第8章双正交小波笔记本2
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s(t) : 原 始 信 号 / 有 用 信 号 n ( t ) : 均 值 为 零 ， 方 差 为 σ 2的 高 斯 白 噪 声
ε ：噪 声 的 幅 度
（1）对 f ( n )小波分解后 ⇒ Wf ( j , k ) ⇔ d j,k ⇒ w j ,k
（MRA）
< f ,ψ jk >
< f ,ϕ jk >
为了构造具有p阶消失矩的小波，根据上述关系，得到
1 + e−iω p ˆ h(ω ) = 2( ) F0 ( eiω ) 2 − iω 1+ e ˆ % % % h (ω ) = 2( ) p F0 ( eiω ) 2
类似正交的情形
双正交小波级数与变换
f ( x) =
J −M ≤ j< J
2 % 设 ψ ,ψ ∈ L ( R)
若 {ψ j .k } j ,k ∈z {ψ% j . k } j , k ∈ z 均构成 L2 ( R) 的Riesz基，且满足：
% 〈ψ j ,k ,ψ l ,m 〉 = δ j ,lδ k ,m , j, l , k , m ∈ Z
（注意与正交的区别）
{ψ% }
< φ j ,k ,ψ l ,m >= 0
问题：非正交时的情况：一般情况、框架、Riesz基等情况下如何重建？
回顾正交小波的构造
1、基本思路：
ϕ → φ → h → g = ( −1)k h1−k → ψ
存在的困难：直接构造尺度函数不易 改进办法：直接从滤波器h出发，考虑h，g在满足何种 条件下能唯一确定一个正交尺度函数
第8章 小波函数的进一步分析
双正交小波
双正交小波的引入
图像压缩对小波的要求 1、正交：便于重构和去冗余 2、紧支撑：计算量小 3、线性相位：边缘失真小（对称/反对称） 4、一定的消失矩和正则性 现实中，只有Haar小波满足要求1－3，但不满足4 解决办法： 1、双正交小波 2、多小波
双正交小波的定义
必要条件总结
∑ k g n % g n ∑ k ∑ k h
k
h% k
− 2 l
= δ
n + 1 n + 1
0 ,2 l
, l ∈ z
= (− 1) = ຫໍສະໝຸດ Baidu− 1) h
2 k
h1− h% 1 − h
n
n
= =
∑
k
2 k + 1
= =
1 2 1 2
一个小波降噪的实例
软阀值法，启发式阀值选择
硬阀值法，启发式阀值选择 注意产生的多余信号
硬阀值法，阀值为 λ＝ ２log(length( X ))
注意信号的损失
% 小波降噪 snr=3; init=2055615866; %产生原始信号，并叠加标准高斯白噪声
[xref,x]=wnoise(3,11,snr,init);
ˆ w j ,k
ˆ w j ,k
−λ
−λ
λ
软阀值估计法(无跳变）
w j ,k
λ
硬阀值估计法
w j ,k
Matlab 7中的小波降噪和压缩 中的小波降噪和压缩
1. 提供了13个小波降噪和压缩函数 (pp.322,表13-1) 常用：wden, wdencmp 2. 功能： (1) 产生原始信号、噪声、带噪信号等测试数据 (2)小波分解 (3) 估计小波分解后的标准差 (4) 选择阀值、执行阀值处理
双正交小波的----消失矩
% % % % 设φ , φ ,ψ ,ψ 是与双正交小波滤波器组 h, h, g , g 对应的双 正交小波函数和尺度函数， ，ψ 的傅立叶变换p次连续 φ
可微，则下列命题等价：
1、小波 ψ 具有p阶消失矩
ˆ 2、 ψ 和它的前p-1阶导数在 ω = 0 处为零
ˆ 3、h(ω ) 和它的前p-1阶导数在 ω = π 处为零
Sf (j,k )
⇔ c j,k
f ( k )＝s( k ) + ε n( k )
w j ,k＝Ws( j, k ) + Wn( j, k )
c
j ,k
＋
d
j ,k
（注意：MRA的概念与此处的Ws(j,k)） （注意书上：j的顺序是反的，与本书前面的不一致）
