西北工业大学-数字信号处理-第一章1
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其均值向量 EX Ex1,Ex2, ,ExN T
自协方差矩阵CovX E X E X T X E X 互协方差矩阵 CovX,Y E X EX T Y EY
（2）随机序列可以用它的统计平均来表征； （3）平稳随机序列是无限持续期，无限能量的时
间序列。
2020/10/11
7
§1.2 随机信号的时频 域（统计）表达
2020/10/11
8
一、平稳过程与 严平稳过程
2020/10/11
9
严平稳随机序列
, FX (x1, x2, , xn;t1,t2, ,tn ) FX (x1, x2, , xn;t1 ,t2 , ,tn )
2020/10/11
30
性质5：相关函数的极大值
rxx m rxx 0 Cxx m Cxx 0
2020/10/11
31
性质5证明:
E
x
n
x
n
m
2
0
E xn x* n xn m x* n m xn x* n m x* n xn m
2rxx 0 rxx m rxx m
其统计特性与所选取的时间起点无关。
2020/10/11
10
（宽）平稳随机序列
E[x(n)] mX rxx (n1, n2 ) E[x*(n1)x(n2 )] rxx (n2 n1) E[x2 (n)]
2020/10/11
11
二．统计平均量
2020/10/11
12
l 阶原点矩
离散信号 连续信号
等
信号模型
2020/10/11
4
随机信号的概念
随机信号是状态、时间的二元函数 （1）t定，一个随机变量 （2）s定，一个时间函数 （3）t, s定，确定值 （4）t, s不定，随机信号
2020/10/11
5
S
0
2020/10/11
t
6
2．随机信号的特点
（1）随机序列中的任何一个点上的取值都是不能 事先精确确定的随机变量；
2rxx 0 rxx m rx*x m 0
rxx m rxx m e j rx*x m rxx m e j rxx 0 rxx m cos rxx 0 rxx m
2020/10/11
32
性质6： 若 y n xn k
则 ryy m rxx m Cyy m Cxx m
2020/10/11
第一章
时域离散随机信号的分析
1
§1.1 引 言
2020/10/11
2
1．什么是随机信号？
收音机接收的信号 电阻上的热噪声电压 飞机轰炸目标的着地点 抛硬币的观测结果
2020/10/11
3
随机信号的描述方法
概率分布函数，概率密度函数
{ 随机信号
统计平均量：mx
,
2 x
,
rxx
Cxy m E xn mx *
ynm my
rxy m m*xmy
2020/10/11
22
一般信号的处理
信号 预处理 均值为零的处理 后续处理
2020/10/11
23
三.自相关函数与 自协方差函数的性质
2020/10/11
24
性质1 :相关函数与协方差函数的关系
Cxx m rxx m mx 2
Cxy m rxy m m*xmy
当 mx 0
Cxx m rxx m Cxy m rxy m
2020/10/11
25
性质2：均方值、方差与相关函数和协方差函数
rxx
0
E
xn
2
Cxx 0 rxx 0 mx 2
E
xn
2
mx
2
2 x
2020/10/11
26
性质3：自相关、自协方差函数共轭对称性
2020/10/11
15
常用的数字特征量
均值 ： mxn Exn xi pxi
i
均方值： E xn2 xi2 p xi i
方差：
2 xn
E
xn
E xn
2
E xn2 mx2n
直流分量 平均功率 交流功率
2020/10/11
16
自相关函数的定义
rxx m E xn x* n m rx'x m E xn x* n m rx''x m E x* n xn m
rx*x m rxx m Cx*x m Cxx m
2020/10/11
27
性质4：互相关、互协方差函数的共轭对称 性
rx*y m ryx m
Cx*y m Cyx m
2020/10/11
28
性质4证明:
rx*y m E x* n y n m *
E xn y* n m ryx m
2020/10/11
33
性质7：无穷远点的协方差函数和相关函数
lim
m
Cxx
m
lim
mwk.baidu.com
rxx
m
mx
2
0
lim
m
rxy
m
m*xmy
lim
m
Cxy
m
0
lim
m
rxx
m
E xn*xnm E xn* E
xnm
mx 2
2020/10/11
34
如果随机过程为一向量 X= x1,x2 , , xN T
2020/10/11
17
实平稳信号
rxx m rx'x m rx''x m
rxx m E x x n1 n1m
x1x2 p x1 , x2 ; m dx1dx2
2020/10/11
18
自协方差函数
Cxx (m) E (xn1 mx )*(xn2 mx ) E (xn1 mx )*(xn1m mx )
E xnl xil p xi i
E xnl
xl p(x)dx
2020/10/11
13
l 阶中心矩
离散信号
E
xn
E
xn
l
i
xi
E
xi
l
p
xi
连续信号
E (xn E[x])l
(x E[x])l p(x)dx
2020/10/11
14
特征函数
C p xe jxdx
rxx m mx 2
2020/10/11
19
对于均值为零的随机过程 rxx m Cxx m
自相关函数或自协方差函数是时域内表 征一个随机过程最重要的统计量。
2020/10/11
20
互相关函数
rxy m E xn* ynm
x* y p x, y;mdxdy
2020/10/11
21
互协方差函数
2020/10/11
29
Cx*y m E (xn mx )*( yn m my ) *
rxy m m*xmy m*xmy m*xmy *
rx*y m mxm*y
