2017-2018学年浙江省温州新力量联盟高二第一学期期末数学试卷〖详解版〗
浙江省温州市新力量联盟2018-2019学年高二上学期期末考试数学答案
2018学年第一学期温州新力量联盟期末联考高二年级数学学科 参考答案一、选择题（每题4分，共40分）二、填空题（每题4分，共28分） 11．45° 12. 15 13. 314.100 CM 2 （说明：没有单位CM 2不扣分）15.032=--y x ( 说明：能化简为该答案的答案都不扣分) 16.3 17.31 三、解答题（4小题，共52分） 18. 解：(1)设),(y x P ,则21=PAPO …………………………2分 ∴21)3(2222=+-+y x y x …………………………4分 化简，得4)1(22=++y x∴点P 的轨迹方程为4)1(22=++y x ……………6分（只要化简结果正确都给6分） （2）设圆C :4)1(22=++y x ,则当BC ⊥l 时，线段MN 的长最小………8分 ∵2)01()12(22=-++-=BC ……………10分 ∴22)2(2222min=-=MN即线段MN 的长的最小值是22……………12分（说明：其它解法酌情给分） 19. 解： 设),x ),,x A 2211y B y （（（1）当直线l 的倾斜角为45°时，直线l 的方程为1-=x y ……………2分联立方程组⎩⎨⎧=-=xy x y 412，消去y ，得0162=+-x x …………4分∴21x x +=6∴826221=+=++=x x AB …………6分 (说明：直接套公式θ22sin 222pk p p AB =+=，计算正确给5分，公式正确，计算错误给2分)（解法一）（2,m =直线l 的倾斜角为θ,,3m =∴mm m 2)2()4(tan 22-±=θ=3±（说明：没有±不扣分）∴直线l 的方程：)1(3-±=x y ………8分联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-±=x y x y 4)1(32，消去y ，得031032=+-x x …………10分∴21x x +=310∴d==++2221x x =+2231038………12分（解法二）（2）联立方程组⎩⎨⎧=-=x y x k y 4)1(2，消去y ，得 0)42(2222=++-k x k x k∴⎪⎩⎪⎨⎧=⋅+=+14221221x x k x x ()1………8分 ),1(11y x --=，),1(22y x -=∵FB AF 3=∴)1(3121-=-x x )2( ………10分 联立)1()2(解得310,3212=+=x x k ∴d==++2221x x =+2231038………12分（说明：其它解法酌情给分）20. (1) 证明：∵平面PAD ⊥平面ABCDAB AD ⊥平面PAD ∩平面ABCD =AD ABCD 平面⊂ABdθθC∴PAD 平面⊥AB …………2分 又∵PAD PD 平面⊂ ∴AB D ⊥P ………4分在中PAD Rt ∆，，︒=∠45DPB ∴，︒=∠=∠45PD DPB A ∴，AD PA =又∵E 是PD 的中点 ∴AE D ⊥P ………6分又∵A AB AE = ABE 平面⊂AE ABE 平面⊂AB ∴E A D B P 平面⊥………………7分（2）解：∵PAD 平面⊥AB PAD PA 平面⊂∴AB A ⊥P分别以AD ，AB ，AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示空间直角坐标系由已知可得A （0,0,0），C(-2,4,0),D(-2，0, 0),P(0,0,2) …………………………………………………9分∴），（2-0,2-=PD ，），，（042-= ∵E A D B P 平面⊥∴的一个法向量是平面ABE ………………11分 设AC 与平面ABE 所成的角为θ则10104)2(220)2(40)2()2(sin 22=++-⨯⨯-+⨯+-⨯-==θ 即AC 与平面ABE 所成的角的正弦值为1010………13分 (说明：用等体积法计算出点C 到平面ABE 的距离，给4分，AC 与平面ABE 所成的角的正弦值计算正确，再给2分，共6分；用传统几何法得出AC 与平面ABE 所成的角为θ，给3分，解出高给2分，最后AC 与平面ABE 所成的角的正弦值计算正确给1分，共6分；其它解法酌情给分。
浙江省温州市新力量联盟2018-2019学年高二上学期期末考试数学答案
x1
x2
8km 1 4k 2
由韦达定理得
x1
x2
4m2 4 1 4k 2
………………………7
分
AB
1 k 2 x1 x2
1 k2
16(4k 2 1 m2 ) 1 4k 2
……………8 分
S AOB
1 2
AB
∴ PA AB
分别以 AD，AB，AP 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示空 间直角坐标系
由 已 知 可 得 A（ 0,0,0） ， C(-2,4,0),D(-2， 0, 0),P(0,0,2) …………………………………………………9 分
z
P
E
D A
x
∴ PD （- 2,0，- 2）， AC （- 2，4，0）
y 2 4x
3x 2 10x 3 0 …………10 分
∴
x1
x2
=
10 3
∴d=
x1
x2
2
10 3
2
8
………12
分
2
23
y k(x 1)
（解法二）（2）联立方程组
y
2
4x
，消去 y ，得
k 2 x2 (2k 2 4)x k 2 0
∴
x1
共 6 分；其它解法酌情给分。)
a 2b
a 2
21.
解：(1)由已知得 c
3
，解得
c
3 ………3 分（正确求出 a,b 的值就给 3
2018-2019学年浙江省温州市新力量联盟高二(上)期末数学试卷(解析版)
一、选择题（每题 4 分，共 40 分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求 的 1． （4 分）已知平面 α 的法向量为（2，﹣4，﹣2） ，平面 β 的法向量为（﹣1，2，k） ，若 α ∥β，则 k＝（ A．﹣2 ） B．﹣1 C．1 D．2
，0） ，O 为坐标原点．
（1）求椭圆的标准方程； （2）A，B 是椭圆 C 上的两动点，求△AOB 的面积的最大值； （3）当△AOB 的面积取最大值时，求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程．
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2018-2019 学年浙江省温州市新力量联盟高二（上）期末 数学试卷
参考答案与试题解析
A．30° 8． （4 分）如图，椭圆
B．45° +
C．60°
D．90°
＝1（a＞b＞0）的左焦点为 F，右顶点为 A，点 B 在椭圆上，
且 BF⊥x 轴，直线 AB 交 y 轴于点 P，若
＝3
，则椭圆的离心率是（
）
A．
B．
C．
D．
9． （4 分）如图，在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，D，E 分别是 A1B1，BB1 的中点，点 P 在该 直三棱柱表面上运动，且满足 EP⊥BD，∠BAC＝90°，AB＝AA1＝AC＝2，则点 P 的轨 迹形成的曲线的长等于（ ）
2
20． （13 分）如图，在平行四边形 PBCD 中，PB＝4，PD＝2
，∠DPB＝45°，AD⊥AB，
将△PAD 沿 AD 翻折，使得平面 PAD⊥平面 ABCD，E 是 PD 的中点，
（1）求证：PD⊥平面 ABE；
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2017-2018学年浙江省温州市新力量联盟高二(下)期末数学试卷及答案
，则 z＝2x+y 的取值范围是（ ）
A．[3，4]
B．[3，12]
C．[3，9]
D．[4，9]
6．（4 分）设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn．若 S2＝3，S4＝15，则 S6＝（ ）
A．31
B．32
C．63
D．64
7．（4 分）已知直线 y＝2x+a 与曲线 y＝ex 相切，则 a 的值为（ ）
22．（15 分）已知正项数列{an}满足 an+1＝
（1）求证：an＞1，
（2）求证：an+1＜an
（3）求证：
．
，且 1＜a1＜2．
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2017-2018 学年浙江省温州市新力量联盟高二（下）期末 数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．
3．【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件． 菁优网版权所有 【解答】解：l1∥l2”得到：a2﹣1＝0，解得：a＝﹣1 或 a＝1， 所以应是充分不必要条件．
故选：A．
【点评】本题考查了充分必要条件，考查直线平行的充要条件，是一道基础题．
4．【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系；LP：空间中直线与平面之间的位置关
A．（﹣ ，﹣4）
B．[﹣ ，﹣4）
C．（0， ]
D．[﹣ ，﹣4）∪（0， ]
二、填空题（本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分.）
11．（6 分）双曲线 C： ﹣y2＝1 的离心率是
；渐近线方程是
浙江省温州新力量联盟2017-2018学年高二上学期期末考
浙江省温州新力量联盟2017-2018学年高二上学期期末考试地理试题一、选择题（本大题共25题，每小题2分，共50分。
每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）1. 2017年1 0月1 0日，天空上演了“月掩毕宿五”的天象，下图为示意图。
毕宿五是金牛星座的主要恒星，距地球约65光年。
据此完成下题。
下列关于该天文现象的说法正确的是( )A. 月球体积大于毕宿五B. 毕宿五归属于银河系C. 所有恒星都可被“月掩”D. 金牛星座以行星为主【答案】B【解析】银河系直径大约10万光年，毕宿五距离地球仅65光年，因此毕宿五归属于银河系。
故B正确。
毕宿五为恒星，其质量和体积都远远大于月球；“月掩星”只有月球位于一个天体与地球之间是才能产生，因此不是所有恒星都可被“月掩”；金牛座由若干恒星组成，不是一个天体。
故A、C、D错误。
【点睛】本题难度不大，但需注意银河系的直径。
2. 2017年8月7日，济南市首次运行潮汐车道“拉链车”。
这辆车所到之处，路中间的隔离墩会从“拉链车”的一侧移动到另一侧，车道便进行重新区分。
据此，完成下题。
该车辆主要工作时段是( )A. 早晚高峰时段B. 中午车多时段C. 工作日白天全天D. 周末车少时段【答案】A【解析】据材料可知，济南市旅游路首次运行潮汐车道“拉链车”。
这辆车所到之处，路中间的隔离墩会从“拉链车”的一侧移动到另一侧，车道便进行重新区分。
根据早晚交通流量不同的情况，道路实行潮汐可变车道，缓解交通拥堵。
故选A。
（答案有误）3. 2017年10月3日，印尼火山和地质灾害减灾中心说，种种前兆都表明巴厘岛上的阿贡火山爆发的可能性依然比较大，将来可能出现小范围喷发，之后伴随大规模爆发。
但具体的时间和影响仍无法预测。
目前，火山周边景点的游客已经逐渐减少，但仍然可以看到一些外国游客冒险前来旅游。
据此材料完成下题。
大规模的火山爆发可能造成地表温度下降。
是因为火山爆发导致了( )A. 大气二氧化碾浓度增加B. 高纬度地区极光现象增加C. 地球表面长波辐射减弱D. 到达地面的短波辐射减弱【答案】D【解析】大规模的火山爆发可能造成地表温度下降。
