工程力学第十二章：运动学基础
12第12章动能定理
d ( 1 mv 2 ) = δW 2
动能定理的微分形式
积分， 将上式沿路径 M 1M 2 积分，可得
1 1 2 2 mv2 − mv1 = W12 动能定理的积分形式 2 2
18
2．质点系的动能定理 ． 对质点系中的一质点 M i ： d ( 1 mi vi 2 ) = δWi 2 对整个质点系， 对整个质点系，有:
1 1 − ). r2 r1
(ϕ =ϕ 2 −ϕ 1 )
∴ W12 =
ϕ2 ϕ1
∫
r M z ( F ) dϕ
ϕ2
作用于转动刚体上力的功等于力矩的功。 作用于转动刚体上力的功等于力矩的功。
如果作用力偶， 如果作用力偶，M , 且力 W12 = 偶的作用面垂直转轴
注意：功的符号的确定。 注意：功的符号的确定。
2．定轴转动刚体 T = ∑ mi vi 2 = (∑ mi ri 2 )ω 2 = 1 J zω 2 ．
2
2 3．平面运动刚体 T = 1 M vC + 1 J Cω 2 ． 2 2 1 T = J Pω 2 （P为速度瞬心）
1 2
1 2
2
1 = ( J C + Md 2 )ω 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 = J Cω + M (d ω ) = J Cω + M vC 2 2 2 2
r r r δW = Fs ⋅ drc = Fs ⋅ vC dt = 0. r r drc = vC ⋅ dt = 0，
(3) 滚动摩擦阻力偶 M 的功
r vo
A F s
10
s 若M = 常量则 W12 = − Mϕ = − M R
FN
五．质点系内力的功 r r r r r r r r δ W = F ⋅ drA + F '⋅drB = F ⋅ drA − F ⋅ drB
《工程力学》授课教案
《工程力学》授课教案第一章：引言1.1 课程介绍解释工程力学的基本概念和重要性。
强调工程力学在工程领域中的应用和意义。
1.2 力学的基本原理介绍牛顿三定律和力学的基本原理。
解释力和运动的关系。
1.3 单位制和量纲介绍国际单位制（SI）和常用力学单位。
强调量纲一致性的重要性。
第二章：静力学2.1 概述介绍静力学的基本概念和应用。
解释平衡条件和平衡方程。
2.2 力的分解和合成讲解力的分解和合成的原理和方法。
提供实例演示和练习。
2.3 摩擦力介绍摩擦力的概念和计算方法。
讨论静摩擦和动摩擦的区别和应用。
第三章：运动学3.1 运动学基本概念介绍位移、速度、加速度等基本运动学概念。
解释瞬时速度和瞬时加速度的概念。
3.2 直线运动讲解直线运动的位移、速度和加速度的关系。
提供直线运动的实例和问题解决。
3.3 曲线运动介绍曲线运动的基本概念和特点。
解释圆周运动和抛物线运动等曲线运动的形式。
第四章：动力学4.1 牛顿第二定律介绍牛顿第二定律的内容和表达式。
解释力、质量和加速度之间的关系。
4.2 动量定理讲解动量定理的内容和应用。
提供动量定理的实例和问题解决。
4.3 动能和势能介绍动能和势能的概念和计算方法。
解释机械能守恒定律。
第五章：材料力学5.1 概述介绍材料力学的基本概念和应用。
解释应力、应变和材料强度等基本概念。
5.2 应力和应变讲解应力和应变的定义和计算方法。
提供应力和应变的实例和问题解决。
5.3 材料强度和失效介绍材料强度和失效模式的概念。
解释弹性极限、塑性极限和断裂极限等材料强度的性质。
第六章：梁的弯曲6.1 弯曲基本概念介绍梁的弯曲现象及其基本参数，如弯矩、剪力、弯曲应力。
解释梁的弯曲理论，包括弹性理论和塑性理论。
6.2 弯曲强度计算讲解梁在弯曲状态下强度的计算方法。
分析影响梁弯曲强度的因素，如材料属性、截面形状和尺寸、加载方式。
6.3 弯曲变形介绍梁弯曲变形的基本概念和计算方法。
讨论梁的弯曲变形对结构性能的影响。
工程力学-材料力学-第12章动量矩定理
•
例12-3 •已知：m1，r，k ，m2 ，R，
•求：弹簧被拉长s时，重物m2的加速度a2 。 •解 •选系统为研究对象,受力分析如图 •设：塔轮该瞬时的角速度为ω，则
