计数原理和排列

如果完成一件事需要分成n个步骤，缺一不可，即需要依次完成所有步骤才能完成这件事，而完成每一个步骤各有若干种不同的方法，求完成这件事的方法种数就用分步计数原理(乘法原理)．
分类加法计数原理和分步乘法计数原理的联系与区别
分类加法计数原理
分步乘法计数原理
联系
两个原理回答的都是关于完成一件事情的不同方法的种数的问题
变式2：一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共十个数字，这4个拨号盘可以组成40个四位数的号码(各位上的数字允许重复)
抽取(分配)问题
例3：(1)高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去何工厂可自由选择，则不同的分配方案有( )A．16种 B．18种 C．37种D．48种
【解析】A ＝4×3＝12；A ＝3×2×1＝6.
【解析】 ＝ ＝ .【答案】
排列的列举问题
例1：写出下列问题的所有排列．
(3)法一按末位是0,2,4分为三类：第一类：末位是0的有4×4×3＝48个；第二类：末位是2的有3×4×3＝36个；第三类：末位是4的有3×4×3＝36个．则由分类加法计数原理有N＝48＋36＋36＝120(个)．
(二) 排列
1．排列的概念:一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．
区别一
完成一件事共有n类办法，关键词是“分类”
完成一件事共分n个步骤，关键词是“分步”
区别二
每类办法都能完成这件事
任何一步都不能独立完成这件事，缺少任何一步也不能完成这件事，只有每个步骤都完成了，才能完成这件事
区别三
各类办法都是互斥的、并列的、独立的
各步之间是相互关联的、互相依存的
一、分类计数原理问题
全排列的概念
n个不同元素全部取出的一个排列
阶乘的概念
把n·(n－1)·…·2·1记作n！，读作：n的阶乘
排列数公式
A ＝n(n－1)…(n－m＋1)
阶乘式A ＝ (n，m∈N*，m≤n)
特殊情况
A ＝n！，A ＝1,0！＝1
练习：1、A ＝________，A ＝________.2. ＝________
如果完成一件事有n类方式，每类方式彼此之间是相互独立的，无论哪一种方式的每种方法都能单独完成这件事，求完成这件事的方法种数，就用分类计数原理(加法原理)．
2．分步计数原理
完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法．分步计数原理又称为乘法原理．
【自主解答】不妨由甲先来取，共3种取法，而甲取到谁的将由谁在甲取后第二个来取，共3种取法，余下来的人，都只有1种选择，所以不同取法共有3×3×1×1＝9(种)．
组数问题
例4：用0,1,2,3,4,5可以组成多少个无重复数字的
(1)银行存折的四位密码；(2)四位整数；(3)比2 000大的四位偶数．
【自主解答】(1)分步解决．
【自主解答】 (1)高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践有43种不同的分配方案，若三个班都不去工厂甲则有33种不同的分配方案．则满足条件的不同的分配方案有43－33＝37(种)．故选C.
变式3：甲、乙、丙、丁四人各写一张贺卡，放在一起，再各取一张不是自己的贺卡，则不同取法的种数有________．
二、分步计数原理问题
例2：有三个盒子，分别装有不同编号的红色小球6个，白色小球5个，黄色小球4个，现从盒子里任取红、白、黄小球各1个，有多少种不同的取法？
解：分三步完成：第1步是取红球，有6种不同的取法；第2步是取白球，有5种不同的取法；
第3步是取黄球，有4种不同的取法；根据分步计数原理，不同取法的种数为N＝6×5×4＝120.
n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个不同元素的一个全排列．在排列数公式中，当m＝n时，即有 ＝n(n－1)(n－2)·…·3·2·1， 称为n的阶乘(factorial)，通常用n！表示，即 ＝n！.
我们规定0！＝1，排列数公式还可以写成 ＝ .
排列数定义及表示
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A 表示
例1：在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？
解：按个位上的数字是2,3,4,5,6,7,8,9分成8类，在每一类中满足条件的两位数分别是1个，2个，3个，4个，5个，6个，7个，8个，所以按分类加法计数原理知，满足条件的两位数共有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36(个)．
变式1：有三个袋子，分别装有不同编号的红色小球6个，白色小球5个，黄色小球4个．若从三个袋子中任取1个小球，有__15___种不同的取法.
第一步：选取左边第一个位置上的数字，有6种选取方法第二步：选取左边第二个位置上的数字，有5种选取方法；第三步：选取左边第三个位置上的数字，有4种选取方法；第四步：选取左边第四个位置上的数字，有3种选取方法．由分步乘法计数原理知，可组成不同的四位密码共有6×5×4×3＝360(个)．
(2)分步解决．第一步：首位数字有5种选取方法；第二步：百位数字有5种选取方法；第三步：十位数字有4种选取方法；第四步：个位数字有3种选取方法．由分步乘法计数原理知，可组成四位整数有5×5×4×3＝300(个)．
两个排列相同，当且仅当两个排列的元素完全相同，且元素的排列顺序也相同．
2．排列数的概念
一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 表示．
根据分步计数原理，我们得到排列数公式 ＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，其中n，m∈N*，且m≤n.
姓பைடு நூலகம்名
年级
性 别
学 校
学 科
教师
上课日期
上课时间
课题
6计数原理和排列
(一) 两个基本计数原理
1．分类计数原理
完成一件事，有n类方式，在第1类方式中有m1种不同的方法，在第2类方式中有m2种不同的方法，……，在第n类方式中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法．分类计数原理又称为加法原理．