圆与方程知识点总结

r 为半径的圆的标准方程是 (X —a)2

+(y —b)2

/ .

特例：圆心在坐标原点，半径为

r 的圆的方程是：x 2+y 2

=r 2

.

2.点与圆的位置关系: (1)

.设点到圆心的距离为 d ，圆半径为

a. 点在圆内 U>d

b. 点在圆上 U d=r ;

c.

(2). 给定点 M(X 0,y 0)及圆 C:(x —a)2

%y —b)2

=r 2

① M 在圆 C 内二(x 0 -a)2

+(y 0 ~b)2

② M 在圆 C 上 u (x 0 v)2

+(y 0 七)2n 2

③ M 在圆 C 外二(x0T)2

+(y04)2N 2

(3)涉及最值:

思考：过此 A 点作最短的弦？(此弦垂直 AC )

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圆与方程知识点总结

1.圆的标准方程：以点C(a,b)为圆心,

P ，讨论PB 的最值

PB PB min -r

max

= BM

P ，讨论I P A 的最值

PA = AN min

P

A max

AM =r - AC

=r + AC

3. 圆的一般方程:

2 2

X +y +Dx + Ey+F

当 D 2+E 2

~4F

>0时，方程表示一个圆，其中圆心

C J/],半径r=巫尹

I 2

2丿

2

当D 2

先2

4F

=0时，方程表示一个点

当 D 2+E 2

rF

<0时，方程不表示任何图形

①圆外一点B ，圆上一动点

注：方程 Ax 2

+Bxy +Cy 2

+Dx +Ey +F =0表示圆的充要条件是：

B =0且A =

C 工0且

D 2

4E 2

_4AF A O .

4. 直线与圆的位置关系:

直线 Ax +By +C =0与圆(X -a)2

+(y -b)2

= r 2

还可以利用直线方程与圆的方程联立方程组

J Ax + By +C = 0

求解，通过解的个数来判断:

l x 2

+y 2 +Dx +Ey + F = 0

直线与圆有2个交点，，直线与圆相交; 直线与圆只有1个交点，直线与圆相切;

直线与圆没有交点，直线与圆相离；

5. 两圆的位置关系

圆心距 d = J® -a 2)2

+(0 -匕2)2

：>ri +r 2=外离二4条公切线； =r i +「2 U 外切㈡3条公切线；

-al

—「2© 内切二1条公切线；

(2) 两圆公共弦所在直线方程

1) 2) 3)

圆心到直线的距离d =

•詁二直线与圆相离

U 直线与圆相切

+

Bb

+C

U 只有一个交点；

U 有两个交点；弦长|AB| =2j r 2 _d 2

(1) 当△ >0时, (2) 当△ =0 时,

(3) 当△ <0时, (1)设两圆 G ：(x-a i )2

+(y —b,)2

与圆 C 2：(x-a 2)2

+(y-b 2)

2 =r 2 ，

0 C d <|「1 —D I = 内含二无公切线；

⑤

圆 G : x +y +0低+斤=0 , 圆 C 2: x +y +D2X +E2y +F2 =0 ,

则(D i -D2 )X +(E I -E 2 )y +(Fi -F 2 )=0为两相交圆公共弦方程. 补充说明:

① k 不存在，验证是否成立 ②

k 存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离 =半径，即

&1 刁0 =k(X 1 岐0)

J br 1-k(a-X 1)|

t-r:— 求解k ，得到切线方程【一定两解】 例1.经过点P(1，— 2)点作圆(x+1)2

+(y —2)=4的切线，则切!R

=

(2)过圆上一点的切线 方程：圆(X —a )2+(y —b )2=r 2

,圆上一点为(x 。，y 。),

线方程为

2

则过此点的切线方程为 (X 0—a )( X —a ) +(y 0— b )( y —b ) = r 特别地，过圆x 2

+y 2

千2

上一点P(X 0,y 0)的切线方程为X 0x+y 0y=r 2

.

例2.经过点P( — 4, — 8)点作圆(X+7) 2+( y+8) 2

=9的切线，则切线方程为

7.切点弦

2 2 2

⑴过O C ： (x-a) +(y-b) =r 外一点P(x 。』。)作0C 的两条切线，切点分别为 A 、B ，则切点弦AB 所在直

①若G 与C 2相切, 则表示其中一条公切线方程; ②若G 与c 2相离,

则表示连心线的中垂线方程

(3) 圆系问题

过两圆C 1 : X 2

+y 2

2 2

+ 0必+ £』+斤=0和C 2 : x+y +D 2x + E 2y + F 2 = 0交点的圆系方程为

x 2

+y 2

2 2

+ 0必+£°+斤+ 几(X +y + D 2

x + E 2y + F 2) = 0 (乙丰-1)

补充:

上述圆系不包括C 2 ；

2)当A =—1时，表示过两圆交点的直线方程(公共弦)

过直线 A 大 B+ y0 =与圆x 2+y 2

+Dx + Ey + F=0交点的圆系方程为

x 2

+ y 2

+ Dx + Ey + F + 兀(Ax + By + C ) = 0

6. 过一点作圆的切线的方程: (1) 过圆外一点的切线：

J R 2

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