•解得：
•
3．动量矩守恒定律
•若
，则 常矢量；
•若
，则 常量。
•
§12-3 刚体绕定轴转动的微分方程 •主动力： •约束力：
•
例12-8 •已知：l，m，θ=60°。求：1. αAB；2. FA • 解：绳子刚被剪断，杆AB作平面运
动，受力如图，根据平面运动微分 方程
• 补充运动学方 程
• 在y轴方向 投影
•
例12-9 •已知：如图r，m， m1。求：1. aA；2. FAB ；3. FS2 • 解：分别以A、B、C为研究对象
•其中： • (O为定点)
•
质点的动量矩定理
•因此 •称为质点的动量矩定理：质点对某定点的动量矩 对时间的一阶导数，等于作用力对同一点的矩。
•投影式：
•
2. 质点系的动量矩定理 •对第i个质点有 ： •对n个质点有：
• 由于
•得
•
2. 质点系的动量矩定理
•称为质点系的动量矩定理：质点系对某定点O的动量 矩对时间的一阶导数，等于作用于质点系的外力对于 同一点之矩的矢量和。 •投影式：
•2. 选轮2为研究对象
•积分
•
§12-4 质点系相对于质心的动量矩定理 •1．对质心的动量矩 •如图，以质心C为原点，取平移坐标系Cx’y’z’。 •质点系相对质心C为的动量矩为：
•由于 •得 • 质点系相对质心的动量矩，无论是以相对速度计算还是
以绝对速度计算，其结果都相同。
工程力学教材
工程力学教材引言工程力学是一门研究物体受力及其运动规律的学科，对于工程师而言是一门基础且重要的学科。
工程力学教材旨在介绍工程力学的基本原理和应用，培养学生分析和解决工程问题的能力。
第一章：力的基本原理1.1 力的概念和分类•力的定义•力的分类：接触力、重力、弹力、摩擦力等1.2 力的矢量表示和合成•力的矢量表示：力的大小和方向•力的合成：向量的加法和减法1.3 力的分解•力的分解原理•重力分解、斜面上的力分解第二章：静力学2.1 平衡的条件•平衡的定义•平衡的条件：力的平衡、力矩的平衡2.2 载荷分析•载荷的定义•受力分析：静力系统的受力分析方法2.3 结构分析•框架结构分析方法•特殊结构：悬臂梁、悬链线、桁架等第三章：运动学3.1 质点运动学•质点运动的描述：位移、速度和加速度•运动规律：牛顿第二定律、动量定理、功和能量定理3.2 刚体运动学•刚体的定义•刚体的运动：平动、转动、复合运动第四章：动力学4.1 质点动力学•质点的受力分析•动力学方程：牛顿第二定律、动能定理、动量定理4.2 刚体动力学•刚体的受力分析•刚体的动力学方程：转动惯量、转动定律第五章：静力学5.1 不变曲面的力学基本方程•向量代数的基本原理•坐标系的选择5.2 应力张量和应变张量•应力张量的描述和表示•应变张量的描述和表示5.3 边界条件及相应的解法•边界条件的定义和分类•边界值问题的解法结论工程力学是工程学科中的基础学科，对于工程师而言具有重要的意义。
通过学习工程力学教材，学生可以从力的基本原理、静力学、运动学、动力学以及静力学等方面深入理解工程力学的基本概念和原理，培养分析和解决工程问题的能力，为日后的工程实践打下坚实的基础。
《工程力学课程规范
一、课程概况
课程号
HBX220035
课程名称
工程力学
课程英文
名称
Engineering Mechanics
总学时数/周数
80/12
学分
5
讲授
学时
76
实验学时
4
实习周数
开课单位
理工学院
适用专业
工程管理专业
课程类别
专业教育课程
修读方式
必修
先修课程
高等数学、大学物理、工程制图
考核方式
考核方式：平时成绩、期末成绩和实验成绩综合测评；期末考试：闭卷。
4
熟悉
15
第十五章
刚体的平面运动
刚体平面运动的特征；研究平面运动的方法（运动的合成与分解）；应用各种方法——基点法求平面图形上任一点的速度。
明确刚体平面运动的特征，掌握研究平面运动的方法（运动的合成与分解），能够正确地判断机构中作平面运动的刚体并能熟练地应用各种方法——基点法求平面图形上任一点的速度。
能力培养任务
