中考数学操作探究题

题型一：几何作图与轴对称

【例1】 如图1，凸四边形ABCD ，如果点P 满足APD APB α∠=∠=，且BPC CPD β∠=∠=，

则称点P 为四边形ABCD 的一个半等角点．

⑴在图2正方形ABCD 内画一个半等角点P ，且满足αβ≠；

⑵在图3四边形ABCD 中画出一个半等角点P ，保留画图痕迹（不需写出画法）．

图3

图2

图1

D

C

B A

D

C

B

A

αβ

β

α

P

D

C

B

A

【例2】 如图1，已知等边ABC △的边长为1，D 、E 、F 分别是AB 、BC 、AC 边上的点（均不与点A 、B 、

C 重合），记DEF △的周长为p .

⑴若D 、E 、F 分别是AB 、BC 、AC 边上的中点，则p =_______；

⑵若D 、E 、F 分别是AB 、BC 、AC 边上任意点，则p 的取值范围是 .

小亮和小明对第（2）问中的最小值进行了讨论，小亮先提出了自己的想法：将ABC △以AC 边为轴翻折一次得1AB C △，再将1AB C △以1B C 为轴翻折一次得11A B C △，如图2所示. 则由轴对称的性质可知，112DF FE E D p ++=，根据两点之间线段最短，可得2p DD ≥.老师听了后说：“你的想法很好，但2DD 的长度会因点D 的位置变化而变化，所以还得不出我们想要的结果.”小明接

例题精讲

操作探究题

过老师的话说：“那我们继续再翻折3次就可以了”.请参考他们的想法，写出你的答案.

【例3】 如图1，在△ABC 中，已知∠BAC ＝45°，AD ⊥BC 于D ，BD ＝2，DC ＝3，求AD 的长．

小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换如图1.她分别以AB 、AC 为对称轴，画出

ABD ∆、ACD ∆的轴对称图形，D 点的对称点为E 、F ，延长EB 、FC 相交于G 点，得到四边

形AEGF 是正方形.设AD x =，利用勾股定理，建立关于x 的方程模型，求出x 的值. 请你帮小萍求出x 的值.

⑴参考小萍的思路，探究并解答新问题：

⑵如图2，在ABC ∆中，30BAC ∠=︒，AD BC ⊥于D ，4AD =.请你按照小萍的方法画图，得到四边形AEGF ∆，求BGC ∆的周长．（画图所用字母与图1中的字母对应）

【例4】 小贝遇到一个有趣的问题：在矩形ABCD 中，8AD =cm ，6AB =cm 。

现有一动点P 按下列方式在矩形内运动：它从A 点出发，沿着AB 边夹角为45︒的方向作直线运动，每次碰到矩形的一边，就会改变 运动方向，沿着与这条边夹角为45︒的方向作直线运动，并且它一 直按照这种方式不停地运动，即当P 点碰到BC 边，沿着BC 边夹

图1

A

B

P

1

P 2

P A

B

D

E

图

角为45︒的方向作直线运动，当P 点碰到CD 边，再沿着与CD 边 夹角为45︒的方向作直线运动，…，如图1所示， 问P 点第一次与D 点重合前与边相碰几次，P 点第一次与D 点重合时所经过的路线的总长是多 少。小贝的思考是这样开始的：如图2，将矩形

ABCD 沿直线CD 折迭，得到矩形11A B CD ，由

轴对称的知识，发现232P P P E =，11P A PE =。 请你参考小贝的思路解决下列问题：

⑴P 点第一次与D 点重合前与边相碰 次；P 点从A 点出发到第一次与D 点重合时所经过的路径的总长是 cm ；

⑵近一步探究：改变矩形ABCD 中AD 、AB 的长，且满足AD AB >，动点P 从A 点出发，按照阅读材料中动点的运动方式，并满足前后连续两次与边相碰的位置在矩形ABCD 相邻的两边上。若P 点第一次与B 点重合前与边相碰7次，则:AB AD 的值为 。

【例5】 已知等边三角形纸片ABC 的边长为8，D 为AB 边上的点，过点D 作DG BC ∥交AC 于点

G ．DE BC ⊥于点E ，过点G 作GF BC ⊥于点F ，把三角形纸片ABC 分别沿DG DE GF ，，按

图1所示方式折叠，点A B C ，，分别落在点A '，B '，C '处．若点A '，B '，C '在矩形DEFG 内或其边上，且互不重合，此时我们称A B C '''△（即图中阴影部分）为“重叠三角形”．

（1）若把三角形纸片ABC 1的等边三角

形），

点A B C D ，，，A B C '''

的面积；

（2）实验探究：设AD 的长为m m 的代数式表示重叠三角形A B C '''的面积，并写出m ．

⑴重叠三角形A B C '''的面积为 ；

⑵用含m 的代数式表示重叠三角形A B C '''m

A 1

1

B 1

图2

图2

备用图

备用图

题型二：几何作图与旋转

【例6】 直角三角形通过剪切可以拼成一个与该直角三角形面积相等的矩形，方法如下：

①

②

③③

②

①中点

中点

请你用上面图示的方法，解答下列问题：

⑴对任意三角形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原三角形面积相等的矩形； ⑵对任意四边形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原四边形面积相等的矩形. ⑶能否将任意的一个四边形通过裁剪2次，将其拼成一个平行四边形，请画出裁剪线与拼成后的平行四边形

【例7】 如图1，若将△AOB 绕点O 逆时针旋转180°得到△COD ，则△AOB ≌△COD ．此时，我们称△

AOB 与△COD 为“8字全等型”．借助“8字全等型”我们可以解决一些图形的分割与拼接问题．例如：图2中，△ABC 是锐角三角形且AC ＞AB ， E 为AC 的中点，F 为BC 上一点且BF ≠FC （F 不与B ，C 重合），沿EF 将其剪开，得到的两块图形恰能拼成一个梯形．

图1

O D

C B

A

②

C

A

B

图2

②①

F

E

请分别按下列要求用直线将图2中的△ABC 重新进行分割，画出分割线及拼接后的图形．

⑴在图3中将△ABC 沿分割线剪开，使得到的两块图形恰能拼成一个平行四边形；

⑵在图4中将△ABC 沿分割线剪开，使得到的三块图形恰能拼成一个矩形，且其中的两块为直角三角形；

⑶在图5中将△ABC 沿分割线剪开，使得到的三块图形恰能拼成一个矩形，且其中的一块为钝角