25.2 用列举法求概率(1)直接列举和列表法
《25.2 第1课时 运用直接列举或列表法求概率》教案、导学案、同步练习
25．2 用列举法求概率《第1课时运用直接列举或列表法求概率》教案【教学目标】1．用列举法求较复杂事件的概率．2．理解“包含两步并且每一步的结果为有限多个情形”的意义．3．用列表法求概率．【教学过程】一、情境导入希罗多德在他的巨著《历史》中记录，早在公元前1500年，埃及人为了忘却饥饿，经常聚集在一起掷骰子，游戏发展到后来，到了公元前1200年，有了立方体的骰子．二、合作探究探究点一：用列表法求概率【类型一】摸球问题一只不透明的袋子中装有两个完全相同的小球，上面分别标有1，2两个数字，若随机地从中摸出一个小球，记下号码后放回，再随机地摸出一个小球，则两次摸出小球的号码之积为偶数的概率是( )A.14B.13C.12D.34解析：先列表列举出所有可能的结果，再根据概率计算公式计算．列表分析如下：由列表可知，两次摸出小球的号码之积共有4种等可能的情况，号码之积为偶数共有3种：(1，2)，(1，2)，(2, 2)，∴P＝34，故选D.【类型二】学科内综合题从0，1，2这三个数中任取一个数作为点P的横坐标，再从剩下的两个数中任取一个数作为点P的纵坐标，则点P落在抛物线y＝－x2＋x＋2上的概率为________．解析：用列表法列举点P坐标可能出现的所有结果数和点P落在抛物线上的结果数，然后代入概率计算公式计算．用列表法表示如下：共有6种等可能结果，其中点P落在抛物线上的有(2，0)，(0，2)，(1，2)三种，故点P落在抛物线上的概率是36＝12，故答案为12.方法总结：用列表法求概率时，应注意利用列表法不重不漏地表示出所有等可能的结果.【类型三】学科间综合题如图，每个灯泡能否通电发光的概率都是0.5，当合上开关时，至少有一个灯泡发光的概率是( )A．0.25 B．0.5C．0.75 D．0.95解析：先用列表法表示出所有可能的结果，再根据概率计算公式计算．列表表示所有可能的结果如下：根据上表可知共有4种等可能的结果，其中至少有一个灯泡发光的结果有3种，∴P(至少有一个灯泡发光)＝34，故选择C.方法总结：求事件A的概率，首先列举出所有可能的结果，并从中找出事件A包含的可能结果，再根据概率公式计算．【类型四】判断游戏是否公平甲、乙两名同学做摸球游戏，他们把三个分别标有1，2，3的大小和形状完全相同的小球放在一个不透明的口袋中．(1)求从袋中随机摸出一球，标号是1的概率；(2)从袋中随机摸出一球然后放回，摇匀后再随机摸出一球，若两次摸出的球的标号之和为偶数时，则甲胜；若两次摸出的球的标号之和为奇数时，则乙胜．试分析这个游戏是否公平？请说明理由．解析：(1)直接利用概率定义求解；(2)先用列表法求出概率，再利用概率判断游戏的公平性．解：(1)P(标号是1)＝1 3.(2)这个游戏不公平，理由如下：把游戏可能出现标号的所有可能性(两次标号之和)列表如下：∴P(和为偶数)＝59，P(和为奇数)＝49，二者不相等，说明游戏不公平．方法总结：用列举法解概率问题中，可以采用列表法．对于一次实验需要分两个步骤完成的，用两种方法都可以，以列表法为主．判断游戏是否公平，只需求出双方获胜的概率．三、板书设计【教学反思】教学过程中，强调在生活、学习中的很多方面均用到概率的知识，学习概率要从身边的现象开始.《第1课时用直接列举法或列表法求概率》导学案【学习目标】：知识与技能掌握用列表法求事件的概率.过程与方法通过对“应用一般的列举法求概率”的探究，体会获得事件发生的概率的方法，培养分析、判断的能力。
人教版数学九上25.2 用列举法求概率(精品课件共2课时52页)
于4为事件B. () = 16
第1次
第2次
1
2
3
4
1
2
3
4
(1,1)
(2,1)
(3,1)
(4,1)
(1,2)
(2,2 )
(3,2)
(4,2)
(1,3)
15
5
2.一个不透明的袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为
1,2,3,4.随机地摸取一个小球然后放回，再随机地摸出一个小球.
求下列事件的概率：
(1)两次取出的小球标号相同；
(2)两次取出的小球标号和等于4.
解:(1)记两次取出的小球标号
4
1
相同为事件A. () = 16 = 4
(2)记两次取出的小球标号和等
一共有结果
4种
一正一反的结果 2种
2
1
P(老师赢) = = .
4
2
2
1
P(学生赢)= = .
4
2
两面一样的结果 2种
答：因为P(老师赢) = P(学生赢)，
所以这个游戏公平.
“同时掷两枚质地均匀的硬币”与“先后两次掷
一枚硬币”，这两种试验的所有可能结果一样吗？
第一次 第二次 所有可能的结果
(正,正)
的m种结果)求事件发生的概率的方法,我们称为直接列举法.