通过本课程的学习，使学生掌握物体问题，初步学会分析、解决一些简单的工程实际问题，培养学生解决工程计算中有关强度、刚度和稳定性问题的能力，以及计算能力和实验能力，为工程设计打下必要的基础。同时对工程力学理论要勤于思考、善做习题；通过掌握理解本课程的内容，为学习后继课程打好基础，并能初步运用工程力学理论和方法解决工程实际中的技术问题。
6
掌握
2
第二章
平面力系
平面汇交力系合成的方法及应用；平面力偶系的合成与平衡方程求解；力线的平移定理，平面任意力系向其作用面内任一点的简化方法；平面任意力系的平衡条件及平衡方程的各种形式
静定与静不定问题的概念；滑动摩擦的基本知识；考虑摩擦时的平衡问题求解。
工程力学 第2版 第12章 动荷应力和交变应力
影响构件持久极限的主要因素 构件外形的影响 构件截面尺寸的影响 构件表面加工质量的影响
a
Kd 1 g
j max
Kd
12.1.2 构件受冲击时的动荷应力 当具有一定速度的运动物体碰到静止的构件时，物体 和构件间会产生很大的作用力，这种现象称为冲击。如汽 锤锻造工件、落锤打桩、金属冲压加工、铆钉枪铆接、高
速转动的传动轴制动等，都是冲击的一些工程实例。
d max Kd j max [ ]
综合考虑以上三种主要因素，则在对称循环下构件的持久极限表示为
0 1
K
1
或
0 1
K
1
目前在机械设计中，通常将疲劳强度设计准则写成比较安全因数的形式
构件在对称循环弯曲或拉压时
n n
n
0 1
[ 1 ]
n
0 1
max
通 常 把 由 最 大 应 力 max 变 到 最 小 应 力 min ， 再 由 最 小 应 力 min变回到最大应力max的过程，称之为一个应力循环。把 一个应力循环中最小应力与最大应力之比值称为循环特性， 用r表示，即
r min max
常见的交变应力循环有 对称循环，
循环特性r = -1。
第12章 动荷应力与交变应力
12.1 动荷应力 10.2 交变应力
12.1 动荷应力
如果作用在构件上的载荷随时间有显著的变化，或在载荷作
用下构件上各点有显著的加速度，这种载荷即称为动载荷。
工程力学知识点总结
工程力学知识点总结工程力学是一门研究物体机械运动和受力情况的学科，它对于解决工程实际问题具有重要的意义。
以下是对工程力学一些关键知识点的总结。
一、静力学静力学主要研究物体在静止状态下的受力平衡问题。
1、力的基本概念力是物体间的相互作用，具有大小、方向和作用点三个要素。
力的单位是牛顿（N）。
2、力的合成与分解遵循平行四边形法则，可以将一个力分解为多个分力，也可以将多个力合成为一个合力。
3、约束与约束力约束是限制物体运动的条件，约束力是约束对物体的反作用力。
常见的约束有柔索约束、光滑接触面约束、铰链约束等。
4、受力分析对物体进行受力分析是解决静力学问题的关键步骤。
要明确研究对象，画出其受力图，包括主动力和约束力。
5、平衡方程对于平面力系，有∑Fx ＝ 0、∑Fy ＝ 0、∑Mo(F) ＝ 0 三个平衡方程；对于空间力系，则有六个平衡方程。
二、材料力学材料力学主要研究杆件在受力作用下的变形和破坏规律。
1、内力与应力内力是杆件内部由于外力作用而产生的相互作用力。
应力是单位面积上的内力，分为正应力和切应力。
2、应变应变是杆件变形量与原始尺寸的比值，分为线应变和切应变。
3、拉伸与压缩杆件在受到轴向拉伸或压缩时，会产生轴向变形和横截面上的应力分布。
4、剪切与挤压在剪切面上会产生切应力，在挤压面上会产生挤压应力。
5、扭转圆轴扭转时，横截面上会产生切应力，其分布规律与扭矩有关。
6、弯曲梁在弯曲时，会产生弯矩和剪力，横截面上会有正应力和切应力分布。
7、强度理论用于判断材料在复杂应力状态下是否发生破坏，常见的有第一、第二、第三和第四强度理论。
三、运动学运动学研究物体的运动规律，而不考虑引起运动的力。
1、点的运动描述点的运动可以用直角坐标法、自然法和极坐标法。
2、刚体的平动和转动平动时刚体上各点的运动轨迹相同，速度和加速度也相同；转动时刚体绕某一固定轴旋转。
3、角速度和角加速度用于描述刚体转动的快慢和变化率。
4、点的合成运动包括牵连运动、相对运动和绝对运动，通过速度合成定理和加速度合成定理来分析。
