抽样调查理论与方法

预测值（N=3） — — —
51.7 55.3 57.0 58.7 58.0 60.0 53.7 51.7 46.7
预测值（N=5） — — — — —
55.2 56.7 58.5 56.2 54.8 53.3
5.2 一次指数平滑法
指数平滑预测实际上是由移动平均法 演变而来的。
由移动平均法预测公式知，
Ft1 xt xt1 ... xtn1 / n
xt xt1 ... xtn1 xtn xtn / n
因为， Ft xt1 ... xtn1 xtn / n
所以，
Ft1 xt Ft xtn / n
Ft 1
1 n
xt
Ft
1 n
xt n
假设时间序列是平稳时间序列，则可以用
销售额（万元） 97.0 95.0 95.0 92.0 95.0 95.0 98.0 97.0 99.0 95.0 95.0 96.0 97.0 98.0 94.0 95.0
0.1 — 97.00 96.80 96.62 96.16 96.04 95.94 96.14 96.23 96.51 96.36 96.22 96.20 96.28 96.45 96.21 96.09
一次指数平滑预测法得到的预测值是 本期预测值加上本期预测值中产生误差的 修正值。
平滑常数a的确定
➢当平滑常数a取值较大时，预测值能够比较快的反 映出时间序列的变化情况；当平滑常数a取值较小 时，预测值对时间序列的变化反映较慢。
➢平滑常数a的确定往往采用试算的方法，即首先选 择a的一组取值，分别进行预测，并计算各种取值 之下预测误差的大小，选择使得预测误差最小的a 作为最终的取值，做最终预测。
所谓的移动平均是指每当得到一个最新 观察值，就立即把它作为有效数据放入数据 组中，把最老的那个时间的数据从数据组中 剔除，重新计算出一个新的平均数作为下一 期预测值的方法。
例如，
设时间序列为 x1, x2 ,..., 移动平均法可以表示为：
Ft1
xt xt1 ... xtn1
/
n
1 n
5 时间序列平滑预测法
5.1 一次移动平均法 5.2 一次指数平滑法 5.3 线性二次移动平均法 5.4 线性二次指数平滑法 5.5 二次曲线指数平滑法 5.6 温特线性和季节性指数平滑法
5.1 一次移动平均法
一、一次移动平均法的基本思路
一次移动平均预测法是平均值预测法的一 种。
所谓的平均值预测法是指是收集一组观察 值，计算这组观察值的均值，利用这一均值作 为下一期的预测值。
t
xi
t n1
式中： xt 为最新观察值；
பைடு நூலகம்
Ft 1为下一期预测值。
由移动平均法计算公式可以看出，每一新预测
值是对前以移动平均预测值的修正，n越大，平滑
效果越好。
1.移动步长的选择
当数据的随机因素较大时，宜选用较大的n ，这样有利于较大限度地平滑由随机性所带来的 严重偏差；
当数据的随机因素较小时，宜选用较小的n ，这有利于跟踪数据的变化，并且预测值滞后的 期数也少。
当时间序列为纯随机时，全部历史数据的平 均数是最好的预测值
2.移动平均法的优点
➢计算量少； ➢移动平均线能较好地反映时间序列的趋 势及其变化。
3.移动平均法的缺点
➢ 计算移动平均必须具有N个过去观察值， 当需要预测大量的数值时，就必须保存的 历史数据较多
➢ 移动步长n的大小难以确定 ➢ 只能适用于平稳时间序列，进行短期预测
存储一组数据，从而可以大大减少数据存储问 题，甚至有时只需一个最新观察值、最新预测
值和α值，就可以进行预测。
为什么叫指数平滑 预测？
我们把一般表达式展开，并按该公式递推，
Ft1 xt (1 )Ft xt (1 )[ xt1 (1 )Ft1] xt (1 )xt1 (1 )2 Ft1 xt (1 ) xt1 (1 )2[ xt2 (1 )Ft2 ] xt (1 )xt1 (1 )2 xt2 (1 )3 Ft2 xt (1 )xt1 (1 )2 xt2 (1 )n xtn
➢各过去观察值的权数都相等，早于(t-n+1)
期的观察值的权数等于0。而实际上往往是最 新观察值包含更多信息，应具有更大权重。
4.移动平均法有两种极端情况
在移动平均值的计算中包括的过去 观察值的实际个数n=1，这时利用最新的 观察值作为下一期的预测值；
n=N ， 这 时 利 用 全 部 N 个 观 察 值 的 算 术平均值作为预测值。
有上述推到结果，可知一次指数平滑 预测值其实就是历史观察值得加权平均， 并且其权数呈现指数衰减态势，即越靠近 预测时点的数据的权数越大，这恰与实际 情况相符，距预测时点越近的数据，对预 测值的影响越大。
我们对一次指数平滑预测模型的一般 表达式做进一步的变形，即，
Ft1 xt (1 )Ft xt Ft Ft Ft (xt Ft ) Ft et
Ft替代xt-n，于是就有，
Ft 1
1 n
xt
(1
1 n
)
Ft
由于，1/n的取值范围为(0，1)，取α=1/n， 0<α <1，则上式就可以演不变为：
Ft1 xt (1 )Ft
α称为平滑常数，这就是一次指数平滑的一般 表达式。
一次指数平滑法是一种加权预测，权数为
α。它既不需要存储全部历史数据，也不需要
二、一次移动平均法的应用
下表是某产品1～11月的月销售量，试选用
N=3和N=5，采用一次移动平均法对12月的销售量
进行预测。 月份 1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 11月 12月
销售额（万元） 46.0 50.0 59.0 57.0 55.0 64.0 55.0 61.0 45.0 49.0 46.0 —
一次指数平滑法的初值的确定：
➢ 取第一期的实际值为初值； ➢ 取最初几期的平均值为初值。
该预测方法只适用于平稳时间序列！
例：
利用下表数据为某公司每月的营业额， 运用一次指数平滑法对某公司第17期的销
售额进行预测（取α=0.1，0.3 ，0.9）。
时期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17