≥0，x ∈[0，1)，于是|f (x )|≥2|x |正确． 综上可知，①②③都为真命题，故选A. 10．，[2014·四川卷] 已知F 为抛物线y 2＝x 的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，OA →·OB →
＝2(其中O 为坐标原点)，则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是( )
A ．2
B ．3 C.172
8
D.10
10．B [解析] 由题意可知，F ⎝⎛⎭
⎫14，0.设A (y 21，y 1)，B (y 22，y 2)，∴OA →·OB →＝y 1y 2＋y 21y 22＝
2，
解得y 1y 2＝1或y 1y 2＝－2.又因为A ，B 两点位于x 轴两侧，所以y 1y 2＜0，即y 1y 2＝－2. 当y 21≠y 22时，AB 所在直线方程为y －y 1＝y 1－y 2y 21－y 22(x －y 2
1)＝ 1y 1＋y 2(x －y 21)， 令y ＝0，得x ＝－y 1y 2＝2，即直线AB 过定点C (2，0)．
于是S △ABO ＋S △AFO ＝S △ACO ＋S △BCO ＋S △AFO ＝12×2|y 1|＋12×2|y 2|＋12×14|y 1|＝1
8(9|y 1|＋8|y 2|)
≥18×29|y 1|×8|y 2|＝3，当且仅当9|y 1|＝8|y 2|且y 1y 2＝－2时，等号成立．当y 21＝y 2
2时，取y 1
＝2，y 2＝－2，则AB 所在直线的方程为x ＝2，此时求得S △ABO ＋S △AFO ＝2×1
2×2×2＋
12×14×2＝1728，而1728
>3，故选B. 11．[2014·四川卷] 复数2－2i
1＋i ＝________．
11．－2i [解析] 2－2i 1＋i ＝2（1－i ）2
（1＋i ）（1－i ）
＝－2i.
12．[2014·四川卷] 设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1，1)时，f (x )＝
⎩
⎪⎨⎪⎧－4x 2
＋2，－1≤x <0，x ， 0≤x <1，则f ⎝⎛⎭⎫32＝________． 12．1 [解析] 由题意可知，f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫2－12＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝－4⎝⎛⎭
⎫－1
22
＋2＝1. 13．，[2014·四川卷] 如图1-3所示，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角
分别为67°，30°，此时气球的高度是46 m ，则河流的宽度BC 约等于________m ．(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin 67°≈0.92，cos 67°≈0.39，sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，3≈1.73)
图1-3
13．60 [解析] 过A 点向地面作垂线，记垂足为D ，则在Rt △ADB 中，∠ABD ＝67°，AD ＝46 m ，∴AB ＝AD sin 67°＝46
0.92
＝50(m)，
在△ABC 中，∠ACB ＝30°，∠BAC ＝67°－30°＝37°，AB ＝50 m ， 由正弦定理得，BC ＝AB sin 37°
sin 30°
＝60 (m)，
故河流的宽度BC 约为60 m. 14．，[2014·四川卷] 设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|P A |·|PB |的最大值是________．
14．5 [解析] 由题意可知，定点A (0，0)，B (1，3)，且两条直线互相垂直，则其交点
P (x ，y )落在以AB 为直径的圆周上，
所以|P A |2＋|PB |2＝|AB |2＝10.
∴|P A ||PB |≤|P A |2＋|PB |2
2
＝5，
当且仅当|P A |＝|PB |时等号成立． 15．，[2014·四川卷] 以A 表示值域为R 的函数组成的集合，B 表示具有如下性质的函数φ(x )组成的集合：对于函数φ(x )，存在一个正数M ，使得函数φ(x )的值域包含于区间[－M ，M ]．例如，当φ1(x )＝x 3，φ2(x )＝sin x 时，φ1(x )∈A ，φ2(x )∈B .现有如下命题：
①设函数f (x )的定义域为D ，则“f (x )∈A ”的充要条件是“∀b ∈R ，∃a ∈D ，f (a )＝b ”； ②函数f (x )∈B 的充要条件是f (x )有最大值和最小值；
③若函数f (x )，g (x )的定义域相同，且f (x )∈A ，g (x )∈B ，则f (x )＋g (x )∉B ；
④若函数f (x )＝a ln(x ＋2)＋x
x 2＋1
(x >－2，a ∈R )有最大值，则f (x )∈B .