《工程力学》详细版习题参考答案
∑ Fx
=FAx
+
FBx
+
FCx
=− 1 2
F
+
F
−
1 2
F
=0
∑ Fy
= FAy
+
FBy
+
FCy
= − 3 2
F
+
3 F = 0 2
∑ M B= FBy ⋅ l=
3 Fl 2
因此，该力系的简化结果为一个力偶矩 M = 3Fl / 2 ，逆时针方向。
题 2-2 如图 2-19（a）所示，在钢架的 B 点作用有水平力 F，钢架重力忽 略不计。试求支座 A，D 的约束反力。
（a）
（b）
图 2-18
解：（1）如图 2-18（b）所示，建立直角坐标系 xBy。 （2）分别求出 A，B，C 各点处受力在 x，y 轴上的分力
思考题与练习题答案
FAx
= − 12 F ，FAy
= − 3 F 2
= FBx F= ，FBy 0
FCx
= − 12 F ，FCy
= 3 F 2
（3）求出各分力在 B 点处的合力和合力偶
（3）根据力偶系平衡条件列出方程，并求解未知量
∑ M =0 − aF + 2aFD =0
《工程力学》
可解得 F=Ay F=D F /2 。求得结果为正，说明 FAy 和 FD 的方向与假设方向相同。 题 2-3 如 图 2-20 （ a ） 所 示 ， 水 平 梁 上 作 用 有 两 个 力 偶 ， 分 别 为
3-4 什么是超静定问题？如何判断问题是静定还是超静定？请说明图 3-12 中哪些是静定问题，哪些是超静定问题？
（a）
工程力学基础知识
工程力学基础知识工程力学是一门物理学科，它研究物体在受力时的运动和变形规律。
它是现代工程学、物理学、材料学等各领域中不可或缺的基础课程。
本文将围绕工程力学的基础知识展开介绍。
一、力的概念和分类在力学中，力是指使物体运动或发生变形的原因。
力的单位是牛顿（N）。
力的分类包括接触力和非接触力两类。
接触力是指两个物体接触表面之间的力，如摩擦力、弹性力、接触冲击力等；非接触力是指物体之间的作用力，如引力、磁力、电力等。
二、物体静力学静力学是指研究物体处于平衡状态下的规律。
当物体处于平衡状态时，合外力的矢量和为零，物体与支撑面的接触力的矢量和也为零。
静力学的内容主要包括平衡条件、受力分析、力的合成和分解等。
三、杆件受力分析杆件是指长条状的物体，如桥梁、钢筋、木棒等。
在实际工程中，杆件通常会受到某种形式的力作用，如张力、压力、弯矩等。
杆件受力分析是指研究杆件内部受到的各种力对其内部应力状态的影响。
杆件受力分析的方法包括图解法、解析法、数值模拟法等。
四、刚体运动学和动力学刚体是指不会因受力而发生形状变化的物体。
刚体运动学和动力学分别研究刚体的运动和运动状态。
在刚体运动学中，研究刚体运动的几何方面，如位置、速度、加速度等；在刚体动力学中，研究刚体运动所受到的力和加速度之间的关系。
五、弹性力学基础知识弹性力学是研究物体在受到一定力作用后，具有弹性变形特性的状态的力学。
弹性力学的基础知识包括胡克定律、杨氏模量、泊松比等。
胡克定律是指单位长度的弹性形变量与施加在物体上的引力成正比；杨氏模量是指单位面积受到的引力与单位形变量成正比；泊松比是指物体横向形变与纵向形变之比。
结语以上是工程力学的基础知识，它们都是现代工程学的基础。
工程力学的知识涉及面广，需要学生在学习中注重理论与实践的结合，多做题、多实践，才能将知识转化为实际能力。
工程力学(上)电子教案第十二章重点教材
第十二章 动量矩定理第一、二节 质点和质点系的动量矩 动量矩定理教学时数：2学时教学目标：1、 对动量矩的概念有清晰的理解2、 熟练的计算质点系的动量矩教学重点：质点系的动量矩 质点系的动量矩定理教学难点：质点系的动量矩定理 教学方法：板书＋PowerPoint教学步骤： 一、引言由静力学力系简化理论知：平面任意力系向任一简化中心简化可得一力和一力偶，此力等于平面力系的主矢，此力偶等于平面力系对简化中心的主矩。
由刚体平面运动理论知：刚体的平面运动可以分解为随同基点的平动和相对基点的转动。
