一道高考题的变式训练
四点共面,链接教材,变式拓展——以一道高考题为例
试题研究２０２４年１月上半月㊀㊀㊀四点共面,链接教材,变式拓展以一道高考题为例◉江苏省张家港市沙洲中学㊀陶㊀贤㊀㊀空间中的四点共面的判断与证明是空间向量与立体几何部分的一个基本知识点,也是一大难点,历年高考数学试题中较少涉及,没有引起大家的高度重视．而在２０２０年高考数学全国卷Ⅲ的文科和理科试题中,都出现了空间四点共面的证明问题,也充分说明了该部分知识的基础性与重要性．借助空间中四点共面的判断与证明,很好地考查考生的数形结合思想㊁空间想象能力与推理论证能力,以及直观想象㊁逻辑推理等数学核心素养．１真题呈现图１高考真题㊀(２０２０年高考数学全国卷Ⅲ理科第１９题)如图１,在长方体A B C D ＧA １B １C １D １中,点E ,F 分别在棱D D １,B B １上,且２D E ＝E D １,B F ＝２F B １．(１)证明:点C １在平面A E F 内．(２)若A B ＝２,A D ＝１,A A １＝３,求二面角A ＧE F ＧA １的正弦值．此题以长方体为问题背景,通过相应线段的长度关系,证明点在平面内(其实就是证明四点共面)以及求解二面角的平面角的正弦值,改变以往传统的证明直线与平面之间的平行或垂直关系,令人耳目一新．图２２问题破解(Ⅰ)第(１)问的证法如下:证法１:几何法．如图２,在棱C C １上取点G ,使得C １G ＝１２C G ,连接D G ,F G ,C １E ,C １F ．在长方体A B C D ＧA １B １C １D １中,A D ʊBC 且AD ＝B C ,B B １ʊC C １且B B １＝C C １．由C １G ＝１２C G ,B F ＝２F B １,可得C G ＝２３C C １＝２３B B １＝B F ,所以四边形B C G F 为平行四边形,则G F ʊB C 且G F ＝B C ．又B C ʊA D 且B C ＝A D ,所以A D ʊG F 且A D ＝G F ,即四边形A F D G 是平行四边形,则A F ʊD G 且A F ＝D G ．同理可证,四边形D E C １G 为平行四边形,则C １E ʊD G 且C １E ＝D G ．所以C １E ʊA F 且C １E ＝A F ,则四边形A E C １F为平行四边形．因此,点C １在平面A E F 内．证法２:基底法１共面向量定理．在长方体A B C D ＧA １B １C １D １中,B B １ʊC C １ʊD D １且B B １＝C C １＝D D １,结合２DE ＝E D １,BF ＝２F B １,可得E D １＝B F ．由A C １ң＝A C ң＋C C １ң＝A B ң＋A D ң＋D E ң＋E D １ң＝A B ң＋A D ң＋D E ң＋B F ң＝(A B ң＋B F ң)＋(A D ң＋D E ң)＝A F ң＋A E ң,知A ,E ,F ,C １四点共面,所以点C １在平面A E F 内．证法３:基底法２共面向量定理的推论．设D １A １ң＝a ,D １C １ң＝b ,D １D ң＝c ,则D １A ң＝a ＋c ,D １E ң＝２３c ,可得c ＝３２D １E ң,于是a ＝D １A ң－３２D １E ң．由D １F ң＝D １A １ң＋A １B １ң＋B １F ң＝D １A １ң＋D １C １ң＋１３B １B ң＝D １A １ң＋D １C １ң＋１３D １D ң＝a ＋b ＋１３c ＝(D １A ң－３２D １E ң)＋D １C １ң＋１３ˑ３２D １E ң＝D １A ң＋D １C １ң－D １E ң(其中１＋１－１＝１),知A ,E ,F ,C １四点共面,所以点C １在平面A E F 内．图３证法４:坐标法．设A B ＝a ,A D ＝b ,A A １＝c ,如图３所示,以C １为坐标原点,C １D １ң的方向为x 轴正方向,建立空间直角坐标系C １Ｇx yz ．连接C １F ,则C １(０,０,０),A (a ,b ,c ),E (a ,０,２３c ),F (０,b ,１３c ),于８６２０２４年１月上半月㊀试题研究㊀㊀㊀㊀是E A ң＝(０,b ,１３c ),C １F ң＝(０,b ,１３c ),可得E A ң＝C １F ң,因此E A ʊC １F ,即A ,E ,F ,C １四点共面,所以点C １在平面A E F 内．点评:证明空间中的四点共面问题,常见的证明方法就是以上三大类 (１)利用空间几何图形的特征,借助几何法的推理与论证,通过空间问题平面化来证明;(２)利用共面向量定理或推论,借助空间向量的基底法,通过向量的线性运算与转化来证明;(３)利用空间直角坐标系的建立,借助坐标法的运算,通过向量的平行判断与转化来证明等．特别地,对于共面向量定理及其推论,是立体几何中的一个重要的定理,可以用来处理一些与之相关的问题,往往可以使问题处理得更加简捷㊁巧妙．(Ⅱ)第(２)问的解法如下:解:以C １为坐标原点,C １D １ң的方向为x 轴正方向,建立空间直角坐标系C １Ｇx yz ,则由已知可得A (２,１,３),E (２,０,２),F (０,１,１),A １(２,１,０),则A E ң＝(０,－１,－１),A F ң＝(－２,０,－２),A １E ң＝(０,－１,２),A １F ң＝(－２,０,１)．设平面A E F 的法向量为m ＝(x １,y １,z １)．由m A E ң＝０,m A F ң＝０,{得－y １－z １＝０,－２x １－２z １＝０,{取z １＝－１,得x １＝y １＝１,则m ＝(１,１,－１)．设平面A １E F 的法向量为n ＝(x ２,y ２,z ２)．由n A １E ң＝０,n A １F ң＝０,{得－y ２＋２z ２＝０,－２x ２＋z ２＝０,{取z ２＝２,得x ２＝１,y ２＝４,则n ＝(１,４,２)．所以c o s ‹m ,n ›＝m n |m ||n |＝１＋４－２３ˑ２１＝７７．设二面角A ＧE F ＧA １的平面角为θ,则|c o s θ|＝７７,可得s i n θ＝１－c o s ２θ＝４２７．因此,二面角A ＧE F ＧA １的正弦值为４２７．点评:坐标法是求解二面角的平面角的三角函数值问题中一个比较常见的方法,借助空间直角坐标系的建立,以及对应的点㊁向量的坐标的表示,结合相应两半平面的法向量的设置与确定,结合向量的数量积公式的转化与应用来确定相应的二面角的平面角问题．坐标法实现了用代数方法处理立体几何问题中的四点共面㊁线面位置关系㊁空间角㊁距离等几何推理与求解问题．３链接教材以上基于向量的四点共面的判断,其对应的共面向量定理及其推论是数学教材中的一个基本知识点,来源于教材,又服务于证明,可以很好地证明或求解与四点共面有关的数学问题．普通高中课程标准实验教科书«数学 选修２－１»(人教A 版)第８７页:结论１:共面向量定理．空间一点P 位于平面A B C 内的充要条件是存在有序实数对(x ,y ),使A P ң＝xA B ң＋y A C ң．普通高中课程标准实验教科书«数学 选修２－１»(人教A 版)第８８页思考 :结论２:共面向量定理的推论．空间任意一点O 和不共线的三点A ,B ,C 满足向量关系式O P ң＝xO A ң＋y O B ң＋zO C ң(x ＋y ＋z ＝１)的点P 与点A ,B ,C 共面．共面向量定理是共线向量定理在空间中的推广与拓展,共线向量定理用来证明三点共线,共面向量定理用来证明四点共面．４变式拓展图４高考真题㊀(２０２０年高考数学全国卷Ⅲ文科第１９题)如图４,在长方体A B C D ＧA １B １C １D １中,点E ,F分别在棱D D １,B B １上,且２D E ＝E D １,BF ＝２F B １．证明:(１)当A B ＝B C 时,E F ʅA C ;(２)点C １在平面A E F 内．证明:(１)连接B D ,B １D １．因为A B ＝B C ,所以四边形A B C D 为正方形,故A C ʅB D ．又因为B B １ʅ平面A B C D ,于是B B １ʅA C ,而B D ,B B １Ì平面B B １D １D ,所以A C ʅ平面B B １D １D ．因为E F ÌB B １D １D ,所以E F ʅA C ．(２)可以参照上述理科真题第(１)问的证明方法．５解后反思新一轮课程改革的核心就是培育学生的核心素养,发展学生的综合能力．承载着 立德树人㊁服务选才和引导教学 功能的数学高考,应借助试题 情境 的变革,夯实基础,以教材为本并超越教材,着眼于基础知识㊁基本技能㊁基本方法的考查,特别重视对数学思想方法㊁关键能力和学科素养的考查．因而在平时的数学教学与复习中,教师应在拓展延伸中紧扣课本,链接教材,注重归类迁移能力培养,聚焦思维品质,培养关键能力,从而有效实现学生数学素养的渐进式提升．Z９６。
2022年高考浙江数学高考真题变式题13-15题-(解析版)
27．某学校高一年级计划成立一个统计方向的社团，为了了解高一学生对统计方面的兴趣，在高一年级的全体同学中抽取了8名同学做了一个调查，结果显示其中3人对统计方向有兴趣，另外5人没兴趣．若从这8人中随机抽取3人，恰有2人是对统计方向有兴趣的同学的概率为__________；若以这8人的样本数据估计该学校高一年级的总体数据，且以频率作为概率，从该学校高一年级的所有学生中随机抽取3人，记对统计方向有兴趣的人数为随机变量 ，则 的均值为__________．
则 .设 则
由 平方可得：
所以
故答案为：(1). (2).