注意:(1)为保证结果不重不漏，直接列举时,要有一定的顺序性.
(2)用列举法求概率的前提条件有两个:
①所有可能出现的结果是有限个;
②每个结果出现的可能性相等.
(3)所求概率是一个准确数，一般用分数表示.
新知探究 跟踪训练
例1 若我们把十位上的数字比个位和百位上数字都小的三位数称
25.2.1 运用直接列举或列表法求概率
=
7
18
1.小明和小华参加社会实践活动，随机选择“打扫社区卫生”和“参加社
会调查”其中一项那么两人同时选择“参加社会调查”的概率为( A )
1
A.
4
1
B.
3
1
C.
2
3
D.
4
2.有A，B两个不透明的口袋，每个口袋里装有两个相同的球，A袋中的两个
球上分别写了“细”、“致”的字样,B袋中的两个球上分别写了“信”、
“心”的字样,从每个口袋里各摸出一个球，刚好能组成“细心”字样的概
率是( B )
1
A.
3
1
B.
4
2
C.
3
3
D.
4
3.若从长度分别为3、5、6、9的四条线段中任取三条,则能组成三角形的概
率为( A )
1
A.
2
3
B.
4
1
C.
3
1
D.
4
4.学校组织校外实践活动，安排给九年级三辆车，小明与小红都可以从这
三辆车中任选一辆搭乘,小明与小红同车的概率是( C )
(1)两枚硬币全部正面向上；
(2)两枚硬币全部反面向上；
(3)一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上.
上述这种列举法我们称为直接列举法，即把事件可能出现的结果一一列出.
【适用范围】直接列举法比较适合用于最多涉及两个试验因素或分两步
进行的试验，且事件总结果的种数比较少的等可能性事件.
上述这种列举法我们称为直接列举法，即把事件可能出现的结果一一列出.
【点睛】当一次试验要涉及两个因素（例如掷两个骰子）并且可能出现
11
所以P(C)=
36
25.2用列举法求概率(1)
知识回顾：
盒子里装有3个红球和1个白球，它们除颜 色外完全相同，你从盒子中任意摸出一球。 (1)你认为摸出的球可能是什么颜色？ （2）如果将每个球都编上号码，分别记为 红1、红2、红3、白1，那么摸到每一个球 的机会均等吗？ （3）摸到红球的概率是多大？
学习目标:
1.掌握列举法求概率的条件。 2.理解“包含两步，并且每一步的结 果为有限多个情形”的意义。 3.掌握用列举法求事件的概率。
自学指导:
看课本p133-134例1例2及练习前面的内容， 注意： 1、分清例1中A区B区中小方格数目及含地 雷的数目，再分别求出在A区B区的概率。 2、例2中“同时掷两枚硬币”与先后掷硬币 两次“的结果是否相同？ 自学的过程中，如有不懂，可小声请教同桌 或老师。
自学展示：
8 1、A区域共有 ____个方格， 其中有地雷____个，所以 3 在A区域遇到地雷的概率是 3/8 72 ______，B区域共有____ 个 小方格，B区域内共有___ 7 个地雷，所以在B区域内遇 到地雷的概率是______,由 7/72 3/8>7/72 于________ ，所以第二部 应踩在______ 区域。 B
课堂小结:
一、等可能性事件的两个特征：
1.出现的结果有限多个； 2.各结果发生的可能性相等； 二、列举法求概率． 1.列举法就是把要数的对象一一列举出来分析 求解的方法． 2．利用列举法求概率的关键在于正确列举出试 验结果的各种可能性，而列举的方法通常有直 接分类列举、列表、画树形图（下节课时将学 习）等。
A区域
3
B区域
2、同时掷两枚硬币所产生可能性共有4 正正、正反、反正、反反 种，它们是___________________， 其中两枚全部正面朝上的可能性只有 1 ______种ห้องสมุดไป่ตู้我们把两枚硬币全部正面 1/4 朝上记着事件A，则P(A)= ______。
25.2 第1课时 用列举法求概率课件-2024-2025学年人教版数学九年级上册
3.C [解析] 列表如下:
甲盒
和
1
2
3
乙盒
4
5
6
7
5
6
7
8
6
7
8
9
由表可知,共有9种等可能的结果,其中编号之和大于6的结
果有6种,所以P(编号之和大于6)=69 = 23.
谢 谢 观 看！
数学 九年级上册 人教版
第 二
概率初步
十
五
25.2 第1课时 用列举用列举法求概率
探究与应用
课堂小结与检测
探
活动1 能用直接列举法求概率
究 与
例1 (教材典题)同时抛掷两枚质地均匀的硬币,求下列事件
应 的概率:
用
(1)两枚硬币全部正面向上;
解:列举抛掷两枚硬币所能产生的全部结果,它们是:正正,正反,
B.13
C.14
D.15
测
课 3.甲盒中有编号分别为1,2,3的3个完全相同的乒乓球,乙盒
堂
小 中有编号分别为4,5,6的3个完全相同的乒乓球.现分别从每
结
与 个盒子中随机地取出1个乒乓球,则取出的乒乓球的编号之
检 测
和大于6的概率为
(C)
A.49
B.59
C.23
D.79
相关解析
2.C [解析] 从四条线段中任选三条,有4种结果,即(1,3,5), (1,3,7),(1,5,7),(3,5,7),这些结果出现的可能性相等,其中能构 成三角形的结果只有1种,即(3,5,7),所以能构成三角形的概 率P=14.故选C.