w j ,k＝Ws( j, k ) + Wn( j, k )
双正交
正交
c j +1
G
H
↓2 ↓2
dj
↑2 ↑2
G*
H*
cj
c j +1
观察双正交与正交小波作分解和重构的异同 图7.5 滤波器组
小波分析的应用……噪声消除 噪声消除 小波分析的应用
依据： * 小波分析的多分辨特性：信号与噪声的不同频率特性 * 有用信号的小波变换在特定位置有较大值，其它大部分位 置则很小
% % 3、确定 h, h, g , g 能构造出紧支撑双正交小波的充分条件
双正交小波的构造（必要条件）
(1)
∑ hk = 2 k k % % % % φ (t ) = 2 ∑ hkφ (2t − k ) ∑ hk = 2 k k ⇒ ψ (t ) = 2 ∑ g kϕ (2t − k ) ∑ g k = 0 k k g =0 % % % ψ (t ) = 2 ∑ g kϕ (2t − k ) ∑ % k k k
（不一定是低频或高频）
* 白噪声的小波变换在每一尺度上是均匀的、幅度较小，随 着尺度的增加而有所减小（迅速衰减）
（注意书上pp158末说法并不矛盾之处)
观测信号： f (t )＝s(t ) + ε n(t )
s(t ) : 原始信号/有用信号 n(t ) : 均值为零，方差为σ 2的高斯白噪声
ε： 噪声的幅度
−λ
ˆ w j ,k
λ
w j ,k
软阀值估计法： sign( w j ,k )( w j ,k − λ ) w j ,k ≥ λ ˆ w j ,k＝ w j ,k < λ 0
硬阀值估计法： w j ,k ˆ w j ,k＝ 0 w j ,k ≥ λ w j ,k < λ
原因：随机过程通过线性系统
小波降噪的步骤和方法
1. 对信号进行小波分解（需要确定分解层数）； 2. 对小波分解后的系数/高频系数进行阀值处理（需要确 定阀值）； 3. 小波重构 关键：阀值和量化方法的确定 关键 硬阀值法、软阀值法、改进法
观测信号： f (t )＝s(t ) + ε n(t )
观测信号抽样后： f ( k )＝s( k ) + ε n( k )
j .k
则称 ψ 是一个双正交小波函数， % 是ψ 的对偶小波， ψ
j ,k ∈ z
{ψ }
j .k
j , k ∈z
为双正交的对偶小波基
双正交尺度函数的定义
% % 定义8.2：设{V j ,φ}与｛V j ,φ }分别是L2(R) 的可能不同的MRA
% 若< φ j ,k ,φl ,m >= δ j ,lδ k ,m
∑ ∑d
k∈Z
j ,k
ψ j , k + ∑ cJ − M , k ϕ J − M , k
k∈Z
% d j ,k = f ,ψ j ,k
% c j , k = f ,ϕ j , k
正交时
问：若M 无穷大？
% 分解： c j ,k = ∑ hn −2 k c j +1,n
n
% d j ,k = ∑ g n −2 k c j +1,n
h% 2
k
∑
k
h% 2
k + 1
双正交小波构造的充分条件
满足上述必要条件的滤波器并不能保证得到双正交小 波，必须使得双尺度方程的频域形式收敛才行，所以 必须加一个收敛条件。 ∞ ˆ －j h(2 ω ) ˆ(ω ) = φ ∏ 2 ψ (t ) = 2 ∑ gkϕ (2t − k ) j =1 k ⇒ % ˆ －j ∞ % % % ψ (t ) = 2 ∑ g kϕ (2t − k ) h (2 ω ) ˆ % (ω ) = φ k ∏ 2 j =1
φ (t ) = 2 ∑ hkφ (2t − k )
双通道滤波器组重建条件
∧ ∧ ∧ ∧ % % h(ω ) h* (ω ) + h(ω + π ) h* (ω + π ) = 2 −1 −1 % ( z ) h( z ) + h ( − z ) h ( − z ) = 2 % h ∧ ˆ −1 −1 − iω * g ( z ) = z h( − z ) ⇒ g (ω ) = e h (ω + π ) % % g ( z ) = z −1h ( − z −1 ) ∧ ∧ % − iω % * g (ω ) = e h (ω + π )
