弹性力学例题

h/2
h / 2 h/2
3qy 4qy 3 f x dy 3 dy 0 h / 2 h 5h
h/2
h / 2 h/2
f y dy 0 f x ydy 3qy 4qy 3 3 ydy 0 h / 2 h 5h
h/2
b 0
( yx ) y 0 dx 3 Ax 2 2 Bx C dx Ab3 Bb2 Cb 0
由式（i） ，(j)， （k） ， （l） ， （m）联立求得 q q A 2 , B , C DE 0 b b 代入公式（g） ，(h)得应力分量
（d）
f x 中的常数项， f1 x 中的常数项和一次项已被略去，因为这三项在 的
表达式中成为 y 的一次项及常数项，不影响应力分量。将（d）式代入（b）式， 得应力函数
y Ax3 Bx 2 Cx Dx3 Ex 2
（4）由应力函数求应力分量
x 0, y
2qx x q 3 1 3 gy, xy x x 2 b b b b
（j）
在次要边界 y 0 上，应用圣维南原理，写出三个积分的应力边界条件：

b 0 b 0
b
0
( y ) y 0 dx 6 Dx 2 E dx 3Db2 2Eb 0
0 b 0
b
（k） （l） （m）
( y ) y 0 xdx 6 Dx 2 E xdx 2Db3 Eb2 0
x x0 0,( xy ) x0 0
将（f） ， （h）代入
x x0 0 ，自然满足
( xy ) x 0 C 0
主要边界 x b 上， （i）
x xb 0 ，自然满足
( xy ) x b q ，将（h）式代入，得
( xy ) x b 3 Ab2 2Bb C q
h/2 h/2
M '
h / 2
6ql 2 y 4qy 3 3qy 1 2 f x ( x l ) ydy 3 3 ydy ql h / 2 h h 5h 2
综上，可画出主要边界上的面力分布和次要边界上面力的主矢与主矩，如图
q
q
ql
o
y
(a)
③在 x=0，x=l 的次要边界上，面力可写成主矢、主矩形式： x=0 上 x=l 上
x向主矢：FN1 = y向主矢：FS1 = 主矩：M 1 =
h/2 -h/2
h/2
h / 2 h/2
f x dy 0, f y dy F ,
FN2 FS2
h/2
h / 2 h/2
2 6qx 2 y 4qy 3 3qy f x 3 x y 2 h3 h 5h
x
y
2 q 4 y3 3 y f y ( 3 1) y x 2 2 h h
2 6qx h2 xy yx 3 ( y2 ) xy h 4
4 4 4 2 0 ，显然满足 x 4 x 2y 2 y 4
h/2 h/2
x
l
(l ? h)
y
图3-9
（2）将 代入式（2-24） ，得应力分量表达式
x
12 Fxy 3F 4 y2 (1 ) , 0, xy yx y 2h h2 h3
（3）由边界形状及应力分量反推边界上的面力： h ①在主要边界上 （上下边界） 上， 应精确满足应力边界条件式 （2-15） ， y ， 2 应力 y
y h / 2
0, yx
y h / 2
0
h h h 因此， 在主要边界 y 上， 无任何面力， 即 f x y 0, f y y 0 2 2 2
【 3-7】试证
qx 2 y3 y qy 2 y 3 y (4 3 3 1) (2 3 ) 能满足相容方程，并考 4 h h 10 h h
h/2 h/2
察它在图 3-9 所示矩形板和坐标系中能解决 什么问题（设矩形板的长度为 l，深度为 h， O 体力不计） 。
x
l
(l ? h)
x
1 2 ql 2
(b)
因此，此应力函数能解决悬臂梁在上边界受向下均布荷载 q 的问题。 【3-8】设有矩形截面的长竖柱，密度为 ρ，在一边侧面上受 均布剪力 q（图 3-10） ，试求应力分量。 【解答】采用半逆法求解。 由材料力学解答假设应力分量的函数形式。 (1)假定应力分量的函数形式。 根据材料力学，弯曲应力 y 主要与截面的弯矩有关，剪应力
