数学物理方法试卷5答案

物理系 20 —20 学年第 学期期末考试

《数学物理方法》试卷（A ）

考试时间：120分钟 考试方式：闭卷

班级 专业 姓名 学号

一、填空题（本大题共9题，每空2分，共24分）

1、写出复数1+3i 的三角式)3sin 3(cos 2π

πi +，指数式e i

32π

。

2、z a z b -=-中z 代表复平面上位于ab 线段中垂线上点。

3、幂级数∑∞

=⎪⎭

⎫

⎝⎛1k k

k z 的收敛半径为 ∞。

4、复变函数),(),()(y x i y x z f υμ+=可导的充分必要条件y

v x v y u x u ∂∂∂∂∂∂∂∂,,,存在，并且满足柯西-黎曼方程 。

5、e z

在Z=0的邻域上的泰勒级数是（至少写出前三项）

e z

=......!

3!2!1132++++z z z 。

6、若周期函数f (x )是奇函数，则可展为傅立叶正弦级数f (x )= l

x

k b k k πsin

1

∑∞

=

展开系数为ξπξ

ξd l

k f l b l k ⎰=

0sin )(2 。 7、就奇点的类型而言，Z=∞是函数f(z)=Z

Z

cos 的 可去 奇点，Z=0是函数的 单极 点。

8、三维波动方程形式2()0tt xx yy zz a μμμμ-++=。 9、拉普拉斯方程0u ∆=在球坐标系中的表达式为：

2222222

111sin 0.sin sin u u u

r r r r r r θθθθθφ∂∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫++

= ⎪ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭。

二、简答题（本大题共3题，每题8分，共24分）

1、 分别简述单通区域和复通区域下的柯西定理。 单通区域柯西定理：如果函数)(z f 在闭单通区域B 上解析，则沿B 上任一段光滑闭合曲线 ,有

⎰=

0)(dz z f ； (4分)

复通区域柯西定理：如果函数)(z f 是闭复通区域上的单值解析函数,则

⎰∑⎰==+

n

i i

dz z f dz z f 10)()(,式中 为区域外界境线,诸i

为区域内界境线,

积分均沿界境线正方向进行。 (4分)

2、长为l 的均匀弦，两端0=x 和l x = 固定，弦中张力为T 0，在h x =点，

以横向力F 0拉弦，达到稳定后放手任其自由振动，写出初始条件。 解： 由点斜式方程，弦的初始位移为

,(0),(),().t c

x x h h u c l x h x l l h =⎧≤≤⎪⎪=⎨

⎪-≤≤⎪-⎩ （2分）

其中 c 为弦在 x ＝ h 点的初始位移。

因为是小振动，所以

112212sin ,sin ,cos cos 1,.

c c

tg tg dS dx h l h αααααα≈=≈=≈≈≈-（2分）

写出水平、竖直方向的力平衡方程式：

01122221121000

0sin sin 0,cos cos 0,,,F T T T T T T T c c F T T h l h

αααα--=-=≈=∴=+-（2分）

解得

00()

F h l h c T l -=

，将之代入初始位移（1），得

⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧≤≤-≤≤-==)l x h (),x l (l

T h F )h x 0(,x l

T )

h l (F u

00000

t （2分） 3、写出l 阶勒让德多项式的具体表达式，具体写出前3个勒让德多项式。

答：l 阶勒让德多项式的具体表达式为：

[/2]

20(22)!

()(1).2!()!(2)!l k

l k l l

k l k P x x k l k l k -=-=---∑ （4分）

记号[l/2]表示不超过 l/2的最大整数。（这由x 的指数得知，k ＝0的项即为

系数为a0或a1的项。）

经由上式计算，前3个勒让德多项式是

0122()1()cos 11

()(31)(3cos 21)

24

P x P x x P x x θ

θ=→===-=

+ （4分）

三、 计算题 （本大题共2题，每题10分，共20分） 1、计算回路积分⎰

++l

2

2)

1z )(1z (dz （l 的方程是0y 2x 2y x 2

2=+++）。 解： 的方程可化简为：222)2()1()1(=+++y x ，在复平面上它是以 （-1，-i ）为圆心，2为半径的圆， (1分)

被积函数2

2)1)(1(1

)(++=

z z z f 有两个单极点i z ±=0，和一个二阶极

点10-=z ，在这三个极点中，1,0--=i z 在积分回路内，它们的留数：

41

)1)((1)

1)()((1)()

()()(Re 2

2

0lim

lim lim -

=+-=+-+⨯

+=⨯-=--→-→-→z i z z i z i z i z z f z z i sf i

z i

z i

z (3分)

21)1(2(])1(1[])1)(1(1)1[()]()[()1(Re 221

21

2221

01

lim lim

lim

lim

=+-=+=++⨯+=⨯-=--→-→-→-→z z z dz d z z z dz d z f z z dz

d

sf z z z z (3分)

应用留数定理：

2

)2141(2)]1(Re )([Re 2)1)(1(1

)

1)(1(2222i i sf i sf i z z z z dz πππ=

+-=-+-=++=++⎰ (3分) 2、计算实变函数积分I=⎰

+π

20

cos 2x dx

。

解:这是属于类型一的积分，为此，做变换iz

e z =使原积分化为单位圆内的回路积分

1

422

221

11++=++

=

⎰⎰

=-=z z dz

i z z iz dz

I z z