2020专升本高数二知识点总结 (2)
成人高考—专升本—高等数学(二) 备考 知识点 复习
(4)如果 limx→x0f(x)=a，且 a＞0(或 a＜0)，则必存在点 x0 的某一个邻域(x0 －δ,x0+δ)，在该邻域内，有 f(x)＞0(或 f(x)＜0).
(5)如果在点 x0 的某一去心邻域(x0－δ,x0)∪(x0,x0+δ)内有 f(x)≥0(或 f(x) ≤0)，且 limx→x0f(x)=a，则必有 a≥0(或 a≤0).
limn→∞Cxn=C·limn→∞xn=CA (C 为常数).
数列极限的四则运算法则的作用在于把求复杂数列的极限的运算化为简
单数列的极限值的代数运算，从而简化计算. 常用的数列极限有
limn→∞c=c limn→∞1nk=0 (k＞0,常数)，
(c 为常数)，
limn→∞qn=0 (|q|＜1),
limn→∞(1+1n)n=e.
二、函数的极限
1.函数极限的定义
(1)x→∞时函数极限的定义 如果对于任意给定的ε＞0，存在 X=X(ε)＞0， 使当|x|＞X 时， 不等式|f(x) －A|＜ε恒成立,则称常数 A 为 x→∞时函数 f(x)的极限，记为 limx→∞f(x)=A 或 f(x)→A(当 x→∞时). 如果对于任意给定的ε＞0，存在 X=X(ε)＞0，使当 x＞X(或 x＜－X)时， 不等式|f(x)－A|<ε恒成立，则称常数 A 为 x→＋∞(或为 x→－∞)时函数 f(x) 的极限，记为 limx→+∞f(x)=A (或 limx→-∞f(x)=A). 定理 1 函数极限 limx→∞f(x)存在且等于 A 的充分必要条件是极限 limx →+∞f(x)和 limx→-∞f(x)都存在且都等于 A，即有 limx→∞f(x)=A limx→+∞
专升本高等数学(二)笔记大全
第一章 函数、极限和连续§1.1 函数一、 主要内容 ㈠ 函数的概念1. 函数的定义: y=f(x), x ∈D定义域: D(f), 值域: Z(f). 2.分段函数:⎩⎨⎧∈∈=21)()(D x x g D x x f y3.隐函数: F(x,y)= 04.反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f -1(y)y=f -1(x)定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是严格单调增加(或减少)的； 则它必定存在反函数：y=f -1(x), D(f -1)=Y, Z(f -1)=X且也是严格单调增加(或减少)的。
㈡ 函数的几何特性1.函数的单调性: y=f(x),x ∈D,x 1、x 2∈D 当x 1＜x 2时,若f(x 1)≤f(x 2),则称f(x)在D 内单调增加( )；若f(x 1)≥f(x 2),则称f(x)在D 内单调减少( )；若f(x 1)＜f(x 2),则称f(x)在D 内严格单调增加( )；若f(x 1)＞f(x 2),则称f(x)在D 内严格单调减少( )。
2.函数的奇偶性：D(f)关于原点对称 偶函数：f(-x)=f(x) 奇函数：f(-x)=-f(x)3.函数的周期性：周期函数：f(x+T)=f(x), x ∈(-∞，+∞) 周期：T ——最小的正数4.函数的有界性： |f(x)|≤M , x ∈(a,b) ㈢ 基本初等函数1.常数函数： y=c ， (c 为常数)2.幂函数： y=x n, (n 为实数)3.指数函数： y=a x, (a ＞0、a ≠1) 4.对数函数： y=log a x ,(a ＞0、a ≠1) 5.三角函数： y=sin x , y=con xy=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x6.反三角函数：y=arcsin x, y=arccon x y=arctan x, y=arccot x ㈣ 复合函数和初等函数1.复合函数： y=f(u) , u=φ(x)y=f[φ(x)] , x ∈X2.初等函数:由基本初等函数经过有限次的四则运算（加、减、乘、除）和复合所构成的，并且能用一个数学式子表示的函数§1.2 极 限一、 主要内容 ㈠极限的概念1. 数列的极限:A y n n =∞→lim称数列{}n y 以常数A 为极限;或称数列{}n y 收敛于A.定理: 若{}n y 的极限存在⇒{}ny 必定有界.2.函数的极限： ⑴当∞→x 时，)(x f 的极限：A x f A x f A x f x x x =⇔⎪⎪⎭⎫==∞→+∞→-∞→)(lim )(lim )(lim ⑵当0x x →时，)(x f 的极限：A x f x x=→)(lim 0左极限：A x f x x =-→)(lim 0右极限：A x f x x =+→)(lim 0⑶函数极限存的充要条件： 定理：A x f x f A x f x x x x xx ==⇔=+-→→→)(lim )(lim )(lim 0㈡无穷大量和无穷小量1． 无穷大量：+∞=)(lim x f 称在该变化过程中)(x f 为无穷大量。
专升本高数二公式常用
专升本高数二公式常用在专升本考试中，高等数学二是许多考生需要攻克的重要科目。
而掌握常用公式是学好高数二的关键。
接下来，让我们一起来梳理一下专升本高数二中那些常用且重要的公式。
一、函数、极限与连续1、函数的基本性质奇偶性：若对于定义域内任意 x ，都有 f(x) ＝ f(x) ，则函数 f(x) 为偶函数；若 f(x) ＝ f(x) ，则函数 f(x) 为奇函数。
周期性：若存在非零常数 T ，使得对于定义域内任意 x ，都有 f(x ＋ T) ＝ f(x) ，则函数 f(x) 为周期函数，T 为函数的周期。
2、极限的运算四则运算：若 lim f(x) ＝ A ，lim g(x) ＝ B ，则 lim f(x) ± g(x) ＝lim f(x) ± lim g(x) ＝ A ± B ；lim f(x) × g(x) ＝ lim f(x) × lim g(x) ＝ A ×B ；lim f(x) ／ g(x) ＝ lim f(x) ／ lim g(x) ＝ A ／ B （B ≠ 0）。
两个重要极限：lim （1 ＋ 1/x)＾x ＝ e （x → ∞）；lim sin x ／ x ＝ 1 （x → 0）。