浙江省“温州十校联合体”2022-2023学年高二上学期期末考试数学试题
2018学年第一学期“温州十校联合体”期末考试联考高二年级数学学科 试题考生须知：1.本卷共4页,满分150分,考试时长120分钟。
2.答题前,在答题卷指定区域填写班级，，考场号，座位号及准考证号并填涂相应数字。
3.所有结果一定写在答题纸上,写在试题上无效。
4.考试结束后,只需上交答题纸。
选择题部分（共40分）一，选择题：本大题共10小题,每小题4分,共40分。
在每小题给出地四个选项中,只有一项是符合题目要求地。
1.直线地倾斜角是（ ）A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°2.抛物线24y x =地焦点是（ ）A ．(1,0)B ．(0,1)C ．(2,0)D ． (0,2)3.设l ,m 是两款不同地直线,错误！未找到引用源。
是一个平面,则下面命题正确地是（ ）A ． 若,l m m α⊥⊂,则l α⊥B ． 若,l m αα ,则l mC ． 若,l m m α⊂则l αD ． 若l α⊥,m α⊥,则l m4．“直线b x y +=与圆122=+y x 相交”是“10<<b ”地（ ）A ．充分不必要款件B ．必要不充分款件C ．充要款件D ．既不充分也不必要款件5.圆221:2880C x y x y +++-=与圆222:4410C x y x y +---=地公切线款数为（ ）A ．1B .2C ．3D ．46.双曲线22x 1169y -=地左，右焦点分别为1F ,2F ,在左支上过点1F 地弦AB 地长为5,那么2ABF 地周长是（ ）A ． 12B ． 16C ． 21D ． 267．在正四棱柱1111ABCD A B C D -中,12AA AB =,E 为1AA 地中点,则直线BE 与平面1BCD 所形成角地余弦值为（ ）A．15 CD ．35 0133=+-y x8.如图,在正方体1111ABCD A B C D -中,P 是侧面11BB C C 内一动点,若P 到直线BC 与到直线11C D 地距离相等,则动点P 地轨迹曲线是（ ）A ． 直线B ． 圆C ． 双曲线D ． 抛物线9.已知点错误！未找到引用源。
优质金卷：浙江省温州新力量联盟2017-2018学年高二下学期期中联考数学试题(考试版)
绝密★启用前浙江省温州新力量联盟2017-2018学年高二下学期期中联考考卷考试范围：集合与逻辑用语、函数与导数、立体几何、解析几何、必修四、必修五.考试时间：120分钟【名师解读】本卷难度中等，全卷梯度设置合理．命题内容符合考试说明命题要求，全卷覆盖面广，涵盖了高中数学集合与逻辑用语、函数与导数、立体几何、解析几何、必修四、必修五等内容，无偏难怪出现，命题所占比例基本符合教章所占比例，重点内容重点考查.全卷仿高考试卷命制，突出基础知识、基本运算能力及推理论证能力的考查，选题贴近高考.第I 卷（选择题）一、单选题1．cos120︒=（ ）A. 12-B. 12C.2．已知向量()1,2a = ， ()2,b m =- ，若//a b，则m =（ ）A. 1B. 1-C. 4D. 4-3．已知{1234}A =，，，， {}|2,B x x n n N ==∈，则A B ⋂=（ ） A. {}1,2 B. {}1,2,3,4 C. {}2,4 D. {}|2,x x n n N =∈ 4．22log 10log 5-=（ ）A. 0B. 1C. 2log 5D. 2 5．已知()21f x x x=+-，则()'1f =（ ）A. 1B. 2C. 3D. 46．已知函数()12f x x =-，则()f x 的定义域是（ ） A. [)1,2- B. [)1,-+∞ C. ()2,+∞ D. [)()1,22,-⋃+∞ 7．已知点()1,2P ，直线l ： 25y x =-，则点P 到l 的距离为（ ） B. 5 C. 3 D. 18．已知()2,1A ，直线l ： 10x y -+=，则点A 在直线l 的（ ） A. 左上方 B. 左下方 C. 右上方 D. 右下方 9．已知函数()2sin cos f xx x =，则()f x 的周期是（ ） A.2πB. πC. 2π D. 4π10．一个正三棱锥的正视图与俯视图如图所示，则该三棱锥的左视图的面积为（ ）411．已知直线l ， a 与平面α，且//l α，则在平面α内不存在a 与l （ ） A. 平行 B. 垂直 C. 成45︒角 D. 相交12．已知圆C ： 222440x y x y +-+-=，则过点()2,1P 且与圆C 相切的直线方程是（ ）A. 1y =B. 34100x y +-=C. 3420x y --=D. 1y =或34100x y +-=13．已知p ： 1a >， q ： 21321122a a+-⎛⎫⎛⎫< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则p 是q 的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件14．已知椭圆C的方程为22221(0)x ya ba b+=>>，1F，2F是椭圆C的两个焦点，点P在椭圆C上，且1230PF F∠=︒，2190PF F∠=︒，则椭圆C的离心率是（）15．已知数列{}n a的前n项为n T，且13n nna-=，若nT M<，*n N∈恒成立，则M的最小值是（）A. 1B. 2C.83D.9416．如图所示，在侧棱垂直于底面的三棱柱111ABC A B C-中，P是棱BC上的动点，记直线1A P与平面ABC所成的角为1θ，与直线BC所成的角为2θ，则1θ，2θ的大小关系是（）A.12θθ= B.12θθ> C.12θθ< D. 不能确定17．已知定义在R+上的函数()f x，()()'0f x x f x-⋅<，若0a b<<，则一定有（）A. ()()af a bf b< B. ()()af b bf a< C. ()()af a bf b> D.()()af b bf a>18．函数()f x按照下述方式定义，当2x≤时，()22f x x x=-+；当2x>时，()()132f x f x=-，方程()15f x=的所有实数根之和是（）A. 8B. 12C. 18D. 24第II 卷（非选择题）二、填空题19．已知数列{}n a 是等差数列， n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11a =， 35a =，则5a =__________， 10S =__________．20．已知等轴双曲线C 经过点()2,1P ，则双曲线C 的标准方程是__________． 21．已知{}min ,a b 表示a 与b 的较小值，函数(){}min 32,3f x x x =--，则函数()f x 的增区间是__________．22．已知0x >， 0y >，且2223x y m m +≤++对m R ∈恒成立，则21x y+的最小值是__________．三、解答题23．已知函数()sin f xx x =， ABC ∆的三个内角A ， B ， C 对应的三条边a ， b ， c ，有()f A = 2b =， ABC S ∆= （1）求函数()f x 的单调增区间； （2）求a 的值．24．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中， AC 交BD 于点O ， E 是1DD 的中点．（1）求证： //OE 平面11ACD ； （2）求直线AC 与平面11ACD 所成的角．25．已知抛物线C ： 2x ay =（0a >）的焦点为()0,1F ，过F 点的直线l 交抛物线C 于A ， B 两点，且点()1,2D -．（1）求a 的值；（2）求AD BD ⋅的最大值．。
优质金卷：浙江省温州新力量联盟2017-2018学年高二下学期期中联考数学试题(解析版)
1．A 【解析】分析：首先要明确余弦函数的诱导公式，或者记住特殊角的三角函数值，注意其符号. 详解： 1cos120cos602︒=-︒=-，故选A. 点睛：该题考查的是有关诱导公式以及特殊角的三角函数值的问题，注意基础知识的巩固.2．D 【解析】分析：首先应用向量共线坐标所满足的条件，得到m 所满足的等量关系式，从而求得结果. 详解：因为//a b ，所以有()122m ⨯=⨯-，所以有4m =-，故选D.点睛：该题考查的是有关向量共线坐标所满足的条件，属于基础题，在解题的过程中，一定需要注意不要和垂直弄混.点睛：该题考查的是有关集合的运算问题，在求解的过程中，首先需要确定集合中的元素，一定要注意代表元所满足的条件，之后要明确交集中元素的特征.4．B 【解析】分析：首先应用同底的对数式的运算法则将对数式化简，之后应用对数的意义，求得结果. 详解：根据对数的运算法则有222210log 10log 5log log 215-===，故选B. 点睛：该题考查的是有关对数式的运算问题，在求解的过程中，要时刻注意对数式的运算法则，同底的对数式相减，底数不变，真数相除，从而求得结果.5．C 【解析】分析：首先利用求导公式，对函数求导，之后将1x =代入，求得结果.详解： ()'21f x x =+，所以()'1213f =+=，故选C.点睛：该题考查的是有关函数在某个点处的导数问题，在求解的过程中，明确解题的方向，要知道函数在某个点处的导数等于导函数在该点的函数值，所以求导，代值即可求得结果.6．D 【解析】分析：首先观察函数解析式的特征，根据偶次根式要求被开方式大于等于零，分式要求分母不等于零，列出不等式组，从而求得结果.详解：根据题意得10{ 20x x +≥-≠，解得1x ≥-且2x ≠，故()f x 的定义域为[)()1,22,-⋃+∞，故选D.点睛：该题考查的是有关函数的定义域的求解问题，在解题的过程中，需要明确函数定义域的定义，是使得式子有意义的x 的取值所构成的集合，之后根据式子的特征，列出不等式组，求解即可.点睛：该题考查的是有关点到直线的距离的问题，涉及到的知识点就是点到直线的距离公式，在解题的过程中，一定要注意公式中对应的直线方程为一般式，所以该题首先要将直线方程化为一般式.8．D 【解析】分析：首先在坐标系中画出直线10x y -+=，非常容易判断出坐标原点在直线的右下方，并且能够判断出()2,1与()0,0分布在直线的同侧，从而得到点在直线的右下方，得到结果.详解：在平面直角坐标系中画出直线10x y -+=，()0,0代入上式得00110-+=>，而()2,1与()0,0分布在直线的同侧，所以在直线的右下方，故选D.点睛：该题属于判断点在直线的哪侧问题，最简单的就是将直线画出来，点标出来，一看便知结果，如果从代数的角度来处理，就是通过题中所给的方法即可.9．B 【解析】分析：首先利用倍角公式化简函数解析式，应用正弦型函数的最小正周期与解析式中对应系数的关系，求得其周期即可.详解： ()2sin cos sin2f x x x x ==，所以()f x 的周期是22T ππ==，故选B. 点睛：该题考查的是有关正弦型函数的最小正周期的求解问题，在解题的过程中，需要先化简函数解析式，之后应用结论以及公式求解.10．A 【解析】分析：首先根据题中所给的正视图和俯视图，可以确定出对应的正三棱锥的底面三角形的边长以及三棱锥的高，再根据其方位，可以判断出其侧视图的形状以及对应的边长，从而求得结果. 详解：根据题中所给的正视图和俯视图，可以判断该正三棱锥的底面边长为2，高为2，2，所以其面积为122S == A. 点睛：该题考查的是有关几何体的三视图的问题，在求解的过程中，注意把握正视图和俯视图、侧视图和俯视图、正视图和侧视图分别保证三个方向的跨度，从而得到几何体的特征，得到结果.点睛：该题考查的是有关空间关系的定义的问题，在解题的过程中，注意把握线面平行的定义，就决定了,a l 是不可能有公共点的，从而得到其不可能为相交关系，得到结果.12．D 【解析】分析：首先根据题中所给的圆的方程和点的坐标，确定点与圆的位置关系，利用过圆外一点做圆的切线有两条，根据选项中所给的方程，从而求得结果.