小学奥数精讲第五讲 工程问题
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1 甲 乙 丙 90 1 甲 乙 丁 120 1 丙 丁 180
则甲、乙、丙、丁的工作效率之和为： 丙的工作效率为：
1 240
1 ； 80
甲、乙的工作效率之和为：
1 ； 144
1 3 ；还余下工作的 . 4 4
则甲、乙合作 36 天后完成全部工作的 其要合作完成还需要：
1 3 5 5 2 3 1 ,甲的工作效率为： (1 ) ,需要 1 21 甲．甲、乙工作效率之和为： 1 12 21 5 63 63 3 63 21
小时完成. 9. 一项工程，甲乙二人合作 12 天完成，乙丙合作 15 天完成，甲丙合作 20 天完成，求三人合作需 多少天完成？ 【答案】10 天 【解析】设甲、乙、丙的效率分别为 x,y,z.则
1 2 【 解 析 】 由 于 20%乙 甲 ， 所 以 甲：乙 3: 5 ， 30%丙 甲 ， 甲：丙 9:20 ， 所 以 效 率 比 为 3 3
甲：乙：丙 9:15:20 . 令前后天数比为 x : y ， 9 x : (15 x 18 y ) 2700 : 6300 ，所以 x : y 3 :1 ，丙队可
13 1 1 13 1 1 13 1 1 ；乙的工效是： ；丙的工效是： ； 360 36 120 360 30 360 360 40 90
13 1 1 .要确保工程在100天以内完成,只能选择丙队或丁队. 360 45 72
(2)甲、乙、丙、丁每天需要的工程款的总和为
1 ，结果比原计划推迟 20 分钟完成任务，这批零件有多少个? 5
【答案】240 【解析】法 1 ：设原来生产 160 个零件用 x ，则现在用时 x 20
160 x 原效率
160 ( x 20) 新效率 ( x 20) 原效率
4 5
4 所以， x ( x 20) ， x 80 ，原效率 2 ，即 1 分钟生产 2 个零件， 2 小时 120 分钟可 5
作由甲单独做,要用多少小时才能完成? 【答案】21 【解析】若第一种做法的最后一小时是乙做的,那么甲、乙共做了偶数个小时,那么第二种做法中甲、
1 乙用的时间应与第一种做法相同,不会多 小时,与题意不符．所以第一种做法的最后一小时是甲做 3
1 1 1 2 的,第二种做法中最后 小时是甲做的,而这 小时之前的一小时是乙做的,所以乙 甲 甲,得乙 3 3 3 3
第5讲
同步练习：
工程问题（二）
1. 李师傅和徒弟小刘合作加工一批零件，共用了 12 天完成任务.如果李师傅一天的加工的零件和徒 弟小刘三天加工的零件一样多，那么这批零件全部由李师傅一人加工完成需要______天. 【答案】16 【解析】两个人的合作工效为 天完成. 2. 水池有甲乙两水管，单开甲管 3 小时注满水池的一半，接着开放乙管，两管齐放，又经过 2 小时 才注满全池.如果乙管每小时注水 13 立方米，则这个水池的容积是多少立方米? 【答案】 156 【解析】根据题目条件，甲单开 3 小时注满水池的一半 , 则甲开 5 小时注满水池的 乙管 2 小时注满水池的
1 x y 12 1 y z 15 1 x z 20
三式相加再除以 2，可知 x y z
1 .从而可知三人合作需 10 天. 10
10. 一项工程甲单独做 30 小时完成，乙单独做 20 小时完成，先由甲做 1 小时，然后由乙做 2 小时，再由甲做 3 小时，接着由乙做 4 小时……两人如此交替工作，完成任务共需多少小时? 【答案】24
3 1 60 （天）. 4 80
13. 一项工程,如果由甲、乙、丙共同工作,45 天可以完成,需付工程款 2700 元；如果由甲、乙、丁共 同工作,40 天可以完成,需付工程款 2800 元；如果由乙、丙、丁共同工作,36 天可以完成,需付工程款 2880 元；如果由甲、丙、丁共同工作,30 天可以完成,需付工程款 2700 元.现决定将工程承包给某一 工程队,确保工程要在 100 天以内完成,且支付的工程款尽量的少,那么应该将工程交给哪一个工程队, 支付的工程款是多少元?（每个工程队每天付的工程款固定） 【答案】丙队；2700 元 【解析】本题需满足两个条件：(1)100 天之内完成；(2)工程款尽量少
1 3
1 1 ，乙每小时可完成全部工程的 ，因此每连续两小时甲、乙 12 18
【解析】甲每小时完成全部工程的 可完成全部工程的
1 1 5 5 35 ．于是，甲、乙交替工作 14 小时可完成全部工程的 7 ，这 36 36 12 18 36
时全部工程还剩下 1 完成任务共用了 14
\ 5 /
14. 甲、乙、丙三个工程队要完成一项工程，原计划三个队同时做，并且按照三个队工作效率的比
1 2 进行分配.但是若干天之后，甲队因为种种原因退出，把甲队剩下工程的 交给乙队完成， 交给 3 3
丙队完成.如果仍然要按时完成该工程，乙队就必须将工作效率提高 20%，丙队则必须提高 30%.问： 甲、乙、丙原来的工作效率之比是多少？如果工程结束时，按照工作量付给报酬，甲队得到 2700 元，乙队得到 6300 元，那么丙队可以得到多少元？ 【答案】8600
1 1 9 12 1 【解析】 1 1 3 5 2 4 6 1 30 20 30 20 10 1 1 ÷ 3 10 30
甲做了： 1 3 5 3 12 小时 乙做了： 2 4 6 12 小时 共需 12 12 24 小时.