若将简化中心和基点取在质心上，则动量定理（质心运动定理）描述了刚体随同质心的运动的变化和外力系主矢的关系。
它揭示了物体机械运动规律的一个侧面。
刚体相对质心的转动的运动变化与外力系对质心的主矩的关系将有本章的动量矩定理给出。
它揭示了物体机械运动规律的另一个侧面。
二、质点和质点系的动量矩 1、质点的动量矩设质点M 某瞬时的动量为v m ，质点相对固定点O 的矢径为r，如图。
质点M 的动量对于点O 的矩，定义为质点对于点O 的动量矩，即()v m r v m M L O O ⨯==()v m M O垂直于△OMA ，大小等于△OMA 面积的二倍，方向由右手法则确定。
类似于力对点之矩和力对轴之矩的关系，质点对固定坐标轴的动量矩等于质点对坐标原点的动量矩在相应坐标轴上的投影，即 ()d mv v m M L xy Z z ==质点对固定轴的动量矩是代数量，其正负号可由右手法则来确定。
动量矩是瞬时量。
在国际单位制中，动量矩的单位是s m kg /2⋅ 2、质点系的动量矩（1）质点系对固定点的动量矩设质点系由n 个质点组成，其中第i 个质点的质量为i m ，速度为i v ，到O 点的矢径为i r，则质点系对O 点的动量矩（动量系对点的主矩）为：()∑∑⨯==i i i i i O O v m r v m M L即：质点系对任一固定点O 的动量矩定义为质点系中各质点对固定点动量矩的矢量和。
工程力学(水利)
16
4.力的表示方法 力的作用效应将随这三个要素 中的任何一个的改变而发生改变。 力是矢量。在图上它可用一个带有 箭头的有向线段表示，如图所示。 力的大小用按一定的比例所画的线 段的长度表示，力 的方向用线段的 箭头表示，力的作用点用线段的起 点或终点表示，线段所在的直线称 为力的作用线。
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5.力系 力系是指作用于被研究物体上的一组力。如果力系使物 体处于平衡状态，则称该力系为平衡力系。对同一物体作用 效应相同的两个力系，彼此称为等效力系。若一个力与一个 力系等效，则此力为该力系的合力。用简单力系等效替代复 杂力系，称为力系的简化。 1.1.2 力的性质（静力学公理） 公理1 二力平衡公理 仅受两 个力作用的刚体平衡的必要与充 分条件是：这两个力必须大小相 等、方向相反、并且作用在同一 条直线上，即FA=－FB，如图所示。
20
力的可传性原理说明，力是滑移矢量。这个原理只适用 于刚体而不适用于变形体。刚体的力的三要素可以改为力的 大小，方向与作用线。 公理3 力的平行四边形法则 作用于物体上同一点的两个 力可以合成为一个力，该合力也作用于这个点，合力由这两 个力为边所构成的平行四边形的对角线来确定。 如图所示，A点为作用点，F1、F2是两个分力，是合力， 公理3也可以用下式来表示： FR=F1+F2 （1.1） 即作用在同一点上的两个力的合 力等于这两个力的矢量和。
6
7
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9
10
４.工程力学的研究方法 工程力学研究解决问题的一般方法，可归纳为： ① 对研究系统进行抽象简化，建立力学模型，其中包括几 何形状、材料性能、载荷及约束等真实情况的理想化和简化。 ② 将力学原理应用于理想模型，进行分析、推理，得出结 论。 ③ 验证结果，若得出的结论不能满意，则需要重新考虑关 于系统特性的假设，建立不同的模型，进行分析，以期取得 进展。 上述方法中，建立力学模型是最关键的。
工程力学重点
1、物体系统平衡问题； 2、速度、加速度分析问题； 3、组合变形
总复习
提醒
1、带着作图工具和计算器； 2、计算题需作图旳必须作图； 3、做题环节要规范。
总复习
总复习
6、拉伸（压缩）与弯曲旳组合 横截面旳最大拉压正应力
F M
AW
当外力作用线与杆旳轴线平行但不重叠时，将引起 轴向拉伸（压缩）和平面弯曲两种基本变形。也称为 偏心拉（压）——单向应力状态。
总复习
7、弯曲与扭转旳组合 用内力表达旳圆杆弯曲和扭转组合变形强度条件
r3
1 W