【点睛】本题考查正弦函数的二倍角公式和 与 的关系，属于中档题.
7．
【分析】根据所给等式，结合同角三角函数关系式可求得 ；由 及 求得 ，即可解方程组求得 ；根据余弦二倍角公式及正弦差角公式，化简 ，结合 的值即可求解.
【详解】由 ，可知 ，
参考答案：
1．
【分析】先通过诱导公式变形，得到 的同角等式关系，再利用辅助角公式化简成正弦型函数方程，可求出 ，接下来再求 ．
【详解】[方法一]：利用辅助角公式处理
∵ ，∴ ，即 ，
即 ，令 ， ，
则 ，∴ ，即 ，
∴ ，
则 .
故答案为： ； .
[方法二]：直接用同角三角函数关系式解方程
∵ ，∴ ，即 ，
所以
故答案为： ；
10．
【分析】先求出 ，利用两角和公式求出所以 ，利用二倍角公式求出 .
【详解】因为 ， ，
又因为 ，所以
所以 ，
所以 .
故答案为： ，
【点睛】利用三角函数值求角的关键：
（1）角的范围的判断；
（2）根据条件进行合理的拆角，如 等；
2022年新高考浙江卷语文真题变式练习之古代诗歌阅读2
2022年新高考浙江卷语文真题变式练习之古代诗歌阅读原题1 .阅读下面两首诗，完成下面小题。
楼前［中唐］王建天宝年前勤政楼，每年三日作千秋①。
飞龙老马曾教舞，闻着音声总举头。
过勤政楼［晚唐］杜牧千秋佳节名空在，承露丝囊世已无。
唯有紫苔偏称意，年年因雨上金铺②。
【注】①千秋节：唐开元十七年八月，丞相表请每年八月五日（玄宗生日）为千秋节。
此后，玄宗每年在勤政楼庆生，赏百匹飞龙舞马。
飞龙，马厩名。
士庶间互赠承露丝囊。
②金铺: 钉在门上的兽面形的门环底座。
【小题1】这两首诗中都写到的和，寄寓鉴戒之意。
【小题2】分析两首诗后两句在情感、写法上的不同。
【答案】【小题1】勤政楼千秋节【小题2】情感不同：①王诗追忆飞龙舞马，表达对昔日盛世的怀念，而感慨玄宗的骄侈佚乐，言外自见；②杜诗借眼前金铺上的紫苔，抒发昔盛今衰的悲叹之情。
写法不同：①王诗运用细节描写，写出老马“总举头”这一习惯性动作，生动传神；②杜诗运用拟人手法写紫苔“偏称意”，突出其任情滋蔓，寓情于景，营造荒凉气氛。
【解析】【小题1】此题考查学生分析理解诗歌内容的能力。
王建的《楼前》首句点明写的是天宝年间唐玄宗的勤政楼；前两句写唐玄宗每年都在勤政楼庆生，而且要热闹三天；三四句写曾经在勤政楼前表演过飞龙舞的老马还记得曾经被教过的音乐节奏，听见音乐声总是会抬起头。
可见此诗主要写了勤政楼和千秋节，寄寓鉴戒之意。
杜牧的《过勤政楼》题目点明所写内容——勤政楼；前两句写当年唐玄宗生日的千秋节而今只留空名，那贺寿的承露丝囊世上也不再存在；后两句写只有那紫苔得意地生长着，因雨水浇灌它长得很旺很盛，直长得上了那门扉上的铜座铜环。
可见此诗也是通过写勤政楼和千秋节寄寓鉴戒之意。
【小题2】此题考查学生分析诗歌情感和鉴赏写作手法的能力。
先看情感：王诗后两句通过写曾做过飞龙舞的老马来表达对昔日盛世的怀念。
“飞龙舞马”是唐玄宗庆生时的节目，玄宗赏百匹飞龙舞马在勤政殿前贺寿，可以想见当年庆生场面是多么热闹繁华，唐玄宗生活是多么骄侈佚乐。
一道高考题引发的教学思考
一道高考题引发的教学思考2022全国甲卷 14 题：若双曲线C：y2 一= 1(m> 0)的渐近线与圆x2 + (y 一 2)2 = 1相切，则m=.双曲线渐近线方程x一my= 0，由点 (0,2)到直线距离易得= 1 不m=该题属于基础题，但对于该题命题者背后到底想考查一个二次曲线间什么关系？双曲线渐近线 (离心率)刻画双曲线张口大小，换言之与渐近线相切刻画出圆与双曲线恒有 3 个交点. 因此可以考虑将该题作如下变式：变式 1：若双曲线C：y2 一= 1(m> 0)与圆E：x2 + (y一 2)2 = 1有三个不同交点，则m取值范围是 .学生解决问题过程如下：〈y2 一= 1 不(m2 +1)y2 一4y 一m2 +3=0........ *|l x2 +(y一2)2 =1= 16一 4(m2 +1)(3 一m2 ) = 4(m2 一 1)2学生试图用判别式刻画二次曲线间交点个数，却出现了 > 0恒成立的情况. 问题出在哪儿？学生思路是否正确呢？其实仔细观察发现双曲线C与圆E恒有一个公共点 (0,1) ，由两条曲线对称性可知关于y的二次方程*只需要在(1,+w)再产生一个解即可满足条件. 由韦达定理得4 3 一m21+y1 = 2 不y1 = 2 >1不0<m<1这样就可以顺利得到答案.反思：学生为何会m+1 m+1走入这样的解题误区而导致解题出错？原因一：还停留在初中对二次函数(方程) 研究仅限于整个实数集；原因二：受限于直线与二次曲线研究，而对于二次曲线与二次曲线研究不够深入，缺乏深度思考.对该题继续作以下变式：变式 2:已知点P为椭圆C：x2 + y2 = 1上一动点，点 A (0，1)，求线段PA最大值.4 32学生在解决变式 2 ，3 时非常迅速，作图很快出答案，大多数都认为当点 P 运动到椭圆下顶点(0,一)时线段PA达到最大 . 可事实真的如此？我们用代数法探究：变式 2：设点P(m,n), A(0,1), f (n) = PA= m+ (n一 1) = 一3n一2n+ 5,n=[一, ]关于 n 的二次函数开口向下，对称轴n=一3 ，：在 [一, ] 单调递减，f (n)max= f (一)= 2+ 4：PA max = +1，答案与学生预期吻合.变式3：设P(m, n), A(0, 1 ), f (n) = PA2 = m2 + (n一1 )2 = 一1n2 一n+ 17, n=[一, ]关于 n 的二次函数开口向下，对称轴n=一，：在[一, 一]单调递增， [一, ]单调递减f (n)max = f (一) = 5：PA max= ，答案与学生预期发生了冲突.那么到底问题出在哪儿？将问题一般化，探究点 A 坐标对于最值影响.变式 4：已知点 P 为椭圆C：+ = 1(a> b> 0)上一动点，点A (0，t) (t> 0) ，求线ab段PA最大值.P(m, n), A(0,t), f (n) = PA= m+ (n一t) = (1 一)n一 2tn+ a+ t , n=[一b, b]关于n2bb2t的二次函数开口向下，对称轴n=一 2 .c当n= 一共一b不t> c2时，f (n)在[一b, b]单调递减f(n)max =f(一b)=(b+t)2当n= 一>一b不t想c2时，f(n)在[一b,一]单调递增，[一,b]单调递减cbccb2ta2t22 a2t221学生的疑问便可以迎刃而解，华罗庚老先生说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，该题能够很好的诠释这句话.数学教学中要立足于学生问题产生的原因，针对学生问题去解决问题，做学生学习生活的陪伴者，将课堂还给学生立足于立德树人，服务选材.。
一道高考压轴题的别解、变式及推广
２１ ２ ４ ０１ ■ ９
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课堂内外 ・ 教师版ｌ 学科教学
自主学 习 的 能 力
３ ．教 学 过 程 中 ． 学 生 回答 正 确 的答 案 ， 师 应 对 教
充 分 肯 定 并 表 扬 鼓 励 ； 回答 错 误 的 学 生 ， 引 导 学 对 应
２的解 答．
比 的 等 比数 歹 ， ０ ｃ ＝ １ ｃ ｃ 即８： “ ＋ ｎ ） Ｕ 贝 ｎ一 （ 一 ） ～， ｃ （ ２ １
ｃ
解 （ ） 当 ｃ ｌ时 ， 累加 法 不 难 得 ＝ １ ＝ 由 ｎ；
别 解 ３ 利 用 迭 代 法 求 通 项
’ ．
（ 当 ｃ≠１， ｃ ２） 且 ≠０时 ， 已 知 递 推 式 的 两 边 同 在
规 解 法 ， 文 拟 探 索 这 道 考 题 的 别 解 、 式 与 推 广． 本 变
－ ＋ ｎ一１ｃ Ｃ （ ）
－
一
、
别 解探索
二 、 现 变 式 呈
变 式 １ 在 数 列 ｛ ｝ ， ｌ １ ％ Ｉｃ ｃ ， 中实 中 ａ＝ ， ＋ ＋ 其 ＝
数 Ｃ ≠０， ｛ ｝ 求 的通 项 公 式 ． 变 式 ２ 在 数 列 ｛ｎ 中 ， ｌ１， ｌｃ ｃ ａ“， ａ ｝ ａ＝ ％＋ ＋ ｎ 其 ＝
别 解 １ 构 造 常 数 列 求 通 项
在 已知 递 推 式 的 两 边 同除 以ｃ 得 …．
鱼 ： ＋ ｎ １ 注 意 至 ２ ＋１ ｎ １ ２ｎ ， ０ ２ ＋ ０ ｎ ：（ ＋ ）－ ２贝
Ｃｎ ‘ ＋ Ｃ
，
中 。 ｃ是 实 数 ， 、 且 ≠０ 求 ｛ ｝ 通项 公式 ． ， ａ 的 ｎ 变 式 ３ 在 数 列 ｛ ｝ ， ｌ １ａ＋ ｃ ＋ ｎ １ 其 中 中 ａ＝ ，ｎ＝ ａ ２ ＋ ， Ｉ ＂ 实数 ｃ ， ｛ｎ 的通 项 公 式 ． ≠０ 求 ａ ｝
高考政治母题探究及变式训练专题01神奇的货币含解析
专题01 神奇的货币(解析版)【构建专题知识网络体系】——胸有成竹考向1 商品的基本属性【母题探究】——融会贯通母题1.(2018•全国卷Ⅲ)随着智能手机的功能越来越强大,MP3(音乐播放器)、电子词典、掌上游戏机等电子产品正慢慢淡出人们的视野。
这说明( )①市场竞争导致商品优胜劣汰②商品使用价值会影响人的消费选择③功能不同的商品会相互替代④商品使用价值因替代品出现而减小A.①②B.①③C.②④D.③④【答案】A【解析】本题主要考查价值规律的相关知识,考查考生运用所学知识分析经济现象的能力。