3、连续的定义函数 f(x) 在点 x₀处连续，当且仅当lim(x → x₀) f(x) ＝ f(x₀) 。
二、一元函数微分学1、导数的定义函数 y ＝ f(x) 在点 x₀处的导数定义为：f'（x₀) ＝lim(Δx → 0) f(x₀＋Δx) f(x₀) ／Δx 。
2、基本导数公式（C)＇＝ 0 （C 为常数）（x^n)＇＝ nx^（n 1)（sin x)＇＝ cos x（cos x)＇＝ sin x（tan x)＇＝ sec² x（cot x)＇＝ csc² x（e^x)＇＝ e^x（ln x)＇＝ 1 ／ x3、导数的四则运算（u ± v)＇＝ u' ± v'（uv)＇＝ u'v ＋ uv'（u ／ v)＇＝（u'v uv'）／ v²（v ≠ 0）4、复合函数求导法则设 y ＝ f(u) ，u ＝ g(x) ，则复合函数 y ＝ fg(x) 的导数为：dy ／ dx ＝ dy ／ du × du ／ dx 。
专升本高等数学二知识点总结
专升本高等数学二知识点总结嘿，想专升本的小伙伴们！今天咱就来好好唠唠高等数学二的那些知识点。
这高等数学二啊，就像是一座神秘的城堡，里面有各种各样的宝藏（知识点）等待我们去挖掘呢。
先说说函数这一块吧。
函数就像是一个魔法盒子，你给它一个输入（自变量），它就会给你一个输出（因变量）。
一元函数是最基础的啦，就像我们走的单行道，只有一个方向决定结果。
比如一次函数y = kx + b，k就像是这条道路的坡度，b呢，就是在起点的时候的偏移量。
我记得我那同学小李啊，最开始学函数的时候，老是把k和b的意义搞混。
我就跟他说：“你看啊，k就好比是你骑自行车的速度，b就是你出发的时候离原点有多远，这能一样吗？”他这才恍然大悟。
接着就是极限。
极限这东西可神奇了，它像是一个目标，函数这个小火车一直朝着这个目标开去。
当自变量无限接近某个值的时候，函数值就无限接近极限值。
有次考试，有个求极限的题，小张在那愁眉苦脸的。
我问他咋了，他说这极限感觉就像天上的星星，看得见摸不着。
我就笑着跟他说：“你呀，别把它想得那么复杂。
你就想象你在追一只跑得特别快的兔子，你离它越来越近，这个越来越近的状态就是极限。
”求极限的方法有好多呢，像等价无穷小替换，就像是用相似的东西去代替，简化计算。
导数可不得了，它是函数的变化率。
这导数就像一个超级放大镜，能看到函数在每一点的变化速度。
如果把函数看成是一个爬山的路线，导数就是你在每个点上爬坡的陡峭程度。
我和小王一起讨论导数的时候，他说：“这导数感觉好抽象啊。
”我就说：“你想啊，你跑步的时候，你每一秒速度的变化，那就是导数啊。
”导数的公式得好好记，像常见函数的导数公式，就像是武功秘籍里的基本招式，不记住可不行。
求导法则呢，加法求导法则就像两个人合作干活，各自的效率相加就是总的效率；乘法求导法则就稍微复杂点，有点像互相影响的关系。
再讲讲积分吧。
积分和导数是相反的过程，就像上山和下山一样。
不定积分是求原函数，就像是把已经加工好的东西还原到原材料。
专升本高数二概念和公式
专升本高数二概念和公式高等数学是专升本考试中的一门重要科目，其中的概念和公式也是必须掌握的内容。
本文将对专升本高数二的概念和公式进行详细介绍。
一、极限的概念和性质极限是高等数学中一个核心概念，它用于描述函数趋近于某个值的过程。
在计算极限时，我们需要掌握以下几个重要的性质：1. 极限的唯一性：如果函数的极限存在，则极限是唯一的。
2. 保号性：如果函数在某个点的左右两侧函数值符号不同，那么极限不存在。
3. 四则运算法则：加法、减法、乘法和除法运算的极限可以通过分别计算各项的极限得到。
二、导数的定义与计算导数是描述函数在某一点的变化率的概念。
它的计算与定义有着密切的关系。
1. 导数的定义：函数在某一点的导数定义为函数在该点的切线斜率。
2. 导数的计算：导数可以通过求导公式来计算，例如对多项式函数进行求导时，可以按照幂减一的原则进行计算。
三、不定积分和定积分不定积分和定积分是高等数学中的两个重要概念，它们用于求取函数与自变量之间的关系。
1. 不定积分：不定积分可看作是导数的逆运算，表示函数的原函数。
2. 定积分：定积分用于计算函数在一定区间上的累积效应，可以求取曲线下的面积。
四、常见的高数二公式在高数二中，有一些常见的公式需要掌握，这些公式在计算过程中非常常用。
1. 三角函数的和差化积公式：例如sin(a ± b) = sin(a)cos(b) ±cos(a)sin(b)。
2. 指数函数的导数公式：例如d/dx(e^x) = e^x。
3. 对数函数的导数公式：例如d/dx(lnx) = 1/x。
总结：高等数学中的概念和公式是专升本考试中不可或缺的一部分，熟练掌握这些概念和公式对于解题至关重要。
本文简要介绍了高数二中的概念和性质、导数的定义与计算、不定积分和定积分以及常见的公式。
希望读者通过本文的介绍能够对这些内容有更深入的理解，为专升本考试做好充分的准备。
成考专升本高等数学(二)重点及解析(精简版)
解： ∂z = 2x sin 2 y ， ∂z = 2x2 cos 2 y
∂x
∂y
三、全微分
1、全微分公式：函数 z = f (x, y) 在点 (x, y) 处全微分公式为： dz = ∂z dx + ∂z dy ∂x ∂y
2、全微分求法：（1）、先求出两个一阶偏导数 ∂z 和 ∂z . （2）、然后代入上述公式即可. ∂x ∂y
一、多元函数的定义：由两个或两个以上的自变量所构成的函数，称为多．元．函．数．。其自 变量的变化范围称为定．义．域．，通常记作 D 。 例如：二元函数通常记作： z = f (x, y) ， (x, y) ∈ D
二、二元函数的偏导数 1、偏导数的表示方法： （1）设二元函数 z = f (x, y) ，则函数 z 在区域 D 内对 x 和对 y 的偏导数记为：
或 dy
x= x0
dx
x = x0
（2）函数 f (x) 在区间（a,b）内的导数记作：
f '(x ) ， y' 或 dy dx
二、求导公式（必须熟记） （1） (c)' = 0 （C 为常数） （3） (ex )' = ex （5） (sin x)' = cos x
（2） (xα )' = α xα −1 （4） (ln x)' = 1
x2
− 2x + x2 −1
1
.
