圆内接三角形是锐角三角形的概率的再探

“圆内接三角形是锐角三角形的概率”的再探

湖北宜城一中 李长征

邮编：441400

《中学数学教学参考》2009年第5期上旬刊登了张巧凤老师的《“圆内接三角形是锐角三角形的概率”的探究》一文，文中张老师提出并解决了问题：设圆上的点是等可能分布的，作圆内接△ABC 则△ABC 是锐角三角形的概率为

41，是钝角三角形的概率为4

3，是直角三角形的概率为0，张老师通过构造，转化为线性规划的知识，利用面积的比值进行解答，方法新颖、巧妙，展现了扎实的专业功底。

该文中提出△ABC 为直角三角形的概率为0，让人一下难以接受。该概率其实质是一个小概率事件，极限值为0。下面笔者从另一个角度对张老师提出的问题进行再探。

探究1：作圆内接△ABC ，则△ABC 为直角三角形的概率为0。

分析：由于圆可以看作是圆内接正n 边形的边数n 无限增大时的极限图象,故借助圆内接正n 边形进行解析。

解：设圆内接正n 边形n A A A ⋯21在圆圈上按逆时针方向排列，从中任取三点均可构成三角形，设A 、B 、C 为这n 个顶点中的三个点，并按逆时针方向排列。3≥n ，当n 为奇数时，任两点相连不可能为圆的直径，△ABC 不可能为直角三角形，即△ABC 为直角三角形的概率为0，当n 为偶数时，设*

∈=N k k n ,2,则这2k 个顶点两两相连时，在这些线段中共有k 条直径，要使△ABC 为直角三角形，只需一边与其中一条直径重合，另一个顶点只需在剩下的()22-k 个顶点中任选其一即可，故为直角三角形的概率131********-=-==-n k C C C P k k k 直，所以013lim lim =-=∞→∞→n P n n 直

综上可知不论n 为奇数还是偶数，都有△ABC 为直角三角形的概率为0。

探究2：作圆内接△ABC ，求△ABC 为钝角三角形以及锐角三角形的概率。 解：仍作圆内接正n 边形n A A A ⋯21，且按逆时针方向排列。要想△ABC 为钝角三角形，则只需A 、B 、C 三点在某一条直径的同侧（包括某点为直径的一个端点），当n 为奇数时，设*∈+=N k k n ,12，过()，n i A i ⋯=,2,1作圆的直径，则该直径的两侧各有k 个顶点，取i A 为△ABC 的第一个顶点，按逆时针方

向再取两个，构成钝角三角形共有2112k k C C +个，故此时△ABC 为钝角三角形的概率为8493243331

22112--=--==++n n k k C C C P k k k 钝，438493lim lim =--=∴∞→∞→n n P n n 钝。当n 为偶数时，设*∈=N k k n ,2，则此时共有直径k 条，每条直径两侧各有()

1-k 个顶点，同理此时共有钝角三角形2112-k k C C 个，故△ABC 为钝角三角形的概率为

4

41232463322112--=--==-n n k k C C C P k k k 钝，4344123lim lim =--=∴∞→∞→n n P n n 钝 综上可知，无论n 为奇数还是偶数，都有△ABC 为钝角三角形的概率为

43。 由于△ABC 为直角三角形的概率为0，为钝角三角形的概率为4

3，而圆周上任意三点一定能构成三角形，故△ABC 为锐角三角形的概率为4

14301=-- 参考文献：

1张巧凤：“圆内接三角形是锐角三角形的概率”的探究 《中学数学教学参考》2009.5.