堂
小 1.假如每枚鸟卵都可以成功孵化小鸟,且孵化出的小鸟是雄
结 与
鸟和雌鸟的可能性相等.现有2枚鸟卵,孵化出的小鸟恰有一
25.2 第1课时 用列表法求概率
第二十五章 第1课时 用列表法求概率
知识要点基础练
综合能力提升练
拓展探究突破练
-12-
解:(1)∵甲扔一袋垃圾有 4 种等可能的结果,其中扔对的只有 1 种结果,∴甲扔对垃圾的
概率为14. (2)记可回收物桶为 A,厨余垃圾桶为 B,有害垃圾桶为 C,其他垃圾桶为 D.列表如下:
A
B
C
D
A (A,A) (B,A) (C,A) (D,A) B (A,B) (B,B) (C,B) (D,B) C (A,C) (B,C) (C,C) (D,C) D (A,D) (B,D) (C,D) (D,D)
(2)列表如下:
白
红1
红2
白
(白,红 1) (白,红 2)
红 1 (红 1,白)
(红 1,红 2)
红 2 (红 2,白) (红 2,红 1)
∴一共有 6 种等可能的结果,连续两次都摸出红球的结果有 2 种,
∴连续两次都摸出红球的概率为2
6
=
13.
第二十五章 第1课时 用列表法求概率
知识要点基础练
综合能力提升练
第二十五章 第1课时 用列表法求概率
知识要点基础练
综合能力提升练
拓展探究突破练
-11-
14.现如今,“垃圾分类”已逐渐推广.如图,垃圾一般可分为:可回收物,厨余垃圾,有害垃圾, 其他垃圾.甲拿了一袋有害垃圾,乙拿了一袋厨余垃圾,随机扔进并排的4个垃圾桶.
(1)直接写出甲扔对垃圾的概率; (2)用列表法求甲、乙两人同时扔对垃圾的概率.
②左端连BC,右端连A1B1或A1C1;
③左端连AC,右端连A1B1或B1C1.
故这三根绳子连成一根长绳的概率为
25.2 第1课时 用直接列举法和列表法求概率
25.2用列举法求概率第1课时用直接列举法和列表法求概率一、基本目标【知识与技能】1．掌握用直接列举法和列表法求简单事件的概率的方法．2．运用概率知识解决计算涉及两个因素的一个事件概率的实际问题．【过程与方法】经历试验操作、观察、记录的过程，探究如何画出适当的表格，列举出事件的所有等可能结果，并总结出用列表法求事件概率的方法．【情感态度与价值观】合作探究如何画出适当的表格列举事件的所有等可能的结果，养成合作意识，形成缜密的思维习惯．二、重难点目标【教学重点】利用直接列举法和列表法求随机事件的概率．【教学难点】画出适当的表格列举事件的所有等可能的结果．环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P136～P138的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可能性大小__相等__，那么我们可以通过列举试验结果的方法，求出随机事件发生的概率．2．同时抛掷两枚质地均匀的硬币，所有可能出现的结果有__正正__、__正反__、__反正__、__反反__，先后两次抛掷一枚质地均匀的硬币，所有可能出现的结果有__正正__、__正反__、__反正__、__反反__，故这两种试验的所有可能结果__一样__.环节2合作探究，解决问题【活动1】小组讨论(师生互学)【例1】先后两次抛掷一枚质地均匀的硬币．(1)求硬币两次都正面向上的概率；(2)求硬币两次向上的面相反的概率．【互动探索】(引发学生思考)上述问题中一次试验涉及几个因素？你是用什么方法不重复不遗漏地列出了所有可能的结果？【解答】列举先后两次抛掷一枚质地均匀的硬币的全部结果，它们是：正正、正反、反正、反反．所有的结果有4种，并且这4种结果出现的可能性相等．(1)所有可能的结果中，满足硬币两次都正面向上的结果只有1种，即“正正”，所以P (硬币两次都正面向上)＝14.(2)硬币两次向上的面相反的结果共有2种，即“正反”“反正”，所以P (硬币两次向上的面相反)＝24＝12.【互动总结】(学生总结，老师点评)在一次试验中，如果可能出现的结果比较少，且各种结果出现的可能性大小相等，那么我们可以直接列举出试验结果，从而求出随机事件发生的概率．【例2】有5张看上去无差别的卡片，正面分别写着1,2,3,4,5，洗匀后正面向下放在桌子上，从中随机抽取1张，记下数字后放回洗匀，再从中随机抽取1张．(1)求两次抽到的数都是偶数的概率；(2)求第一次抽到的数比第二次抽到的数大的概率； (3)求两次抽到的数相等的概率．【互动探索】(引发学生思考)上述问题中一次试验涉及几个因素？你是用什么方法不重复不遗漏地列出了所有可能的结果？【解答】列表如下：(1)两次抽到的数都是偶数的结果有4种，即(2,2)，(2,4)，(4,2)，(4,4)，所以P (两次抽到的数都是偶数)＝425.(2)第一次抽到的数比第二次抽到的数大的结果有10种，即(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，所以P (第一次抽到的数比第二次抽到的数大)＝1025＝25. (3)两次抽到的数相等的结果有5种，即(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，所以P (两次抽到的数相等)＝525＝15.