数学：构造函数利用单调性解题

构造函数利用单调性解题

由函数单调性的定义容易知道：

（1）若函数)x (f 在区间I 上单调递增，且I x x 21∈，，则2121x x )x (f )x (f <⇔<；

（2）若函数)x (f 在区间I 上单调递减，且I x x 21∈，，则2121x x )x (f )x (f >⇔<；

（3）若函数)x (f 在区间I 上单调，且I x x 21∈，，则2121x x )x (f )x (f =⇔=；

根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧。许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效。下面举例说明这一思想在解题中的若干应用。

一、求值

例1 设x ，y 为实数，且满足⎪⎩⎪⎨⎧=-+--=-+-1

)1y (1997)1y (1)1x (1997)1x (33，则=+y x _______。 解：由已知条件，可得：

⎪⎩⎪⎨⎧-=-+--=-+-1

)y 1(1997)y 1(1)1x (1997)1x (33 故若设t 1997t )t (f 3+=，则上述条件即为：1)y 1(f )1x (f -=-=-。

又易知函数t 1997t )t (f 3+=在R 上是单调增函数，所以由上式有：y 11x -=-，即：2y x =+。

二、解方程

例2 解方程03x 6x )3x 5(33=++++。

解：原方程变为：

)x x ()3x 5()3x 5(33+-=+++。

设x x )x (f 3+=，则原方程即为：)x (f )3x 5(f -=+，又)x (f )x (f -=-，从而原方程即为：)x (f )3x 5(f -=+。

又易知函数x x )x (f 3+=在R 上单调递增，所以有x 3x 5-=+，解得原方程的解为：2

1x -=。

三、求最值

例3 已知点B （0，6），C （0，2），试在x 轴正半轴上求一点A ，使得∠BAC 最大。 解：设A （a ，0），则a>0，∠BAC=α，易知)2

0(π

∈α，。 因为a 2k a 6k AC AB -=-=，，所以a

12a 412a a 4k k 1k k tan 2AB AC AB AC

+=+=+-=α。又因为a>0所以34a

12a 2a 12a =⋅≥+。 所以33tan ≤α，当且仅当32a =时αtan 有最大值为3

3。 又函数α=tan y 在（0，

2π）上是单调递增的，所以α的最大值为633arctan π=。即∠BAC 的最大值为

6

π，此时A （32，0）。

四、比较大小 例4 已知a>1，且x log a y log a a y a x ->-，试比较y x ，的大小。

解：由条件得：y log a x og 1a a y a x +>+。

引入函数t log a )t (f a t +=，则上式即为：

)y (f )x (f >。

易知函数t log a )t (f a t +=在（0，+∞）上是增函数，所以y x >。

五、证明不等式

例5 设a ∈R ，求证：01a a a a 258>+-+-。

证明：当0a ≤或a=1时，不等式显然成立。

当a>1时，函数x a y =在R 上是增函数，

所以a a a a 258>>，，所以01a a a a 258>+-+-；

当1a 0<<时，函数x a y =在R 上是减函数，

所以a 1a a 52>>，

，又0a 8>。 所以01a a a a 258>+-+-

故对一切a ∈R ，不等式01a a a a 258>+-+-成立。

六、求参数范围

例6 已知关于n 的不等式32)1a (log 121n 213n 12n 11n 1a +->+++++++ 对一切大于1的自然数都成立，试求实数a 的取值范围。 解：设)2n N n (n

213n 12n 11n 1)n (f ≥∈+++-+++=， 。 因为0)2n 2)(1n 2(11n 12n 211n 21)n (f )1n (f >++=+-+++=

-+ 所以)n (f 是关于n 的单调增函数且当2n ≥时，+=≥31)2(f )n (f 12

741=，故而要使32)1a (log 121)n (f a +->对一切2n ≥，n ∈N 恒成立，则需且只需32)1a (log 121127a +->，即1)1a (log a -<-成立即可。 所以a

11a 0<-<，解得：251a 1+<<。 故所求a 的取值范围为

}2

51a 1|a {+<

<。 例7 设函数

n

a n )1n (321lg )x (f x x x x ⋅+-++++= （a ∈R ，n ∈N ，n ≥2），若当]1(x ，-∞∈时，)x (f 有意义，求a 的取值范围。

解：要使原函数在]1(，

-∞上有意义，应有在∈x ]1(，-∞时 0n

a n )1n (321x x x x >⋅+-++++ ，即0a n )1n (321x x x x >⋅+-++++ 成立。 所以])n

1n ()n 3()n 2()n 1

[(a x x x x -++++-> ，]1(x ，-∞∈ （*） 记])n 1n ()n

3()n 2()n 1

[()x (g x x x x -++++-= ， 因为每一个)1n 21k ()n

k (x -=-，，， 在]1(，

-∞上都是增函数， 所以)x (g 在]1(，-∞上是增函数，从而它在x=1时取得最大值 )1n (2

1)n 1n n 3n 2n 1()1(g --=-++++-= 所以（*）式等价于)1n (2

1

a --> 也就是a 的取值范围是)}1n (21

a |a {-->。