因为智能手机的功能越来越强大,使MP3等电子产品逐渐退出市场,这说明商品的使用价值影响人们的消费选择,同时也说明市场竞争导致商品优胜劣汰,①②正确。
功能相同的商品才能相互替代,③错误。
商品的使用价值是商品能够满足人们需要的物理的或化学的属性,不会因为替代品而减少,④错误。
【技巧点拨】使用价值指商品能够满足人们某种需要的属性；它体现了人与自然的关系，是其自然属性。
智能手机的功能越来越强大，促使人们更多地使用，说明商品的使用价值影响人们的消费选择。
1.使用价值和价值①使用价值指商品能够满足人们某种需要的属性；它体现了人与自然的关系，是其自然属性。
②价值指凝结在商品中的无差别的人类劳动；它体现了商品生产者之间的经济关系，是其社会、本质、特有属性；商品交换的本质是商品生产者之间的劳动交换。
③使用价值是商品的自然属性，有使用价值的东西，不一定有价值，不一定是商品；价值是商品的本质属性或社会属性，有价值的东西一定有使用价值，一定是商品。
2.使用价值和价值的关系①统一性：商品是使用价值和价值的统一体，使用价值是价值的物质承担者，二者密不可分。
②对立性：商品生产者和消费者不能同时占有使用价值和价值。
商品生产者为得到商品的价值必须让渡商品的使用价值给消费者，而消费者为得到商品的使用价值就必须支付价值给生产者。
母题2.(2010•福建高考)福州至厦门高速铁路客运专线（动车）开通后，福州的张先生和李先生在“乘坐车还是汽车前往厦门”的讨论中，张先生说，我会选择动车，虽然它的价格高一些，但速度快，用时少。
2022年新高考全国Ⅱ卷语文真题变式练习之名句名篇默写Ⅰ2
2022年新高考全国II卷语文真题变式练习之名句名篇默写I原题1.补写出以下句子中的空缺局部。
【72篇版，适用于辽宁、海南】(1)陶渊明《归园田居》(其一)中“, ”两句使用叠字，增添了乡村远景的平静安详之感。
(2)杜甫《蜀相》中“? "两句自问自答，点明了诸葛武侯祠所在的位置。
(3)古代京城百业兴旺，精英荟萃，又被称为“京华' 这一美称，在唐宋诗词里经常出现，如“, 【答案】暧暧远人村依依墟里烟丞相祠堂何处寻锦官城外柏森森世味年来薄似纱谁令骑马客京华【详解】此题考查学生默写常见的名篇名句的能力。
易错字词有：暧、墟、祠、锦、薄、纱。
变式题1基础.名句名篇默写。
(1)李白《蜀道难》中“, ”两句，生动形象地写出了蜀道水泻击石、崖谷雷鸣的奇险场景。
(2)《项脊轩志》中，作者将破旧狭小的南阁子静心改造，杂植兰桂竹木享受安静生活，时而也会读书放歌的句子是“，(3) “边庭流血成海水，武皇开边意未已"。
“武皇”指汉武帝刘彻。
唐人诗歌中常有以“汉”代“唐”的委婉避讳方式，如“,【答案】飞湍瀑流争喧眩琳崖转石万壑雷借书满架偃仰啸歌汉家烟尘在东北汉将辞家破残贼(汉皇重色思倾国，御宇多年求不得)【详解】此题考查学生默写常见的名句名篇的能力。
此类试题解答时,默写要注意字形,如“湍”“肠”“磕”“壑”“啸”“辞变式题2基础3.补写出以下句子中的空缺局部。
(1)孟子有言“生于忧患，死于安乐、在欧阳修的《伶官传序》中意思与之相近的一句话:(2)《红楼梦》的护身符歌谣里有“阿房宫三百里，住不下金陵一个史。
”在《阿房宫赋》里说明阿房宫规模庞大的句子是：“，(3)长江是我国古代诗歌中经常出现的意象，寄寓了诗人无限的情思，如：“，【答案】忧劳可以兴国逸豫可以亡身覆压三百余里隔离天日无边落木萧萧下不尽长江滚滚来例如二：孤帆远影碧空尽，唯见长江天际流例如三：八月长江万里晴，千帆一道带风轻【详解】此题考查学生默写常见的名句名篇的能力。
通过变式训练培养学生创新能力——2011年广东高考理综物理一道高考题的教学启示
从 外 圆射 出 ， 感应 强度 应小 于多 少 ？ 磁
初 析此 题 ， 了考 查 的基 本 知 识 点 是 “ 点 明 带 粒 子 在匀强 磁场 的运 动 ” 深究 此题 ， 。 内中 隐含 对 教 师在 日常 教 学中进 行素 质教 育 的要求 。 师 在 教 教 学过 程 中必须 引导 学生 从 “ ”问题 挖 掘 “ ” 旧 新
也 是展 示 学生 发展 聪 明才智 、 形成 独特个 性 与创 新成果 的过程 。 以教师 在 物 理 教学 过 程 中 ， 所 要
重 视 学生 的理解 能力 、 散思 维和 创新能 力 的培 发
问题 ， 推陈 出新 ， 对课 本 的知识 和素 材灵 活 分 析 ， 变 “ ” 为“ 练 题 用”题 ， 进行 适 当的变 式训 练 ， 以 可 夯 实学 生 的 基础 ， 高能 力 ， 提 特别 是 培 养 他 们 的 发散思 维 、 应变 能力 和创 新能 力 。
发 挥 学 生 的聪 明 才 智 ， 成 独 特 个 性 与 创 新 成 果 。 文 通 过 对 ２ １ 年 广 东 的 一道 高 考题 进 行 变式 ， 形 本 ０１ 引导 学 生通 过 拓 展 训 练 ， 明 在教 学 实 践 中如何 培 养 学 生 的 创 新 能 力 。 说
关键词 ： 中学 物 理 ； 变式 训 练 ； 新 能 力 创
力。
题 目 如 图 ｌ “ 所 示 ， 以Ｏ为圆心 ， （） 在 内外
半 径 分别 为 尺 和 Ｒｚ 圆环 区域 内 ， 的 存在 辐射 状 电场 和垂直 纸 面 的匀 强磁 场 ， 内外 圆间 的 电势差
Ｕ 为 常量 ， ＝ Ｒ。Ｒ Ｒ ＝ ＝ ， 一 ３ 一 电荷量 为 ＋ ｇ Ｒ ，
中 图 分 类 号 ： ３ ． Ｇ６ ３ ７ 文献标识码 ： Ａ 文 章 编 号 ： ０ ３ ６ ４ （０ １ ¨ （ ） ０ ４ — ４ １ ０ — １８ ２ １ ） Ｓ 一 ０ ４
高考数理真题分层目标训练卷( 全国Ⅰ卷理科第19题)
绝密★启用前高考真题分层目标训练卷（全国Ⅰ卷理科第19题）一、解答题（每小题12分,共60分）1. （2019全国Ⅰ理）已知抛物线C:y 2=3x 的焦点为F ,斜率为32的直线l 与C 的交点为A ,B ,与x 轴的交点为P . (1)若|AF|+|BF|=4,求l 的方程; (2)若AP⃗⃗⃗⃗⃗ =3PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,求|AB|.2. 【变式训练1】已知C:y 2=4x 的焦点为F ,过焦点的直线l 与C 交于A ,B 两点,A 为第一象限点,若|AB|=254. (1)求直线l 的方程; (2)求|AF||BF|的值.3. 【变式训练2】已知抛物线y 2=4x 焦点为F ,不过原点的直线l 与抛物线交于A ,B 两点,OA ⊥OB . (1)若直线斜率为2,求直线l 的方程; (2)若|OA|=8|OB|,求|AB|.4. 【变式训练3】过点E(1,0)的直线l 与抛物线y 2=2x 交于A ,B 两点,F 是抛物线的焦点. (1)若直线l 的斜率为3,求|AF|+|BF|的值; (2)若AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12EB⃗⃗⃗⃗⃗ ,求|AB|.5. 【变式训练4】已知抛物线y 2=4x 的焦点为F ,直线l 与抛物线交于A ,B 两点,M 为AB 的中点. (1)若M 的坐标为(3,2),求|AF|+|BF|的值; (2)若点P 是抛物线上到直线y =2x +1距离最小的点,且PF⃗⃗⃗⃗⃗ =2MF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,求|AB|.高考真题分层目标训练卷（2019年全国Ⅰ卷理科第19题）答案和解析第1题：【答案】(1)8 y −12x +7=0; (2)4 √133.【解析】设直线l 的方程为y =32x +b,设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2), (1)联立直线l 与抛物线的方程:{y =32x +by 2=3x 消去y 化简整理得9 4 x 2+(3b −3)x +b 2=0,Δ=(3b −3)2−4×94b 2>0,∴b <12,x 1+x 2=4×(3−3b)9,依题意|AF|+|BF|=4可知x 1+x 2+32=4,即x 1+x 2=5 2,故4×(3−3b)9=5 2,得b =−78,满足Δ>0,故直线l 的方程为y =32x −78,即8 y −12x +7=0. (2)联立方程组{y =32x +b y 2=3x 消去x 化简整理得y 2−2y +2b =0,Δ=4−8b >0,∴b <12,y 1+y 2=2,y 1y 2=2b ,∵AP⃗⃗⃗⃗⃗ =3PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,可知y 1=−3y 2,则−2y 2=2,得y 2=−1,y 1=3,故可知b =−32满足Δ>0,∴| AB| =√1 +1 k2∙|y 1−y 2|=√1+49×|3+1|=4√133.