其中的真命题有________．(写出所有真命题的序号)
15．①③④ [解析] 若f (x )∈A ，则f (x )的值域为R ，于是，对任意的b ∈R ，一定存在a ∈D ，使得f (a )＝b ，故①正确．
取函数f (x )＝x (－1＜x ＜1)，其值域为(－1，1)，于是，存在M ＝1，使得f (x )的值域包含于[－M ，M ]＝[－1，1]，但此时f (x )没有最大值和最小值，故②错误．
当f (x )∈A 时，由①可知，对任意的b ∈R ，存在a ∈D ，使得f (a )＝b ，所以，当g (x )∈B 时，对于函数f (x )＋g (x )，如果存在一个正数M ，使得f (x )＋g (x )的值域包含于[－M ，M ]，那么对于该区间外的某一个b 0∈R ，一定存在一个a 0∈D ，使得f (a 0)＝b －g (a 0)，即f (a 0)＋g (a 0)＝b 0∉[－M ，M ]，故③正确．
对于f (x )＝a ln(x ＋2)＋x
x 2＋1 (x ＞－2)，当a ＞0或a ＜0时，函数f (x )都没有最大值．要
使得函数f (x )有最大值，只有a ＝0，此时f (x )＝x
x 2＋1
(x ＞－2)．
易知f (x )∈⎣⎡⎦⎤－12，12，所以存在正数M ＝1
2，使得f (x )∈[－M ，M ]，故④正确． 16．，，，[2014·四川卷] 已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π
4.
(1)求f (x )的单调递增区间；
(2)若α是第二象限角，f ⎝⎛⎭⎫α3＝4
5cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos 2α，求cos α－sin α的值．
16．解：(1)因为函数y ＝sin x 的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π2＋2k π，π
2＋2k π，k ∈Z ，
由－π2＋2k π≤3x ＋π4≤π
2＋2k π，k ∈Z ，
得－π4＋2k π3≤x ≤π12＋2k π3
，k ∈Z .
所以，函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π4＋2k π3，π12＋
2k π3，k ∈Z . (2)由已知，得sin ⎝
⎛⎭⎫α＋π4＝4
5cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4(cos 2α－sin 2α)，
所以sin αcos π4＋cos αsin π4＝45⎝⎛⎭⎫cos α cos π4－sin αsin π
4(cos 2 α－sin 2 α)，
即sin α＋cos α＝4
5(cos α－sin α)2(sin α＋cos α)．
当sin α＋cos α＝0时，由α是第二象限角， 得α＝3π
4＋2k π，k ∈Z ，
此时，cos α－sin α＝－ 2.
当sin α＋cos α≠0时，(cos α－sin α)2＝5
4
.
由α是第二象限角，得cos α－sin α<0，此时cos α－sin α＝－52
. 综上所述，cos α－sin α＝－2或－
52
. 17．，，，[2014·四川卷] 一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分(即获得－200分)．设每次击鼓出现音乐的概率为1
2
，且各次击鼓出现音乐相互独立．
(1)设每盘游戏获得的分数为X ，求X 的分布列．
(2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？
(3)玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因．
17．解：(1)X 可能的取值为10，20，100，－200. 根据题意，有
P (X ＝10)＝C 13×⎝⎛⎭⎫121×⎝⎛⎭⎫1－122
＝38，
P (X ＝20)＝C 23×
⎝⎛⎭⎫122
×⎝⎛⎭⎫1－121
＝38， P (X ＝100)＝C 33×
⎝⎛⎭⎫123
×⎝⎛⎭⎫1－120
＝18， P (X ＝－200)＝C 03×
⎝⎛⎭⎫120
×⎝⎛⎭⎫1－123
＝18
. 所以X 的分布列为：
X 10 20 100 －200 P
38
38
18
18
(2)设“第i 盘游戏没有出现音乐”为事件A i (i ＝1，2，3)，则 P (A 1)＝P (A 2)＝P (A 3)＝P (X ＝－200)＝18
.
所以“三盘游戏中至少有一盘出现音乐”的概率为1－P (A 1A 2A 3)＝1－⎝⎛⎭⎫183
＝1－1
512＝511512
.
因此，玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是511
512
.
(3)由(1)知，X 的数学期望为EX ＝10×38＋20×38＋100×18－200×18＝－5
4
.