Cyx m E ( y n my )*(xn m mx ) ryx m m*ymx m*ymx m*ymx rx*y m mxm*y
自协方差矩阵CovX E X E X T X E X 互协方差矩阵 CovX,Y E X EX T Y EY
（2）随机序列可以用它的统计平均来表征； （3）平稳随机序列是无限持续期，无限能量的时
间序列。
2020/10/11
7
§1.2 随机信号的时频 域（统计）表达
2020/10/11
8
一、平稳过程与 严平稳过程
2020/10/11
9
严平稳随机序列
, FX (x1, x2, , xn;t1,t2, ,tn ) FX (x1, x2, , xn;t1 ,t2 , ,tn )
2020/10/11
30
性质5：相关函数的极大值
rxx m rxx 0 Cxx m Cxx 0
2020/10/11
31
性质5证明:
E
x
n
x
n
m
2
0
E xn x* n xn m x* n m xn x* n m x* n xn m
2rxx 0 rxx m rxx m
其统计特性与所选取的时间起点无关。
2020/10/11
10
（宽）平稳随机序列
E[x(n)] mX rxx (n1, n2 ) E[x*(n1)x(n2 )] rxx (n2 n1) E[x2 (n)]
2020/10/11
11
二．统计平均量
2020/10/11
12
l 阶原点矩
离散信号 连续信号
等
信号模型
2020/10/11
4
随机信号的概念
随机信号是状态、时间的二元函数 （1）t定，一个随机变量 （2）s定，一个时间函数 （3）t, s定，确定值 （4）t, s不定，随机信号
2020/10/11
5
S
0
2020/10/11
t
6
2．随机信号的特点
（1）随机序列中的任何一个点上的取值都是不能 事先精确确定的随机变量；
2rxx 0 rxx m rx*x m 0
rxx m rxx m e j rx*x m rxx m e j rxx 0 rxx m cos rxx 0 rxx m
2020/10/11
32
性质6： 若 y n xn k
则 ryy m rxx m Cyy m Cxx m
2020/10/11
第一章
时域离散随机信号的分析
1
§1.1 引 言
2020/10/11
2
1．什么是随机信号？
收音机接收的信号 电阻上的热噪声电压 飞机轰炸目标的着地点 抛硬币的观测结果
2020/10/11
3
随机信号的描述方法
概率分布函数，概率密度函数
{ 随机信号
统计平均量：mx
,
2 x
,
rxx
Cxy m E xn mx *
ynm my
rxy m m*xmy
2020/10/11
22
一般信号的处理
信号 预处理 均值为零的处理 后续处理
2020/10/11
23
三.自相关函数与 自协方差函数的性质
2020/10/11
24
性质1 :相关函数与协方差函数的关系
Cxx m rxx m mx 2
Cxy m rxy m m*xmy
当 mx 0
Cxx m rxx m Cxy m rxy m
2020/10/11
25
性质2：均方值、方差与相关函数和协方差函数
rxx
0
E
xn
2
Cxx 0 rxx 0 mx 2
E
xn
2
mx
2
2 x
2020/10/11
26
性质3：自相关、自协方差函数共轭对称性
2020/10/11
15
常用的数字特征量
均值 ： mxn Exn xi pxi
i
均方值： E xn2 xi2 p xi i
方差：
2 xn
E
xn
E xn
2
E xn2 mx2n
直流分量 平均功率 交流功率
2020/10/11
16
自相关函数的定义
rxx m E xn x* n m rx'x m E xn x* n m rx''x m E x* n xn m
rx*x m rxx m Cx*x m Cxx m
2020/10/11
27
性质4：互相关、互协方差函数的共轭对称 性
rx*y m ryx m
Cx*y m Cyx m
2020/10/11
28
性质4证明:
rx*y m E x* n y n m *
E xn y* n m ryx m
2020/10/11
33
性质7：无穷远点的协方差函数和相关函数
lim
m
Cxx
m
lim
mwk.baidu.com
rxx
m
mx
2
0
lim
m
rxy
m
m*xmy
lim
m
Cxy
m
0
lim
m
rxx
m
E xn*xnm E xn* E
xnm
mx 2
2020/10/11
34
如果随机过程为一向量 X= x1,x2 , , xN T
2020/10/11
17
实平稳信号
rxx m rx'x m rx''x m
rxx m E x x n1 n1m
x1x2 p x1 , x2 ; m dx1dx2
2020/10/11
18
自协方差函数
Cxx (m) E (xn1 mx )*(xn2 mx ) E (xn1 mx )*(xn1m mx )
E xnl xil p xi i
E xnl
xl p(x)dx
2020/10/11
13
l 阶中心矩
离散信号
E
xn
E
xn
l
i
xi
E
xi
l
p
xi
连续信号
E (xn E[x])l
(x E[x])l p(x)dx
2020/10/11
14
特征函数
C p xe jxdx
rxx m mx 2
2020/10/11
19
对于均值为零的随机过程 rxx m Cxx m
自相关函数或自协方差函数是时域内表 征一个随机过程最重要的统计量。
2020/10/11
20
互相关函数
rxy m E xn* ynm
x* y p x, y;mdxdy
2020/10/11
21
互协方差函数
2020/10/11
29
Cx*y m E (xn mx )*( yn m my ) *
rxy m m*xmy m*xmy m*xmy *
rx*y m mxm*y
Cyx m E ( y n my )*(xn m mx ) ryx m m*ymx m*ymx m*ymx rx*y m mxm*y