n
c j ,k = ∑ hn −2 k c j +1,n
n
d j ,k = ∑ g n −2 k c j +1,n
n
重构： c j +1,k = ∑ hk −2l c j ,l + ∑ g k −2 l d j ,l
l l
1.（Mallat算法中与正交时的区别仅在分解公式中的对偶部分） （ 算法中与正交时的区别仅在分解公式中的对偶部分） 算法中与正交时的区别仅在分解公式中的对偶部分 2. 解决了正交小波不同时具有紧支集和对称性的问题
正交时： mϕ (ξ ) + mϕ (ξ + π ) = 1
2
2
mψ (ξ )＝eiξ mϕ (ξ + π )
% ∑ hk hk −2 l = δ 0,2 l , l ∈ Z ⇒ k % g n = ( −1) n +1 h1−n ， g n = ( −1)n +1 h1−n %
或 mψ (ξ )＝－e－iξ mϕ (ξ + π )
%对x实用sym8小波进行５层分解，得到高频系数。使用SURE阀值、软阀值进行 降噪 lev=5;
xd=wden(x,'heursure','s','one',lev,'sym8');
% 输出，输入原始信号，阀值选取方法，软阀值处理，各层是否变化，５级小波分解，sym8小波
%画出原始信号 subplot(611),plot(xref),axis([1 2048 -10 10]); title('原始信号'); subplot(612),plot(x),axis([1 2048 -10 10]); title(['噪声信号－信噪比为',num2str(fix(snr))^2]); subplot(613),plot(xd),axis([1 2048 -10 10]); title('降噪信号－heuristic SURE');
h → φ → g = ( −1)k h1−k → ψ
双正交小波的构造
基本思路同上：
% % % % % % 1、从滤波器组 h, h, g , g 出发，采用 h, h, g , g → φ , φ → ψ ,ψ
的过程构造对偶尺度函数和双正交小波
% % 2、找出滤波器 h, h 和 g , g 满足的必要条件
% 〈ψ ( x ),ψ ( x − k )〉 = δ 0,k % ( x − k )〉 = 0 ⇒ 〈φ ( x ),ψ % 〈φ ( x ),ψ ( x − k )〉 = 0
回忆正交的情况
2 % ⇒ {ψ j ,k }, {ψ j ,k } 是线性无关的，同时可以构成 L (R) 的基
（书上有错）
% % 则称 {V j ,φ}与｛V j ,φ }
φ % 是互相对偶的MRA，与φ 为双正交尺度函数 双正交尺度函数。 双正交尺度函数
双正交小波
〈ψ
j ,k
,ψ% l , m 〉 = δ
j ,l
δ k ,m , j , l , k , m ∈ Z
双正交小波与正交小波的比较
< ψ j ,k ,ψ l ,m >= δ j ,lδ k ,m
观测信号抽样后： f ( k )＝s( k ) + ε n( k )
噪声在小波分解下的特性 1. 若n(k)是一个平稳、零均值的白噪声序列，则其小波分 解系数是独立的； 2. 若n(k)是一个高斯型噪声，则其小波分解系数是独立的 且服从高斯分布； 3. 若n(k)是一个平稳、零均值有色高斯噪声序列，则其小 波分解系数也是高斯型的，且对每一尺度j, 其相应系数 是一个平稳、有色序列； 4. 若n(k)是一个固定的零均值ARMA模型，则对每一尺度j 其小波分解系数也是固定的零均值ARMA模型
（2）选择合适的阀值 λ 对小波分解后的系数进行处理，得出估
ˆ 计小波系数 w j ,k使 w j ,k − Ws( j, k ) ˆ
尽可能小