详解：将()2,1P 代入圆的方程， 得到22212241410+-⨯+⨯-=>，所以点在圆外，所以应该有两条切线，故选D.点睛：该题考查的是有关圆的切线方程的问题，在求解的时候，除了应用这种比较特殊的方法之外，还可以设切线的斜率，利用点斜式写出直线的方程，利用圆心到直线的距离，得到关于k 的等量关系式，求得结果即可.13．A 【解析】分析：首先根据指数函数的单调性，结合幂的大小，得到指数的大小关系，即2132a a +>-，从而求得12a >，利用集合间的关系，确定出p,q 的关系. 详解：由21321122a a +-⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得2132a a +>-，解得12a >， 因为()1,+∞是1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭的真子集，故p 是q 的充分不必要条件，故选A. 点睛：该题考查的是有关充分必要条件的判断，在求解的过程中，首先需要判断命题q 为真命题时对应的a 的取值范围，之后借助于具备真包含关系时满足充分非必要性得到结果.14．B 【解析】分析：首先根据题中所给的条件，设出122F F c =， 再根据三角形的特征，求得21PF PF ==利用椭圆的定义，求得122PF PF a +==，从而求得椭圆的离心率3c e a ==，得出结果. 详解：设122F F c =，结合1230PF F ∠=︒， 2190PF F ∠=︒，可以求得21PF PF ==122PF PF a +==，从而求得3c e a ==，故选B. 点睛：该题考查的是有关椭圆的离心率的求解问题，在解题的过程中，结合焦点三角形，利用椭圆的定义，求得,a c 的关系，求得椭圆的离心率.详解：利用错位相减法求得19314423n n n T -⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， 要使n T M <， *n N ∈恒成立，就要找n T 的最大值满足，观察式子，从而求得M 的最小值是94，故选D. 点睛：该题考查的是有关数列求和的问题，在求解的过程中，一是利用错位相减法求和很关键，其中的步骤一定要保证其正确性，再者就是对有关恒成立问题向最值靠拢，之后得到其最值.16．C 【解析】分析：首先要明确有关最小角定理，之后对其中的角加以归类，从而得到两角的关系，即可得结果.详解：根据线面角是该直线与对应平面内的任意直线所成角中最小的角，所以有12θθ<，故选C.点睛：该题考查的是有关角的大小的比较问题，在思考的过程中，需要明确角的意义，从而结合最小角定理，得到结果.所以函数()g x 是()0,+∞上的增函数，所以()()g a g b <，即()()f a f b a b <，所以()()bf a af b <，故选B.点睛：该题考查的是有关函数值的比较大小问题，在求解的过程中，构造新函数()()f xg x x =显得尤为重要，下一步都需要通过导数研究函数()g x 的单调性，从而得到函数值的大小，即可得结果.18．D 【解析】分析：首先利用题中所给的函数解析式，画出相应区间上的函数的图像，之后借助于当2x >时， ()()132f x f x =-的条件，画出后边若干段图像，观察每段上的对称轴，得到其对应的根的和，求得结果.详解：画出函数的图像，结合图像可知，当2x <时，两根之和为2，当25x <<时，两根之和为8，当58x <<时，两根和为14，所以方程的所有根之和为24，故选D.点睛：该题考查的是有关方程根的和的问题，在求解的过程中，需要对函数的解析式进行分析，画出函数的图像，根据图像的对称性，求得根的和即可.19． 9 100【解析】分析：首先根据公式n m a a d n m-=-，求得2d =，利用等差数列的通项公司求得5a 的值，再者应用等差数列的求和公式可得10S 的值.详解：根据11a =， 35a =，可求得51231d -==-， 所以51429a =+⨯=， 1010910121002S ⨯=⨯+⨯=.点睛：该题考查的是有关等差数列的通项公式与求和公式的应用，在求解的过程中，注意把握等差数列的项之间的关系，求得其公差，之后利用通项公式和求和公式，求得结果.点睛：该题考查的是有关双曲线标准方程的求解问题，在解题的过程中，注意等轴双曲线的标准方程的特征，在设方程的时候，注意对参数0m ≠的约束，再者就是利用曲线所过的一个点，将坐标代入求解即可. 21．3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭和()3,+∞【解析】分析：首先在同一个坐标系中，将函数32y x =-和函数3y x =-的图像画出来，结合(){}min 32,3f x x x =--，从而得到函数()f x 是两者中的较小者，从而得到下方的那个，观察图像得到函数的单调增区间.学科#网 详解：在同一个坐标系中画出函数32y x =-和函数3y x =-的图像，从而可以求得()32,2{ 3,2x x f x x x -≤=->， 从而可以判断出函数的增区间为3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭和()3,+∞. 点睛：该题考查的是有关函数的单调区间的问题，在解题的过程中，需要先确定相应区间上函数的解析式，所以在同一个坐标系画出两个函数的图像，落在下方的那个是较小者，从而观察图像，求得结果.22．4【解析】分析：首先将恒成立问题向最值靠拢，从而求得22x y +≤，当前已知两个正数整式形式和的条件，要求分式形式和的最值的问题，需要将其乘积求解，之后借助于基本不等式求得结果.详解：根据条件可得()2222312x y m m m +≤++=++， 从而可得22x y +≤， 而()214248y x x y x y x y ⎛⎫++=++≥ ⎪⎝⎭，当且仅当4y x x y =时取等号，而2x y +越大， 21x y +会越小，所以当22x y +=时， 21x y+取得最小值4. 点睛：该题考查的是有关利用基本不等式求最值的问题，在求解的过程中，需要注意恒成立问题由最值解决，再者就是再做乘法运算时，对应的式子不是等式，二是不等式，所以对其值的变化趋势要分析.23．(1) 52,2,66k k k Z ππππ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭；(2) a =【解析】分析：第一问首先应用辅助角公式化简函数解析式，结合正弦型函数的单调区间的求法以及整体角思维求得函数的增区间，第二问根据()f A =3A π=，结合题中条件，根据三角形面积公式求得3c =，之后应用余弦定理求得a =（2）由（1）得()2sin 3f A A A ππ⎛⎫=+=<< ⎪⎝⎭ 3A π∴=，又由12,sin 2ABC b S bc A ∆=== 3c =，由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得27,a a ==点睛：该题考查的是有关三角函数以及解三角形问题，在求解的过程中，涉及到的知识点有辅助角公式化简函数解析式，已知三角函数值求角，三角形面积公式以及余弦定理，要求平时对基础知识要重视.24．(1)证明见解析；(2) 6π. 【解析】分析：首先根据几何体的特征，建立相应的空间直角坐标系，第一问利用直线的方向向量与平面的法向量垂直得到线面平行的结果，第二问应用直线的方向向量与平面的法向量所成角的余弦值的绝对值等于线面角的正弦值，从而求得结果.详解：（1）以D 为原点建系，设棱长为2.()()()()()()1111,1,0,2,0,0,0,0,1,2,0,2,0,2,2,0,0,2O A E A C D ，()1,1,1OE =--，平面11ACD 的法向量()0,1,1n =， ·0OE n =//OE ∴平面11ACD ，点睛：该题考查的是有关利用空间向量解决空间关系以及空间角的问题，在解题的过程中，需要明确每个问题对应的结果是什么，以及用哪个量来衡量，要分清角的正弦和余弦的关系，要明确平面的法向量的求法以及直线的方向向量的意义.25．(1) 4a =；(2) 32-. 【解析】分析：第一问首先根据抛物线的焦点坐标与系数的关系，利用抛物线的焦点和准线之间的距离与方程中系数的关系，求得a 的值，第二问首先设出直线的方程，与抛物线的方程联立，利用韦达定理求得两根和与两根积，将向量的数量积用坐标公式整理，用配方法求得结果.学#科网详解：（1）由抛物线的定义得14a = 4a ∴=，（2）由（1）得抛物线C ： 24x y =设过F 点的直线l 的方程为()()11221,,,,y kx A x y B x y =+则()()1122·1,2?1,2AD BD x y x y ∴=------()()12121212142x x x x y y y y =++++-++2213842842k k k ⎛⎫=-+-=--- ⎪⎝⎭ 所以当14k =时， ·AD BD 的最大值为32-． 点睛：该题考查的是直线与抛物线的有关问题，在解题的过程中，需要注意抛物线的标准方程中的系数与焦点坐标的关系，再者涉及到直线与抛物线相交问题，就需要联立直线与抛物线的方程，利用向量数量积的坐标运算式对其进行整理，之后应用配方法求得其最值.。
2017年浙江省温州市十校联合体高二上期末数学试卷((有答案))AlPKwq
2016-2017学年浙江省温州市十校联合体高二（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（4分）准线方程是y=﹣2的抛物线标准方程是（）A．x2=8y B．x2=﹣8y C．y2=﹣8x D．y2=8x2．（4分）已知直线l1：x﹣y+1=0和l2：x﹣y+3=0，则l1与l2之间距离是（）A．B．C．D．23．（4分）设三棱柱ABC﹣A1B1C1体积为V，E，F，G分别是AA1，AB，AC的中点，则三棱锥E ﹣AFG体积是（）A．B．C．D．4．（4分）若直线x+y+m=0与圆x2+y2=m相切，则m的值是（）A．0或2 B．2 C．D．或25．（4分）在四面体ABCD中（）命题①：AD⊥BC且AC⊥BD则AB⊥CD命题②：AC=AD且BC=BD则AB⊥CD．A．命题①②都正确 B．命题①②都不正确C．命题①正确，命题②不正确D．命题①不正确，命题②正确6．（4分）设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面．考查下列命题，其中正确的命题是（）A．m⊥α，n⊂β，m⊥n⇒α⊥βB．α∥β，m⊥α，n∥β⇒m⊥nC．α⊥β，m⊥α，n∥β⇒m⊥n D．α⊥β，α∩β=m，n⊥m⇒n⊥β7．（4分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，二面角A﹣BD1﹣B1的大小是（）A．B．C． D．8．（4分）过点（0，﹣2）的直线交抛物线y2=16x于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，且y12﹣y22=1，则△OAB（O为坐标原点）的面积为（）A．B．C．D．9．（4分）已知在△ABC中，∠ACB=，AB=2BC，现将△ABC绕BC所在直线旋转到△PBC，设二面角P﹣BC﹣A大小为θ，PB与平面ABC所成角为α，PC与平面PAB所成角为β，若0＜θ＜π，则（）A．且B．且C．且D．且10．（4分）如图，F1，F2是椭圆C1与双曲线C2的公共焦点，点A是C1，C2的公共点．设C1，C2的离心率分别是e1，e2，∠F1AF2=2θ，则（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．11．（6分）双曲线C：x2﹣4y2=1的渐近线方程是，双曲线C的离心率是．12．（6分）某空间几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积V=cm3，表面积S=cm2．