这表明，获得分数X 的均值为负．
因此，多次游戏之后分数减少的可能性更大． 18．，，，[2014·四川卷] 三棱锥A - BCD 及其侧视图、俯视图如图1-4所示．设M ，N 分别为线段AD ，AB 的中点，P 为线段BC 上的点，且MN ⊥NP .
(1)证明：P 是线段BC 的中点； (2)求二面角A - NP - M 的余弦值．
图1-4
18．解：(1)如图所示，取BD 的中点O ，连接AO ，CO . 由侧视图及俯视图知，△ABD ，△BCD 为正三角形，
所以AO ⊥BD ，OC ⊥BD .
因为AO ，OC ⊂平面AOC ，且AO ∩OC ＝O ， 所以BD ⊥平面AOC .
又因为AC ⊂平面AOC ，所以BD ⊥AC . 取BO 的中点H ，连接NH ，PH .
又M ，N ，H 分别为线段AD ，AB ，BO 的中点，所以MN ∥BD ，NH ∥AO ， 因为AO ⊥BD ，所以NH ⊥BD . 因为MN ⊥NP ，所以NP ⊥BD .
因为NH ，NP ⊂平面NHP ，且NH ∩NP ＝N ，所以BD ⊥平面NHP . 又因为HP ⊂平面NHP ，所以BD ⊥HP .
又OC ⊥BD ，HP ⊂平面BCD ，OC ⊂平面BCD ，所以HP ∥OC . 因为H 为BO 的中点，所以P 为BC 的中点．
(2)方法一：如图所示，作NQ ⊥AC 于Q ，连接MQ .
由(1)知，NP ∥AC ，所以NQ ⊥NP .
因为MN ⊥NP ，所以∠MNQ 为二面角A - NP - M 的一个平面角．
由(1)知，△ABD ，△BCD 为边长为2的正三角形，所以AO ＝OC ＝ 3. 由俯视图可知，AO ⊥平面BCD .
因为OC ⊂平面BCD ，所以AO ⊥OC ，因此在等腰直角△AOC 中，AC ＝ 6. 作BR ⊥AC 于R
因为在△ABC 中，AB ＝BC ，所以R 为AC 的中点， 所以BR ＝
AB 2
－⎝⎛⎭⎫AC 22＝102
.
因为在平面ABC 内，NQ ⊥AC ，BR ⊥AC ， 所以NQ ∥BR .
又因为N 为AB 的中点，所以Q 为AR 的中点， 所以NQ ＝BR 2＝10
4.
同理，可得MQ ＝
10
4
. 故△MNQ 为等腰三角形， 所以在等腰△MNQ 中， cos ∠MNQ ＝MN 2NQ ＝BD 4NQ ＝10
5.
故二面角A - NP - M 的余弦值是
10
5
. 方法二：由俯视图及(1)可知，AO ⊥平面BCD .
因为OC ，OB ⊂平面BCD ，所以AO ⊥OC ，AO ⊥OB . 又OC ⊥OB ，所以直线OA ，OB ，OC 两两垂直．
如图所示，以O 为坐标原点，以OB ，OC ，OA 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系O -xyz .
则A (0，0，3)，B (1，0，0)，C (0，3，0)，D (－1，0，0)． 因为M ，N 分别为线段AD ，AB 的中点， 又由(1)知，P 为线段BC 的中点，
所以M ⎝⎛⎭⎫－12，0，32，N ⎝⎛⎭⎫12，0，32，P ⎝⎛⎭⎫12，3
2，0，于是AB ＝(1，0，－3)，BC ＝(－
1，3，0)，MN ＝(1，0，0)，NP ＝⎝
⎛⎭
⎫
0，
32，－
32. 设平面ABC 的一个法向量n 1＝(x 1，y 1，z 1)，
由⎩
⎪⎨⎪⎧n 1⊥AB ，n 1⊥BC ，得⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AB ＝0，
n 1·BC ＝0，即
⎩⎨
⎧（x 1，y 1，z 1）·
（1，0，－3）＝0，（x 1，y 1，z 1
）·（－1，3，0）＝0， 从而⎩⎨⎧x 1－3z 1＝0，－x 1＋3y 1＝0.