【互动总结】(学生总结，老师点评)在一次试验中，如果可能出现的结果比较多，且各种结果出现的可能性大小相等，那么我们可以列表列举出试验结果，从而求出随机事件发生的概率．【活动2】 巩固练习(学生独学)1．小明和小亮在玩“石头、剪子、布”的游戏，两人一起做同样手势的概率是( B ) A.12 B ．13C.14D ．152．在一个不透明的袋中装有2个黄球和2个红球，它们除颜色外没有其他区别，从袋中任意摸出一个球，然后放回搅匀，再从袋中任意摸出一个球，那么两次都摸到黄球的概率是( C )A.18 B ．16C ．14D ．123．李玲有红色、黄色、白色的三件运动短袖上衣和白色、黄色两条运动短裤．若任意组合穿着，则李玲穿着“衣裤同色”的概率是__13__.4．同时掷两枚质地均匀的六面体骰子，计算下列事件的概率： (1)两枚骰子点数的和是6； (2)两枚骰子点数都大于4； (3)其中一枚骰子的点数是3. 解：列表如下：们出现的可能性相等．(1)两枚骰子点数的和是6的结果有5种，即(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，所以P (两枚骰子点数的和是6)＝536.(2)两枚骰子点数都大于4的结果有4种，即(5,5)，(5,6)，(6,5)，(6,6)，所以P (两枚骰子点数都大于4)＝436＝19.(3)其中一枚骰子的点数是3的结果有11种，即(1,3)，(2,3)，(3,3)，(4,3)，(5,3)，(6,3)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，所以P (其中一枚骰子的点数是3)＝1136.【活动3】 拓展延伸(学生对学)【例3】如图所示，小明和小亮用转盘做“配紫色”游戏(红色和蓝色在一起能配成紫色)．小明转动的A 盘被等分成4个扇形，小亮转动的B 盘被等分成3个扇形，两人分别转动转盘一次．两人转动转盘得到的两种颜色若能配成紫色则小明获胜，否则小亮获胜，这个游戏对双方公平吗？【互动探索】(引发学生思考)结合概率的相关知识，要使游戏对双方公平，则两人获胜的概率之间有什么关系？【解答】列表如下：性相同．其中能配成紫色的结果有3种，所以P (小明获胜)＝312＝14，P (小亮获胜)＝1－14＝34.因为14≠34，所以这个游戏对双方不公平．【互动总结】(学生总结，老师点评)判断一个游戏对双方是否公平，就看双方获胜的概率是否相等．若相等，则公平．否则，不公平．环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评) 请完成本课时对应练习！。
25.2用列举法求概率--上课用
地扔进抽屉里，当他随意地从抽屉里拿出两只袜子时，恰
好成双的概率是多少？
知识点一.用枚举法求概率(等可能事件结果有限个)：
思考：“同时抛掷两枚质地均匀的硬币”与“先后两
次抛掷一枚质地均匀的硬币”，这两种试验的所有可能结
果一样吗？
知识点一.用枚举法求概率(等可能事件结果有限个)：
知识点二.用列表法求概率(等可能事件结果较多个)：
改为“把一枚质地均匀的骰子掷两次”，得到的结果有变 化吗？为什么?
思考：如果把例2中的“同时掷两枚质地均匀的骰子”
知识点二.用列表法求概率(等可能事件结果较多个)：
2.在一个不透明的布袋中有4个完全相同的乒乓球， 把它们分别标号为1，2，3，4，随机地摸出一个乒乓球，
知识点二.用列表法求概率(等可能事件结果较多个)：
练习3.有6张看上去无差别的卡片,上面分别写着
1,2,3,4,5,6.随机抽取1张后,放回并混在一起,再随机抽
取1张,那么第二次取出的数字能够整除第一次取出的数字
的概率是多少?
三.课堂小结：
1.用列表法求概率时要注意些什么? 2.什么时候用列表法?
反思：用列表法求概率 1.步骤： ①列表：分清一次试验所涉及的两个因素，一个为横行， 一个为竖行，制作表格；
②计数：通过表格中的数据，分别求出某事件发生的数量
m与该试验的结果总数m的值；
③计算：利用概率公式
2.适用条件：
P ( A)
m n
计算出事件的概率．
如果事件中各种结果出现的可能性均等，含有两次操作 (如掷骰子两次)或两个条件(如两个转盘)的事件．
练习3.在一个不透明的口袋中装有红球2个，黑球2
25.2_用列举法求概率(1)
1. 用数字1、2、3,组成三位数,求其中恰有2个相同的数 字的概率. 组数开始
百位 十位
1 1 2 3 1
2 2 3 1
3 2 3
个位 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
解: 由树形图可以看出,所有可能的结果有27种,它们出 现的可能性相等. 其中恰有2个数字相同的结果有18个.