第2题：【答案】见解析【解析】(1)由题设得F(1,0),设直线l 的方程为x =my +1,A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),联立直线l 与抛物线C 的方程{y 2=4xx =my +1,化简得y 2−4my −4=0,Δ=16m 2+16>0恒成立,y 1+y 2=4m ,y 1y 2=−4∴|AB|=√1+m 2∙√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=√1+m 2∙√16m 2+16=254,解得m =±34,∴直线l 的方程为x =±34y +1,即4x +3y −4=0或4x −3y −4=0. (2)由(1)可知m =±34,当m =34时,y 1=4,y 2=−1,∴|AF||BF|=|y 1||y 2|=4;当m =−34时,y 1=1,y 2=−4,|AF||BF|=|y 1||y 2|=14,∴|AF||BF|的值为4或14.第3题：【答案】见解析【解析】设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2), (1)设直线l 的方程为y =2x +m ,由{y 2=4xy =2x +m 消去y 得4x 2+(4m −4)x +m 2=0,Δ=16m 2−32m +16−16m 2>0,得m <12,x 1+x 2=1−m ,x 1x 2=m 24,y 1y 2=4x 1x 2+2m(x 1+x 2)+m 2=m 2+2m −2m 2+m 2=2m ,∵OA ⊥OB ,∴x 1x 2+y 1y 2=0,即m 24+2m =0,∴m=0或−8.当m =0时直线l 过原点,不合题意,∴m =−8,故直线l 的方程为y =2x −8,即2x −y −8=0. (2)设直线l 的方程为x =ky +n ,由{y 2=4xx =ky +n,消去x 得y 2−4ky −4n =0,y 1+y 2=4k ,y 1y 2=−装订线4n ,x 1x 2=k 2y 1y 2+kn(y 1+y 2)+n 2=−4k 2n +4k 2n +n 2=n 2,∵OA ⊥OB ,∴x 1x 2+y 1y 2=0,即n 2−4n =0,得n =0(舍)或4.根据抛物线的对称性,不妨设点A 在第一象限,过点A ,B 两点分别作y 轴的垂线,垂足分别为A 1,B 1,∵OA ⊥OB ,∠AOB =90∘,∠AOB +∠AOA 1+∠BOB 1=180∘,∠AOA 1+∠BOB 1=90∘,∠OBB 1+∠BOB 1=90∘,∴∠AOA 1=∠OBB 1,∴与RtΔOB 1B 相似,|OA||OB|=|A 1O||BB 1|=8,8x 2=y 1,即2y 22=y 1,∵y 1y 2=−4n =−16,∴2y 23=−16,y 23=−8,∴y 2=−2,则y 1=8,∴y 1+y 2=4k =6,k =32,故l 的方程为x =32y +4,|AB|=√1+94×√36−4×(−16)=√132×10=5√13.第4题：【答案】见解析【解析】设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2), (1)由题意可知直线l 的方程为y =3x −3,由{y 2=2xy =3x −3消去y 得9x 2−20x +9=0,x 1+x 2=209,∴|AF|+|BF|=x 1+x 2+p =209+1=299. (2)由AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12EB ⃗⃗⃗⃗⃗ 可知y 2=−2y 1①,设直线l 的方程为y =kx −k ,由{y 2=2xy =kx −k ,消去x 得ky 2−2y −2k =0,Δ=4+8k 2>0恒成立,y 1+y 2=2k ②,y 1y 2=−2③,由①②③解得{y 1=1y 2=−2或{y 1=−1y 2=2,∴|y 1+y 2|=|2k |=1,得1k =14, ∴|AB|=√1+14×√1+8=3√52.第5题：【答案】见解析【解析】设直线l 的方程为x =my +n ,A(x 1,y 1),B(x 2,y 2). (1)由{y 2=4xx =my +n 消去x 得y 2−4my −4n =0,则有y 1+y 2=4m =4,得m =1,又∵直线l 过点M ,∴3=2+n ,得n =1,∴l 的方程为x =y +1,∴x 1+x 2=m(y 1+y 2)+2n =4+2=6,∴|AF|+|BF|=x 1+x 2+p =6+2=8. (2)设P(x 0,y 0),则y 02=4x 0,点P 到直线l 的距离d =001+4=|y 022−y 0+1|√5=0202√5,当y 0=1时,d 取得最小值,此时P(14,1).设M(x 3,y 3),∵PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2MF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,即(34,−1)=2(1−x 3−y 3),∴x 3=58,y 3=12,{y 12=4x 1y 22=4x 2,两式相减得(y 1−y 2)(y 1+y 2)=4(x 1−x 2),∴k AB =y 1−y 2x 1−x 2=4y 1+y 2=4,∴直线l 的方程为y =4x −2.由{y 2=4xy =4x −2消去y 得4x 2−5 x +1=0,得x 1+x 2=54,x 1x 2=14,∴|AB|=√1+16×√2516−4×14=3√174.。
2022年新高考北京卷语文真题变式练习之文学类阅读
2022年新高考北京卷语文真题变式练习之文学类阅读原题1 .阅读下面作品，完成各题。
这城市已融入我的生命初到北京，我对这座城市非常生疏。
那时内城和外城的城楼和城墙都还完好，有轨电车就在几座城门之间穿行。
电车的铃声悦耳而浑厚，从西直门高高的城门洞里穿越而过，一路响过西内大街，响过西四和西单——那时牌楼已没有了，只留下这永恒的名字供人凭吊——直抵天桥。
城楼高耸，白云蓝天，北方萧瑟的秋风，凝重而庄严。
电车进了城，两旁一例灰色的胡同，胡同里一例苍劲的古槐。
一切都说明这城市的悠久。
• •这城市让我这个生长在温暖而潮湿的东南海滨的人感到了一种神秘。
我知道它的历史，我只能遥遥地怀着几分敬意望着它，那时的北京对我来说的确是生疏的。
我觉得它离我很远, 不仅是离我南国的家乡的距离很远，也不仅是它作为辽金以来的故都与我此际所处的时空相隔绵邈，还有一种心灵和情感的阻隔：那是灵动而飘逸的南方与古朴浑重的北方之间存在着♦•的巨大的反差所造成的心理阻隔。
那时的北京，对我来说是遥远的。
我对北京从初来乍至U的“生分”，到如今的亲切的认同，用了将近半个世纪的时光。
北京接受了我，我也接受了北京。
这包括它的语言、它的气候、它的居住、它的饮食、它的情调，都和我的生命密不可分。
以饮食为例，在北京住久了，在国内外也跑了不少地方，比来比去，北京的烤鸭和北京的涮羊肉还是最好，不谦虚地说，也还是天下第一。
烤鸭的外焦里嫩，裹着吃的那蒸饼和甜面酱都是很有讲究的——我常感外地做的烤鸭总不对味。
至于涮羊肉，羊肉的质量，那薄得纸般透明的羊肉片，还有它的作料，芝麻酱、韭菜花，普天下找不到那种地道的感觉，真的是，一出北京城，味道就变了。
老北京有很多食品是我所怀念的。
最怀念天桥街边的卤煮火烧。
记得是五十年代吧，去天桥看戏，在街边摊上吃卤煮火烧。
昏黄的油灯、冒油的墩板、冒着热气的大海碗，使北京严寒的冬夜也变得充满了人间的温情。
那气氛、那情调，现在是消失得无影无踪了。
2021年全国新高考壹卷数学试题变式题7-12题-(学生版)
2021年全国新高考yi 卷数学试题变式题7-12题原题71．过双曲线C ：22221x y a b-=(0,0)a b >>的一个焦点作圆222x y a +=的两条切线，切点分别为A B 、，若90AOB ∠=（O 是坐标原点），则双曲线C 的离心率为____;变式题1基础2．经过点(2,0)作曲线2e x y x =的切线有（ ） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条变式题2基础 3．已知函数()()02af x x a x=+>，则曲线()y f x =过点()2,0P 的切线有（ ） A ．0条 B ．1条 C ．2条 D ．3条变式题3巩固4．已知曲线x a y e +=与()21y x =-恰好存在两条公切线，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(),2ln 23-∞+ B ．(),2ln 23-∞- C ．（0，1） D ．()1,+∞变式题4巩固5．若过第一象限的点(),a b 可以作曲线ln y x =的两条切线，则（ ） A ．ln b a < B ．ln b a > C ．ln b a < D ．ln b a >变式题5提升6．已知函数32()2f x x x x =-+-，若过点()1,P t 可作曲线()y f x =的三条切线，则t 的取值范围是（ ） A ．1(0,)30B ．1(0,)29C ．1(0,)28D ．1(0,)27变式题6提升7．若过点()(),0a b a >可以作曲线33y x x =-的三条切线，则（ ） A ．3b a <- B ．333a b a a -<<- C ．33b a a >- D ．3b a =-或33b a a =-原题88．