λ 的取法有多种，其中一种取： λ＝σ 2 lg( N )
硬阀值估计法： w j ,k ˆ j ,k＝ w 0 w j ,k ≥ λ w j ,k < λ
ε ：噪 声 的 幅 度
（1）对 f ( n )小波分解后 ⇒ Wf ( j , k ) ⇔ d j,k ⇒ w j ,k
（MRA）
< f ,ψ jk >
< f ,ϕ jk >
为了构造具有p阶消失矩的小波，根据上述关系，得到
1 + e−iω p ˆ h(ω ) = 2( ) F0 ( eiω ) 2 − iω 1+ e ˆ % % % h (ω ) = 2( ) p F0 ( eiω ) 2
类似正交的情形
双正交小波级数与变换
f ( x) =
J −M ≤ j< J
2 % 设 ψ ,ψ ∈ L ( R)
若 {ψ j .k } j ,k ∈z {ψ% j . k } j , k ∈ z 均构成 L2 ( R) 的Riesz基，且满足：
% 〈ψ j ,k ,ψ l ,m 〉 = δ j ,lδ k ,m , j, l , k , m ∈ Z
（注意与正交的区别）
{ψ% }
< φ j ,k ,ψ l ,m >= 0
问题：非正交时的情况：一般情况、框架、Riesz基等情况下如何重建？
回顾正交小波的构造
1、基本思路：
ϕ → φ → h → g = ( −1)k h1−k → ψ
存在的困难：直接构造尺度函数不易 改进办法：直接从滤波器h出发，考虑h，g在满足何种 条件下能唯一确定一个正交尺度函数
第8章 小波函数的进一步分析
双正交小波
双正交小波的引入
图像压缩对小波的要求 1、正交：便于重构和去冗余 2、紧支撑：计算量小 3、线性相位：边缘失真小（对称/反对称） 4、一定的消失矩和正则性 现实中，只有Haar小波满足要求1－3，但不满足4 解决办法： 1、双正交小波 2、多小波
双正交小波的定义
必要条件总结
∑ k g n % g n ∑ k ∑ k h
k
h% k
− 2 l
= δ
n + 1 n + 1
0 ,2 l
, l ∈ z
= (− 1) = ຫໍສະໝຸດ Baidu− 1) h
2 k
h1− h% 1 − h
n
n
= =
∑
k
2 k + 1
= =
1 2 1 2
一个小波降噪的实例
软阀值法，启发式阀值选择
硬阀值法，启发式阀值选择 注意产生的多余信号
硬阀值法，阀值为 λ＝ ２log(length( X ))
注意信号的损失
% 小波降噪 snr=3; init=2055615866; %产生原始信号，并叠加标准高斯白噪声
[xref,x]=wnoise(3,11,snr,init);
ˆ w j ,k
ˆ w j ,k
−λ
−λ
λ
软阀值估计法(无跳变）
w j ,k
λ
硬阀值估计法
w j ,k
Matlab 7中的小波降噪和压缩 中的小波降噪和压缩
1. 提供了13个小波降噪和压缩函数 (pp.322,表13-1) 常用：wden, wdencmp 2. 功能： (1) 产生原始信号、噪声、带噪信号等测试数据 (2)小波分解 (3) 估计小波分解后的标准差 (4) 选择阀值、执行阀值处理
双正交小波的----消失矩
% % % % 设φ , φ ,ψ ,ψ 是与双正交小波滤波器组 h, h, g , g 对应的双 正交小波函数和尺度函数， ，ψ 的傅立叶变换p次连续 φ
可微，则下列命题等价：
1、小波 ψ 具有p阶消失矩
ˆ 2、 ψ 和它的前p-1阶导数在 ω = 0 处为零
ˆ 3、h(ω ) 和它的前p-1阶导数在 ω = π 处为零
Sf (j,k )
⇔ c j,k
f ( k )＝s( k ) + ε n( k )
w j ,k＝Ws( j, k ) + Wn( j, k )
c
j ,k
＋
d
j ,k
（注意：MRA的概念与此处的Ws(j,k)） （注意书上：j的顺序是反的，与本书前面的不一致）
w j ,k＝Ws( j, k ) + Wn( j, k )
双正交
正交
c j +1