……… 0未定式，提取公因式 0
解：原式=
lim
x→1
(
x
( x −1)2 −1)( x +1)
=
lim
x→1
( (
x x
−1) +1)
=
成考专升本高等数学(二(2024)
引言概述：高等数学是一门重要的学科，对于成考专升本考试来说，高等数学也是必考科目之一。
本文主要围绕成考专升本高等数学（二（二））这一题型展开，旨在帮助考生更好地理解相关知识点，从而提高考试成绩。
正文内容：一、数列与数学归纳法1.数列的概念及表示方法2.等差数列与等比数列的性质和求和公式3.数学归纳法的原理和应用4.数列极限的定义和性质5.数列极限的计算方法和常用极限二、函数与极限1.函数的概念和性质2.指数函数、对数函数和三角函数的性质和图像3.极限的概念和性质4.无穷小量与无穷大量的关系5.函数极限的计算方法和常用极限三、一元函数的导数与微分1.导数的概念和性质2.导数的计算方法：基本导函数法、导数的四则运算、复合函数和反函数的导数3.高阶导数和隐函数求导4.微分的概念和性质5.微分的应用：近似计算、最大值最小值和曲线的凹凸性四、一元函数的积分与定积分应用1.积分的概念和性质2.基本积分法和换元积分法3.分部积分法和有理函数的积分4.定积分的概念和性质5.定积分的应用：几何应用、物理应用和概率应用五、多元函数的偏导数与多元函数积分1.多元函数的概念和性质2.偏导数的概念和计算方法3.全微分的概念和性质4.多元函数的极值及其判定条件5.多元函数的重积分及其应用总结：通过对成考专升本高等数学（二（二））的内容进行全面的梳理和阐述，本文详细介绍了数列与数学归纳法、函数与极限、一元函数的导数与微分、一元函数的积分与定积分应用以及多元函数的偏导数与多元函数积分等五个大点。
每个大点下分别介绍了相应的小点，涵盖了相关知识点的定义、性质、计算方法和应用等方面。
希望通过本文的学习，考生能够对高等数学的相关知识有更深入的理解，从而提高成绩，顺利通过考试。
专升本高数二概念和公式
专升本高数二概念和公式高等数学（二）是专升本数学考试中的一门重要学科，主要涵盖了函数、极限、导数等内容。
下面将详细介绍高等数学（二）中的一些重要概念和公式。
一、函数的概念和性质1.1函数的定义：函数是一个将一个集合的每个元素映射到另一个集合的元素的规则。
一般地，若对于集合A中的任意元素x，存在集合B中有唯一元素y与之对应，则称y是x的函数值，记作f(x)=y，并称f(x)为定义在A上的函数。
1.2函数的性质：（1）定义域：函数中所有可能输入的集合。
（2）值域：函数的所有可能输出的集合。
（3）奇偶函数：当函数满足f(x)=f(-x)时，称其为偶函数；当满足f(-x)=-f(x)时，称其为奇函数。
（4）单调性：函数在定义域的任意两个点上，函数值的大小关系保持不变。
（5）周期性：对于其中一正常数T，若对于定义域中的任意一个值x，有f(x+T)=f(x)，则称f(x)为周期函数，T称为该函数的周期。
二、极限的概念和性质2.1 极限的定义：设函数f(x)在点x0的其中一去心邻域内有定义，当自变量x趋近于x0时，如果存在常数A，使得对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当x满足0 < ，x - x0，< δ时，有，f(x) - A，< ε，那么称常数A为函数在点x0处的极限，记为lim(x→x0) f(x) = A。
2.2极限的性质：（1）极限的唯一性：如果函数f在x0的其中一去心邻域内有定义，并且lim(x→x0) f(x)存在，则该极限是唯一的。
（2）无穷小量的性质：如果lim(x→x0) f(x) = A，则A为常数，若A=0，则称f(x)当x趋于x0时是无穷小量。
（3）夹逼定理：设在点x0的其中一去心邻域上有g(x) ≤ f(x) ≤ h(x)，且lim(x→x0) g(x) = lim(x→x0) h(x) = A，则lim(x→x0) f(x) = A。
（4）极限的四则运算：设lim(x→x0) f(x) = A，lim(x→x0) g(x) = B，则有以下结论：①lim(x→x0) [f(x) ± g(x)] = A ± B；②lim(x→x0) [f(x)g(x)] = AB；③lim(x→x0) [f(x)/g(x)] = A/B（其中B≠0）。
成人高考专升本高等数学二概念和笔记公式
成人高考专升本高等数学二概念和笔记公式（2）对数的运算法则：①②③④3、对数换底公式：由换底公式推出一些常用的结论：（1）（2）（3）（4）三角函数的单调区间：的递增区间是，递减区间是；的递增区间是，递减区间是，的递增区间是，数列极限的四则运算法则如果那么推广：上面法则可以推广到有限多个数列的情况。
