线性规划问题经典习题

线性规划问题

1线性规划下的非线性问题

1.1线性规划下的距离问题

已知

220

240

330

x y

x y

x y

+-≥

⎧

⎪

-+≥

⎨

⎪--≤

⎩

，当x，y取何值时（1

取得最大值？（2）()22

2

x y

++取

得最小值？

1.2线性规划下的斜率问题

已知

220

240

330

x y

x y

x y

+-≥

⎧

⎪

-+≥

⎨

⎪--≤

⎩

，（1）当x，y取何值时，

1

1

y

x

+

+

取得最大值？（2）求

3

22

x

y

-

-

取值范围。

1.3线性规划下的向量问题

（1）点P（x，y）满足不等式组

10

570

2

x y

x y

y

-+≥

⎧

⎪

--≤

⎨

⎪≥-

⎩

，i为x轴正方向上的单位向量，则向量OP

在向量i方向上的投影的最大值是____________

（2）

已知(A，O是原点，点P（x，y）

的坐标满足

20

y

x

y

-<

-+<

⎨

⎪≥

⎪⎩

，则

OP OA

OP

⋅

的

取值范围是______________

1.4线性规划下的分式函数问题

（1）如果实数a，b满足条件

20

10

1

a b

b a

a

+-≥

⎧

⎪

--≤

⎨

⎪≤

⎩

，则

2

2

a b

a b

+

+

的最大值是．

（2）设实数x，y满足

20

250

20

x y

x y

y

--≤

⎧

⎪

+-≥

⎨

⎪-≤

⎩

，则22

x y

u

xy

+

=的取值范围是．

1.5线性规划下的抛物线问题

在平面直角坐标系中，不等式组

0,

0,

,

x y

x y

x a

+≥

⎧

⎪

-≥

⎨

⎪≤

⎩

（a为常数），表示的平面区域的面积是8，则

2

x y

+的最小值是。

2.非线性规划下的线性问题

（1）实数x ，y 满足2222101212x y x y x y ⎧+--+≥⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩

，则x+y 取得最小值时，点（x ，y ）的个数

是 ．

（2）定义[]x 表示不超过x 的最大整数，又设x ，y 满足方程[][]313435

y x y x ⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩，如果x 不

是整数，则x+y 的取值范围是 ．

3.非线性规划下的非线性问题

(1)已知钝角三角形ABC 的最大边长为2，其余两边长为x ，y ，则以（x ，y ）为坐标的点表示平面区域的面积是 ．

(2)已知实数x ，y 满足不等式组2262902312x y x y x y ⎧+--+≤⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩

，

则

取值范围是 ． 4线性规划的逆问题

4.1线性约束条件中的参数问题

（1）已知x ，y 满足140x x y ax by c ≥⎧⎪+≤⎨⎪++≤⎩

，且目标函数2z x y =+的最大值是7，最小值是1，则_______a b c a

++= (2)设m 为实数，若{}22250(,)30(,)250x y x y x x y x y mx y ⎧⎫-+≥⎧⎪⎪⎪-≥⊆+≤⎨⎨⎬⎪⎪⎪+≥⎩⎩

⎭，则m 的取值范围

是 ．

4.2目标函数中的参数问题

（1）已知变量x ，y 满足的约束条件为23033010x y x y y +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩

，若目标函数z=ax+y （其中a>0）

仅在点（3，0）处取得最大值，则a 的取值范围是 ．

（2）已知x ，y 满足4335251x y x y x -≤-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩

，设z=ax+y （其中a>0），若当z 取得最大值时对应的

点有无数多个，求a 的值。

（3）在平面直角坐标系xOy ，已知平面区域{(,)|1,A x y x y =+≤且0,0}x y ≥≥，则平

面区域{(,)|(,)}B x y x y x y A =+-∈的面积为 ．

(4)．若00a b ，≥≥，且当001x y x y ⎧⎪⎨⎪+⎩

，，≥≥≤时，恒有1ax by +≤，则以a b ，为坐标的点()P a b ，所形成的平面区域的面积等于 ．