G
H
↓2 ↓2
dj
↑2 ↑2
G*
H*
cj
c j +1
观察双正交与正交小波作分解和重构的异同 图7.5 滤波器组
小波分析的应用……噪声消除 噪声消除 小波分析的应用
依据： * 小波分析的多分辨特性：信号与噪声的不同频率特性 * 有用信号的小波变换在特定位置有较大值，其它大部分位 置则很小
% % 3、确定 h, h, g , g 能构造出紧支撑双正交小波的充分条件
双正交小波的构造（必要条件）
(1)
∑ hk = 2 k k % % % % φ (t ) = 2 ∑ hkφ (2t − k ) ∑ hk = 2 k k ⇒ ψ (t ) = 2 ∑ g kϕ (2t − k ) ∑ g k = 0 k k g =0 % % % ψ (t ) = 2 ∑ g kϕ (2t − k ) ∑ % k k k
（不一定是低频或高频）
* 白噪声的小波变换在每一尺度上是均匀的、幅度较小，随 着尺度的增加而有所减小（迅速衰减）
（注意书上pp158末说法并不矛盾之处)
观测信号： f (t )＝s(t ) + ε n(t )
s(t ) : 原始信号/有用信号 n(t ) : 均值为零，方差为σ 2的高斯白噪声
ε： 噪声的幅度
−λ
ˆ w j ,k
λ
w j ,k
软阀值估计法： sign( w j ,k )( w j ,k − λ ) w j ,k ≥ λ ˆ w j ,k＝ w j ,k < λ 0
硬阀值估计法： w j ,k ˆ w j ,k＝ 0 w j ,k ≥ λ w j ,k < λ
原因：随机过程通过线性系统
小波降噪的步骤和方法
1. 对信号进行小波分解（需要确定分解层数）； 2. 对小波分解后的系数/高频系数进行阀值处理（需要确 定阀值）； 3. 小波重构 关键：阀值和量化方法的确定 关键 硬阀值法、软阀值法、改进法
观测信号： f (t )＝s(t ) + ε n(t )
观测信号抽样后： f ( k )＝s( k ) + ε n( k )
j .k
则称 ψ 是一个双正交小波函数， % 是ψ 的对偶小波， ψ
j ,k ∈ z
{ψ }
j .k
j , k ∈z
为双正交的对偶小波基
双正交尺度函数的定义
% % 定义8.2：设{V j ,φ}与｛V j ,φ }分别是L2(R) 的可能不同的MRA
% 若< φ j ,k ,φl ,m >= δ j ,lδ k ,m
∑ ∑d
k∈Z
j ,k
ψ j , k + ∑ cJ − M , k ϕ J − M , k
k∈Z
% d j ,k = f ,ψ j ,k
% c j , k = f ,ϕ j , k
正交时
问：若M 无穷大？
% 分解： c j ,k = ∑ hn −2 k c j +1,n
n
% d j ,k = ∑ g n −2 k c j +1,n
h% 2
k
∑
k
h% 2
k + 1
双正交小波构造的充分条件
满足上述必要条件的滤波器并不能保证得到双正交小 波，必须使得双尺度方程的频域形式收敛才行，所以 必须加一个收敛条件。 ∞ ˆ －j h(2 ω ) ˆ(ω ) = φ ∏ 2 ψ (t ) = 2 ∑ gkϕ (2t − k ) j =1 k ⇒ % ˆ －j ∞ % % % ψ (t ) = 2 ∑ g kϕ (2t − k ) h (2 ω ) ˆ % (ω ) = φ k ∏ 2 j =1
φ (t ) = 2 ∑ hkφ (2t − k )
双通道滤波器组重建条件
∧ ∧ ∧ ∧ % % h(ω ) h* (ω ) + h(ω + π ) h* (ω + π ) = 2 −1 −1 % ( z ) h( z ) + h ( − z ) h ( − z ) = 2 % h ∧ ˆ −1 −1 − iω * g ( z ) = z h( − z ) ⇒ g (ω ) = e h (ω + π ) % % g ( z ) = z −1h ( − z −1 ) ∧ ∧ % − iω % * g (ω ) = e h (ω + π )