r4
1 W
M 2 T 2 [ ] M 2 0.75T 2 [ ]
总复习
第6章 扭转
1、切应力互等定理
2、剪切胡克定律
G
3、外力偶矩
Pk
Pk
总复习
4、扭矩图旳画法 5、圆轴扭转时旳应力和强度条件
T
I p
max
TR IP
T IP
T Wt
R
max
T Wt
[ ]
(1) 切应力分布规律
(2) 抗扭截面系数旳计算
(3) 低碳钢圆轴扭转破坏是沿横截面剪切破坏，铸铁圆轴 扭转破坏是沿与轴线成45º旳斜面被拉断。
(3) 两个强度指标： s及b。
(4) 两个塑性指标：
l l 100%
l
A A 100%
A
(5)几种材料拉伸时旳力学性能比较。
总复习
5、交变应力和疲劳破坏旳概念。 6、剪切与挤压旳实用计算 (1) 注意有两个剪切面旳双剪对剪力旳影响。
(2) 剪切计算面积为实际受剪面积；挤压面计算面积，如挤 压面是平面，按实际挤压面积计算。当挤压面为曲面时 取挤压面在挤压力方向旳投影面积。对挤压面为半圆柱 面，如铆钉等，其挤压计算面积为直径乘被连接件厚度： d×t 。
工程力学课后习题答案(单辉祖著)
工程力学课后习题答案(单辉祖著)工程力学课后习题答案(单辉祖著)在工程力学课程中，习题是提高学生运用理论知识解决实际问题的有效途径。
然而，在自学过程中，学生常常会遇到一些困难和疑惑。
为了帮助同学们更好地掌握工程力学的知识，我将为大家提供工程力学课后习题的答案和详细解析，希望能够对大家的学习有所帮助。
1. 第一章：静力学1.1 问题1：答案：根据平面力系统的平衡条件，可以将每个力分解为水平力和垂直力的分量，然后通过求和计算每个方向上的合力和力矩。
使用力学平衡方程，可以解得所需的未知量。
1.2 问题2：答案：该问题是一个平面力系统的静力平衡问题。
通过绘制自由体图，在各个方向上应用平衡条件，计算出所需的未知量。
2. 第二章：静力学2.1 问题1：答案：根据刚体受力平衡的条件，可以通过求和计算每个力的合力和力矩，并解得所需的未知量。
2.2 问题2：答案：该问题是一个刚体受力平衡的问题。
通过绘制刚体的自由体图，在各个方向上应用平衡条件，计算出所需的未知量。
3. 第三章：运动学3.1 问题1：答案：根据物体的运动规律，可以利用位置、速度和加速度之间的关系，通过计算得到所需的未知量。
3.2 问题2：答案：该问题是一个物体运动规律的问题。
根据已知条件，计算物体的加速度、速度和位置等参数。
4. 第四章：动力学4.1 问题1：答案：根据牛顿第二定律和动量定理，利用所给条件计算物体的加速度、速度和位置等参数。
4.2 问题2：答案：该问题是一个物体的动力学问题。
根据已知条件，应用动力学定律，计算所需的未知量。
5. 总结与展望通过解答上述习题，我们可以更深入地理解和应用工程力学的知识。
在解题过程中，我们不仅要熟练掌握理论知识，还需要运用数学工具进行计算和分析。
希望同学们在学习过程中能够勤思考、勤问问题，并结合实际进行练习，以提高解决实际问题的能力。
通过学习工程力学，在实际工程中可以更好地应用科学知识，并解决现实生活中的问题。
工程力学第12章 点的运动
点的运动
1
第 12 章 点的运动
§12-1 运动学的基本内容•参考系 §12-2 点的运动的矢量表示法 §12-3 点的运动的直角坐标表示法 §12-4 点的运动的自然表示法
工程力学教程电子教案
点的运动
2
§12-1 运动学的基本内容•参考系
运动学是研究物体在空间位置随时间变化的 几何性质的科学。而不考虑运动发生的原因。
a
a
2 t
a
2 n
60.8
m / s2
tan q at 0.166, q 9.5
an
工程力学教程电子教案
点的运动
23
例 题 12-4
D
C
+s
B
ω
s
O
θ
A
O'
R
R
-s E
销钉B可沿半径等于R的 固定圆弧滑道DE和摆杆的直 槽中滑动,OA=R=0.1 m。已
知摆杆的转角 π sin 2πt （时间以s计， 以8rad计）
s
s Rq
O
θ
A
O'
R
R
Байду номын сангаас
但是，由几何关系知