弹性力学例题
【 3-6 】 试 考 察 应 力 函 数 F 3 xy (3h2 4 y 2 ) ，能满足相容方程，并求出 O 2h 应力分量 （不计体力） ， 画出图 3-9 所示矩形体边 界上的面力分布（在小边界上画出面力的主矢量 和主矩） ，指出该应力函数能解决的问题。 【解答】 （1）将应力函数代入相容方程（2-25）
②在 x=0，x=l 的次要边界上，面力分别为：
x 0 : f x 0, f y 3F 4 y 2 1 2h h 2 , fy 3F 4 y 2 1 2 2h h
x l : fx
12 Fly h
3
因此，各边界上的面力分布如图所示：
FN Fs
h/2 h / 2
f x ( x l )dy f y ( x l )dy
6ql 2 y 4qy 3 3qy 3 3 dy 0 h / 2 h h 5h
h/2
h/2
h / 2 h/2
6ql h 2 3 y 2 dy ql h / 2 h 4
对 y 积分，得
f x y
（a） （b）
yf x f1 x
其中 f x , f1 x 都是 x 的待定函数。 （3）由相容方程求解应力函数。 将（b）式代入相容方程（2-25） ，得
d 4 f x d 4 f1 x y 0 dx 4 dx 4
y
h
o
b
x
q
g
(h ? b)
图3-10
xy 主要与截面的剪力有关，而挤压应力 x 主要与横向荷载有关，本题横向荷载
为零，则 x 0 (2)推求应力函数的形式 将 x 0 ，体力 f x 0, f y g ，代入公式（2-24）有
2 x 2 fx x 0 y
（c）
在区域内应力函数必须满足相容方程， （c）式为 y 的一次方程，相容方程要 求它有无数多个根（全竖柱内的 y 值都应满足它） ，可见其系数与自由项都必须 为零，即
d 4 f x d 4 f1 x 0, 0 dx 4 dx
两个方程要求
f x Ax3 Bx 2 Cx, f1 x Dx3 Ex 2
f x dy 0 f y dy F f x ydy Fl
h / 2
h / 2 h/2
f x ydy 0,
M2
h / 2
因此， 可以画出主要边界上的面力， 和次要边界上面力的主矢与主矩， 如图：
(a)
(b)
因此，该应力函数可解决悬臂梁在自由端受集中力 F 作用的问题。
(3)考察边界条件，由应力分量及边界形状反推面力：ຫໍສະໝຸດ Baiduh ①在主要边界 y （上面） ，应精确满足应力边界条件（2-15） 2
h h f x y yx 0, f y y y q y h / 2 y h / 2 2 2 h 在主要边界y 下面，也应该满足 2 15 2 f x y h / 2 yx 0, f y y h / 2 y 0
y
【解答】 (1)将应力函数 代入式 （2-25）
图3-9
4 12qy 24qy 4 4 24qy ， ， 2 2 0 2 2 4 4 3 x y h3 h3 y h x
代入（2-25） ，可知应力函数 满足相容方程。 （2）将 代入公式（2-24） ，求应力分量表达式:

h / 2
④在次要边界 x l 上，分布面力为
f x x l x x l
f y x l xy
6ql 2 y 4qy 3 3qy 3 h3 h 5h
6ql h 2 y2 3 h 4
x l

应用圣维南原理，可写成三个积分的应力边界条件:
（e）
x
2 fx x 0 y 2
（f）
y
2 f y y 6 Axy 2 By 6 Dx 2 E gy x 2
(g)
xy
(5)考察边界条件
2 3 Ax 2 2 Bx C xy
(h)
利用边界条件确定待定系数 A、B、C、D、E。 主要边界 x 0 上（左） ：
y h / 2 y h / 2
在次要边界x 0上，分布面力为 f x x 0 x x 0 3qy 4qy 3 3 , f y x 0 xy 0 x 0 5h h
应用圣维南原理，可写成三个积分的应力边界条件:
FN FS M