例如，若，，有极限，则：特别地，如果C是常数，那么函数极限的四算运则如果那么推论设都存在，为常数，为正整数，则有：无穷小量的比较：某与n同时趋向+¥由夹挤准则第二章节公式1.导数的定义：函数y＝f(某)在某＝某0处的瞬时变化率是＝，我们称它为函数y＝f(某)在某＝某0处的导数，记作f′(某0)或y′|某＝某0即f′(某0)＝.2．导数的几何意义函数f(某)在某＝某0处的导数就是切线的斜率k，即k＝＝f′(某0)．3．导函数(导数)当某变化时，f′(某)便是某的一个函数，我们称它为f(某)的导函数(简称导数)，y＝f(某)的导函数有时也记作y′，即f′(某)＝y′＝.4．几种常见函数的导数(1)c′＝0(c为常数)，(2)(某n)′＝n某n－1(n∈Z)，(3)(a某)′＝a某lna(a＞0,a1),(e某)′＝e某(4)(ln某)′＝，(loga某)′＝logae=(a＞0,a1)(5)(in某)′＝co某，(6)(co某)′＝－in某(7),(8)(9),(10)(11),(12)5．函数的和、差、积、商的导数(u±v)′＝u′±v′，(uv)′＝u′v＋uv′′＝，(ku)′＝cu′(k为常数)．(uvw)′＝u′vw＋uv′w+uvw′微分公式：（1）(7),(8)(9),(10)(11),(12)6．微分的四算运则d(u±v)＝du±dv，d(uv)＝vdu＋udvd(ku)＝kdu(k为常数)．洛必达法则：在一定条件下通过分子分母分别求导，再求极限来确定未定式的值的方法。
成考专升本高数二知识点
成考专升本高数二知识点一、知识概述《成考专升本高数二知识点》①基本定义：成考专升本高数二包含很多内容呢，像函数、极限、导数、积分之类的。
函数就是像y = 2x这样，一个变量x通过一种规则确定另一个变量y。
极限嘛，简单说就是当自变量靠近某个值的时候，函数值接近的那个数。
导数则是函数在某一点上的变化率，就好比车的速度是路程函数的导数。
积分有点像是导数的逆运算，可以用来求面积这些。
②重要程度：在专升本学科里很重要，它是理工科类专业学习的基础，很多后续的专业课都会用到高数二的知识，像是工程力学之类的课程。
③前置知识：要掌握高中的基本数学知识，像代数式、方程、函数的简单概念，还有基本的运算，如加减乘除、幂运算等。
④应用价值：在实际生活中有用处，比如计算物体的运动速度、加速度，工程上计算材料的强度、工程量等。
像盖房子要计算建材用量就可能用到积分的知识。
二、知识体系①知识图谱：在高数整个学科里，高数二处于中级难度的地位，很多专升本的自然科学、工程类专业都会考查它。
它是建立在高数的一些基础概念之上，与后续的工程数学等又相关。
②关联知识：与高数一中的函数、极限概念联系紧密，都是在这个基础上深入和拓展的。
它还和一些工程课程中的物理、力学概念有联系，因为常常要用到高数二的计算。
③重难点分析：- 掌握难度：对一些从来没有接触过导数、积分概念的同学比较难。
导数的概念比较抽象，积分的计算规则比较复杂。
- 关键点：理解导数的定义和意义，掌握积分的基本计算方法，像换元积分法、分部积分法等。
④考点分析：- 在考试中的重要性：是成考专升本理工科类专业必考的科目，成绩对能否顺利升本很重要。
- 考查方式：主要以选择题、填空题、计算题、解答题等形式出现。
选择题考查基本概念，计算题主要考查导数、积分的计算能力。
三、详细讲解【理论概念类- 函数】①概念辨析：函数就是一种对应关系，对于定义域内每个自变量的值，通过某种规则都有唯一确定的函数值与之对应。
专升本高数二知识点总结
专升本高数二知识点总结嘿呀！专升本高数二的知识点那可真是不少呢！咱们一起来好好总结总结。
首先得说说函数与极限这一块。
函数可是数学里的基础呀！函数的定义、性质，像单调性、奇偶性、周期性等等，都得搞清楚。
极限呢，那更是重中之重！极限的定义、计算方法，比如四则运算法则、两个重要极限，哎呀呀，这些都是必考的知识点。
再来看看一元函数微分学。
导数的定义和几何意义可不能忘呀！求导公式得背得滚瓜烂熟，像基本初等函数的求导公式、导数的四则运算、复合函数求导等等。
还有导数的应用，比如判断函数的单调性、极值和最值，这在解题中经常会用到呢。
一元函数积分学也很关键哟！不定积分的概念和性质要明白，积分的基本公式得牢记于心。
定积分的定义、性质和计算方法，比如牛顿-莱布尼茨公式，那可是解题的利器呀！还有定积分的应用，比如求平面图形的面积、旋转体的体积，哇，这些都需要我们认真掌握。
向量代数与空间解析几何也不能忽视呢！向量的运算、向量的坐标表示，都要弄得明明白白。
空间直线和平面的方程，空间曲线和曲面的方程，这些知识点在解决一些复杂问题时会发挥大作用。
多元函数微分学也很重要哦！多元函数的概念、极限与连续，偏导数和全微分的定义和计算方法，多元函数的极值和条件极值，这些都得熟练掌握。
多元函数积分学也得好好学呀！二重积分的概念、性质和计算方法，三重积分的概念和计算方法，这些在考试中占比可不低呢。
无穷级数这部分也不能掉以轻心。
数项级数的收敛与发散的判别法，幂级数的收敛半径、收敛区间和和函数，这些知识点都得认真复习。
总之，专升本高数二的知识点繁多且复杂，需要我们花费大量的时间和精力去学习和掌握。
但是，只要我们有恒心、有毅力，认真复习，多做练习题，就一定能够在考试中取得好成绩！加油呀！。
高等数学二知识点总结
高等数学二知识点总结（实用版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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2020成人高考专升本高等数学二知识点汇总复习(自编)
2020年成人高考专升本高等数学二知识点复习第一章：极限与连续1-1、极限的运算1、极限的概念(1)设函数y=f(x)在点x0的某个邻域内有定义，如果当x无限趋于x0时函数f(x)无限地趋于f(x)=A一个常数A，则称A为函数f(x)当x→x0时的极限，记作limx→x0(2)左极限、右极限；在某点极限存在，左右极限存在且唯一。