q=2 ，且 π sin 2πt ，
-s
将其代入上式，8得
E
s 2R π sin 2πt
这就是B点的弧坐标表示的40运动方程。
工程力学教程电子教案
点的运动
25
例 题 12-4
B点的速度在切向上的投影
ds π2
vt
dt
cos 2πt 20
工程力学第四版课后习题答案
工程力学第四版课后习题答案工程力学第四版课后习题答案工程力学是一门研究物体静力学和动力学的学科，是工程学的基础课程之一。
通过学习工程力学，可以帮助我们理解和解决各种工程问题。
而课后习题则是巩固和应用所学知识的重要方式。
本文将为读者提供工程力学第四版课后习题的答案，希望能够帮助大家更好地掌握这门学科。
第一章：力的基本概念1. 一个物体的质量是5kg，重力加速度为9.8m/s²，求其重力。
答案：重力 = 质量× 重力加速度= 5kg × 9.8m/s² = 49N2. 一个力的大小为20N，方向与x轴夹角为30°，求其在x轴上的分力。
答案：在x轴上的分力 = 力的大小× cos(夹角) = 20N × cos(30°) ≈ 17.32N第二章：力的作用效果1. 一个物体受到两个力的作用，一个力的大小为10N，方向与x轴正向夹角为30°；另一个力的大小为15N，方向与x轴正向夹角为60°。
求物体所受合力的大小和方向。
答案：合力的x分力= 10N × cos(30°) + 15N × cos(60°) ≈ 17.32N合力的y分力= 10N × sin(30°) + 15N × sin(60°) ≈ 23.09N合力的大小= √(合力的x分力² + 合力的y分力²) ≈ 28.35N合力的方向 = arctan(合力的y分力 / 合力的x分力) ≈ 53.13°第三章：力的分解与合成1. 一个力的大小为30N，方向与x轴夹角为45°，求其在x轴和y轴上的分力。
答案：在x轴上的分力 = 力的大小× cos(夹角) = 30N × cos(45°) ≈ 21.21N在y轴上的分力 = 力的大小× sin(夹角) = 30N × sin(45°) ≈ 21.21N2. 一个物体受到两个力的作用，一个力的大小为20N，方向与x轴正向夹角为60°；另一个力的大小为15N，方向与x轴正向夹角为45°。
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点运动时，在空间所占的位置随时间连续变化而形成的曲线， 称为点的运动轨迹。点的运动可按轨迹形状分为直线运动和曲 线运动。当轨迹为圆时称为圆周运动。 表示点的位置随时间变化的规律的数学方程称为点的运动方程。
第一节研究的内容为点的运动方程、轨迹、速度和加速度，以 及它们之间的关系。
第一节 自然坐标法
以点的轨迹作为一条曲线形式的坐标轴来确定动点的位置
v v0 at 1 2 s v0t at 2 2 2 v v0 2as
这三个公式是匀变速曲线运动的三个常用公式。
例1 一环杆套接装置如图所示。
铁环半径为R，圆心为 O1，其
上套一小环 M ，杆穿过小环， 按 t（ 是常量）的规律
绕端点转动。已知初瞬时杆 OA
改变，单位矢量的方向也在不 dτ a (vτ ) τ v 2 τ v dt dt dt dt dt dt
1.切向加速度：表示速度大小的变化
dv d 2S a τ 2 τ dt dt
2.法向加速度：表示速度方向的变化
速度表示速度方向的变化，方向沿轨迹法线且永远指向曲率 中心。动点的加速度在切线上的投影等于其速度的代数值对
时间的一次导数，或其弧坐标对时间的二次导数，其值可正
可负；加速度在法线上的投影等于速度的平方除以轨迹在该 点的曲率半径，其值永远为正。
四、平面曲线运动的特殊情况： 1. 直线运动：加速度只有切向分量。 2. 匀速曲线运动：加速度只有法向分量。 3. 匀变速曲线运动：加速度有切向分量和法向分量。切向分 量为一常数。
f ( x, y ) 0
二、点的速度 速度可用它在平面直角坐标中轴x、y上的投影来表示，速度 在直角坐标轴上的投影等于对应坐标对时间的一阶导数 。
dx dy vx , v y dt dt