13．（4分）已知抛物线y2=4x的焦点为F，准线与x轴的交点为M，N为抛物线上的一点，则满足=．14．（6分）已知直线l1：y=mx+1和l2：x=﹣my+1相交于点P，O为坐标原点，则P点横坐标是（用m表示），的最大值是．15．（6分）四面体ABCD中，已知AB=AC=BC=BD=CD=1，则该四面体体积的最大值是，表面积的最大值是．16．（4分）过双曲线G：（a＞0，b＞0）的右顶点A作斜率为1的直线m，分别与两渐近线交于B，C两点，若|AB|=2|AC|，则双曲线G的离心率为．17．（4分）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是正方体棱上的一点（不包括棱的端点），对确定的常数m，若满足|PB|+|PD1|=m的点P的个数为n，则n的最大值是．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（14分）已知抛物线C：y2=4x，直线l：y=﹣x+b与抛物线交于A，B两点．（Ⅰ）若|AB|=8，求b的值；（Ⅱ）若以AB为直径的圆与x轴相切，求该圆的方程．19．（15分）在四棱锥E﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，EC⊥底面ABCD，F为BE的中点．（Ⅰ）求证：DE∥平面ACF；（Ⅱ）求证：BD⊥AE；（Ⅲ）若AB=CE，在线段EO上是否存在点G，使CG⊥平面BDE？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．20．（15分）如图，四棱锥P﹣ABCD，PA⊥底面ABCD，AB∥CD，AB⊥AD，AB=AD=PA=2，CD=4，E，F分别是PC，PD的中点．（Ⅰ）证明：EF∥平面PAB；（Ⅱ）求直线AC与平面ABEF所成角的正弦值．21．（15分）已知点C（x0，y0）是椭圆+y2=1上的动点，以C为圆心的圆过点F（1，0）．（Ⅰ）若圆C与y轴相切，求实数x0的值；（Ⅱ）若圆C与y轴交于A，B两点，求|FA|•|FB|的取值范围．22．（15分）已知椭圆C的方程是，直线l：y=kx+m与椭圆C有且仅有一个公共点，若F1M⊥l，F2N⊥l，M，N分别为垂足．（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）求四边形F1MNF2面积S的最大值．2016-2017学年浙江省温州市十校联合体高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（4分）准线方程是y=﹣2的抛物线标准方程是（）A．x2=8y B．x2=﹣8y C．y2=﹣8x D．y2=8x【解答】解：由题意可知抛物线的焦点在y轴的正半轴，设抛物线标准方程为：x2=2py（p＞0），∵抛物线的准线方程为y=﹣2，∴=2，∴p=4，∴抛物线的标准方程为：x2=8y．故选A．2．（4分）已知直线l1：x﹣y+1=0和l2：x﹣y+3=0，则l1与l2之间距离是（）A．B．C．D．2【解答】解：∵已知平行直线l1：x﹣y+1=0与l2：x﹣y+3=0，∴l1与l2间的距离d==，故选C．3．（4分）设三棱柱ABC﹣A1B1C1体积为V，E，F，G分别是AA1，AB，AC的中点，则三棱锥E ﹣AFG体积是（）A．B．C．D．【解答】解：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1体积为V，∴V=S•AA1，△ABC∵E，F，G分别是AA1，AB，AC的中点，∴S=，，△AFG∴三棱锥E﹣AFG体积：V E﹣AFG===S△ABC•AA1=．故选：D．4．（4分）若直线x+y+m=0与圆x2+y2=m相切，则m的值是（）A．0或2 B．2 C．D．或2【解答】解：∵圆x2+y2=m的圆心为原点，半径r=∴若直线x+y+m=0与圆x2+y2=m相切，得圆心到直线的距离d==，解之得m=2（舍去0）故选B．5．（4分）在四面体ABCD中（）命题①：AD⊥BC且AC⊥BD则AB⊥CD命题②：AC=AD且BC=BD则AB⊥CD．A．命题①②都正确 B．命题①②都不正确C．命题①正确，命题②不正确D．命题①不正确，命题②正确【解答】解：对于①作AE⊥面BCD于E，连接DE，可得AE⊥BC，同理可得AE⊥BD，证得E 是垂心，则可得出AE⊥CD，进而可证得CD⊥面AEB，即可证出AB⊥CD，故①正确；对于②，取CD的中点O，连接AO，BO，则CD⊥AO，CD⊥BO，∵AO∩BO=O，∴CD⊥面ABO，∵AB⊂面ABO，∴CD⊥AB，故②正确．故选A．6．（4分）设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面．考查下列命题，其中正确的命题是（）A．m⊥α，n⊂β，m⊥n⇒α⊥βB．α∥β，m⊥α，n∥β⇒m⊥nC．α⊥β，m⊥α，n∥β⇒m⊥n D．α⊥β，α∩β=m，n⊥m⇒n⊥β【解答】解：设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则：m⊥α，n⊂β，m⊥n时，α、β可能平行，也可能相交，不一定垂直，故A不正确α∥β，m⊥α，n∥β时，m与n一定垂直，故B正确α⊥β，m⊥α，n∥β时，m与n可能平行、相交或异面，不一定垂直，故C错误α⊥β，α∩β=m时，若n⊥m，n⊂α，则n⊥β，但题目中无条件n⊂α，故D也不一定成立，故选B．7．（4分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，二面角A﹣BD1﹣B1的大小是（）A．B．C． D．【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为1，则A（1，0，0），B（1，1，0），B1（1，1，1），D1（0，0，1），=（0，﹣1，0），=（﹣1，﹣1，1），=（0，0，1），设平面ABD1的法向量=（x，y，z），则，取y=1，得，设平面BB1D1的法向量=（a，b，c），则，取a=1，得=（1，﹣1，0），设二面角A﹣BD1﹣B1的大小为θ，则cosθ===﹣，∴θ=．∴二面角A﹣BD1﹣B1的大小为．故选：C．8．（4分）过点（0，﹣2）的直线交抛物线y2=16x于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，且y12﹣y22=1，则△OAB（O为坐标原点）的面积为（）A．B．C．D．【解答】解：设直线方程为x=my+2m，代入y2=16x可得y2﹣16my﹣32m=0，∴y1+y2=16m，y1y2=﹣32m，∴（y1﹣y2）2=256m2+128m，∵y12﹣y22=1，∴256m2（256m2+128m）=1，∴△OAB（O为坐标原点）的面积为|y1﹣y2|=．故选：D．9．（4分）已知在△ABC中，∠ACB=，AB=2BC，现将△ABC绕BC所在直线旋转到△PBC，设二面角P﹣BC﹣A大小为θ，PB与平面ABC所成角为α，PC与平面PAB所成角为β，若0＜θ＜π，则（）A．且B．且C．且D．且【解答】解：在△ABC中，∠ACB=，AB=2BC，可设BC=a ，可得AB=PB=2a ，AC=CP=a ，过C 作CH ⊥平面PAB ，连接HB ，则PC 与平面PAB 所成角为β=∠CPH ，且CH ＜CB=a ， sinβ=＜=； 由BC ⊥AC ，BC ⊥CP ，可得二面角P ﹣BC ﹣A 大小为θ，即为∠ACP ，设P 到平面ABC 的距离为d ，由BC ⊥平面PAC ，且V B ﹣ACP =V P ﹣ABC ， 即有BC•S △ACP =d•S △ABC ， 即a••a•a•sinθ=d••a•a解得d=sinθ， 则sinα==≤， 即有α≤． 另解：由BC ⊥AC ，BC ⊥CP ，可得二面角P ﹣BC ﹣A 大小为θ，即为∠ACP以C 为坐标原点，CA 为x 轴，CB 为z 轴，建立直角坐标系O ﹣xyz ， 可设BC=1，则AC=PC=，PB=AB=2， 可得P （cosθ，sinθ，0），过P 作PM ⊥AC ，可得PM ⊥平面ABC ，∠PBM=α，sinα==≤，可得α≤； 过C 作CN 垂直于平面PAB ，垂足为N ，则∠CPN=β， sinβ==＜=．故选：B ．10．（4分）如图，F1，F2是椭圆C1与双曲线C2的公共焦点，点A是C1，C2的公共点．设C1，C2的离心率分别是e1，e2，∠F1AF2=2θ，则（）A．B．C．D．【解答】解：根据椭圆的几何性质可得，=b 12tanθ，∵e1=，∴a1=，∴b12=a12﹣c2=﹣c2，∴=c2（）tanθ根据双曲线的几何性质可得，=，∵a2=，∴b22=c2﹣a22=c2﹣=c2（）∴=c2（）•，∴c2（）tanθ=c2（）•，∴（）sin2θ=（）•cos2θ，∴，故选：B二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．11．（6分）双曲线C：x2﹣4y2=1的渐近线方程是y=±x，双曲线C的离心率是．【解答】解：双曲线C：x2﹣4y2=1，即为﹣=1，可得a=1，b=，c==，可得渐近线方程为y=±x；离心率e==．故答案为：y=±x；．12．（6分）某空间几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积V=cm3，表面积S=cm2．【解答】解：由题意，该几何体是以俯视图为底面，有一条侧棱垂直于底面的三棱锥，所以V==cm3，S=+++=．故答案为：；．13．（4分）已知抛物线y2=4x的焦点为F，准线与x轴的交点为M，N为抛物线上的一点，则满足=．【解答】解：设N到准线的距离等于d，由抛物线的定义可得d=|NF|，由题意得cos∠NMF===∴∠NMF=．故答案为：．14．（6分）已知直线l1：y=mx+1和l2：x=﹣my+1相交于点P，O为坐标原点，则P点横坐标是（用m表示），的最大值是．【解答】解：直线l1：y=mx+1和l2：x=﹣my+1相交于点P，∴，∴x=﹣m（mx+1）+1，解得x=，y=m×+1=，∴P点横坐标是；∴=（﹣，﹣），∴=+=≤2，且m=0时“=”成立；∴的最大值是．故答案为：，．15．（6分）四面体ABCD中，已知AB=AC=BC=BD=CD=1，则该四面体体积的最大值是，表面积的最大值是+1．【解答】解：∵四面体ABCD中，AB=AC=BC=BD=CD=1，∴当平面ABC⊥平面BDC时，该四体体积最大，此时，过D作DE⊥平面ABC，交BC于E，连结AE，则AE=DE==，∴该四面体体积的最大值：S max==．∵△ABC，△BCD都是边长为1的等边三角形，面积都是S==，∴要使表面积最大需△ABD，△ACD面积最大，∴当AC⊥CD，AB⊥BD时，表面积取最大值，此时=，四面体表面积最大值S max==1+．故答案为：，．16．（4分）过双曲线G：（a＞0，b＞0）的右顶点A作斜率为1的直线m，分别与两渐近线交于B，C两点，若|AB|=2|AC|，则双曲线G的离心率为或．【解答】解：由题得，双曲线的右顶点A（a，0）所以所作斜率为1的直线l：y=x﹣a，若l与双曲线M的两条渐近线分别相交于点B（x1，y1），C（x2，y2）．联立其中一条渐近线y=﹣x，则，解得x2=①；同理联立，解得x1=②；又因为|AB|=2|AC|，（i）当C是AB的中点时，则x2=⇒2x2=x1+a，把①②代入整理得：b=3a，∴e===；（ii）当A为BC的中点时，则根据三角形相似可以得到，∴x1+2x2=3a，把①②代入整理得：a=3b，∴e===．综上所述，双曲线G的离心率为或．故答案为：或．17．（4分）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是正方体棱上的一点（不包括棱的端点），对确定的常数m，若满足|PB|+|PD1|=m的点P的个数为n，则n的最大值是12．