limf(x)=Ax→x0−f(x)=Alimx→x0+2、无穷小量与无穷大量无穷小量定义：对于函数y=f(x)，如果当x在某个变化过程中，函数f(x)的极限为0，则f(x)=0称在该变化过程中， f(x)为无穷小量，记作limx→x0无穷大量定义：对于函数y=f(x)，如果当x在某个变化过程中，函数f(x)的极限值越来越f(x)=∞大，则称在该变化过程中， f(x)为无穷大量，记作limx→x03、无穷小量与无穷大量的关系为无穷小量；在同一变化过程中，如果f(x)为无穷大量，且f(x)≠0，则1f(x)为无穷大量；在同一变化过程中，如果f(x)为无穷小量，且f(x)≠0，则1f(x)4、无穷小量的性质性质1：有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量★性质2：无穷小量与有界函数的积仍是无穷小量5、无穷小量的比较与替换定义：设α，β是同一变化过程中的无穷小量，即limα=0，limβ=0=0，则称β是α比较高阶的无穷小量（1）如果limβα（2）如果limβα=∞，则称β是α比较低阶的无穷小量（3）如果lim βα=c ≠0，则称β是与α同阶的无穷小量（4）如果lim βα=1，则称β与α是等价的无穷小量★常见的等价无穷小量：当x →0时，x ~sin x ~tan x ~ arc sin x ~ arc tan x ~ e x −1 ~ ln (1+x) 1−cos x ~12x 2★★6、两个重要极限 （1）limx→0sin x x=1（2）lim x→∞(1+1x )x=e 或lim x→0(1+x)1x=e★★7、求极限的方法 （1）直接代入法：分母不为零 （2）分子分母消去为0公因子 （3）分子分母同除以最高次幂（4）利用等价代换法求极限（等价无穷小） （5）利用两个重要极限求极限 （6）洛必达求导法则（见第二章）1-2、函数的连续性1、函数在某一点上的连续性定义1：设函数y =f(x)在点x 0的某个邻域内有定义，如果有自变量∆x 趋近于0时，相应的函数改变量∆y 也趋近于0，即lim ∆x→0[f (x 0+∆x )−f (x 0)]=0，则称函数y =f(x)在x 0处连续。
专科起点升本科高等数学（二）知识点汇总
专科起点升本科高等数学（二）知识点汇总常用知识点：一、常见函数的定义域总结如下：（1）cbx axyb kx y 2一般形式的定义域：x ∈R（2）xk y 分式形式的定义域：x ≠0 （3）x y 根式的形式定义域：x ≥0（4）x ya log 对数形式的定义域：x ＞0二、函数的性质1、函数的单调性当21x x 时，恒有)()(21x f x f ，)(x f 在21x x ，所在的区间上是增加的。
当21x x 时，恒有)()(21x f x f ，)(x f 在21x x ，所在的区间上是减少的。
2、函数的奇偶性定义：设函数)(x f y 的定义区间D 关于坐标原点对称（即若D x ，则有D x ）(1) 偶函数)(x f ——D x ，恒有)()(x f x f 。
(2) 奇函数)(x f ——D x，恒有)()(x f x f 。
三、基本初等函数1、常数函数：c y，定义域是),(，图形是一条平行于x 轴的直线。
2、幂函数：ux y ，(u 是常数)。
它的定义域随着u 的不同而不同。
图形过原点。
3、指数函数定义: xa x f y)(， (a 是常数且0a，1a ).图形过（0,1）点。
4、对数函数定义: x x f y a log )(， (a 是常数且0a，1a )。
图形过（1,0）点。
5、三角函数(1) 正弦函数: x ysin 2T ，),()(f D ，]1,1[)(D f 。
(2) 余弦函数:x y cos .2T ，),()(f D ，]1,1[)(D f 。
(3) 正切函数: x y tan .T ，},2)12(,|{)(Z R kkxxx f D ，),()(D f .(4) 余切函数: x y cot .T ，},,|{)(Z R kk xxx f D ，),()(D f .5、反三角函数(1) 反正弦函数: x y sin arc ，]1,1[)(f D ，]2,2[)(D f 。
高等数学2知识点总结(优秀3篇)
高等数学2知识点总结（优秀3篇）高等数学2知识点总结篇一高考数学解答题部分主要考查七大主干知识：第一，函数与导数。
主要考查集合运算、函数的有关概念定义域、值域、解析式、函数的极限、连续、导数。
第二，平面向量与三角函数、三角变换及其应用。
这一部分是高考的重点但不是难点，主要出一些基础题或中档题。
第三，数列及其应用。
这部分是高考的重点而且是难点，主要出一些综合题。
第四，不等式。
主要考查不等式的求解和证明，而且很少单独考查，主要是在解答题中比较大小。
是高考的重点和难点。
第五，概率和统计。
这部分和我们的生活联系比较大，属应用题。
第六，空间位置关系的定性与定量分析，主要是证明平行或垂直，求角和距离。
第七，解析几何。
是高考的难点，运算量大，一般含参数。
高考对数学基础知识的考查，既全面又突出重点，扎实的数学基础是成功解题的关键。
针对数学高考强调对基础知识与基本技能的考查我们一定要全面、系统地复习高中数学的基础知识，正确理解基本概念，正确掌握定理、原理、法则、公式、并形成记忆，形成技能。
以不变应万变。
对数学思想和方法的考查是对数学知识在更高层次上的抽象和概括的考查，考查时与数学知识相结合。
对数学能力的考查，强调“以能力立意”，就是以数学知识为载体，从问题入手，把握学科的整体意义，用统一的数学观点组织材料，侧重体现对知识的理解和应用，尤其是综合和灵活的应用，所有数学考试最终落在解题上。
