(完整版)数值分析考试复习总结汇总,推荐文档

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100
误差估计：
f
max | f (x) fh (x) |
(x ih) (x (i 1)h) . 2! ixx(i1)h
□
第三章
最佳一致逼近:(了解) 最佳平方逼近
主要分两种情形：
1. 连续意义下
在空间 L2[a,b]中讨论
2. 离散意义下
在 n 维欧氏空间 Rn 中讨论，只要求提供 f 的样本值
n (x)
(x
xi
)
n
(xi
)
ji
n
n
其中: n (x) (x x j ), n xi (xi x j ) .
j0
j0
ji
例 1 n=1 时，线性插值公式
P1 ( x)
y0
(x x1) (x0 x1)
y1
(x x0 ) (x1 x0 )
，
例 2 n=2 时，抛物插值公式
P2 (x)
可得： L3 (x) x 2 (x 1 2)
方法二. 令
L3 (x) x(x 1 2) ( Ax B)
由
L3
(1)
3 2
，
L3 (1)
1， 2
定 A，B
（称之为待定系数法）
□
15.设 f (x) x2 ，求 f (x) 在区间[0,1] 上的分段线性插值函数 fh (x) ，并估计误差， 取等距节点，且 h 1/10 .
(2)
2x ( x 1 x
x 1 x) .
(3) 1 cos x sin 2 x sin x .
□
x
x(1 cos x) 1 cos x
第二章
拉格朗日插值公式（即公式（1））
n
pn (x) yili (x) i0
插值基函数（因子）可简洁表示为
li (x)
n j0
(x xj ) (xi x j )
y0
(x (x0
x1)(x x2 ) x1 )(x0 x2 )
y1
(x ( x1
x0 )(x x2 ) x0 )(x1 x2 )
y2
(x (x2
x0 x0
)(x x1) )(x2 x1)
牛顿（Newton）插值公式
由差商的引入，知
（1（ 过点 x0 , x1 的一次插值多项式为
p1 (x) f (x0 ) c1 (x x0 ) 其中
c1
f (x1) f (x0 ) x1 x0
f [x0 , x1]
p1 (x) f (x0 ) f [x0 , x1 ](x x0 )
（2（ 过点 x0 , x1, x2 的二次插值多项式为
p2 (x) p1(x) c2 (x x0 )(x x1)
其中
f (x2 ) f (x1) f (x1) f (x0 )
2: 不用很小得数做分母(不用很大的数做分子)
4．改变下列表达式使计算结果比较精确：
（1）
1 1 x , 对 | x | 1;
1 2x 1 x
（2）
x 1 x 1 , 对 x 1;
x
x
（3） 1 cos x , 对 x 0,| x | 1 . x
解 (1) 2x2 (1 x) (1 2x) .
解
f (x) x2 ，
xi ih
，
i 0, 1, , 10
，
h
1 10
设 xi x xi1 ，则：
fh (x)
f
(
xi
)
x xi
xi1 xi1
f (xi1 )
x xi xi1 xi
(i h)2 x (i 1)h ((i 1)h)2 x ih
h
h
(2i 1) x i (i 1)
c2
x2 x1
x1 x0
x2 x0
f [x0 , x1, x2 ]
p2 (x) p1 (x) f [x0 , x1, x2 ](x x0 )(x x1 )
f (x0 ) f [x0 , x1 ](x x0 ) f [x0 , x1, x2 ](x x0 )(x x1 )
重点是分段插值:
例题: 1. 利用 Lagrange 插值公式求下列各离散函数的插值多项式（结果要简化）：
（1）
xi
-1
0
1/2
1
fi
-3
-1/2
0
1
（2）
xi
-1
0
1/2
1
fi
-3/2
0
0
1/2
解(2)：
方法一. 由 Lagrange 插值公式
L3 (x) f 0 l0 (x) f1 l1 (x) f 2 l2 (x) f3 l3 (x)
（ Th1 ）
f (a) 对于 f (x) 的误差和相对误差.
| E( f ) || 1 x 1 a | =
ax
1 2
10 3
= 10 3
1 x 1 a 2 0.25
| Er ( f ) | 103 1 a 4 103 .
□
2 有效数字
基本原则:1 两个很接近的数字不做减法:
例题:
第一章
1 误差
相对误差和绝对误差得概念
ห้องสมุดไป่ตู้
例题:
当用数值计算方法求解一个实际的物理运动过程时, 一般要经历哪几个阶
段? 在哪些阶段将有哪些误差产生?
答: 实际问题-数学模型-数值方法-计算结果
在这个过程中存在一下几种误差:
建立数学模型过程中产生:模型误差 参数误差
选用数值方法产生:截断误差
计算过程产生:舍入误差 传播误差
(f
n
i0
ai*
x
i
,
x
j
)
0,
j 0(1)n
即
n
(xi, x
j0
j )a*j
(
f
, xi ),
i 0(1)n
（*2）
其中
b
b
(xi , x j ) xi x j dx xi j dx,
a
a
b
( f , xi ) f (x) xidx a
称(*2)式为最佳逼近多项式的法方程组（或正规方程组）.
由{xi }in0 的线性无关性，可证明 G 正定，即
上述法方程组的解存在且唯一 .
11、 求 f (x) cos x ， x [0, 1]的一次和二次最佳平方逼近多项式.
解： 设 P1* (x) a0 a1x ， P2* (x) b0 b1x b2 x 2
6．设 a 0.937 关于精确数 x 有 3 位有效数字，估计 a 的相对误差. 对于 f (x) 1 x ，估计 f (a) 对于 f (x) 的误差和相对误差.
解 a 的相对误差：由于
| E(x) | x a 1 103 . 2
Er (x)
xa x
,
Er (x)
1 102 29
1 102 . 18
1. 最佳逼近多项式的法方程组
设 L2[a,b]的 n 1维子空间 Pn =span{1, x, x2 , xn}, 其中 1, x, x2 , xn 是 L2[a,b]的线性无关多项式系.
对 f
L2[a,b]，设其最佳逼近多项式 * 可表示为:
*
n
ai* xi
i0
由 ( f *, ) 0, Pn