甲
丙
石 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 剪 布
剪
布
石
剪
布
石
剪
布
解: 由规则可知,一次能淘汰一人的结果应是:“石石剪” 由树形图可以看出 ,游戏的结果 “剪剪布” “布布石”三类 . 有27种,它们出现的可能性相等.而满足条件(记为事件A) 9 1 的结果有9种 ∴ P(A)=27= 3
乙 石剪布 石剪布石剪布石剪布石剪布石剪布石剪布石剪布石剪布
数学病院
用下图所示的转盘进行“配紫色” 游戏，游戏者获胜的概率是多少？
刘华的思考过程如下：
随机转动两个转盘，所有可能出现的结果如下： 你认为她的 蓝 （灰，蓝） 绿 （灰，绿） 灰 想法对吗， 黄 （灰，黄） 为什么？ 蓝 （白，蓝） 绿 （白，绿） 白 开始 黄 （白，黄 蓝 （红，蓝） ） 绿 （红，绿） 红 黄 （红，黄） 用树状图或列表 总共有9种结果，每种结果出现的可能性相同，而能 法求概率时，各 够 配成紫色的结果只有一种： （红，蓝），故游戏 种结果出现的可 者获胜的概率为1∕9 。 能性务必相同。
(1)利用列表的方法 表示游戏者所有可能 出现的结果. (2)游戏者获胜的概 率是多少?
红
黄 白 A盘 绿 B盘 蓝
想一想
4
25.2用列举法求概率(1)课件
直接分类列举
学习目标 1、理解P（A）= (在一 次试验中有n种可能的结果，其中A 包含m种)的意义. 2、应用P（A）= 解决一些实际 问题． 3、复习概率的意义，为解决利 用一般方法求概率的繁琐，探究用 特殊方法—列举法 求概率的简便方法，然后应用这种 方法解决一些实际问题.
A 圆圆
2
3 1
4 甲
1
2
3
6
5 乙
4
作业：1、完成练习册相关内容 P138.综合运用5 拓广探索8
7、先后抛掷三枚均匀的硬币，至少出现一 、先后抛掷三枚均匀的硬币， 次正面的概率是（ 次正面的概率是（ ）
8、有100张卡片（从1号到 、 张卡片（ 号到100号），从中任取 从中任取1 张卡片 号到 号），从中任取 取到的卡号是7的倍数的概率为 的倍数的概率为（ 张，取到的卡号是 的倍数的概率为（ ）。 9、某组16名学生，其中男女生各一半，把全 、某组 名学生 其中男女生各一半， 名学生， 组学生分成人数相等的两个小组， 组学生分成人数相等的两个小组，则分得每 小组里男、女人数相同的概率是（ ） 小组里男、女人数相同的概率是（ 10一个口袋内装有大小相等的 个白球和已编 一个口袋内装有大小相等的1个白球和已编 一个口袋内装有大小相等的 有不同号码的3个黑球 从中摸出2个球 个黑球， 个球. 有不同号码的 个黑球，从中摸出 个球 （1）共有多少种不同的结果？ ）共有多少种不同的结果？ 个黑球有多种不同的结果？ （2）摸出 个黑球有多种不同的结果？ ）摸出2个黑球有多种不同的结果 （3）摸出两个黑球的概率是多少？ ）摸出两个黑球的概率是多少？
D．1． ． ．
4.一个均匀的立方体六个面上分别标有数 ，2，3， 一个均匀的立方体六个面上分别标有数1， ， ， 一个均匀的立方体六个面上分别标有数 4，5，6．右图是这个立方体表面的展开图．抛 ， ， ．右图是这个立方体表面的展开图． 掷这个立方体， 掷这个立方体，则朝上一面上的数恰好等于朝下 一面上的数的一半的概率是（ 一面上的数的一半的概率是（ ）．
用列举法、列表法求概率
25.2.1 用列举法求概率例1.同时抛掷两枚质地均匀的硬币，求下列事件的概率：（1）两枚硬币全部正面向上；（2）两枚硬币全部反面向上；（3）一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上.练习：1.如图，随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，求能让灯泡发光的概率.2.如图，有一条电路AB由图示的开关控制，任意闭合两个开关.（1）请你列举出所有等可能的结果.（2）请你求出使电路形成通路的概率.3.一口袋中有四根长度分别为1cm，3cm，4cm和5cm的细木棒，小明手中有一根长度为3cm的细木棒，现随机从袋内取出两根细木棒与小明手中的细木棒放在一起，回答下列问题:(1)求这三根细木棒能构成三角形的概率；(2)求这三根细木棒能构成直角三角形的概率；(3)求这三根细木成等腰三角形的概率.25.2.2 用列表法求概率例2.同时掷两枚质地均匀的骰子，求下列事件的概率：（1）两枚骰子的点数相同；（2）两枚骰子点数的和是9；（3）至少有一枚骰子的点数为2.例题（放回问题）（2017年省卷19题）在一个不透明的盒子中，装有3个分别写有数字6，-2,7的小球，他们的形状、大小、质地完全相同，搅拌均匀后，先从盒子里随机抽取1个小球，记下小球上的数字后放回盒子，搅拌均匀后再随机取出1个小球，再记下小球上的数字.(1) 用列表法或树状图法(树状图也称树形图)中的一种方法，写出所有可能出现的结果；(2) 求两次取出的小球上的数字相同的概率P.例题（不放回问题）（2018年省卷19题）将正面分别写着数字1，2，3的三张卡片(注:这三张卡片的形状、大小、质地、颜色等其它方面完全相同，若背面向上放在桌面上，这三张卡片看上去无任何差别)洗匀后，背面向上放在桌面上，从中先随机抽取一张卡片，记该卡片上的数字为x；再把剩下的两张卡片洗匀后，背面向上放在桌面上，再从这两张卡片中随机抽取一张卡片，记该卡片上的数字为y.(1) 用列表法或树状图法(树状图也称树形图)中的一种方法，写出所有可能出现的结果；(2) 求取出的两张卡片上的数字之和为偶数的概率P.练习：1.（2020年省卷19题）甲、乙两个家庭来到以“生态资源，绿色旅游”为产业的美丽云南，各自随机选择到大理、丽江、西双版纳三个城市中的一个城市旅游。