考纲对数学思维能力、运算能力、空间想象能力以及实践能力和创新意识都提出了十分明确的考查要求，而解题训练是提高能力的必要途径，所以高考复习必须把解题训练落到实处。
训练的内容必须根据考纲的要求精心选题，始终紧扣基础知识，多进行解题的回顾、总结，概括提炼基本思想、基本方法，形成对通性通法的认识，真正做到解一题，会一类。
在临近高考的'数学复习中，考生们更应该从三个层面上整体把握，同步推进。
1.知识层面也就是对每个章节、每个知识点的再认识、再记忆、再应用。
山东专升本高数《二重积分》超全知识点(二)2024
山东专升本高数《二重积分》超全知识
点（二）
引言概述：
本文旨在分享山东专升本高数《二重积分》的超全知识点。
二重积分是高等数学中重要的概念之一，掌握好相关知识点对于学习和理解高数知识具有重要意义。
本文将从五个大点出发，深入阐述二重积分的各个方面，帮助读者更好地理解和应用该知识。
1. 二重积分的定义和基本性质
- 二重积分的定义及其几何意义
- 二重积分的性质：线性性、积分区域可加性、积分次序可交换性等
- 二重积分的计算：换元法、分部积分法等基本计算方法
2. 二重积分的应用
- 平面区域的面积计算
- 平面曲线的弧长计算
- 质心和形心的计算
- 平面曲线的面积计算
- 二重积分在物理问题中的应用：质量、电荷、质心等
3. 二重积分的坐标变换
- 极坐标系下的二重积分
- 变量替换法与雅可比行列式
- 在极坐标下的面积计算及应用
4. 二重积分的应用之曲面体积
- 二重积分求解曲面体积的方法
- 旋转体的体积计算
- 平面区域所围成的曲面体积计算
- 利用二重积分计算空间区域的体积
5. 二重积分在概率统计中的应用
- 联合概率分布函数及其性质
- 边缘概率密度函数及相关计算
- 二维连续随机变量的期望与方差计算
- 多维连续随机变量的矩计算
总结：
通过本文的介绍，我们系统地学习了山东专升本高数《二重积分》的超全知识点。
这些知识点包括二重积分的定义和基本性质、应用、坐标变换、曲面体积计算以及在概率统计中的应用等。
希望读者通过学习和理解这些知识点，能够更好地应用于实际问题中，并在专升本考试中取得优异的成绩。
高数二知识点.pdf
A
，(
B
0 ).
B
（ 4）设 P( x) 为多项式 P( x)
n
a0 x
n1
a1x
an ， 则 lim P(x) P(x0) x x0
（ 5）设 P( x), Q ( x) 均为多项式，
且 Q( x)
0， 则
P( x) lim
P ( x0 )
x x0 Q( x) Q( x0 )
三、等价无穷小
常用的等价无穷小量代换有：当 x 0 时 ， sin x ~ x ， tan x ~ x ， arctanx ~ x ， arcsin x ~ x ， ln(1 x) ~ x ，
□
1
其结构可以表示为： lim 1
e
□
□
八、洛必达 (L’Hospital)法则
“ 0 ”型和“ 0
f (x) ”型不定式，存在有 lim
x a g(x)
f ' ( x)
lim
xa
g ' ( x)
A （或 ）。
一元函数微分学
一、导数的定义
设函数 y f (x) 在点 x0 的某一邻域内有定义，当自变量 x 在 x0 处取得增量 x （点 x0 x 仍在该邻域内）时，相
3 、复合函数求导公式：设
y f (u) , u
dy dy du f ' (u). ( x) 。 dx du dx
(x) ，且 f (u) 及 ( x) 都可导，则复合函数
y f [ ( x)] 的导数为
三、导数的应用
1、函数的单调性
'
f ( x) 0 则 f ( x) 在 (a,b) 内严格单调增加。
1
1 x 2 dx
专升本高等数学二笔记公式大全
第一章极限和连续第一节极限[复习考试要求]1.了解极限的概念（对极限定义等形式的描述不作要求）。
会求函数在一点处的左极限与右极限，了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。
2.了解极限的有关性质，掌握极限的四则运算法则。
3.理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系。
会进行无穷小量阶的比较（高阶、低阶、同阶和等价）。
会运用等价无穷小量代换求极限。
4.熟练掌握用两个重要极限求极限的方法。
第二节函数的连续性[复习考试要求]1.理解函数在一点处连续与间断的概念，理解函数在一点处连续与极限存在之间的关系，掌握判断函数（含分段函数）在一点处连续性的方法。
2.会求函数的间断点。
3.掌握在闭区间上连续函数的性质会用它们证明一些简单命题。
4.理解初等函数在其定义区间上的连续性，会利用函数连续性求极限。
第二章一元函数微分学第一节导数与微分[复习考试要求]1.理解导数的概念及其几何意义，了解可导性与连续性的关系，会用定义求函数在一点处的导数。
2.会求曲线上一点处的切线方程与法线方程。
3.熟练掌握导数的基本公式、四则运算法则以及复合函数的求导方法。
4.掌握隐函数的求导法与对数求导法。
会求分段函数的导数。
5.了解高阶导数的概念。
会求简单函数的高阶导数。
6.理解微分的概念，掌握微分法则，了解可微和可导的关系，会求函数的一阶微分。
第二节导数的应用[复习考试要求]1.熟练掌握用洛必达法则求“0·∞”、“∞-∞”型未定式的极限的方法。