取z 1＝1，则x 1＝3，y 1＝1，所以n 1＝(3，1，1)． 设平面MNP 的一个法向量n 2＝(x 2，y 2，z 2)，由，
⎩
⎪⎨⎪⎧n 2⊥MN ，n 2⊥NP ，得⎩⎪⎨⎪⎧n 2·MN ＝0，n 2·NP ＝0， 即⎩⎪⎨⎪⎧（x 2，y 2，z 2）·（1，0，0）＝0，（x 2，y 2，z 2）·⎝⎛⎭
⎫0，32，－32＝0， 从而⎩⎪⎨⎪⎧x 2
＝0，32y 2－3
2z 2
＝0. 取z 2＝1，则y 2＝1，x 2＝0，所以n 2＝(0，1，1)． 设二面角A - NP - M 的大小为θ，则cos θ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝⎪⎪⎪⎪
⎪
⎪（3，1，1）·
（0，1，1）5×2＝
10
5
. 故二面角A -NP -M 的余弦值是
105
. 19．，[2014·四川卷] 设等差数列{a n }的公差为d ，点(a n ，b n )在函数f (x )＝2x 的图像上
(n ∈N *)．
(1)若a 1＝－2，点(a 8，4b 7)在函数f (x )的图像上，求数列{a n }的前n 项和S n ；
(2)若a 1＝1，函数f (x )的图像在点(a 2，b 2)处的切线在x 轴上的截距为2－1ln 2，求数列⎩⎨⎧⎭⎬
⎫
a n
b n 的前n 项和T n .
19．解：(1)由已知得，b 7＝2a 7，b 8＝2a 8＝4b 7，所以 2a 8＝4×2a 7＝2a 7＋2，解得d ＝a 8－a 7＝2，
所以S n ＝na 1＋n （n －1）
2
d ＝－2n ＋n (n －1)＝n 2－3n .
(2)函数f (x )＝2x 在点(a 2，b 2)处的切线方程为y －2a 2＝(2a 2ln 2)(x －a 2)， 其在x 轴上的截距为a 2－1
ln 2
.
由题意有a 2－1ln 2＝2－1
ln 2，解得a 2＝2.
所以d ＝a 2－a 1＝1.
从而a n ＝n ，b n ＝2n ，
所以数列{a n b n }的通项公式为a n b n ＝n
2
n ，
所以T n ＝12＋222＋3
23＋…＋n －12n －1＋n 2n ，
2T n ＝11＋22＋322＋…＋n
2
n －1，
因此，2T n －T n ＝1＋12＋122＋…＋12n －1－n 2n ＝2－12
n －1－n 2n ＝2n ＋
1
－n －2
2n .
所以，T n ＝2n ＋
1－n －2
2n
.
20．，，[2014·四川卷] 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的焦距为4，其短轴的两个端点与
长轴的一个端点构成正三角形．
(1)求椭圆C 的标准方程．
(2)设F 为椭圆C 的左焦点，T 为直线x ＝－3上任意一点，过F 作TF 的垂线交椭圆C 于点P ，Q .
①证明：OT 平分线段PQ (其中O 为坐标原点)；
②当|TF ||PQ |
最小时，求点T 的坐标．
20．解：(1)由已知可得⎩⎨⎧a 2＋b 2＝2b ，
2c ＝2a 2－b 2
＝4，
解得a 2＝6，b 2＝2，
所以椭圆C 的标准方程是x 26＋y 2
2
＝1.
(2)①证明：由(1)可得，F 的坐标是(－2，0)，设T 点的坐标为(－3，m )， 则直线TF 的斜率k TF ＝m －0
－3－（－2）
＝－m .
当m ≠0时，直线PQ 的斜率k PQ ＝1
m .直线PQ 的方程是x ＝my －2.
当m ＝0时，直线PQ 的方程是x ＝－2，也符合x ＝my －2的形式．
设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，将直线PQ 的方程与椭圆C 的方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －2，x 26＋y 2
2＝1.
消去x ，得(m 2＋3)y 2－4my －2＝0，
其判别式Δ＝16m 2＋8(m 2＋3)>0. 所以y 1＋y 2＝4m
m 2＋3，y 1y 2＝－2m 2＋3，
x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)－4＝－12
m 2＋3.
设M 为PQ 的中点，则M 点的坐标为⎝ ⎛⎭
⎪
⎫－6m 2＋3，2m m 2＋3.
所以直线OM 的斜率k OM ＝－m
3，
又直线OT 的斜率k OT ＝－m
3
，
所以点M 在直线OT 上，
因此OT 平分线段PQ .