\ 4 /
45 (x y z ) 1 40 (x y w) 1 (1)设甲、乙、丙、丁的工效分别是 x 、 y 、 z 、 w ,总工程量为1,则由题得： 解 36 ( y z w) 1 30 (x z w) 1
得：甲的工效是： 丁的工效是：
1 /天 60
1 1 x ( x 15) 2 1 , x 10 . 艺术小组有 10 人 . 60 60
设艺术小组有 x 人，则
7. 一件工程，甲独做要 12 小时完成，乙独做 18 小时完成．如果先由甲工作 1 小时，然后由乙接替 甲工作 1 小时，再由甲接替乙工作 1 小时， ……, 两人如此交替工作，那么完成任务时共用了 ______小时． 【答案】 14
1 ，乙的工作效率 10
1 比单独做时提高了 ，甲、乙合作 6 小时完成了这项工作，如果甲单独做需要 11 小时，求乙单独 5
做需要几小时? 【答案】18
\ 1 /
【解析】设甲的工作效率为 a，乙的工作效率为 b，令工作量为 1.
（ 1 由题得： 1 1 ） （ a6 1 ） b6 1 10 5 1 1 1 ．解得： b ，所以乙单独工作需要 1 18 个小时． 11 18 18
又 a 11 1，a
5. 甲、乙合作一件工作,由于配合好,甲的工效比单独做时提高 人合作 6 小时,完成全部工作的
1 1 ,乙工效比单独做时提高 ,甲乙两 10 5
13 2 ,第二天乙又单独做了 6 小时,还留下这件工作的 尚未完成.如果 5 30
这件工作始终由甲一人单独来做,需要多少小时? 【答案】33 小时 【解析】乙 6 小时单独完成的工作量是： 1 两人合作 6 小时 , 甲完成的工作量是： 甲单独做时 , 每小时完成的工作量是： 甲单独做这件工作需要的时间是： 1
2700 45 2800 40 2880 36 2700 30 3 100 元,所以丙每天需要 100 70 30 元,共需
30 90 2700 元；丁每天需要 100 60 40 元,共需 40 72 2880 元.所以应选丙队.
13 2 1 ； 30 5 6
2 1 1 1 1 5 6 5 5
1 1 1 6 1 5 10 33
1 33 ( 小时 ) 33
6. 过年了，同学们要亲手做一些工艺品送给敬老院的老人，开始时艺术小组的同学们先做一 天，随后增加 15 位同学和他们一起又做了两天，恰好完成，假设每位同学的工作效率相同， 且一位同学单独完成需要 60 天，那么艺术小组的同学有______位. 【答案】10 【解析】一个人的工效：
得 2700
20 3 26 8600 93
15. 一件工程，按甲、乙、丙各一天的顺序循环工作，恰好按计划整数天工作完毕，如果按丙、甲、 乙各一天的顺序循环工作，比原计划晚 0.5 天工作完毕，如果按乙、丙、甲各一天的顺序循环工作， 比原计划晚 1 天工作完毕，乙单独完成这件工程需要 30 天，甲乙丙三人同时做，需要______天完 成. 【答案】7.5 【解析】易知，经过了前数个循环后，剩下的工作第一次是甲做一天完成的，第二次是丙做一天、 甲做半天完成的，第三次是乙、丙各做一天完成的，所以得知甲做半天=乙做一天=丙做一天，所以 甲乙丙三人同时做，相当于 4 个乙同时做，共需要 30÷ 4=7.5（天）.