【解答】解：∵正方体的棱长为1，∴BD1=，∵点P是正方体棱上的一点（不包括棱的端点），满足|PB|+|PD1|=m，∴点P是以2c=为焦距，以2a=m为长半轴的椭圆，∵P在正方体的棱上，∴P应是椭圆与正方体与棱的交点，结合正方体的性质可知，满足条件的点应该在正方体的12条棱上各有一点满足条件．∴满足|PB|+|PD1|=m的点P的个数n的最大值是12，故答案为12．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（14分）已知抛物线C：y2=4x，直线l：y=﹣x+b与抛物线交于A，B两点．（Ⅰ）若|AB|=8，求b的值；（Ⅱ）若以AB为直径的圆与x轴相切，求该圆的方程．【解答】解：（Ⅰ）设A（x1，y1），B（x2，y2），由抛物线C：y2=4x，直线l：y=﹣x+b得y2+4y ﹣4b=0﹣﹣﹣﹣﹣（2分）∴|AB|=|y1﹣y2|===8﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）解得b=1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）（Ⅱ）以AB为直径的圆与x轴相切，设AB中点为M|AB|=|y1+y2|又y1+y2=﹣4﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）∴4=解得b=﹣，则M（，﹣2）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）∴圆方程为（x﹣）2+（y+2）2=4﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）19．（15分）在四棱锥E﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，EC⊥底面ABCD，F为BE的中点．（Ⅰ）求证：DE∥平面ACF；（Ⅱ）求证：BD⊥AE；（Ⅲ）若AB=CE，在线段EO上是否存在点G，使CG⊥平面BDE？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．【解答】解：（I）连接OF．由ABCD是正方形可知，点O为BD中点．又F为BE的中点，所以OF∥DE．又OF⊂面ACF，DE⊄面ACF，所以DE∥平面ACF…．（4分）（II）证明：由EC⊥底面ABCD，BD⊂底面ABCD，∴EC⊥BD，由ABCD是正方形可知，AC⊥BD，又AC∩EC=C，AC、E⊂平面ACE，∴BD⊥平面ACE，又AE⊂平面ACE，∴BD⊥AE…（9分）（III）：在线段EO上存在点G，使CG⊥平面BDE．理由如下：取EO中点G，连接CG，在四棱锥E﹣ABCD中，AB=CE，CO=AB=CE，∴CG⊥EO．由（Ⅱ）可知，BD⊥平面ACE，而BD⊂平面BDE，∴平面ACE⊥平面BDE，且平面ACE∩平面BDE=EO，∵CG⊥EO，CG⊂平面ACE，∴CG⊥平面BDE故在线段EO上存在点G，使CG⊥平面BDE．由G为EO中点，得．…（14分）20．（15分）如图，四棱锥P﹣ABCD，PA⊥底面ABCD，AB∥CD，AB⊥AD，AB=AD=PA=2，CD=4，E，F分别是PC，PD的中点．（Ⅰ）证明：EF∥平面PAB；（Ⅱ）求直线AC与平面ABEF所成角的正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：因为E，F分别是PC，PD的中点，所以EF∥CD，又因为CD∥AB，所以EF∥AB，又因为EF⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，所以EF∥平面PAB．（Ⅱ）解：取线段PA中点M，连结EM，则EM∥AC，故AC与面ABEF所成角的大小等于ME与面ABEF所成角的大小．作MH⊥AF，垂足为H，连结EH．因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AB，又因为AB⊥AD，所以AB⊥平面PAD，又因为EF∥AB，所以EF⊥平面PAD．因为MH⊂平面PAD，所以EF⊥MH，所以MH⊥平面ABEF，所以∠MEH是ME与面ABEF所成的角．在直角△EHM中，EM=AC=，MH=，得sin∠MEH=．所以AC与平面ABEF所成的角的正弦值是．21．（15分）已知点C（x0，y0）是椭圆+y2=1上的动点，以C为圆心的圆过点F（1，0）．（Ⅰ）若圆C与y轴相切，求实数x0的值；（Ⅱ）若圆C与y轴交于A，B两点，求|FA|•|FB|的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当圆C与y轴相切时，|x0|=，（2分）又因为点C在椭圆上，所以，（3分）解得，（5分）因为﹣，所以．（6分）（Ⅱ）圆C的方程是（x﹣x0）2+（y﹣y0）2=（x0﹣1）2+，令x=0，得y2﹣2y0y+2x0﹣1=0，设A（0，y1），B（0，y2），则y1+y2=2y0，y1y2=2x0﹣1，（8分）由，及得﹣2﹣2＜x0＜﹣2+2，又由P点在椭圆上，﹣≤x 0≤，所以﹣≤，（10分）|FA|•|FB|=•=（12分）===，（14分）所以|FA|•|FB|的取值范围是（4，2+2]．（15分）22．（15分）已知椭圆C的方程是，直线l：y=kx+m与椭圆C有且仅有一个公共点，若F1M⊥l，F2N⊥l，M，N分别为垂足．（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）求四边形F1MNF2面积S的最大值．【解答】解：（Ⅰ）证明：将直线的方程y=kx+m代入椭圆C的方程3x2+4y2=12中，得（4k2+3）x2+8kmx+4m2﹣12=0．由直线与椭圆C仅有一个公共点知，△=64k2m2﹣4（4k2+3）（4m2﹣12）=0，化简得：m2=4k2+3．设d1=|F1M=，d2=|F2M|=，d1d2=•===3，|F 1M|+|F2M|=d1+d2≥=2．（Ⅱ）当k≠0时，设直线的倾斜角为θ，则|d1﹣d2|=|MN||tanθ|，∴|MN|=，S=|MN|•（d1+d2）====，∵m2=4k2+3，∴当k≠0时，|m|，∴＞+=，∴S．当k=0时，四边形F1MNF2是矩形，．所以四边形F1MNF2面积S的最大值为2．。
温州八校2017学年第一学期期末联考高二数学试题(解析版)
温州市八校协作体2017-2018学年高二上学期期末联考数学试题1.已知集合{|0}A x x =>，{|01}B x x =<<，那么A B =I （ ）A. (1,)-+∞B. (0,1)C. (1,0]-D. (1,1)-【答案】B【解析】 {}()0,{|01},0,1.A x x B x x A B ==<<∴⋂=Q本题选择B 选项.2.若2(1)z a a i =+-，a R ∈（i 为虚数单位）为实数，则a 的值为（ ）A. 0B. 1C. 1-D. 1或1- 【答案】D【解析】若()21z a a i =+-，a R ∈（i 为虚数单位）为实数，则210, 1.a a -=∴=± 本题选择D 选项.3.设0a >且1a ≠，则“log 1a b >”是“1b a >>”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】当1a >时，log 1log a a b a >=，所以1b a >>；当01a <<时，log 1log a a b a >=，所以01b a <<<．所以是必要不充分条件，故选B ．4.设函数()f x 对任意x ∈R 都有(2)()f x f x +=-且(2)2f =，则(2018)f =（ ）A. 2B. 2-C. 2018D. 2018- 【答案】A【解析】 ()()()()2,(4)2,()f x f x f x f x f x f x +=-∴+=-+=∴Q 为周期函数，且周期为4，()()2018(45042)2 2.f f f ∴=⨯+==本题选择A 选项.5.已知函数()ln f x x =，2()3g x x =-+，则()?()f x g x 的图象大致为（ ）A .B. C.D.【答案】C【解析】 【详解】因为函数()ln f x x =，()23g x x =-+，可得()()•f x g x 是偶函数，图象关于y 轴对称，排除,A D ；又()0,1x ∈时，()()0,0f x g x <>,所以()()•0f x g x <,排除B ,故选C.【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及0,0,,x x x x +-→→→+∞→-∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.6.能推断出函数()y f x =在R 上为增函数的是（ ）A. 若,m n R ∈且m n <，则(3)(3)m n f f <B. 若,m n R ∈且m n <，则11(())(())22m nf f <C. 若,m n R ∈且m n <，则22()()f m f n <D. 若,m n R ∈且m n <，则33()()f m f n <【答案】D【解析】若,m n R ∈且m n <，则033,m n <<不能得到函数()y f x =在R 上为增函数，故A 错误；若,m n R ∈且m n <，则110,22m n ⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭不能得到函数()y f x =在R 上为增函数，故B 错误； 若,m n R ∈且m n <，则0m n <<时，220;m n <<0m n <<时，220;m n >>0m n <<时，2m 与2n 大小关系不确定，所以不能得到函数()y f x =在R 上为增函数，故C 错误；若,m n R ∈且m n <，则3333,,,m R n R m n ∈∈<又()()33f mf n <，所以函数()y f x =在R 上为增函数，故D 正确.本题选择D 选项.7.下列命题正确的是（ ）A. 若直线l 不平行于平面α，则α内不存在直线平行于直线lB. 若直线l 不垂直于平面α，则α内不存在直线垂直于直线lC. 若平面α不平行于平面β，则β内不存在直线平行于平面αD. 若平面α不垂直于平面β，则β内不存在直线垂直于平面α【答案】D【解析】当直线l 含于平面α时，则α内存在无数条直线平行于直线l ，故A 错误；当直线l 含于或平行于或斜交于平面α时，α内存在无数条直线垂直于直线l ，故B 错误；当平面α与平面β相交时，β内平行于交线的直线都平行于平面α，故C 错误；本题选择D 选项. 8.设12,F F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，P 是双曲线右支上的点，射线PT 是12F PF ∠的角平分线，过原点O 作PT 的平行线交于点M ，若121||||3MP F F =，则双曲线的离心率是（ ）A. B. C. 3 D. 32【答案】D【解析】由题意可得：11MP OTPF FT =，则123c OT PF c OT =+ ① 由角平分线的性质可得：1212PF PF FT F T =，结合11PF MP FT OT =， 故：1223c PF a OT c OT-=- ② 由①可得：()123c c OT PF OT+=， 由②可得：()1232c c OT PF a OT-=+， 据此有：()()22332c c OT c c OT a OT OT+-=+， 整理可得：()()22233c c OT c c OT a OT +=-+， 据此得：432,32c c a e a =∴==. 本题选择D 选项.点睛：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出a ，c ，代入公式c e a=； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝c 2－a 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．