1,平面的基本性质

§9.1平面的基本性质

【复习目标】

1．归纳《立体几何》整章的知识结构，抽象其所蕴涵的数学方法和数学思想；

2．罗列“直线与平面”内容的主要定义、判定定理、性质定理和重要结论，要求背诵；3．掌握平面的基本性质，并能运用这些性质解决关于点线共面、两个平面的交线等问题。

【内容归纳】

1.知识点

2.两个主要的位置关系

3.主要的数学思想与方法：

（1）化归的思想：一方面指直线与直线，直线与平面，平面与平面这三个不同层次的平行与垂直关系依其它的条件相互转化，而且平行和垂直还可以交互作

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用产生交互关系；另一方面指将复杂的空间图形化归为基本的空间图形，或

将空间问题化归为平面几何的问题来解决，在立体几何的综合计算中，这一

点尤为重要；

（2）分类讨论的思想；空间的元素的关系按某种标准进行分类，是位置关系论证的基础；

（3）几何计算中应注意“割”、“补”、“等积变换”等转化手段。

4.学习中的能力培养

（1）丰富的空间想象能力：会识图、利用图形思考，掌握空间图形的简单变换并进行必要的转化；或借助于典型几何体——正四面体、正方体等，它们是空

间几何体的基本结构，往往隐含于一些复杂的几何体中，善于从纷乱的空间

图形中，抓住基本结构，常常是解立体几何的关键；

（2）严密的逻辑思维和论证能力：想得清楚，说得明白，写得严谨；

（3）文字语言、图形语言、符号语言的运用与转化的能力：

（4）计算能力：掌握计算空间的距离和角的常用方法，做到“作图合理、论证到位、计算准确，方法合理。

5．平面的基本性质（三个公理及三个推论）

（1）如果一条直线上有两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内；

（2）如果两个平面有一个公共点，那么它们有且仅有一条通过这点的公共直线；（3）经过不在同一直线上的三点，有且仅有一个平面；

推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且仅有一个平面；

推论2：经过两条相交直线，有且仅有一个平面；

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推论3：经过两条平行直线，有且仅有一个平面；

【典型例题】

例1 判断下列命题的正误：

（1） 首尾相结的四条线段在同一个平面内；（ ）

（2） 三条互相平行的线段在同一个平面内；（ ）

（3） 两两相交的三条直线在同一个平面内；（ ）

（4） 若四个点中的三个点在同一条直线上，那么这四个点在同一个平面内；（ ）

（5） 互相垂直的两条直线，有且仅有一个公共点；（ ）

（6） 经过一点有且仅有一条直线垂直于已知直线；（ ）

（7） 垂直于同一条直线的两条直线平行；（ ）

（8） 两平行线之一垂直于一直线，则另一条也垂直于此直线；（ ）

（9） 若,A l A α∈∈，,B l B α∈∈，则l α⊂；（ ）

（10） 若,A A αβ∈∈，,B B αβ∈∈，则AB αβ⋂=；（ ）

（11） 若,l A l α⊄∈，则A α∉；（ ）

（12） 若,,A B C α∈，,,A B C β∈，且,,A B C 不共线，则α与β重合.（ ） 例2 已知正方体1AC 中，E 、F 分别为11C D 、11C B 中点，AC ∩BD=P ，Q EF C A = 11，

求证：（1）D 、B 、F 、E 四点共面；

（2）若C A 1交平面DBFE 于R 点，则P 、Q 、R 三点共线。

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例3 正方形1111-ABCD D C B A 中，M 是1AA 中点，过1D 、M 、C 作一个平面，画出这个平面截正方体所得的截面. 【本课小结】

【课后作业】

1. 写出《两个主要的位置关系》中的13条定理（文字语言和符号语言），并附上相应

的图形。