1 35 1 1 1 1 没有完成．甲独做全部工程的 需要用 （小时），所以， 36 36 36 12 3 36
1 1 14 （小时）． 3 3
\ 2 /
3 8. 一项工程,甲、乙合作 12 小时可以完成,若第 1 小时甲做,第 2 小时乙做,这样交替轮流做,恰好整 5
1 数小时做完；若第 1 小时乙做,第 2 小时甲做,这样交替轮流做,比上次轮流做要多 小时,那么这项工 3
深化练习 11. 一个水池有三个进水口和一个出水口．同时打开出水口和其中的两个进水口，注满整个水 池分别需要 6 小时、5 小时和 4 小时；同时打开出水口和三个进水口，注满整个水池需要 3 小时．如果同时打开三个进水口，不打开出水口，那么注满整个水池需要______小时． 【答案】
60 23
y z 【解析】设水池的总水量为 1 ，出水口每小时出水 A ，三个进水口每小时进水分别为 x，，
5 . 6
1 1 ，师傅的工效是徒弟工效的 3 倍，所以师傅工效为 ，所以 16 12 16
1 1 . 注水量为 13 2=26( 立方米 ). 则水池容积为 26÷ =156( 立方米 ). 6 6
3. 王师傅计划用 2 小时加工一批零件，当还剩下 160 个零件时，机器出现故障，效率比原来降低了
\ 3 /
1 x y A 6 x z A 1 5 依题意列方程组 y z A 1 4 1 x y z A 3
解得 x y z 需要
60 小时. 23
23 60
12. 修筑一条高速公路，若甲、乙、丙合作，90 天可以完工；若甲、乙、丁合作，120 天可以完工； 若丙丁合作，180 天可以完工；若甲、乙合作 36 天后，剩下的工作由甲、乙、丙、丁合作，还需 要多少天？ 【答案】60 【解析】根据题意，令 （个） 法 2 ：原效：新效 5 : 4 ，原时：新时 4 : 5 ，用原来的速度生产 160 个零件时间：
20 (5 4) 4 80 分，原效率 160 80 2个 / 分． 2 60 2 240个．
4. 甲、乙合作完成一项工作，由于配合得好，甲的工作效率比单独做时提高了
则甲、乙、丙、丁的工作效率之和为： 丙的工作效率为：
1 240
1 ； 80
甲、乙的工作效率之和为：
1 ； 144
1 3 ；还余下工作的 . 4 4
则甲、乙合作 36 天后完成全部工作的 其要合作完成还需要：
1 3 5 5 2 3 1 ,甲的工作效率为： (1 ) ,需要 1 21 甲．甲、乙工作效率之和为： 1 12 21 5 63 63 3 63 21
小时完成. 9. 一项工程，甲乙二人合作 12 天完成，乙丙合作 15 天完成，甲丙合作 20 天完成，求三人合作需 多少天完成？ 【答案】10 天 【解析】设甲、乙、丙的效率分别为 x,y,z.则
1 2 【 解 析 】 由 于 20%乙 甲 ， 所 以 甲：乙 3: 5 ， 30%丙 甲 ， 甲：丙 9:20 ， 所 以 效 率 比 为 3 3
甲：乙：丙 9:15:20 . 令前后天数比为 x : y ， 9 x : (15 x 18 y ) 2700 : 6300 ，所以 x : y 3 :1 ，丙队可
13 1 1 13 1 1 13 1 1 ；乙的工效是： ；丙的工效是： ； 360 36 120 360 30 360 360 40 90
13 1 1 .要确保工程在100天以内完成,只能选择丙队或丁队. 360 45 72
(2)甲、乙、丙、丁每天需要的工程款的总和为
1 ，结果比原计划推迟 20 分钟完成任务，这批零件有多少个? 5
【答案】240 【解析】法 1 ：设原来生产 160 个零件用 x ，则现在用时 x 20
160 x 原效率
160 ( x 20) 新效率 ( x 20) 原效率
4 5
4 所以， x ( x 20) ， x 80 ，原效率 2 ，即 1 分钟生产 2 个零件， 2 小时 120 分钟可 5
作由甲单独做,要用多少小时才能完成? 【答案】21 【解析】若第一种做法的最后一小时是乙做的,那么甲、乙共做了偶数个小时,那么第二种做法中甲、
1 乙用的时间应与第一种做法相同,不会多 小时,与题意不符．所以第一种做法的最后一小时是甲做 3
1 1 1 2 的,第二种做法中最后 小时是甲做的,而这 小时之前的一小时是乙做的,所以乙 甲 甲,得乙 3 3 3 3