9.已知四边形ABCD ，2AB BD DA ===，BC CD ==现将ABD ∆沿BD 折起，使二面角A BD C --的大小在5[,]66ππ内，则直线AB 与CD 所成角的余弦值取值范围是（ ）A.B.C. ⋃D. 【答案】A【解析】取BD 中点O ，连结AO ，CO ，∵AB =BD =DA =2.BC =CD =2,∴CO ⊥BD ,AO ⊥BD ,且CO =1,AO =3，∴∠AOC 是二面角A −BD −C 的平面角，以O 为原点，OC 为x 轴，OD 为y 轴，过点O 作平面BCD 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，B (0,−1,0),C (1,0,0),D (0,1,0)，设二面角A −BD −C 的平面角为θ,则5,66ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 连AO 、BO ,则∠AOC =θ,()3cos ,0,3sin A θθ， ∴()()3cos ,1,3sin ,1,1,0BA CD θθ==-u u u v u u u v ，设AB 、CD 的夹角为α，则13cos cos 22AB CD AB CDu u u v u u u v u u u v u u u v θα-⋅==⨯， ∵5,66ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,∴33cos ,θ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， 故55213cos 0,,cos 0,2θα⎡⎤⎡⎤-∈∴∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. 本题选择A 选项.10.若三次函数32()f x x bx cx d =+++有极值点12,x x 且11()f x x =，设()g x 是()f x 的导函数，那么关于x 的方程(())0g f x =的不同实数根的个数为（ ）A. 6B. 5C. 4D. 3【答案】D【解析】由题意可得函数()232g x x bx c =++有两个不同的实数根12,x x ，其中321111x bx cx d x +++=，()()0g f x =则：()1f x x =或()2f x x =，据此分类讨论：①若12x x <，当()1f x x =时，1x x =或3x x =，当()2f x x =时，4x x =，此时共有三个不同的实数根124,,x x x .②若12x x >，当()1f x x =时，1x x =或3x x =，当()2f x x =时，4x x =，此时共有三个不同的实数根124,,x x x .②若12x x =，()f x 没有极值点，不合题意.综上可得，方程()()0g f x =的不同实数根的个数为3.本题选择D 选项.点睛：函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．11.函数()f x =的定义域为__________；值域为__________．【答案】 (1). 1,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ (2). [)0,+∞ ；【解析】由1310,3x x +≥∴≥-，所以函数()f x =1,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭； ()310,0,x f x +≥∴=Q 所以函数()f x =[)0,+∞.12.若218a =，2log 3b =，则2a b -= __________；1a b-=__________． 【答案】 (1). 6 (2). 2【解析】 2218log 3,23,26;23a b a b b b -=∴=∴===Q2222223222218,log 18,log 3,log 181log 18log 2log 91log 9 2.log 3log 3log 3a ab a b =∴==---∴=====Q Q 13.已知曲线x y e -=，则其图像上各点处的切线斜率的取值范围为 __________；该曲线在点(0,1)处的切线方程为__________．【答案】 (1).(,0)-∞ (2). 10x y +-=【解析】 ,0,x x y e y e Q ---'=∴=<所以其图像上各点处的切线斜率的取值范围为(),0-∞；0,,|1,x x x y e y e y --==∴=-∴'∴=-'Q 该曲线在点()0,1处的切线方程为11(0)y x -=--，即10x y +-=. 14.某几何体的三视图如图所示，则俯视图的面积为__________；此几何体的体积__________.【答案】 (1).22π+ (2). 83π+ 【解析】 根据几何体的三视图可得为圆柱的一半与一个四棱锥的联合体，圆柱的底面半径为1，高为2，四棱锥的底面是一个边长为2的正方形，高为2∴俯视图的面积为2111222222ππ⨯⨯+⨯⨯=+ ∴几何体的体积为211812222233ππ⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+ 点睛：在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要从三个视图综合考虑，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线．在还原空间几何体实际形状时，一般是以正视图和俯视图为主，结合侧视图进行综合考虑．15.已知F 为椭圆2215x y +=的右焦点，M 为第一象限椭圆上的点，且MF x ⊥轴，直线MN 与圆221x y +=相切点N ，则||MN 等于__________．【解析】 由通径公式可得：2b MF a ==M ⎛ ⎝，由两点之间距离公式可得：OM ==，结合勾股定理可得：MN ===16.已知函数2()|log |f x x =，记函数()f x 在区间[],2t t +上的最大值为t M ，最小值为t m ，设函数()t t h t M m =-，若1[,4]2t ∈，则函数()h t 的值域为__________． 【答案】223log ,log 32⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】函数()f x 的图像如图所示，结合函数的图像分类讨论：当()0,1t ∈时，()22,3t +∈，函数()f x 在区间[],1t 上单调递减，在区间[]1,2t +上单调递增，()()(){}10,max ,2t t m f M f t f t ===+，求解方程()()2f t f t =+可得：1t =，当()1t ∈时，()()22log ,0,log t t M f t t m h t t ==-==-，当)1,1t ∈时，()()()()222log 2,0,log 2t t M f t t m h t t =+=+==+，当[)1,t ∈+∞时，()f x 在区间[],2t t +上单调递增，()()()()22222log 2log log 1h t f t f t t t t ⎛⎫=+-=+-=+ ⎪⎝⎭，综上可得：()()222log ,021log2,2112log 1,1t t h t t t t t ⎧⎪-<<-⎪⎪=+-<<⎨⎪⎛⎫⎪+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩，结合对数函数的性质可得函数()h t 的值域为223,32log log ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.点睛：求函数的值域的方法：①当所给函数是分式的形式，且分子、分母是同次的，可考虑用分离常数法；②若与二次函数有关，可用配方法；③当函数的图象易画出时，可以借助于图象求解．17.在边长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别为1,DA BB 的中点，,M N 分别为线段1111,D A A B 上的动点（不包括端点）满足EN FM ⊥，则线段MN 的长度的取值范围为__________．【答案】255⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，由题意可得：()()1,0,0,2,2,1E F ，设()(),0,2,2,,2M x N y ，其中02,02x y <<<<，则()()1,,2,2,2,1EN y FM x u u u v u u u u v ==--，()(),1,,2.2,2,120EN FM EN FM y x x y ⊥∴⋅=--=-=u u u v u u u u v u u u v u u u u v Q ，据此可得：2,02,01x y x y =<<∴<<Q ，由空间中两点之间距离公式可得：()()()22222222222445,55MN x y y y y =-++-=-+⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ 当45y =时，255MN =，当0y =时，2MN =， 结合二次函数的性质可得线段MN 的长度的取值范围为25,2⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭.点睛：1．用向量法解决立体几何问题，是空间向量的一个具体应用，体现了向量的工具性，这种方法可把复杂的推理证明、辅助线的作法转化为空间向量的运算，降低了空间想象演绎推理的难度，体现了由“形”转“数”的转化思想．2．两种思路：(1)选好基底，用向量表示出几何量，利用空间向量有关定理与向量的线性运算进行判断．(2)建立空间坐标系，进行向量的坐标运算，根据运算结果的几何意义解释相关问题．18.已知点(6,4)P 和直线:4l y x =，直线m 过点P 且分别与l 和x 轴交于,A B 两点，且点A 在第一象限.（1）当OP AB ⊥时，求AB 所在直线的直线方程；（2）当点(6,4)P 为AB 的中点时，求以AB 为直径的圆的方程.【答案】（1）32260x y +-=； （2）22(6)(4)32x y -+-=【解析】试题分析：（1）由题意可知2,3OP k =则32AB k =- ,直线AB 方程为：32260x y +-=；（2）由题意可知()10,0B ,()2,8A ，则圆的直径为AB =，圆的方程为：()()226432x y -+-=试题解析： （1）23,32OP AB k k =∴=-Q ,所以直线AB 方程为：32260x y +-=；（2）由()6,4P 为AB 的中点时,可知()10,0B ,()2,8A AB =， 所以以AB 为直径的圆的方程为：()()226432x y -+-=. 19.已知函数2()f x x ax a =++，()g x x =（1）若函数()()()F x f x g x =-的值域为[0,)+∞，求实数a 的值；（2）若函数2log ((2)1)xy f =+与()g x 图像有交点，求实数a 的取值范围.【答案】（1）3a =±（2）3a ≤-【解析】 试题分析：（1）函数的解析式()()21F x x a x a =+-+，满足题意时有2610a a ∆=-+= ，据此可得3a =±；（2）由题意可得方程()()221?210xxa a +-++= ，利用换元法，令2,0x t t =>，则方程()2110t a t a +-++=在()0,+∞ 上有解，结合均值不等式的结论可得3a ≤-试题解析：（1）由()()21F x x a x a =+-+，()2214610a a a a ∆=--=-+= ，得3a =±；（2）由()()221xlog f x +=，得()()221?210xx a a +-++= ，令2,0xt t =>，得关于t 的方程()2110t a t a +-++= 在()0,+∞ 上有解，得()()()()221311,1311tt a t t t a t t t -+⎡⎤+=--+=-=-++-⎢⎥++⎣⎦，由于()()31331t t ⎡⎤-++-≤-⎢⎥+⎣⎦，得3a ≤-20.