速度的大小和方向为：
大小：v v x v y 方向： tan vy vx
2
2
dx 2 dy 2 ( ) ( ) dt dt
an v
2
dτ v n( 为动点的曲率半径） dt
2
a
M
dv v a a a n τ n dt
a
an
a a an , arctan
2 2
a an
n
a
M
a
an
结论：
n
动点的加速度等于切向加速度和法向加速度的矢量和；切向
加速度表示速度代数值的变化，其方向沿轨迹切线；法向加
ds v vτ τ dt
τ是单位矢量，方向沿M点轨迹的切线，指向轨迹正向。
三、点的加速度 自然轴系
切线
（-）
M
n
法线
N
（+）
密切面
T
动点作平面运动，该瞬时动点在点M处
切线MT：过动点M和轨迹相切并指向轨迹正向，单位矢量τ 法线MN：过动点M与切线相垂直并指向曲线内凹侧，单位矢量n
注意：自然轴系不同于固定的直角坐标系，随动点在轨迹上位置
式中的θ为速度与坐标轴x之间所夹的锐角。
三、加速度 同理动点的加速度也可用它在直角坐标轴上的投影来表示。动 点的加速度在直角坐标轴上的投影，等于动点的速度在相应坐 标轴上的投影对时间的一阶导数，或等于动点的相应坐标对时 间的二阶导数。
引 言
①运动学 是研究物体在空间位置随时间变化的几何性质的科学。(包括:
轨迹，速度，加速度等)，不考虑引起运动的原因。 ②运动学研究的对象
动点：当所研究的问题和物体形状和几何尺寸无关，或影响很 小时，将物体抽象为动点。 刚体：内部任意两点之间的相对位移始终保持不变。数个刚体 构成的运动系统为刚体系统。
问题引入：
在机械工程上有大量的平面运动机构。这些运动机构在工作的过 程中涉及到动点和刚体的复杂运动，这些复杂运动的基础就是运 动学基础的相关内容。
椭圆规：由有十字形滑槽的底板和旋杆组成。旋杆上各点的 运动方程、运动速度和加速度是如何变化的呢？
升降台机构：升降台机构的平台在整个工作过程中一直保持水
处于水平位置，试求小环 M 的 运动方程、速度和加速度。 解： 将小环M看作动点，可知运动轨迹是半径为R的圆。当t =0时，
小环M位于原点M0，设该点为弧坐标原点，逆时针为弧坐标正
向（为计算方便，弧坐标正向通常与动点运动方向一致）。建 立动点小环的运动方程如下
s 2 Rt
小环M的速度大小为
ds v 2 R dt
小环M的切向加速度和法向加速度的大小分别为
dv a 0 dt v 2 (2 R ) 2 an 4 R 2 R
显然全加速度方向指向圆心 O1
第二节 直角坐标法
一、运动方程和轨迹方程 动点在一平面内运动，运 动方程为:
x f1 (t ) y f 2 (t )
将上列运动方程消去时间变量t，就得到动点的轨迹方程
平，保证正常工作。那么，为什么平台能在整个工作过程中维 持水平呢？
起重机构的鼓轮：图示起重机构中，重物的运动方程、运动速度 和运动加速度的变化规律是什么样的呢？
第一节 自然坐标法
第二节 直角坐标法 第三节 刚体的基本运动 第四节 定轴转动刚体上各点速度和加速度
研究点的运动的基本方法有直角坐标法和自然法。
的方法叫自然坐标法。
一、弧坐标表示的运动方程
S OM （弧坐标是代数量）
弧坐标原点，人为规定
弧坐标 动点
当动点运动时，S随时间而变化
S f (t )
二、点的速度
动点在△t内的位置改变称为动点 的位移，位移 MM 是一个有大小
和方向的矢量。位移与时间间隔
△t之比就定义为动点在该段时间 内的平均速度。
MM 平均速度 : v t
MM MM S 速度 : v lim v lim lim lim t 0 t 0 t t 0 S t 0 t
因为
MM lim 1 t 0 s
动点在t时刻的瞬时速度方向沿轨迹在点 M 的切线方向，指向轨
迹正向。
MM 速度 : v lim v lim t 0 t 0 t MM S lim lim t 0 S t 0 t
速度大小：
s ds v lim t 0 t dt
动点速度大小等于弧坐标对时间的一次导数，是代数量。其值为
正，动点沿轨迹正向运动。其值为负，动点沿轨迹负向运动。