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（）A．甲与丙相互独立B．甲与丁相互独立C．乙与丙相互独立D．丙与丁相互独立变式题1基础9．下列事件A,B是独立事件的是()A．一枚硬币掷两次,A=“第一次为正面向上”,B=“第二次为反面向上”B．袋中有两个白球和两个黑球,不放回地摸两球,A=“第一次摸到白球”,B=“第二次摸到白球”C．掷一枚骰子,A=“出现点数为奇数”,B=“出现点数为偶数”D．A=“人能活到20岁”,B=“人能活到50岁”变式题2基础10．抛掷一枚质地均匀的骰子一次，记事件A为“向上的点数为奇数”，记事件B为“向上的点数为1或2”，则事件A与事件B的关系是（）A．相互独立B．互斥C．既相互独立又互斥D．既不相互独立又不互斥变式题3巩固11．一个袋子中有标号分别为1，2，3，4的4个球，除标号外没有其他差异．采用不放回方式从中任意摸球两次，每次摸出一个球．记事件A=“第一次摸出球的标号小于3”，事件B=“第二次摸出球的标号小于3”，事件C=“摸出的两个球的标号之和为6”，事件D“摸出的两个球的标号之和不超过4”，则（）A．A与B相互独立B．A与D相互独立C．B与C相互独立D．B与D相互独立变式题4巩固12．从一副52张的扑克牌（不含大小王）中随机抽取一张，设事件A为“抽到黑色牌”，事件B为“抽到黑桃牌”，事件C为“抽到K”，则（）A．事件A与事件B相互独立，事件A与事件C相互独立B．事件A与事件B相互独立，事件A与事件C不相互独立C．事件A与事件B不相互独立，事件A与事件C相互独立D．事件A与事件B不相互独立，事件A与事件C不相互独立变式题5提升13．分别抛掷2枚质地均匀的硬币，设“第1枚为正面”为事件A ，“第2枚为正面”为事件B ，“2枚结果相同”为事件C ，有下列三个命题： ①事件A 与事件B 相互独立； ①事件B 与事件C 相互独立； ①事件C 与事件A 相互独立． 以上命题中，正确的个数是 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3变式题6提升14．抛掷一枚均匀的骰子两次，在下列事件中，与事件“第一次得到6点”不互相独立的事件是A ．“两次得到的点数和是12”B ．“第二次得到6点”C ．“第二次的点数不超过3点”D ．“第二次的点数是奇数” 原题915．有一组样本数据1x ，2x ，…，n x ，由这组数据得到新样本数据1y ，2y ，…，n y ，其中i i y x c =+(1,2,,),i n c =⋅⋅⋅为非零常数，则（ ）A ．两组样本数据的样本平均数相同B ．两组样本数据的样本中位数相同C ．两组样本数据的样本标准差相同D ．两组样本数据的样本极差相同 变式题1基础16．一组数据1x ，2x ，…，n x 的平均数是3，方差为4，关于数据131x -，231x -，…，31n x -，下列说法正确的是（ ） A ．平均数是3 B ．平均数是8C ．方差是11D ．方差是36变式题2基础17．若一组数据：1236,,,x x x x 的平均值为2，方差为3，则关于数据()()()()123623,23,23,,23x x x x ----说法正确的是（ ）A ．平均值为-2B ．方差为6C ．平均值为4D ．方差为12变式题3巩固18．已知一组数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x 的平均数和方差均为2，则下列叙述正确的有（ ） A ．11x +，21x +，31x +，41x +，51x +的平均数为3 B ．11x +，21x +，31x +，41x +，51x +的方差为2 C ．12x ，22x ，32x ，42x ，52x 的方差为8D ．122x +，222x +，322x +，422x +，522x +的方差为8 变式题4巩固19．若甲组样本数据1x ，2x ，…，n x （数据各不相同）的平均数为2，方差为4，乙组样本数据13x a +，23x a +，…，3n x a +的平均数为4，则下列说法正确的是（ ） A ．a 的值为-2B ．乙组样本数据的方差为36C ．两组样本数据的样本中位数一定相同D ．两组样本数据的样本极差不同变式题5提升20．2020年3月6日，在新加坡举行的世界大学生辩论赛中，中国选手以总分230.51分获得冠军.辩论赛有7位评委进行评分，首先这7位评委给出某对选手的原始分数，评定该队选手的成绩时从7个原始成绩中去掉一个最高分、一个最低分，得到5个有效评分，则5个有效评分与7个原始评分相比，可能变化的数字特征是（ ） A ．中位数 B ．平均数 C ．方差 D ．极差变式题6提升21．数据1x ，2x ，…，n x 的平均数为x ，方差为2x s ，数据1y ，2y ，…，n y 的平均数为y ，方差为2y s ，若b 为不等于0的常数，11y x b =+，22y x b =+，…，n n y x b =+则下列说法正确的是（ ） A ．y x = B ．y x b =+C ．22y x s s =D ．222y x s s b =+原题1022．已知O 为坐标原点，点()1cos ,sin P αα，()2cos ,sin P ββ-，()()()3cos ,sin P αβαβ++，1,0A ，则（ ） A ．12OP OP = B ．12AP AP = C ．312OA OP OP OP ⋅=⋅ D ．123OA OP OP OP ⋅=⋅ 变式题1基础23．已知α，β，2,0πγ⎛∈⎫⎪⎝⎭，sin sin sin αγβ+=，cos cos cos βγα+=，则下列说法正确的是A ．()1cos 2βα-= B ．()1cos 2βα-=-C ．3πβα-=D ．3πβα-=-变式题2基础24．设02θπ≤<，已知两个向量()1cos ,sin OP θθ=，()22sin ,2cos =+-OP θθ，则向量12PP 长度的取值可以是（ ） A 2 B 3C ．32D ．33变式题3巩固25．已知向量(3,1)a =，(cos ,sin )b αα=，0,2απ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，则下列结论正确的有（ ）A ．1b =B ．若a //b ，则tan 3α=C ．a b ⋅的最大值为2D ．a b -的最大值为3变式题4巩固26．已知向量(1,1)a =，(cos ,sin )(0)b θθθπ=≤≤，则下列命题正确的是（ ） A ．若//a b ，则tan 1θ= B ．+a b 的最大值为5C ．a b -的最大值为12D ．存在唯一的θ使得a b a b +=+ 变式题5提升27．已知向量(cos ,sin )a αα=，(2,1)b =，则下列命题正确的是（ ）A ．||a b -1B ．若||||a b a b +=-，则1tan 2α=C ．若e 是与b 共线的单位向量，则25(,5e = D ．当()f a b α=⋅取得最大值时，1tan 2α=原题1128．已知点P 在圆()()225516x y -+-=上，点()4,0A 、()0,2B ，则（ ）A ．点P 到直线AB 的距离小于10 B ．点P 到直线AB 的距离大于2C ．当PBA ∠最小时，PB =D ．当PBA ∠最大时，PB =变式题1基础29．若圆()2220x y r r +=>上恰有相异两点到直线4325=0x y -+的距离等于1，则r 可以取值（ ） A ．92B ．5C ．112D ．6变式题2基础30．已知圆C ：()()223372x y -+-=，若直线0x y m +-=垂直于圆C 的一条直径，且经过这条直径的一个三等分点，则m =（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．10变式题3巩固31．已知圆221:230O x y x +--=和圆222:210O x y y +--=的交点为A ，B ，则（ ） A ．圆1O 和圆2O 有两条公切线 B ．直线AB 的方程为10x y -+=C ．圆2O 上存在两点P 和Q 使得||||PQ AB >D ．圆1O 上的点到直线AB 的最大距离为2变式题4巩固32．已知点()2,4P ，若过点()4,0Q 的直线l 交圆C ：()2269x y -+=于A ，B 两点，R 是圆C 上一动点，则（ ）A ．AB 的最小值为5B ．P 到l 的距离的最大值为25C ．PQ PR ⋅的最小值为125-D ．PR 的最大值为423变式题5提升33．已知直线():2200l x y a a +-=>，(),M s t 是直线l 上的任意一点，直线l 与圆221x y +=相切．下列结论正确的为（ ） A 22s t +1B ．当0s >，0t >时，21s t +95C 22s t s +22s t s +的最小值D 22s t s +22s t s +的最小值 变式题6提升34．已知点P 在圆C ：()()22455x y -+-=上，点()4,0A ，()0,2B ，则下列说法中正确的是（ ）A ．点P 到直线AB 的距离小于6 B ．点P 到直线AB 的距离大于2C ．cos APB ∠的最大值为45D ．APB ∠的最大值为2π 原题1235．