如图，在三棱锥A BCD -中，BCD V 是正三角形，E 为其中心.面ABC ⊥面BCD ，30ACB ∠=o，2AB BC ==，M 是BD 的中点，2AN NM =u u u r u u u u r.（1）证明：//EN 面ABC ；（2）求BC 与面ANE 所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（27【解析】 【分析】（1）连接CM ，由重心的性质可得在AMC V 中有AN CENM EM=，则//EN AC ，结合线面平行的判定定理可得//EN 平面ABC ；（2）解法一：作AF BC ⊥交CB 的延长线于F ，作//FH BM 交CM 的延长线于H ，由题意可得FCG ∠为BC 与面ANE 所成角，7sin 7FG FCG FC ∠==； 解法二：以BC 中点为原点，建立空间直角坐标系.可得()2,0,0CB =u u u r，面ANE的法向量为(3,3n =-r，则所求角的正弦值7sin cos<,>7n CB θ==r u u u r. 【详解】（1）连接CM ，因为E 是正三角形BCD V 的中心，所以E 在CM 上且2CE EM =，又2AN NM =u u u r u u u u r ，所以在AMC V 中有AN CENM EM=， 所以//EN AC ，又EN ⊄平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，所以//EN 平面ABC ；（2）解法一：作AF BC ⊥交CB延长线于F ，作//FH BM 交CM 的延长线于H ，Q 面ABC ⊥面BCD ，面ABC I 面BCD BC =，AF BC ⊥，AF ⊂面ABC ，AF ∴⊥面BCD ，CH ⊂Q 平面BCD ，所以AF CH ⊥，又//FH BM ，所以FH CH ⊥，所以CH ⊥面AFH ，CH ⊂Q 平面ACH ，所以，面ACH ⊥面AFH ， 作FG AH ⊥，则FG ⊥面ACH ，连接CG ，则FCG ∠为BC 与面ANE 所成的角， ∴7sin FG FCG FC ∠==，即BC 与面ANE 所成角的正弦值为7； 解法二：以BC 中点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.2AB BC ==Q ，30ACB ∠=o ，(3A ∴，()1,0,0B ，()1,0,0C -，()0,3,0D -，13,2M ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭， (3CA =u u u r ，33,22CM ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u u r ，()2,0,0CB =u u ur .设面ANE 的法向量为(),,n x y z =r ，则00n CA n CM ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u u v v ，即3303302x z x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩， 取(3,3n =-r ，7sin cos<,>7n CB n CB n CBθ⋅∴===⋅r u u u r r u u u r r u u u r ，因此，BC 与面ANE所成角的正弦值为77. 【点睛】本题考查线面平行的证明，同时也考查了线面角正弦值的计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.21.已知点F 是抛物线22,(0)x py p =>的焦点，点A 是抛物线上的点，且(2,0)AF =u u u v，点,B C 是抛物线上的动点，抛物线在,B C 处的切线交于点D .（1）求抛物线的方程；（2）设直线,AC AB 的斜率分别为12,k k ，若BCD ∆的面积为32，求证：21k k -为定值. 【答案】（1）24x y =；（2）证明见解析 【解析】 试题分析：（1）设()00,,0,,2p A x y F ⎛⎫⎪⎝⎭结合()00,2,02p AF x y ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭u u u v 可得抛物线的方程为24x y =（2）设()221212,,,,2,144x x B x C x A ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，则过点B 的切线方程为21124x x y x =- ，过点C 的切线方程为22224x x y x =-，则BC 中点221212,28x x x x P ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，由面积公式121·322BCD S DP x x ∆=-= ,得：128x x -= 故212124x x k k --== 为定值. 试题解析：（1）设()()0000,,0,,,2,022p p A x y F AF x y ⎛⎫⎛⎫=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u v ，得02,2x p =-= 所以抛物线的方程为24x y = ；（2）设()221212,,,,2,144x x B x C x A ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 过点B 的切线方程为()211142x x y x x -=- ，即21124x x y x =- ，同理过点C 的切线方程为22224x x y x =-，由2112222424x x y x x x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得，1212·,24D D x x x x x y +== ,即1212·,24x x x x D +⎛⎫ ⎪⎝⎭， 取BC 中点221212,28x x x x P ⎛⎫++ ⎪⎝⎭， 322121212121211··32228416BCDx x x x x x S DP x x x x ∆-+=-=--== ,得：128x x -= ， 由21121211224,244x x x k k x ---===+ ，212124x x k k --== 为定值.点睛：直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系； 求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．22.已知函数21()ln (1)2f x x ax a x =-+-（0a >）. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）试问：函数()f x 图像上是否存在不同两点1122(,),(,)A x y B x y ，使得()f x 在122x x x +=处的切线l 平行于直线AB ，若存在，求出,A B 的坐标，若不存在，说明理由.【答案】（1）()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减；（2）证明见解析. 【解析】 试题分析：（1）结合函数的解析式可得()()()11ax x f x x+-'-=，据此可得()f x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减.（2）假设存在两点()()1122,,,A x y B x y ，不妨设120x x <<，则()2121122121112AB y y lnx lnx k a x x a x x x x --==-++---，且函数在1202x x x +=处的切线斜率()()120122·12x x k f x a a x x +==-+-+'，据此整理计算有： ()22112212112121x x x x x ln x x x x x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭==++，令21x t x =，则1t >，则：()214211t lnt t t -==-++，421lnt t +=+，利用导函数研究函数的性质可得在()1,+∞内不存在t ，使得421lnt t +=+ ，则函数()f x 图象上是不存在满足题意的点. 试题解析： （1）由()()()1111ax x f x ax a x x+-=-+-=-'，又0,0a x >> 得10ax +> 故，当01x <<时，()0f x '>，当1x >时()0f x '<，∴ ()f x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减；（2）假设存在两点()()1122,,,A x y B x y ，不妨设120x x <<，则：()21111112y lnx ax a x =-+-，()22222112y lnx ax a x =-+-，故()()()()22212121212121112ABlnx lnx a x x a x x y y kx x x x ---+---==--=()211221112lnx lnx a x x a x x --++--， 在函数图象1202x x x +=处的切线斜率()()12120122·122x x x x k f x f a a x x ++⎛⎫===-+-⎪+⎝⎭''， 得：()211221112lnx lnx a x x a x x --++-- ()12122·12x x a a x x +=-+-+，化简得：2121122lnx lnx x x x x -=-+， ()22112212112121x x x x x ln x x x x x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭==++， 令21x t x =，则1t >，上式化为：()214211t lnt t t -==-++，即421lnt t +=+， 若令()41g t lnt t =++，()()()()222114'11t g t t t t t -=-=++， 由()1,0t g t '≥≥， ()g t ∴在[)1,+∞上单调递增，()()12g t g >=， 这表明在()1,+∞内不存在t ，使得421lnt t +=+ . 综上，函数()f x 图象上是不存在不同两点()()1122,,,A x y B x y ，使得()f x 在122x x x +=处的切线l 平行于直线AB .点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．。
浙江省温州新力量联盟2017-2018学年高二上学期期末联考数学试题 扫描版含答案