第5讲
同步练习：
工程问题（二）
1. 李师傅和徒弟小刘合作加工一批零件，共用了 12 天完成任务.如果李师傅一天的加工的零件和徒 弟小刘三天加工的零件一样多，那么这批零件全部由李师傅一人加工完成需要______天. 【答案】16 【解析】两个人的合作工效为 天完成. 2. 水池有甲乙两水管，单开甲管 3 小时注满水池的一半，接着开放乙管，两管齐放，又经过 2 小时 才注满全池.如果乙管每小时注水 13 立方米，则这个水池的容积是多少立方米? 【答案】 156 【解析】根据题目条件，甲单开 3 小时注满水池的一半 , 则甲开 5 小时注满水池的 乙管 2 小时注满水池的
1 x y 12 1 y z 15 1 x z 20
三式相加再除以 2，可知 x y z
1 .从而可知三人合作需 10 天. 10
10. 一项工程甲单独做 30 小时完成，乙单独做 20 小时完成，先由甲做 1 小时，然后由乙做 2 小时，再由甲做 3 小时，接着由乙做 4 小时……两人如此交替工作，完成任务共需多少小时? 【答案】24
3 1 60 （天）. 4 80
13. 一项工程,如果由甲、乙、丙共同工作,45 天可以完成,需付工程款 2700 元；如果由甲、乙、丁共 同工作,40 天可以完成,需付工程款 2800 元；如果由乙、丙、丁共同工作,36 天可以完成,需付工程款 2880 元；如果由甲、丙、丁共同工作,30 天可以完成,需付工程款 2700 元.现决定将工程承包给某一 工程队,确保工程要在 100 天以内完成,且支付的工程款尽量的少,那么应该将工程交给哪一个工程队, 支付的工程款是多少元?（每个工程队每天付的工程款固定） 【答案】丙队；2700 元 【解析】本题需满足两个条件：(1)100 天之内完成；(2)工程款尽量少
1 3
1 1 ，乙每小时可完成全部工程的 ，因此每连续两小时甲、乙 12 18
【解析】甲每小时完成全部工程的 可完成全部工程的
1 1 5 5 35 ．于是，甲、乙交替工作 14 小时可完成全部工程的 7 ，这 36 36 12 18 36
时全部工程还剩下 1 完成任务共用了 14
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14. 甲、乙、丙三个工程队要完成一项工程，原计划三个队同时做，并且按照三个队工作效率的比
1 2 进行分配.但是若干天之后，甲队因为种种原因退出，把甲队剩下工程的 交给乙队完成， 交给 3 3
丙队完成.如果仍然要按时完成该工程，乙队就必须将工作效率提高 20%，丙队则必须提高 30%.问： 甲、乙、丙原来的工作效率之比是多少？如果工程结束时，按照工作量付给报酬，甲队得到 2700 元，乙队得到 6300 元，那么丙队可以得到多少元？ 【答案】8600
1 1 9 12 1 【解析】 1 1 3 5 2 4 6 1 30 20 30 20 10 1 1 ÷ 3 10 30
甲做了： 1 3 5 3 12 小时 乙做了： 2 4 6 12 小时 共需 12 12 24 小时.
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45 (x y z ) 1 40 (x y w) 1 (1)设甲、乙、丙、丁的工效分别是 x 、 y 、 z 、 w ,总工程量为1,则由题得： 解 36 ( y z w) 1 30 (x z w) 1
得：甲的工效是： 丁的工效是：
1 /天 60
1 1 x ( x 15) 2 1 , x 10 . 艺术小组有 10 人 . 60 60
设艺术小组有 x 人，则
7. 一件工程，甲独做要 12 小时完成，乙独做 18 小时完成．如果先由甲工作 1 小时，然后由乙接替 甲工作 1 小时，再由甲接替乙工作 1 小时， ……, 两人如此交替工作，那么完成任务时共用了 ______小时． 【答案】 14
1 ，乙的工作效率 10
1 比单独做时提高了 ，甲、乙合作 6 小时完成了这项工作，如果甲单独做需要 11 小时，求乙单独 5
做需要几小时? 【答案】18
\ 1 /
【解析】设甲的工作效率为 a，乙的工作效率为 b，令工作量为 1.