25.2. 1用列举法求概率(t)(1)
归纳 “列表法”的意义： 列表法”的意义： 列表法
当试验涉及两个因素 例如两个转盘 当试验涉及两个因素(例如两个转盘 两个因素 例如两个转盘) 可能出现的结果数目较多时 并且可能出现的结果数目较多 并且可能出现的结果数目较多时， 为不重不漏地列出所有的结果， 为不重不漏地列出所有的结果， 通常采用“列表法”。 通常采用“列表法” 上题可以用画“树形图” 上题可以用画“树形图”的方法 列举所有可能的结果么？ 列举所有可能的结果么？
7、甲、乙两人各掷一枚质量分布均匀的正方体骰子，如果点数 、 乙两人各掷一枚质量分布均匀的正方体骰子，如果点数 之积为奇数，那么甲得1分 如果点数之积为偶数 那么乙得1分 点数之积为偶数， 之积为奇数，那么甲得 分；如果点数之积为偶数，那么乙得 分。 连续投10次 谁得分高，谁就获胜。 连续投 次，谁得分高，谁就获胜。 (1)请你想一想，谁获胜的机会大？并说明理由； 请你想一想， 请你想一想 谁获胜的机会大？并说明理由； (2)你认为游戏公平吗？如果不公平，请你设计一个公平的游戏。 你认为游戏公平吗？ 你认为游戏公平吗 如果不公平，请你设计一个公平的游戏。 列出所有可能的结果： 列出所有可能的结果：
m (3)运用公式求事件 的概率：P( A) = 运用公式求事件A的概率 运用公式求事件 的概率： n
球除了颜色以外没有任何区别。两袋中的球都搅匀。 球除了颜色以外没有任何区别。两袋中的球都搅匀。 蒙上眼睛从口袋中取一只球，如果你想取出1只黑 蒙上眼睛从口袋中取一只球，如果你想取出 只黑 机会大呢 你选哪个口袋成功的机会大 球，你选哪个口袋成功的机会大呢？
1 1 2 3 4 5 6 1×1=1 × 1×2=2 × 1×3=3 × 1×4=4 × 1×5=5 × 1×6=6 × 2 2×1=2 × 2×2=4 × 2×3=6 × 2×4=8 × 2×5=10 × 2×6=12 × 3 3×1=3 × 3×2=6 × 3×3=9 × 3×4=12 × 3×5=15 × 3×6=18 × 4 4×1=4 × 4×2=8 × 4×3=12 × 4×4=16 × 4×5=20 × 4×6=24 × 5 5×1=5 × 5×2=10 × 5×3=15 × 5×4=20 × 5×5=25 × 5×6=30 × 6 6×1=6 × 6×2=12 × 6×3=18 × 6×4=24 × 6×5=30 × 6×6=36 ×
25.2用列举法求概率用列表法求概率(教案)
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与概率相关的实际问题，如抛两个骰子，求两个骰子点数之和为7的概率。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如投掷两个骰子，记录并分析结果。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
本节课将结合实际例子，让学生在实际操作中掌握列举法和列表法求解概率的方法。
二、核心素养目标
本节课的核心素养目标主要包括以下三个方面：
1.数据分析：通过用列举法和列表法求解概率问题，培养学生对数据整理和分析的能力，使其能够运用合的方法对随机事件进行概率计算，形成数据分析的核心素养。
2.逻辑推理：在教学过程中，引导学生通过逻辑推理的方式，理解事件发生的可能性，并运用列举法和列表法进行推理，提高学生的逻辑思维能力。
3.数学建模：让学生在实际问题中运用数学知识建立模型，通过列表法和列举法求解概率，培养学生将实际问题转化为数学问题的能力，形成数学建模的核心素养。
三、教学难点与重点
1.教学重点
（1）理解并掌握列举法求概率的基本步骤：确定试验的所有等可能结果、确定事件A的所有可能结果、计算事件A的概率。
举例：抛掷一个骰子，求出现偶数点的概率。重点是让学生通过实际操作，理解并掌握如何找出所有等可能结果，以及如何确定事件A的所有可能结果，进而计算出事件A的概率。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是“25.2用列举法求概率用列表法求概率”这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要判断事情发生可能性大小的情况？”（例如：抛硬币时，正面朝上的可能性是多少？）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索概率的奥秘。
25.2用列举法求概率(1直接列举法,列表法)
P(C) = 11 36
如果把刚刚这个例题中的“同时掷两 个骰子”改为“把一个骰子掷两次”,所 得的结果有变化吗?