在正三棱柱111ABC A B C -中，11AB AA ==，点P 满足1BP BC BB λμ=+，其中[]0,1λ∈，[]0,1μ∈，则（ ）A ．当1λ=时，1AB P △的周长为定值B ．当1μ=时，三棱锥1P A BC -的体积为定值 C ．当12λ=时，有且仅有一个点P ，使得1A P BP ⊥ D ．当12μ=时，有且仅有一个点P ，使得1A B ⊥平面1AB P 变式题1基础36．在正三棱柱111ABC A B C -中，2AC =11CC =，点D 为BC 中点，则以下结论正确的是（ ）A ．111122A D AB AC AA =+-B ．三棱锥11D ABC -C ．1AB BC ⊥且1//AB 平面11AC DD ．ABC 内到直线AC 、1BB 的距离相等的点的轨迹为抛物线的一部分 变式题2巩固37．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，12,AD DD AB E F G ===､､分别是11,AB BC C D ､的中点，则下列说法正确的是（ ）A ．11BCDE ⊥ B ．1//D C 平面GEFC ．若点P 在平面ABCD 内，且1//D P 平面GEF ，则线段1D P 长度的最小值为D．若点Q 在平面ABCD 内，且11D Q B C ⊥，则线段1D Q 长度的最小值为变式题3巩固38．在正方体1111ABCD A B C D -中，点M 在线段1B C 上运动，则（ ） A ．直线1BD ⊥平面1AB CB ．三棱锥11M ACD -的体积为定值C ．异面直线AM 与1AD 所成角的取值范围是,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．直线1C M 与平面11AC D 变式题4提升39．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，已知E 为线段1B C 的中点，点F 和点P 分别满足111D F DC λ=，11D P D B μ=，其中,[0,1]λμ∈，则下列说法正确的是（ ） A ．当λ=12时，三棱锥P -EFD 的体积为定值B ．当µ=12时，四棱锥P -ABCD 的外接球的表面积是34π C ．PE PF +52D ．存在唯一的实数对(,)λμ，使得EP ①平面PDF 变式题5提升40．在棱长固定的正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别满足AE AB λ=，([0,1],[0,1])BF BC μλμ=∈∈，则（ ）A ．当12μ=时，三棱锥11A B EF -的体积为定值 B ．当12μ=时，存在λ使得1BD ⊥平面1B EF C ．当12λ=时，点A ，B 到平面1B EF 的距离相等 D ．当λμ=时，总有11A F C E ⊥。
2022年高考全国乙卷语文真题变式练习之文言文阅读
2022年高考全国乙卷语文真题变式练习之文言文阅读原题1.阅读下面的文言文，完成下面小题。
圣人之于天下百姓也，其犹赤子乎！饥者那么食之，寒者那么衣之，将之养之，育之长之，* 唯恐其不至于大也。
魏武侯浮西河而下，中流，顾谓吴起日：“美哉乎河山之固也，此魏国之宝也。
”吴起对日：“在德不在险。
昔三苗氏左洞庭而右彭蠡，德义不修，而禹灭之。
夏桀之居，左河、济而右太华，伊阙在其南，羊肠在其北，修政不仁，而汤放之。
由此观之，在德不在险。
假设君不修德,船中之人尽敌国也。
，武侯日：“善武王克殷，召太公而问日：“将奈其士众何？” 太公对日：“臣闻爱其人者，兼屋上之鸟；憎其人者，恶其余胥。
咸刈厥敌，靡使有余，何如？”王日：“不可。
”太公出，邵公入，王日：“为之奈何？”邵公对日：“有罪者杀之，无罪者活之，何如？”王日：“不可。
”邵公出，周公入，王日：“为之奈何？“周公日使各居其宅田其田无变旧新惟仁是亲百姓有过在予一人武王日广大乎平天下矣凡所以贵士君子者以其仁而有德也景公游于寿宫，睹常年负薪而有饥色，公悲之，喟然叹日：“令吏养之。
"晏子日：“臣闻之，乐贤而哀不肖，守国之本也。
今君爱老而恩无不逮，治国之本也。
“公笑，有喜色。
晏子日：“圣王见贤以乐贤，见不肖以哀不肖。
今请求老弱之不养，鳏寡之不室者，论而供秩焉。
”景公日:“诺。
”于是老弱有养，鳏寡有室。
晋平公春筑台，叔向日：“不可。
古者圣王贵德而务施，缓刑辟而趋民时。
今春筑台，是夺民时也。
岂所以定命安存，而称为人君于后世哉？''平公日：“善。
”乃罢台役。
（节选自《说苑•贵德》）【小题1】以下对文中画波浪线局部的断句，正确的一项为哪一项（）A.周公日/使各居其宅田其田/无变旧新/惟仁是亲/百姓有过/在予一人/武王日/广大乎平天下矣/凡所以贵士/君子者以其仁而有德也/B.周公日/使各居其宅田其田/无变旧新/惟仁是亲/百姓有过/在予一人/武王日/广大乎平天下矣/凡所以贵土君子者/以其仁而有德也/C.周公日/使各居其宅/田其田/无变旧新/惟仁是亲/百姓有过/在予一人武王日/广大乎平天下矣/凡所以贵土/君子者以其仁而有德也D.周公日/使各居其宅/田其田/无变旧新/惟仁是亲/百姓有过/在予一人/武王日/广大乎平天下A.君子苟能无以利害身/那么辱安从至乎/官怠于宦成/病加于少愈/祸生于懈惰/孝衰于妻子/察此四者/慎终如始B.君子苟能无以利害身那么辱/安从至乎/官怠于宦成/病加于少愈/祸生于懈惰/孝衰于妻子/察此四者/慎终如始C.君子苟能无以利害身那么辱/安从至乎/官怠于宦/成病加于少愈/祸生于懈惰/孝衰于妻/子察此四者/慎终如始D.君子苟能无以利害身/那么辱安从至乎/官怠于宦/成病加于少/愈祸生于懈惰/孝衰于妻/子察此四者/慎终如始【小题2】以下对文中加点词语的相关内容的解说，不正确的一项为哪一项（）A.老子，道家学派的创始人，后被道教尊为始祖，其思想对中国后世影响深远。
一道高考试题的解法、来源及变式
（
二 ：
）， ＿（
）ｏ ＝．
（ ％ ０ … ｏ ） ）０以上不等式相加得 ｎ） （２ 七 ＞， ＋ ａ） ，
＋ ． 厂。 ） Ⅱ５＋（。＋ ・ ｏ ）０而ｆ ａ ）０ 则 ｆａ） ＿＋（ 厂０６ ¨ ， ＞ ． （ｌ ＞ ， （ ・ ３ ） ） ２ ７
（ ）０ ＝ 相矛盾 ， 从而ｆａ ）Ｏ不成立． （ ＞ 同理 ， 可以证 明
（１＜ 不 成立 ． （ ）０ １ ４ 因此
二 、试 题 来 源
２ 一 ）＝ ， ｄ ， ２ －ｍ ｌ０ 即 ２ －ｍ ） ｍ １ｄ Ｏ而 ＃０则 ｋ２ －＝ ， ｋ－ － ， ２ ｑ 此等式左 边为偶数 ， 右边为奇数 ， 显然等式不成立 ， 不存在正整数
＝； ｏ 若ｍ为 奇数， 则仿变式 １ 求得 巫 芸 ，
－（丁１ ＝ ． ，。＋）Ｏ ｍ
）ｔｎ ， ｘ 构 造等差数列 ｛ ｝ ａ 满足 ａ （ ， ） 且公差 ｄ≠０ ｎ ｎ 一 ， ， 即得到 ２ ０ ０９年上海高考数学 理科试题第 １ 题． ２ 同学们可以改变函数 的形式 以及数列的项数 ，能
变式 ２ ：已知函数 ｆｘ ＝ｉｘ ｔｎ ． （ ）ｓ ＋ａｘ项数为 ２ 的等 ｎ ｍ 差数列 ｛ 满足 ∈（ ， － ， ％｝ 一 － ）且公差 ｄ ． （ 仃 ５ ＃０若， 口） ＋ ） ． ‰ ）０ （ 求， 盟 ＋． ‘ ＝ ，１ （ ）
存在正整数 ｋ 使得Ｉ ）Ｏ ， 厂 ＝． （
数 学 有数
一
道高 考试题硇鼹法 、来源 及变式
■广 东仲元 中学 严 运华
三 、试 题 变 式
陲闺 已知函 （）ｓ ＋ 眦． 数， ＝似 ｔ 项数为２ 的等差 ｉ ａ ７
数列 ｛ 满足 ％∈（ ， ）且公 差 ｄ ． 。） ％｝ 一 ， ＃０若 ＋
一道高考题的溯源与变式
一道高考题的溯源与变式作者：王思俭来源：《新高考·高三数学》2012年第05期问题1 （人教 A 版必修1第133页复习参考题第8题）已知如图1,ABCD是半径为2的半圆O的内接等腰梯形,下底AB为直径,C,D在圆弧上.设 BD= x,等腰梯形的周长为y,试求y关于x的函数解析式,并指出函数定义域.图2问题2 （人教 A 版必修1第27页练习1.2.2第5题）已知如图2,圆O的半径为5,ABCD是其内接矩形,求矩形面积的最大值.将上述两问题中的圆改为椭圆再结合起来就构成了2007年北京理科卷第18题.图3原题如图3,有一块半椭圆形钢板,其长半轴长为4r,短半轴长为r.计划将此钢板切割成等腰梯形的形状,下底AB是半椭圆的短轴,上底CD的端点在椭圆上,记C D=2x,梯形面积为S.（1）求面积S以x为自变量的函数解析式,并写出其定义域；（2）求面积S的最大值.这两个问题是属于同一类问题,即二次曲线（圆、椭圆或抛物线）内接矩形或等腰梯形的面积、周长等问题.由此引发一些思考,得出如下变式问题.变式1 在图1中,求等腰梯形面积的最大值.●分●析策略一：连结BC，OC，在△BO C中,利用面积法求出等腰梯形的高h,建立面积的函数关系式,再利用求值域的方法求解；策略二：设∠AO C=θ,将等腰梯形的面积建立为关于θ的函数,再利用三角函数法求解；策略三：建立直角坐标系,写出圆的方程,选择点C的横坐标为自变量,建立目标函数.●解●析●一连结BC，OC，在△BOC中,由等面积法,可知12x4－x 24=12×2h,所以有h= x2·4－x 24,从而有CD= 24－x 244－x 24 =22－x 24.