（ 1 由题得： 1 1 ） （ a6 1 ） b6 1 10 5 1 1 1 ．解得： b ，所以乙单独工作需要 1 18 个小时． 11 18 18
又 a 11 1，a
5. 甲、乙合作一件工作,由于配合好,甲的工效比单独做时提高 人合作 6 小时,完成全部工作的
1 1 ,乙工效比单独做时提高 ,甲乙两 10 5
13 2 ,第二天乙又单独做了 6 小时,还留下这件工作的 尚未完成.如果 5 30
这件工作始终由甲一人单独来做,需要多少小时? 【答案】33 小时 【解析】乙 6 小时单独完成的工作量是： 1 两人合作 6 小时 , 甲完成的工作量是： 甲单独做时 , 每小时完成的工作量是： 甲单独做这件工作需要的时间是： 1
2700 45 2800 40 2880 36 2700 30 3 100 元,所以丙每天需要 100 70 30 元,共需
30 90 2700 元；丁每天需要 100 60 40 元,共需 40 72 2880 元.所以应选丙队.
13 2 1 ； 30 5 6
2 1 1 1 1 5 6 5 5
1 1 1 6 1 5 10 33
1 33 ( 小时 ) 33
6. 过年了，同学们要亲手做一些工艺品送给敬老院的老人，开始时艺术小组的同学们先做一 天，随后增加 15 位同学和他们一起又做了两天，恰好完成，假设每位同学的工作效率相同， 且一位同学单独完成需要 60 天，那么艺术小组的同学有______位. 【答案】10 【解析】一个人的工效：
得 2700
20 3 26 8600 93
15. 一件工程，按甲、乙、丙各一天的顺序循环工作，恰好按计划整数天工作完毕，如果按丙、甲、 乙各一天的顺序循环工作，比原计划晚 0.5 天工作完毕，如果按乙、丙、甲各一天的顺序循环工作， 比原计划晚 1 天工作完毕，乙单独完成这件工程需要 30 天，甲乙丙三人同时做，需要______天完 成. 【答案】7.5 【解析】易知，经过了前数个循环后，剩下的工作第一次是甲做一天完成的，第二次是丙做一天、 甲做半天完成的，第三次是乙、丙各做一天完成的，所以得知甲做半天=乙做一天=丙做一天，所以 甲乙丙三人同时做，相当于 4 个乙同时做，共需要 30÷ 4=7.5（天）.
1 35 1 1 1 1 没有完成．甲独做全部工程的 需要用 （小时），所以， 36 36 36 12 3 36
1 1 14 （小时）． 3 3
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3 8. 一项工程,甲、乙合作 12 小时可以完成,若第 1 小时甲做,第 2 小时乙做,这样交替轮流做,恰好整 5
1 数小时做完；若第 1 小时乙做,第 2 小时甲做,这样交替轮流做,比上次轮流做要多 小时,那么这项工 3
深化练习 11. 一个水池有三个进水口和一个出水口．同时打开出水口和其中的两个进水口，注满整个水 池分别需要 6 小时、5 小时和 4 小时；同时打开出水口和三个进水口，注满整个水池需要 3 小时．如果同时打开三个进水口，不打开出水口，那么注满整个水池需要______小时． 【答案】
60 23
y z 【解析】设水池的总水量为 1 ，出水口每小时出水 A ，三个进水口每小时进水分别为 x，，
5 . 6
1 1 ，师傅的工效是徒弟工效的 3 倍，所以师傅工效为 ，所以 16 12 16
1 1 . 注水量为 13 2=26( 立方米 ). 则水池容积为 26÷ =156( 立方米 ). 6 6
3. 王师傅计划用 2 小时加工一批零件，当还剩下 160 个零件时，机器出现故障，效率比原来降低了
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1 x y A 6 x z A 1 5 依题意列方程组 y z A 1 4 1 x y z A 3
解得 x y z 需要
60 小时. 23
23 60
12. 修筑一条高速公路，若甲、乙、丙合作，90 天可以完工；若甲、乙、丁合作，120 天可以完工； 若丙丁合作，180 天可以完工；若甲、乙合作 36 天后，剩下的工作由甲、乙、丙、丁合作，还需 要多少天？ 【答案】60 【解析】根据题意，令 （个） 法 2 ：原效：新效 5 : 4 ，原时：新时 4 : 5 ，用原来的速度生产 160 个零件时间：
20 (5 4) 4 80 分，原效率 160 80 2个 / 分． 2 60 2 240个．
4. 甲、乙合作完成一项工作，由于配合得好，甲的工作效率比单独做时提高了