n
c j ,k = ∑ hn −2 k c j +1,n
n
d j ,k = ∑ g n −2 k c j +1,n
n
重构： c j +1,k = ∑ hk −2l c j ,l + ∑ g k −2 l d j ,l
l l
1.（Mallat算法中与正交时的区别仅在分解公式中的对偶部分） （ 算法中与正交时的区别仅在分解公式中的对偶部分） 算法中与正交时的区别仅在分解公式中的对偶部分 2. 解决了正交小波不同时具有紧支集和对称性的问题
正交时： mϕ (ξ ) + mϕ (ξ + π ) = 1
2
2
mψ (ξ )＝eiξ mϕ (ξ + π )
% ∑ hk hk −2 l = δ 0,2 l , l ∈ Z ⇒ k % g n = ( −1) n +1 h1−n ， g n = ( −1)n +1 h1−n %
或 mψ (ξ )＝－e－iξ mϕ (ξ + π )
%对x实用sym8小波进行５层分解，得到高频系数。使用SURE阀值、软阀值进行 降噪 lev=5;
xd=wden(x,'heursure','s','one',lev,'sym8');
% 输出，输入原始信号，阀值选取方法，软阀值处理，各层是否变化，５级小波分解，sym8小波
%画出原始信号 subplot(611),plot(xref),axis([1 2048 -10 10]); title('原始信号'); subplot(612),plot(x),axis([1 2048 -10 10]); title(['噪声信号－信噪比为',num2str(fix(snr))^2]); subplot(613),plot(xd),axis([1 2048 -10 10]); title('降噪信号－heuristic SURE');
h → φ → g = ( −1)k h1−k → ψ
双正交小波的构造
基本思路同上：
% % % % % % 1、从滤波器组 h, h, g , g 出发，采用 h, h, g , g → φ , φ → ψ ,ψ
的过程构造对偶尺度函数和双正交小波
% % 2、找出滤波器 h, h 和 g , g 满足的必要条件
% 〈ψ ( x ),ψ ( x − k )〉 = δ 0,k % ( x − k )〉 = 0 ⇒ 〈φ ( x ),ψ % 〈φ ( x ),ψ ( x − k )〉 = 0
回忆正交的情况
2 % ⇒ {ψ j ,k }, {ψ j ,k } 是线性无关的，同时可以构成 L (R) 的基
（书上有错）
% % 则称 {V j ,φ}与｛V j ,φ }
φ % 是互相对偶的MRA，与φ 为双正交尺度函数 双正交尺度函数。 双正交尺度函数
双正交小波
〈ψ
j ,k
,ψ% l , m 〉 = δ
j ,l
δ k ,m , j , l , k , m ∈ Z
双正交小波与正交小波的比较
< ψ j ,k ,ψ l ,m >= δ j ,lδ k ,m
观测信号抽样后： f ( k )＝s( k ) + ε n( k )
噪声在小波分解下的特性 1. 若n(k)是一个平稳、零均值的白噪声序列，则其小波分 解系数是独立的； 2. 若n(k)是一个高斯型噪声，则其小波分解系数是独立的 且服从高斯分布； 3. 若n(k)是一个平稳、零均值有色高斯噪声序列，则其小 波分解系数也是高斯型的，且对每一尺度j, 其相应系数 是一个平稳、有色序列； 4. 若n(k)是一个固定的零均值ARMA模型，则对每一尺度j 其小波分解系数也是固定的零均值ARMA模型
（2）选择合适的阀值 λ 对小波分解后的系数进行处理，得出估
ˆ 计小波系数 w j ,k使 w j ,k − Ws( j, k ) ˆ
尽可能小
λ 的取法有多种，其中一种取： λ＝σ 2 lg( N )
硬阀值估计法： w j ,k ˆ j ,k＝ w 0 w j ,k ≥ λ w j ,k < λ