－x 24,0所以梯形ABCD的面积为S=4+4－x 222·x2·4－x 24=4－x 24· x2· 4令4－x 24=t∈(2,4),可得S=4－x 24 3x 24=t 3(4－t)=－t 4+4t 3.令g(t)=－t 4+4t 3,则g′(t)=－4t 3+12t 2=4t 2(3－t).当20,g(t)单调递增；当3●解●题●回●顾这三种解法都是常见的方法,但解法二、三较简单,涉及了函数、三角、不等式等知识以及函数最大值的求法导数法、基本不等式法、三角函数的有界性法,是一道较好的小型综合题.图5变式2 如图5,ABCD是半径为2的半圆内接矩形,且A,B在直径上,C,D在半圆周上,求矩形周长L及面积S的最大值.●分●析选取BC=x为自变量,可建立L与S关于x的函数,若连结OC，选取∠BO C=θ为自变量,则可以建立L与S关于θ的函数.变式3 如图6,已知ABCD为抛物线段y=4－x 2 （－2≤x≤2)的内接矩形,A,B在x轴上,C,D 在抛物线上,求矩形面积S的最大值.图6图7变式4 如图7,已知ABCD为抛物线段y=4－x 2 （－2≤x≤2)的内接等腰梯形,A(－2,0),B(2,0),C,D在抛物线上,求等腰梯形面积S的最大值.图8变式5 如图8,在变式4中,设ABCD绕y轴旋转一周所得的几何体的体积为V,当V取得最大值时,CD的近似值为多少？（精确到0.001）首先确定自变量,由于CD的平行移动引起等腰梯形的变化,于是选择点C的横坐标为自变量x；其次确定几何体的形状,等腰梯形绕y轴旋转一周得到的几何体是圆台,将圆台的体积建立为关于x的函数；最后利用导数法求取最大值时x的值,需要解三次方程,这是我们无法完成的,但题目要求近似解,于是想到二分法.●解等腰梯形绕y轴旋转一周得到的几何体是圆台,上底半径r 1=x,下底半径r 2=2,高h=4－x 2,则V=13 π (x 2+2 2+2x)(4－x 2)=13 π (－x 4－2x 3+8x+16)（0－4)（0＜x 对V求导，得V′(x)=13 π (－4x 3－ 6x 2+8) = －2 π 3 (2x 3+3x 2＜2）.令g(x)=2x 3+3x 2－4,00,所以g(x)在(0,2)内单调递增.又因为g(0)=-4,g(1)=1,所以g(x)=0在（0,1）内有且只有一个解x 0.当00, V(x) 单调递增；当x 00,V′(x)所以当x=x 0时,V有最大值V(x 0).下面用二分法求x 0的近似解.因为G（0）=－4,G（1）=1,G12= －3,所 以x 0∈12,1,又有G34取x 0=3132,得 C D= 2x 0=3116≈1.938.●解●题●回●顾利用圆台体积公式很容易建立目标函数V(x),运用导数法求出驻点,讨论其极值.但由于V′(x)=0是三次方程,没有简便的求根公式,于是利用函数图象研究方程根的分布情况,再利用二分法确定极大值点x 0的近似范围,从而得出近似解.变式6 如图9,等腰梯形ABCD的两腰及上底CD与半圆O均相切,下底AB落在直径上,已知半圆的半径为R,求等腰梯形的周长L及面积S的最小值.图9因为四边形ABCD是半圆O的内切等腰梯形,等腰梯形的周长、面积的变化与∠BCD有关,即与∠EOF有关,于是选取∠EOF为自变量,将周长、面积都建立为∠EOF的函数,再利用三角、导数、基本不等式等知识求解.变题7 如图10,抛物线y=4－x 2 （－2≤x≤2）,等腰梯形ABCD的两腰BC,DA及上底CD 与抛物线段相切,A,B在x轴上,求梯形ABCD的面积S的最小值.图10图11变题8 如图11,函数y= 21－x 2 （-1≤x≤1）的 图象,等腰梯形ABCD的两腰BC,DA 及上底CD与与函数图象均相切,A,B在x轴上,且CD∥AB,求梯形ABCD的面积S的最小值.●分●析等腰梯形的变化是由BC边上的切点E引起的,设E（t, 21－t 2） ,利用导数求出切线斜率及切线方程,继而求出B,C两点坐标,于是就建立了面积S关于t的函数,再利用导数知识求出函数的最小值.●解设BC与函数图象的切点为E（t, 21－t 2）, 对y=21－x 2求导，得y′= －2x1－x 2 ,所以k=－2t1－t 2，可得切线方程y-21－t 2=－2t1－t 2（x－t）.令y=0,得x B=t+1－t 2t=1t.令 y= 2,得x C=1t－1－t 2t,0于是得S=2×22t－1－t 2t2= 22t－ 1t 2－1=22u－u 2－1（令1t=u>1）.对S求导,得S′（u）=22－uu 2－1.令S′（u）=0,解得u=23.当1当u>23时,S′>0,S是单调增函数.所以当u=23,即t=32时,S有极小值,也是最小值,即S min =23.●解●题●回●顾首先,要建立等腰梯形的面积S的目标函数,关键是如何选取自变量,等腰梯形的变化是由切点E变化而引起的,所以就选择切点E的横坐标为自变量；其次,求函数的最小（大）值,利用化归思想化繁为简；最后,利用导数知识求解函数的最小（大）值.本题也可以采用三角换元法求解,先令t= sin θ0再利用三角函数知识或数形结合方法，求出当θ= π 3时,即2(2－ cos θ) sin θ,t=32时,S有最小值.从上述各题可以看出,高考题在课本上都是有其原型的,所以我们在学习过程中要善于变更问题的形式,扩大问题的思维“容量”,实现以少胜多.在学习新知识的时候,同学们虽然也掌握了某种解题模式,但在一定阶段内往往只会机械地模仿、照搬这个固定模式解题.对此,如果不予以注意,很可能形成某种心理定势,造成思维的呆板和僵化,因而在学习过程中,当我们获得某种解题的基本方法以后,应及时将原题的条件、结论、情境或方法延伸变通,使我们进一步理解和掌握典型问题所阐述的概念、原理、规律、数量关系或解题方法,从而极大地开拓思维空间,以达到学会创造性解题的目的.。
一道高考题的变式及推广
ｍ ０ ａ ｃ ， ｂ ａ ＋ ０
十 口ｂ２Ｔ ． ａ － 。 ＇ｒ２￣ ２ １ － 十
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２ 口ｆ
，
（ ＋ｃ 一ｂ ａ ａ ７ Ｚ ） ４
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２ｍ ｃ ｂ ｙｌ ｂ 一 ０．
Ｚ 令 一号， 一Ｚ号 点Ｍ — 则 ・ Ｍ
，
Ｍ
Ｘ Ｍ＋ ， ２ ７ Ｎ一 （ Ｍ＋ ｆ ＋ （ ， ｍｙ ） 优３ Ｎ＋ ｃ 一 ｍ （ Ｍ＋ Ｙ ＋ ） ｙ Ｎ） ｚ ＝ ｍ ｃ
・ ．
（号一 ） 理 点 号等 ） 一， 号 ， 得 Ｎ（ ，号 同 一 蔚 一一，ｙＰ， 一一， （ｐ ） （ ．Ｍ 两 一
２１ ０ ０年 第 ６ 期
数 学教 育研 究
・ ３ ５ ・
一
道 高 考题 的 变 式及 推广
徐 祖 德 （ 福建省南安市国光ｑ学 ３２２） － ６３ １
Ｙ ＋ Ⅳ 一 ２ ， Ｍ Ｎ 一 Ｐ 则 Ｍ ｍｐ 一 。 ＸＸ ＝ ＭＮ
（ ０ ９湖 北 卷 理 ） 抛 物 线 。 ｐ （ ￣ Ｏ 的对 称 ２０ 过 一２ ｘ ｐ ） 轴 上 一 点 Ａ（ ，）ｎ Ｏ 的 直 线 与 抛 物 线 相 交 于 Ｍ 、 ａＯ（＞ ） Ｎ 两 点 ， Ｍ 、 向直 线 ｚ 一 一 ｎ作 垂 线 ， 足 分 别 为 自 Ｎ ： 垂
令 ｚ一 ， 则 一 Ｙ Ｍ
Ｃ
・
口
Ｍ十
点
＝
（ Ｐ 一
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一 （ ｐ， － ｙ）
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・
万 一 Ｐ ＋ ｙ ｙ 。 一 Ｐ 一 Ｐ 一 ０ 即 ＡＭ ，
Ｍ ｆ ， １
高考听力真题 课件版-2024年浙江1月卷深度解析及变式训练
【解析】C。事实细节题。男士说今天不想吃牛排，想吃炒饭或者面条换 换口味。根据女士的话可知，她赶时间。今天不能做两种不同的饭。明 天可以让男士吃到他想吃的。
5. How is Sophie feeling now? A. Confused. B. Worried. C. Disappointed.
6. What does the man want to do before noon? A. Post a letter. B. Make a card. C. Write an email.
Text 6 打算邮寄生日卡 W: Richard, why are you taking everything out of your drawer? M: I’m looking for a stamp, Sarah. W: A stamp? What do you want a stamp for? M: (7)I’ve written a letter to Aunt Vera. (6)And I want to put it in the post before midday. W: Can you just email her? M: Yeah. (7)But it’s her 70th birthday. Vera will be happy to get a real letter with a real birthday card.
