三者容斥问题3个公式

公务员行测容斥原理

容斥原理公式为：

三个集合的容斥关系公式：A∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A + A∩B∩C

某校六（1）班有学生45人，每人在暑假里都参加体育训练队，其中参加足球队的有25人，参加排球队的有22人，参加游泳队的有24人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有9人，排球、游泳都参加的有8人，问：三项都参加的有多少人？答案：25+22+24-12-9-8+X=45 解得X=3

问题：某调查公司对甲乙丙三部电影的收看情况向125人进行调查，有89人看过甲电影，47人看过乙电影，63人看过丙电影，其中有24人三部电影全看过，20人一部也没看过，求只看过两部电影的人数？

为什么这道题我用容斥原理去解答得到的答案是错误的，而且和上面的例题相比较，两道题几乎一样，谁能告诉我原因？就是用容斥原理去解答错误出现在什么地方

公式一：若条件给出A∩B，A∩C，B∩C，A∩B∩C的值

对于图中的全集I来说相当于整个图中所有部分之和，即I=A∪B∪C+D（D为非A非B非C的区域），那么这里面我们算得A∪B ∪C需要把其A、B、C中重复的区域扣除，如果我们把A,B,C加在一起，其中对于A∩B（①+②）的区域是在A,B中各参与计算一次，

需要减一个A∩B，同样的道理对于A∩C（①+③），B∩C（①+④）均需要减去一个，对于重复的A∩B∩C（①）在我们把A、B、C加和时计算了三次，在减去A∩B，A∩C，B∩C均包含①区域则又减去三次，要保证没有遗漏需要在加回一次A∩B∩C，则A∪B∪

C=A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C。

公式总结：

A∪B∪C=A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C

I=A∪B∪C+D=A+B+C-A∩B-

A∩C-B∩C+A∩B∩C+D

公式二：若条件给出包含两种元素（②+③+④）和包含三种元素（①）的值

同样的I=A∪B∪C+D，那么这里面我们算得A∪B∪C依旧需要把其A、B、C中重复的区域扣除，那么对于包含两种元素（②+③+④）的区域，②在A、B中各加一次，重复一次；③在A、C中各加一次，重复一次；④在B,C中各加一次，重复一次,均重复一次，则需整体减去一倍的包含两种元素（②+③+④），对于重复的包含三种元素（①）在我们把A.B.C加和时计算了三次，则需要减去2倍的包含三种元素（①），即A∪B∪C=A+B+C-含有两种元素-2*含有三种元素

公式总结：

A∪B∪C=A+B+C-含有两种元素-2*含有三种元素

I=A∪B∪C+D=A+B+C-含有两种元素-2*含有三种元素+D

【例1】：某调查公司对甲、乙、丙三部电影的收看情况向135人进行调查，有89人看过甲片，有47人看过乙片，有63人看过丙片，既看过甲、乙片为30人，既看过乙、丙片为31人，既看过甲、丙片为32人，其中有24人三部电影都看过，问多少人一部也没有看过呢?

【解析】：既看过甲、乙片为30人是包含只看过甲乙还有甲乙丙三人两个部分，以M、N、W为既看过甲、乙片的人，N既看过乙、丙片的人，既看过甲、丙片的人，X为三部都看过的人数，这里面W、N、X都是有包含三者这个区域，根据把重复数的次数变为1次，或者说把重叠的面积变为一层，做到不重不漏的原则，则公式转化为I=A+B+C-(M+N+W)+X+Y，135=89+47+63-(30+31+32)+ 24+Y，Y=5人。

结论：三者容斥问题，画图之后可知，三个圆相交的地方有1层、2层、3层三种情况，当将三个集合相加的时候，2层和3层区域分别多计算一次和两次，故若想求全集，需要将重叠区域减掉，故三者容斥问题的公式为：A∪B∪C=A+B+C -A∩B-B∩C-C∩A+A∩B ∩C。