没有变化
例2.掷两枚硬币,求下列事件的概率: (1)两枚硬币全部正面朝上; (2)两枚硬币全部反面朝上; (3)一枚硬币正面朝上,一枚硬币反面朝上. 解:其中一枚硬币为A,另一枚硬币为B,则所有可能结果如 表所示: B 正 反
解：排“20”，“08”,“北京”三个字块所有可能性为： ①20,08,北京 ② 20,北京,08 ③08 ,20,北京 ④ 08,北京,20 ⑤ 北京,20,08 ⑥ 北京,08,20 其中排成“2008北京”或“北京2008”有两种情
1 况,所以 婴儿能得到奖励的概率为
3
利用一一列举法可以知道事件发生的各种 情况，对于列举复杂事件的发生情况还有什么 更好的方法呢？
这个游戏对小亮和小明公 平吗？怎样才算公平 ?
你能求出小亮得分的概率吗?
用表格表示
红桃
黑桃
1
2
3
4
5
6
1
(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
2
3 4
(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)
m P ( A) = n
事件A发生的 可能种数
试验的总共 可能种数
等可能性事件的概率可以用列举法而求得。
列举法就是把要数的对象一一列举出来 分析求解的方法．
例1 如图：计算机扫 雷游戏，在9×9个小 方格中，随机埋藏着 10个地雷，每个小方 解：A区有8格3个雷， 格只有1个地雷，，小 遇雷的概率为3/8， 王开始随机踩一个小 B区有9×9-9=72个小方格， 方格，标号为3，在3 的周围的正方形中有3 还有10-3=7个地雷， 个地雷，我们把他的 由于3/8大于7/72， 区域记为A区，A区外 所以第二步应踩B区 记为B区，，下一步 遇到地雷的概率为7/72， 小王应该踩在A区还 是B区？
25.2用直接列举法和列表法求概率
解：容易知道3辆汽车开来的先后顺序有如下6种可能情况：
（上中下）， （上下中），
（中上下）， （中下上）， （下上中）， （下中上）.
假定6种顺序出现的可能性相等， 在各种可能顺序之下，
甲乙两人分别会乘坐的汽车列表如下：
顺序 上中下 上下中 中上下 中下上 下上中 下中上
甲
乙
甲乘到上等、中等、下等3种汽
所以：P（点数相同）= 6 = 1
36 6
P（点数和为9）= 4 = 1
36 9
P（至少一个为2）=1361
把事件所有等可能的结果用列表的方法一一列举出来， 从而求事件概率的方法叫列表法
适用用两次（两步）（总结果数较多）时，为不重不漏地 列出所有可能结果，通常采用列表法. ※（放回和不放回如何影响表格中的总数）ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
果转盘A转出了红色，转盘B转出了蓝色，那么他就赢了，
因为红色和蓝色在一起配成了紫色。问：游戏者获胜的
概率是多少？
解：所有等可能的结果有：
红黄、红蓝、红绿、白黄、白
蓝、白绿 共6种，
其中：红蓝配成紫色的有1种
所以
P（获胜）=
1 6
思 老师向空中抛掷两枚同样的一元硬币，如果落 考 地后一正一反，老师赢；如果落地后两面一样，你
们赢.请问，你们觉得这个游戏公平吗？
“掷两枚硬币”所有结果如下：
①
②
①
②
①
②
①
②
解:所有等可能的结果有：
正正、正反、反正、反反共4
种，
其中 一正一反的有两种，两
面一样的有两种
所以 P（老师赢）=2 =1
42
P（你们赢）=24
=
1 2
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上述这种列举法我们称为直接列举法，即把事件可能出现 的结果一一列出.
注意 直接列举法比较适合用于最多涉及两个试验因素 或分两步进行的试验，且事件总结果的种数比较少的 等可能性事件.