2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题变式题1-6题
∴R=2r，
∴母线与底面所成角的余弦值= = ，
∴母线与底面所成角是60°．
故选C．
变式题6提升
20.从半径为6cm的圆形纸片上剪下一个圆心角为 的扇形，将剪下来的扇形围成一个圆锥 接缝处不重叠 ，那么这个圆锥的高为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先设所围成圆锥的底面半径为r，高为h，由题意得出母线长和底面圆半径，即可求出结果.
【详解】对于A选项，当 时， ，正弦函数 在区间 上不单调，则函数 在区间 上不单调；
对于B选项，当 时， ，正弦函数 在区间 上不单调，则函数 在区间 上不单调；
对于C选项，当 时， ，正弦函数 在区间 上不单调，则函数 在区间 上不单调；
对于D选项，当 时， ，正弦函数 在区间 上单调递减，则函数 在区间 上单调递减.
令
所以函数的增区间为 .
故选：D
【点睛】本题主要考查三角函数的单调区间的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
变式题3巩固
24.函数 在下列某个区间上单调递增，这个区间是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】∵函数
∴
令 ，则 .
∴当 时， ，即函数 的一个单调增区间为 .
故选A.
变式题4提升
故选：D.
【点睛】本题考查正弦型函数在区间上单调性的判断，一般要结合 的取值范围，计算出角的取值范围，结合正弦函数的单调性来判断，考查推理能力，属于中等题.
变式题2基础
23.函数 的单调递增区间是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
【详解】由题得 ，
一道高考题变式的拓广
上．
由 ＝ ＋ ， ＋ ， 得 １１是 于 南＝ ， 有 ÷ ＝ ＋ ＝ ห้องสมุดไป่ตู้ ＝ １ 从 一
±： 二
ｂ ｘ Ｃ Ｓ ｔ＋ ａ２ ｏ ｉ ａ ２０ Ｏ Ｏ Ｙ ｓｎ
Ｉ — ｆ． ＡＰ １
Ｉ ｆｌ ｌ Ｉ Ｑ１１ ＢＩ ・ Ｑ ｌ＝ Ａ ．Ｐ 变为 Ｉ ・— ｌ
＝
＝ ｌ ＿ Ｔ
所 以 ｂｘ￡。 ＋０ ｓ ＋ｂ ＋ｏ ｙ 一ａ ｂ ２ｏ ｓ ｃ ｉ ｎ ２ ０ ｚ ２
＋
后 ， Ｑ也 总在定 直线 ２ 点 ＋ｙ一２ ＝０上・
＝
０
０
上取点 Ｑ， 满足
ＹＹ ｏ
＝
．
＋ｎ ， 则点 Ｑ总
： １上 ．
在 定直 线 一百ｙ ： １ ） ｒ ｏ 上
证 明 设直 线 Ｚ 的参数 方程 为
』 ‰＋ＣＯ（ 参 Ｏ￣ 为 数） Ｓ ，
ｔ ＝ Ｙ ＋ ｔｉａ ｙ ｏ ｓｎ
．
（ １
定 理 ３ 已知抛 物线 Ｃ： ＝２ｘ ｐ ＞０ ， Ｙ ｐ（ ） 过抛 物 线 Ｃ外 一定 点 ｐ（ 。Ｙ ） ｘ ，ｏ 的动 直线 Ｚ 与抛物 线 Ｃ相
一
道 高考题 变 式 的拓 广
４５０ １０ ３ 彭世 金
湖 南省 常德 市第六 中学
２０ ０ ８年高 考安徽 卷 理科第 ２ ２题
由韦 达 足 理 确
一
设 椭圆ｃ ＋ ＝ ＞ ＞ ） 点 ， ： 告 １ａ ｂ ０ 过 （
１ ， 左焦 点为 Ｆ （ ， ） ）且 一 Ｏ．
０ ， 双 曲线 Ｃ外一 定点 ｐ（。Ｙ）的 动直线 ｌ ）过 ｘ ，ｏ 与双 曲线 Ｃ的 同一 支相 交于 两不 同点 Ａ， 若在 线段 Ａ Ｂ， Ｂ
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一道高考题的变式训练（2010重庆卷第4题）
（2010重庆卷第4题）将一玉米幼苗固定在支架上，支架固定在温、湿度适宜且底部有一透光孔的暗室内，从题4图所示状态开始，光源随暗室同步缓慢匀速旋转，几天后停止于起始位置，此时，幼苗的生成情况是
A．根水平生长，茎向上弯曲
B．根水平生长，茎向下弯曲
C．根下弯曲，茎向上曲
D．根向下弯曲，茎向下弯曲
答案：B
变式训练1、将一玉米幼苗固定在支架上，支架固定在温、湿度适宜且底部有一透光孔的暗室内，从题4图所示状态开始，光源随暗室同步缓慢匀速旋转，几天后停止于起始位
置的对侧（上方），此时，幼苗的生成情况是
A．根水平生长，茎向上弯曲
B．根水平生长，茎向下弯曲
C．根下弯曲，茎向上弯曲
D．根向下弯曲，茎向下弯曲
解析：从题干信息可知，玉米幼苗固定在支架上，支架固定在暗室内，三者合为一体，而光源随它们同步缓慢匀速旋转。
因缓慢匀速旋转各方向受重力影响相同，所以植物的茎和根的生长素分布不受重力的影响。
结合图形可知单侧光只照射茎，所以根部生长素的分布也不受单侧光影响，即均匀分布，因此，根自然水平生长。
茎受到的是一个单侧光，因此茎弯曲生长的方向与光照方向一致。
上面的高考原题中的信息是“停止于起始位置”，所以答案选B,本题的信息是“停止于起始位置的对侧（上方）”，所以答案A正确。
变式训练2、将一玉米幼苗固定在支架上，支架放在温、湿度适宜且底部有一透光孔
的暗室内，从题4图所示状态开始，固定暗室和光
照，设法仅让幼苗随支架缓慢匀速转动。
几天后停
止于起始位置，此时，幼苗茎的生成情况是
A．茎向上弯曲B．茎向下弯曲
C．茎水平生长D．茎向孔弯曲生长
解析：与以上两题相比，本题固定了暗室和光照，只有幼苗随支架缓慢匀速旋转。
此时，茎各部位受光均匀，所以答案C正确。
答案：C
拓展归纳：
本题在不涉及重力对植物的影响的情况下（为方便研究，将以上装
置逆时针转90度如下图），光照、暗室、幼苗三者如何旋转，会造成幼
苗茎的受光情况不同，从而影响幼苗的生长方向。
对不同情况进行分析，
可以训练学生的思维能力，使学生灵活掌握这类题型。
下面以暗室、幼苗
（固定在支架上）、光照三个因素的转动情况为变量，即固定其中两个因
素，以其中一个因素的转动为变量。
分别进行探讨和归纳。
1．固定暗室和光照，设法仅让幼苗缓慢匀速转动。
这种情况下，植物
茎各部位有均等的机会受光，因此，幼苗将直立生长。
2．固定暗室和幼苗，设法仅让光照缓慢匀速转动。
这种情况下，植物茎只有对着暗室孔的部位受光，因此，幼苗将向暗室孔的方向弯曲生长（即向右弯曲生长，不能说向光弯曲生长）。
3．固定光照和幼苗，设法仅让暗室缓慢匀速转动。
这种情况下，只有转到暗室孔对着光源时，植物才受光。
因此，幼苗将向光弯曲生长（即向右弯曲生长，不能说向暗室孔的方向弯曲生长）。
变式训练3．在方形暗箱内放一盆幼苗，暗箱一侧开一小窗口，固定光源的光可从窗口射入，把装置放在旋转器上水平旋转(如图所示)，假设暗箱可以转动而盆栽幼苗和光源固定不动，保持每15分钟匀速转1周。
一星期后幼苗生长状况为
答案：C
变式训练4．在方形暗箱内放一盆幼苗，暗箱一侧开一小窗口，固定光源的光可从窗口射入，把装置放在旋转器上水平旋转(如图所示)，假设盆栽幼苗随暗箱一起转动而光源固定不动，保持每15分钟匀速转1周。
一星期后幼苗生长状况为
解析：根据运动的相对性，本题可以理解为固定幼苗和暗箱，只转动光源。
因此幼苗对着小窗的方向受光，向窗口弯曲生长。
答案：B。