函数的奇偶性典型例题

函数的奇偶性典型例题

【知识要点】

一、关于函数的奇偶性的定义

定义说明：对于函数的定义域内任意一个：

⑴ 是偶函数；⑵ 奇函数；

★函数的定义域关于原点对称是函数为奇（偶）函数的 条件。

二、函数的奇偶性的几个性质

①、对称性：奇（偶）函数的定义域关于 对称；

②、整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内 一个都

必须成立；

③、可逆性： 是偶函数；奇函数；

④、等价性：；

⑤、奇函数的图像关于 对称，偶函数的图像关于 对称；

⑥、根据函数奇偶性可将函数分类为四类：

。

三、函数的奇偶性的判断

判断函数的奇偶性大致有下列两种方法：

第一种方法：利用奇、偶函数的定义，主要考查与的关系，判断步骤如

下：

练1、判断下列各函数的奇偶性

⑴、 ⑵、

⑶、 ⑷、

⑸、 ⑹、

第二种方法：利用一些已知函数的奇偶性及下列准则（前提条件为两个

函数的定义域交集不为空集）：①两个奇函数的代数和是 函

数；②两个偶函数的和是 函数；③一个奇函数与一个偶函数的

和是 函数；④两个奇函数的积为 函数；⑤两个偶

函数的积为 函数；⑥一个奇函数与一个偶函数的积是

函数。

四、关于函数的奇偶性的几个命题的判定。（判断下列命题是否正

确，并说明理由。）

命题1 函数的定义域关于原点对称，是函数为奇函数或偶函数的必要

不充分条件。（ ）

命题2 两个奇函数的和或差仍是奇函数；两个偶函数的和或差仍是偶

函数。 （ ）

命题3 若函数f(x)的定义域关于原点对称，则函数f(x)+f(-x)是偶函

数，函数f(x)-f(-x)

是奇函数。 （ ）

命题4 任何一个定义在R上的函数都可以表示为一个奇函数与一个偶

函数的和 （ ）

命题5 已知函数f(x)是奇函数，且f(0)有定义，则f(0)=0。 （ ）

命题6 已知f(x)是奇函数或偶函数，方程f(x)=0有实根，那么方程f(x)=0的所有实根之和为零；若f(x)是定义在实数集上的奇函数，则方程f(x)=0有奇数个实根。 （ ）

【关于函数奇偶性的简单应用】

一、利用定义证明或判断函数的奇偶性

例1：判断下列函数的奇偶性。

（1） (2)

二、利用奇偶性求函数值

例2：（1）已知且，那么_________

（2）已知且，那么_________

（3）已知且，那么___________

三、利用奇偶性求解析式

例3：（1）已知为上的奇函数，当时，，求的解析式？

（2）已知为偶函数，，求的解

析式？

（3）已知函数为偶函数， 为奇函数，它们的定义域均为，

且，求的解析式？

四、利用奇偶性求参数的值

例4：（1）已知函数在区间上是偶函数，则___________；___________

（2）若是奇函数，则_______

（3）已知函数，若为奇函数，则____________

五、利用图像解题

例5：设奇函数的定义域为。若当时,的图像如图,则不等式（1）的解是 （2）的解是

（2）的解是

六、利用奇偶性比较大小

例6：（1）已知奇函数在区间上是增函数且最小值为5，那么函数在区

间上是（）

A.增函数且最小值为－5 B．增函数且最大值为－5

C．减函数且最小值为－5 D．减函数且最大值为－5

（2）已知偶函数在上为减函数，比较，，的大小。

函数奇偶性习题精选

一、选择题

1．若是奇函数，则其图象关于（）

A．轴对称 B．轴对称 C．原点对称 D．直线对称

2．若函数是奇函数，则下列坐标表示的点一定在函数图象上的是（）A．B．C．D．

3．下列函数中为偶函数的是（）

A． B． C． D．

4. 如果奇函数在上是增函数，且最小值是5，那么在上是（ ）

A．增函数，最小值是-5 B．增函数，最大值是-5

C．减函数，最小值是-5 D．减函数，最大值是-5

5. 已知函数是奇函数，则的值为（ ）

A． B． C． D．

6.已知偶函数在上单调递增，则下列关系式成立的是( )

A． B．

C． D．

7.下列说法错误的是（）

A.奇函数的图像关于原点对称

B. 偶函数的图像关于y轴对称

C.定义在R上的奇函数满足

D.定义在R上的偶函数满足

8.下列函数为偶函数的是（）

A. B. C. D.

9.已知函数为偶函数，那么是（）

A. 奇函数

B. 偶函数

C. 即奇又偶函数

D.非奇非偶函数

10.若偶函数在上是增函数，则与的大小关系是（）

A. B. C. D.

11．设是定义在上的偶函数,且在上是增函数,则与

）的大小关系是（ ）

A． B．

C． D．与的取值无关若函数

二、填空题

1.若为奇函数，则b= .

2.若定义在区间上的函数为偶函数，则a= .

3．若函数是奇函数，，则的值为____________ .

4．若函数是偶函数，且，则与的大小关系为

__________________________.

5．已知是定义在上的奇函数，当时，的图象如右图所示，那么f (x)的值域是.

7．已知分段函数是奇函数，当时的解析式为，则这个函数在区间上的解析式为．

8.若是偶函数，是奇函数，且，则=____________

= .

9.若是偶函数，则从小到大的顺序是 .

10、函数

在

上是减函数,求

的取值集合。

11、若函数f(x)=ax,有f(5)=3则f(－5)= 。

三、解答题

1. 判断下列函数是否具有奇偶性：

(1)； (2) ；

(3)； (4) ；

(5) . （6）

（7） (8)

(9) (10)

(11)