想一想 “同时掷两枚硬币”与“先后两次掷一枚硬币”，这 两种试验的所有可能结果一样吗？
观察与思考
第一掷
开始
第二掷 所有可能出现的结果 （正、正） （正、反） （反、正）
列表法中表格构造特点: 一个因素所包含的可能情况
另一个 因素所 包含的 可能情 况
两个因素所组合的所 有可能情况,即n
说明：如果第一个因素 包含2种情况；第二个 因素包含3种情况；那 么所有情况n=2×3=6.
典例精析
例1 同时掷两个质地均匀的骰子，计算下列事件的概率： （1）两个骰子的点数相同； （2）两个骰子点数的和是9； （3）至少有一个骰子的点数为2.
3 (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3)
注意有序 数对要统 一顺序
4 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4)
5 (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5)
6 (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)
第一步：列表格； 第二步：在所有可能情况n中,再找到满足条件的事件的 个数m； 第三步：代入概率公式 P(A)= m 计算事件的概率.
n
经典例题
甲口袋中装有3个相同的小球，它们分别写有 数值－1，1，5；乙口袋中装有3个相同的小球， 它们分别写有数值－4，2，3.现从甲口袋中随机 取一球，记它上面的数值为x，再从乙口袋中随 机取一球，记它上面的数值为y.设点A的坐标为 (x，y)，请用列表法，求点A落在第一象限的概 率．
课堂小结
列举法
关 键 在于正确列举出试验结果的各种可能性.
直接列举法
常用 方法
画树状图法 （下节课学习） 列表法
前提条件
基本步骤
确保试验中每种 结果出现的可能 性大小相等.
① 列表； ② 确定m、n值 代入概率公式计
算.
适用对象
两个试验 因素或分 两步进行 的试验.
36
提示 列表法对于列举涉及两个因素或分两步进行的试验
结果是一种有效的方法.
我们发现： 与前面掷硬币问题一样，“同时掷两个质地相同的骰子”
与“把一个骰子掷两次”，所得到的结果没有变化. 所以， 当试验涉及两个因素时，可以“分步”对问题进行分析.
方法归纳
列表法求概率应注意的问题 确保试验中每种结果出现的可能性大小相等. 列表法求概率的基本步骤
解：列表得：
乙 甲
－4
2
－1 (－1，－4) (－1，2)
1 (1，－4) (1，2)
5 (5，－4) (5，2)
3
(－1，3) (1，3) (5，3)
∵共有 9 种等可能的结果，点 A 落在第一象限的有 4 种情况， ∴P(点 A 落在第一象限)＝94. 答：点 A 落在第一象限的概率是94 .
分析 当一次试验要涉及两个因素（例如掷两个骰子）并且可能出 现的结果合数作目探较究多时，为不重不漏地列出所有可能结果，通常采
用列表法.
把两个骰子分别标记为第1个和第2个，列表如下：
第 第二一个个
1
2
3
4
5
6
1 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1)
2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2)
导入新课
我们一起来做游戏 老师向空中抛掷两枚同样的一元硬币，如果落地后一 正一反，老师赢；如果落地后两面一样，你们赢.请问， 你们觉得这个游戏公平吗？
讲授新课
一 用直接列举法求概率
探索交流
同时掷两枚硬币，试求下列事件的概率： (1)两枚两面一样； (2)一枚硬币正面朝上，一枚硬币反面朝上；
①
②
“掷两枚硬币”所有结果如下：
解：由列表得，同时掷两枚骰子，可能出现的结果 有36个，它们出现的可能性相等.
（1）满足两枚骰子的点数相同（记为事件A）的结 果有6个，则P（A）= 6 1 ；
36 6
（2）满足两枚骰子的点数之和是9（记为事件B） 的结果有4个，则P（B）= 4 1 ；
36 9
（3）满足至少有一枚骰子的点数为2（记为事件C） 的结果有11个，则P（C）= 11 .
第二十五章 概率初步
25.2 用列举法求概率
第1课时 运用直接列举或列表法求概率
学习目标
1.知道什么时候采用“直接列举法”和“列表法” . 2.会正确“列表”表示出所有可能出现的结果.(难点) 3.知道如何利用“列表法”求随机事件的概率.（重点）
导入新课
我们在日常生活中经常会做一些游戏，游戏规则制定是 否公平，对游戏者来说非常重要，其实这是一个游戏双方 获胜①
②①
②
正正
正反 反正 反反
解：（1）两枚硬币两面一样包括两面都是正面，两 面都是反面，共两种情形；所以学生赢的概率是 2 1; 42 （2）一枚硬币正面朝上，一枚硬币反面朝上,共 有反正，正反两种情形；所以老师赢的概率是 2 1. 42 ∵P(学生赢）=P(老师赢）.
∴这个游戏是公平的.
发现： 一样.
（反、反）
归纳 随机事件“同时”与“先后”的关系：“两个相同 的随机事件同时发生”与 “一个随机事件先后两次发 生”的结果是一样的.
二 列表法求概率
问题1 利用直接列举法可以比较快地求出简单事件发生 的概率，对于列举复杂事件的发生情况还有什么更好的方 法呢？
列表法
问题2 怎样列表格？