2.掌握利用导数判定函数的单调性及求函数的单调增、减区间的方法。
会利用函数的单调性证明简单的不等式。
3.理解函数极值的概念，掌握求函数的驻点、极值点、极值、最大值与最小值的方法，会解简单的应用题。
4.会判断曲线的凹凸性，会求曲线的拐点。
5.会求曲线的水平渐近线与铅直渐近线第三章一元函数积分学第一节不定积分[复习考试要求]1.理解原函数与不定积分的概念及其关系，掌握不定积分的性质。
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2019年专升本高数知识点+技巧（一）概率论 1.事件发生的概率事件的概率在2014，2019年出一道大题，2013，2014，2017年出选择，2016年出填空题。
①对立事件例如箱子里有5个球，三个白球两个黑球，抓到白球的概率是3/5，黑球的概率是2/5，这两个概率相加是1，抓到黑球我们也可以理解为抓到的不是白球的概率，那么就是一个事件发生的概率与一个事件不发生的概率加在一起就是1. ②独立事件事件A 概率的发生对事件B 概率的发生没有影响，事件A 、B 相互独立，叫独立事件。
例如，第一次掷骰子5点的概率，第二次5点的概率，两次掷骰子会得到5点的概率相互没有影响，各自独立。
独立事件概率用两个事件的自己发生概率相乘计算)()(B P A P 。
独立事件一般和对立事件结合出题，例如设事件A ，B 相互独立，A ，B 发生的概率分别为0.6,0.9，A ，B 都不发生的概率，那么先看A 和B 分别不发生的概率是多少，A 发生的概率是0.6，A 不发生的概率就是1-0.6=0.4，B 发生的概率是0.9， B 不发生的概率就是1-0.9=0.1，那么A ，B 都不发生的概率就是A 不发生的概率0.4乘以B 不发生的概率0.1×0.4=0.04。
③条件事件（非独立事件）假设要第一次抓到白球第二次抓到黑球的概率，3个白球2个黑球，那么第一次抓到白球还是3/5，那么第二次抓到黑球呢？因为已经抓走了一个球，那么此时箱子里的球就是一共有4个球，其中2个黑球，抓到黑球的概率就是2/4=1/2，求第这两件事同时发生的概率用乘法，所以第一次抓到白球第二次抓到黑球的概率就是3/5×1/2=3/10.应试指导：对立事件2016年出选择题，重点记住对立事件概率相加为1。
独立事件2013，2014，2017年考查选择题，独立事件概率用两个事件各自发生概率相乘计算。
条件事件2014年出大题，条件发生的概率乘以事件发生的概率就是条件事件发生的概率。
综合来看，每年都会出一道概率题目（2015年没出），其中最常考查的是独立事件和对立事件结合出题，计算都是简单的计算，选择题还有选项可以参考，还是很容易拿分的，同学们一定要好好把握。
2. 离散型随机变量T ：除了2014，2019年大题查考的是事件概率，2013，2015，2016，2017大题考查的内容都是随机变量。
随机变量举例来解释，假设事件A 为一个选手射箭，其必能射中八环及以上，对他射箭进行统计，统计出他射中8环的概率为0.3，9环的概率为0.2,10环的概率为0.5.可以下列出表格表述此事件的概率分布，随机变量就是指射中的环数（8，9，10） ，虽然射中8环及以上是必然，但是具体射中8，9，10环是不确定的，所以叫做随机变量，用X 来表示，因为射中8环及以上是必然事件，那么概率P 加在一起就是1。
①数学期望E （X ）用环数乘以发生的概率最后相加，也就是2.95.0102.093.08=⨯+⨯+⨯，叫做数学期望，用随机变量分别乘以概率相加，一般用大写E 来表示。
②方差D （X ）：用不同的环数减去平均数，例如8-9.2，能知道每次射箭和平均水平相差的数值，就能知道选手发挥是否稳定，方差的计算是用每次的随机变量减去数学期望的平方，乘以概率，最后相加，76.05.0)2.910(2.0)2.99(3.0)2.98(222=⨯-+⨯-+⨯-，用大写字母D 来表示。
应试指导：这部分是出大题的考点，一道大题8分，2016，2017单独出题，2015和事件概率结合出题，只有数学期望和方差这两个知识点考查，计算也比较简单，同学们要尽量认真仔细计算核对，确保拿到这8分。
（二）极限和连续 1.极限极限是每年都会出的题目，2015年出五道小题，2013，2016年出三道小题，2017年出两道小题，2014，2018，2019年出一道小题，学习的重点是学会极限的运算和两个特殊极限。
极限的概念是建立在函数基础上的，假设函数x x f =)(，当x 无限地接近于1时，这时)(x f ，也无限地靠近1，1叫做是)(x f 的极限,用英文字母lim 表示极限，在lim 下面用x →表示x 趋近于几。
①代入法求极限最常用的方法就是将数值代入函数式。
平均每年都会有一道这样的题目，就相当于是送分题。
②两个重要极限（1）1sin lim 0=→xxx（2）e xxx =+→)11(lim③无穷小量如果一个函数的极限是0，就把这个函数称为无穷小量。
应试技巧：极限是每年都会出的题目，2015年出五道小题，2013，2016年出三道小题，2017年出两道小题，2014，2018，2019年出一道小题，学习的重点是学会极限的运算和两个特殊极限。
我们在求极限的时候，基本就是上面三种方法：第一，一般是直接代入趋近数字求值即可；第二，我们看到求x 乘任何式子的函数求趋近于0的极限，肯定就是0，也就是无穷小量。
因为0乘以任何数都是0；第三，当趋近数字没有定义或无穷大时，首先考虑是否为特殊极限或其变形。