②由①可得，
|TF |＝m 2＋1，
|PQ |＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2
＝（m 2＋1）[（y 1＋y 2）2－4y 1y 2]
＝（m 2＋1）⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝
⎛⎭⎫4m m 2＋32－4·－2m 2＋3 ＝24（m 2＋1）m 2＋3
. 所以|TF ||PQ |＝124·（m 2＋3）2m 2＋1
＝ 124⎝⎛⎭⎫m 2＋1＋4m 2＋1＋4≥124（4＋4）＝33
. 当且仅当m 2＋1＝4m 2＋1
，即m ＝±1时，等号成立，此时|TF ||PQ |取得最小值． 故当|TF ||PQ |
最小时，T 点的坐标是(－3，1)或(－3，－1)． 21．，[2014·四川卷] 已知函数f (x )＝e x －ax 2－bx －1，其中a ，b ∈R ，e ＝2.718 28…为自然对数的底数．
(1)设g (x )是函数f (x )的导函数，求函数g (x )在区间[0，1]上的最小值；
(2)若f (1)＝0，函数f (x )在区间(0，1)内有零点，求a 的取值范围．
21．解：(1)由f (x )＝e x －ax 2－bx －1，得g (x )＝f ′(x )＝e x －2ax －b .
所以g ′(x )＝e x －2a .
当x ∈[0，1]时，g ′(x )∈[1－2a ，e －2a ]．
当a ≤12
时，g ′(x )≥0，所以g (x )在[0，1]上单调递增， 因此g (x )在[0，1]上的最小值是g (0)＝1－b ；
当a ≥e 2
时，g ′(x )≤0，所以g (x )在[0，1]上单调递减， 因此g (x )在[0，1]上的最小值是g (1)＝e －2a －b ；
当12<a <e 2
时，令g ′(x )＝0，得x ＝ln(2a )∈(0，1)，所以函数g (x )在区间[0，ln(2a )]上单调递减，在区间(ln(2a )，1]上单调递增，
于是，g (x )在[0，1]上的最小值是g (ln(2a ))＝2a －2a ln(2a )－b .
综上所述，当a ≤12
时，g (x )在[0，1]上的最小值是g (0)＝1－b ； 当12<a <e 2
时，g (x )在[0，1]上的最小值是g (ln(2a ))＝2a －2a ln(2a )－b ； 当a ≥e 2
时，g (x )在[0，1]上的最小值是g (1)＝e －2a －b . (2)设x 0为f (x )在区间(0，1)内的一个零点，
则由f (0)＝f (x 0)＝0可知，f (x )在区间(0，x 0)上不可能单调递增，也不可能单调递减． 则g (x )不可能恒为正，也不可能恒为负．
故g (x )在区间(0，x 0)内存在零点x 1.
同理g (x )在区间(x 0，1)内存在零点x 2.
故g (x )在区间(0，1)内至少有两个零点．
由(1)知，当a ≤12
时，g (x )在[0，1]上单调递增，故g (x )在(0，1)内至多有一个零点； 当a ≥e 2
时，g (x )在[0，1]上单调递减，故g (x )在(0，1)内至多有一个零点，都不合题意． 所以12<a <e 2
. 此时g (x )在区间[0，ln(2a )]上单调递减，在区间(ln(2a )，1]上单调递增．
因此x 1∈(0，ln(2a )]，x 2∈(ln(2a )，1)，必有
g (0)＝1－b >0，g (1)＝e －2a －b >0.
由f (1)＝0得a ＋b ＝e －1<2，
则g (0)＝a －e ＋2>0，g (1)＝1－a >0，
解得e －2<a <1.
当e －2<a <1时，g (x )在区间[0，1]内有最小值g (ln(2a ))．
若g (ln(2a ))≥0，则g (x )≥0(x ∈[0，1])，
从而f (x )在区间[0，1]内单调递增，这与f (0)＝f (1)＝0矛盾，所以g (ln(2a ))<0. 又g (0)＝a －e ＋2>0，g (1)＝1－a >0.
故此时g (x )在(0，ln(2a ))和(ln(2a )，1)内各只有一个零点x 1和x 2.
由此可知f (x )在[0，x 1]上单调递增，在(x 1，x 2)上单调递减，在[x 2，1]上单调递增． 所以f (x 1)>f (0)＝0，f (x 2)<f (1)＝0，
故f (x )在(x 1，x 2)内有零点．
综上可知，a 的取值范围是(e －2，1)．。