2.连续连续是基于函数极限基础上的一个定义，以图像举例，如图，这个函数图像在x=1时断开了，也就是说这不是一个连续的图像。
会有是否连续这个问题，主要是由于分段函数的出现，当然也有反比例函数这样定义域不是全集导致的。
考试就是考分段函数的连续问题。
判断分段函数是否连续就是两段函数求得的分段点极限值是否相等。
分段点极限值相等就连续，不相等就不连续。
考的分段函数一般定义域都为全集，也就是分段点肯定是有意义的，那么直接代入分段点数值到2个分段函数就可以得到分段点的2个极限值，再比较2个极限值是否相等。
例如分段函数()⎩⎨⎧-≥-=1,11,12x x x x x f ，分段点就是1，1代入前段函数x-1求出第一个极限为0，1代入后段函数x 2-1求出第二个极限还是为0，两个极限值相等，说明该分段函数在分段点处是连续的。
如果分段函数()⎩⎨⎧-≥-=1,21,12 x x x x x f ，那么第一个极限值还是0，第二个极限值变成-1了，两个极限值不相等，说明该分段函数在分段点处不连续，我们就把这个分段点叫做间隔点。
应试技巧：在遇到这样的题目时，如果已知连续，直接将连续点代入两个函数式使两个数值相等可以了。
而如果某一点两个函数式数值不相等，则该点为间隔点。
（三）一元函数微分 1. 导数这节课我们来学习导数，导数是分值比较高并且比较简单的部分，2013，2015，2017，2018年出三道小题，2014年两道小题，2016，2019年四道小题，2014-2019年各一道大题，导数的分值由12-24分，是我们考试中拿分的重点，高数中的导数是基于极限基础上的概念。
①导数的定义比如李四到公园散步，以3.6km 每小时的速度匀速前行，用函数表示李四散步走了多长距离s 和时间t 的关系就是：s=3.6t ，而导数就是反应李四在散步过程中在任意一个位置的前进速度，前面说了他是以3.6km每小时的速度匀速前行，因此任意位置的进行速度都是3.6km 每小时，而函数s=3.6t 的导函数s ’=3.6。
又比如李四到河边玩抛石子，水平抛出，石子落地的时间都相同，因为地球地表引力加速度都是g （9.8米/秒），水平抛出原垂直速度都为0，加速度g 是石子垂直方向速度变化反应，就是速度的导函数，速度的函数就是gt ，距离的函数是gt 2/2.速度反应距离的变化情况，所以速度函数是距离函数的导函数，加速度反应速度的变化情况，所以加速度函数是速度函数的导函数。
导数就是反应函数的变化情况的，某点导数值就是反应函数在某个点的变化情况的。
某个点的变化情况(导数)，从极限理解，就是极其相近距离趋近于0的两点（x 1，y 1）（x 2，y 2）形成的一条切线斜率，y 2-y 1=△y ，x 2-x 1=△x ，切线斜率（导数）可写作xx f x x f x y x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(limlim 1100。
②导数的基本公式：最常见的求导是指数函数，以x 3为例，我们求导时用指数函数的次方数×其原函数指数减一个次方：（x 3）’=3x（3-1）=3x 2，那么如果是常数，例如常数5可以看作5x 0，它们求导等于0×x -1=0，0×5x -1=0，因为其最前面的次方数为0就决定了，后面乘任何数都为0，所以任何常数的导数都为0。
正弦函数sinx 的导数是余弦函数cosx ，余弦函数cosx 的导数是负的正弦函数-sinx ，考试中还有遇到的是对数函数lnx 的导数是分式x1，特殊的导数e x 的导数还是e x。
一共这六种，需要同学们能够熟练运用。
（1）0)'(=C （2）1)'(-=n nnxx ，（n 为实数）（3）xxe e =)'( （4）x x cos )'(sin = （5）x x sin )'(cos -= （6）xx 1)'(ln = ③高阶导数考试中还会有二阶导数，三阶导数，做法都是一样的，就是求出一次导数之后，用的得到的新的函数式再求一次导数就是二阶导数，三阶导数就是在二阶导数的基础上再求一次导数。
考的二阶导数用22dxyd 或者y ”表示，就像前面的例子，速度和距离是一阶导数关系，加速度和速度是一阶导数关系，那么加速度和距离就是二阶导数关系。
④复合函数的导数复合函数的导数是我考试中最常出现的题型，所谓复合函数就是指几个函数复合在一起的形式，考试中常出现的是e x的指数x ，或者三角函数的角度x ，被一个函数式代替。
⑤复合函数和高阶导数相结合复合函数和高阶导数结合，就是对复合函数进行几次求导。
⑥导数运算两个函数f （x ）和g （x ）相乘，那么他们的导数[f （x ）g （x ）]’就是f ’（x ）g （x ）+f （x ）g ’（x ），前函数的导数×后函数的原函数+前函数的原函数×后函数的导数。
这个就像3×6=18和5×7=35的差量17，可以通过（5-3）×6+（7-6）×5=17得出，写出的前者差量（5-3）×后者原式的数字6+后者差量（7-6）×前者原式的数字5，把差量看作导数，原式的数字看作原函数。
⑦隐函数求导在考试中常给出一个函数，对隐函数求导。
给出的函数式中有x 和y ，将x 当做未知数来看，正常求导，y 当做未知函数式来看，运用复合函数的求导法则也进行求导，最后求出dxdyy'就可以。
应试技巧：导数是分值比较高并且比较简单的部分，导数的考查主要集中在几个导数公式的运用上，其他只是简单的变形，所以我们只要能够熟练运用导数公式，这部分题目就不是问题。