2017学年第一学期温州新力量联盟期末联考高二年级数学学科参考答案二、填空题（每空4分，共24分）17、023=±y x 18、（1，-2,1） 19、0 20、510 21、62=+b k 22、2三．解答题（，每题12分，共48分）23、（1）解:（1）∵21=AB k 且AB AD ⊥ ∴2-=AD k …………3分 ∴ 直线AD 方程为)2(21+-=-x y ……………2分即032=++y x ………………………………1分（2）由⎩⎨⎧=++=--032062y x y x 得)2,0(-A ………………………2分 ∴圆心)1,3(M ，半径||r MD 5==……………… 2分∴矩形ABCD 外接圆的方程为22(3)(1)25x y -+-=……2分24、（1）连结AE ，显然F AE BD =∵F G ,分别是BD EC ,的中点∴AC GF //………………………………………………2分∵⊄GF 面ABC ，⊂AC 面ABC∴//GF 平面ABC ………………………………………3分（2）∵面⊥AB ED 面ABC ，面 A B E D 面AB ABC =，⊂BE 面ABED ，AB BE ⊥∴⊥BE 面ABC ………………………………………3分∴AC BE ⊥…………………………………………. 2分又∵BC AC ⊥且B BC BE =∴直线⊥AC 平面BEC ………………………………2分25、（1）设),(y x P ，由4321-=PA PA k k 得4322-=-⋅+x y x y ………………2分 化简得)0(13422≠=+y y x ………………………………………. 2分（未写0≠y 扣1分） （2）设直线P A 1的斜率为k ，则直线P A 1的方程为)2(+=x k y 得)6,4(k M直线P A 1的方程为)2(43--=x k y ，得)23,4(kN -……………………3分 3)23(612)23,2()6,6(21=-⋅+=-⋅=⋅kk k k A A ……………………2分 （3）18|)23||6(|36|236|211≥+=⨯+⨯=∆kk k k S MN A ， 当且仅当21±=k 时取到最小值18…………………………………………3分 26、解法1：(I) ABC ∆是等腰三角形，D 是AB 的中点， CD AB ⊥∴ ⊥PC 平面ABC ．AB PC ⊥∴PC CD C =，,PC CD ⊂平面PCD∴AB ⊥平面PCD ．又AB ⊂平面PAB ， ∴平面PAB ⊥平面PCD ． ………………4分 (II)过点C 作PD CH ⊥，垂足为H ，连接BH ，由(I)知，平面PAB ⊥平面PCD ．平面PAB 平面PCD PD =CH ∴⊥平面PAB ，即CBH ∠就是直线BC 与平面PAB 所成的角．设CBH ϕ∠=在Rt CHD △中，sin 2CH a θ=； 在Rt BHC △中，sin CH a ϕ=sin 2θϕ=．π02θ<<∵, 0sin 1θ<<∴，0sin 2ϕ<<． 又π02ϕ≤≤，π04ϕ<<∴．即直线BC 与平面PAB 所成角的取值范围为π04⎛⎫ ⎪⎝⎭，． ……8分 解法2：(I)以CP CB CA ,,所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示 的空间直角坐标系，则)tan 22,0,0(),0,2,2(),0,,0(),0,0,(),0,0,0(θa P a a D a B a A C ，于是，(,,tan )222a a PD a θ=-，,,022a a CD ⎛⎫= ⎪⎝⎭，(,,0)AB a a =-． 从而2211(,,0),,0002222a a AB CD a a a a ⎛⎫=-=-++=⎪⎝⎭··，即AB CD ⊥．同理2211(,,0),,tan 002222a a AB PD a a a a θ⎛⎫=-=-++= ⎪ ⎪⎝⎭··，即AB PD ⊥．又CD PD D =，,PD CD ⊂平面PCDAB ⊥∴平面PCD ．又AB ⊂平面PAB ． ∴平面PAB ⊥平面PCD ． ………………4分 (II)设直线BC 与面PAB 所成的角为ϕ，面PAB 的一个法向量为()x y z =，，n ，则由0 , 0AB PD ==··nn ．得0tan 022ax ay a a x y θ-+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，． 可取(112=，，n ， 又(0 0)BC a =-，，，于是sin 2BC BC ϕθ===··n n ， π02θ<<∵，0sin 1θ<<∴，0sin 2ϕ<<． 又π02ϕ≤≤，π04ϕ<<∴．即直线BC 与平面PAB 所成角的取值范围为π04⎛⎫ ⎪⎝⎭，． ………………8分。
2017-2018年浙江省温州市“十五校联合体”高二上学期期末数学试卷(Word答案)
2017-2018学年浙江省温州市“十五校联合体”高二（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（4分）平面α截圆柱，截面图不可能是（）A．矩形B．圆C．椭圆D．抛物线2．（4分）抛物线y2＝4x的准线方程是（）A．x＝﹣1B．x＝1C．x＝﹣2D．x＝23．（4分）平面α的法向量，平面β的法向量，则下列命题正确的是（）A．α，β平行B．α，β垂直C．α，β重合D．α，β不垂直4．（4分）设a为实数，直线l1：a2x+y＝1，l2：x+ay＝2a，则“a＝0”是“l1⊥l2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（4分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AC与A1D的夹角为（）A．B．C．D．6．（4分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D中，AB＝3，AD＝4，AA1＝5，则它的外接球的表面积是（）A．50πB．100πC．D．7．（4分）设F1，F2分别是双曲线﹣＝1的左、右焦点．若双曲线上存在点M，使∠F1MF2＝90°，且|MF1|＝2|MF2|，则双曲线离心率为（）A．B．C．2D．8．（4分）已知直线m、n与平面α、β，下列命题正确的是（）A．m∥α，n∥β且α∥β，则m∥n B．m∥α，n∥β且α⊥β，则m⊥nC．α∩β＝m，n⊥β且α⊥β，则n⊥αD．m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥n9．（4分）已知圆M：x2+y2+2ay＝0（a＞0）截直线x﹣y＝0所得线段的长度是，则圆M与圆N：（x﹣2）2+（y﹣3）2＝9的位置关系是（）A．内切B．相离C．外切D．相交10．（4分）点P到图形C上每一个点的距离的最小值称为点P到图形C的距离，那么平面内到定圆C1的距离与到定圆C2的距离相等的点的轨迹不可能是（）A．双曲线B．直线C．双曲线的一支D．一条射线二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．11．（4分）直线x﹣y+1＝0的倾斜角为．12．（6分）若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是，它的体积是．13．（6分）已知双曲线的离心率为，则m＝，此时两条渐近线的夹角为．14．（6分）设x，y∈R．若x+y﹣2＝0，则x2+y2的取值范围是；若x2+2y2＝2，则x+y的取值范围是．15．（6分）设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，A为抛物线上一点，AK⊥l，K为垂足，直线AB经过点F，如果△AKF为正三角形，则＝，直线KF的斜率为16．（4分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，侧面P AD⊥底面ABCD，其中，四边形ABCD 为正方形，△P AD是正三角形，M是PD的中点．设异面直线AM与PC的大小为θ，则cosθ＝．17．（4分）设A（1，0），B（0，1），圆C：（x﹣a）2+y2＝1．若圆C与线段AB有一个公共点，则实数a的取值范围是三、解答题（本大题共5个小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤）18．（14分）设p：方程“+＝1”表示焦点在x轴上的椭圆，q：方程“+＝1”表示焦点在轴上的双曲线．（1）如果p为假命题且q为真命题，求实数m的取值范围；（2）如果p为真命题且q为真命题，求双曲线＝1的离心率的取值范围．19．（15分）正三棱柱ABC﹣A1B1C1底边长为2，AA1＝2，分别为BB1，AB的中点．（1）求证：A1C⊥AE；（2）求AA1与平面A1FC所成角的正弦值．20．（15分）平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率为，且过点．（1）求椭圆的短轴长；（2）如果△ABC以A（0，b）为直角顶点，边AB、AC与椭圆交于两点B、C，点B、C 到y轴的距离分别记为d1、d2，求d1•d2的取值范围．21．（15分）如图1，等腰梯形ABCD中，AB＝2，CD＝4，∠ADC＝∠BCD＝60°．取线段CD中点E，将△ADE沿AE折起，如图2所示．（1）证明：无论平面ADE折到与底面ABCE所成的二面角θ的大小如何变化，△BCD 必为直角三角形．（2）当平面ADE折到与底面ABCE所成的二面角为120°时，如图2所示，求此时直线DC与平面ABCE所成角的正切值．22．（15分）如图，A，B是焦点为F的抛物线y2＝4x上的两动点，线段AB的中点M在定直线x＝t上．（Ⅰ）求|F A|+|FB|的值；（Ⅱ）若t＝1，设△ABF的面积为S，求S的最大值．2017-2018学年浙江省温州市“十五校联合体”高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【解答】解：由平面α截圆柱，知：在A中，轴截面是矩形，故A正确；在B中，横截面是圆，故B正确；在C中，斜截面是椭圆，故C正确；在D中，平面α截圆柱，截面图不可能是抛物线，故D错误．故选：D．2．【解答】解：根据题意，抛物线的方程为y2＝4x，其开口向右，且p＝2，则其准线方程为：x＝﹣1；故选：A．3．【解答】解：平面α的法向量，平面β的法向量，因为＝2﹣4+2＝0，所以两个平面垂直．故选：B．4．【解答】解：l1⊥l2得到：a2+a＝0，解得：a＝﹣1或a＝0，故“a＝0”是“l1⊥l2”的充分不必要条件．故选：A．5．【解答】解：连结AB1、B1C，∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1B1CD，∴四边形A1B1CD是平行四边形，可得A1D B1C，因此∠B1CA（或其补角）就是异面直线AC与A1D所成的角，设正方体的棱长等于1，∵△AB1C中，AB1＝AC＝B1C＝，∴△AB1C是等边三角形，可得∠B1CA＝．即异面直线AC与A1D所成角的大小是．故选：C．6．【解答】解：长方体ABCD﹣A1B1C1D中，AB＝3，AD＝4，AA1＝5，故体对角线长为：＝5，即外接球的半径R满足：4R2＝50，故它的外接球的表面积S＝4πR2＝50π，故选：A．7．【解答】解：设F1，F2分别是双曲线﹣＝1的左、右焦点．若双曲线上存在点M，使∠F1MF2＝90°，且|MF1|＝2|MF2|，设|MF2|＝t，|MF1|＝2t，（t＞0）双曲线中2a＝|MF1|﹣|MF2|＝t，2c＝＝t＝2a，∴离心率为，故选：D．8．【解答】解：A、由面面平行的判定定理知，m与n可能相交，故A不对；B、当m与n都与α和β的交线平行时，也符合条件，但是m∥n，故B不对；C、由面面垂直的性质定理知，必须有m⊥n，n⊂β时，n⊥α，否则不成立，故C不对；D、由n⊥β且α⊥β，得n⊂α或n∥α，又因m⊥α，则m⊥n，故D正确．故选：D．9．【解答】解：由题意得圆心M（0，﹣a），半径为a，∵圆心M到直线x﹣y＝0的距离为：d＝＝，根据垂径定理得a2＝d2+（）2，即a2＝+2，解得a＝2，∴圆M的圆心为（0，﹣2），半径为2，圆心距为：＝，两圆半径之和为：2+3＝5，所以圆M与圆N相离．故选：B．10．【解答】解：定圆C1的距离与到定圆C2的半径分别为：R1、R2，可得|PC1|﹣|PC2|＝R1﹣R2，当R1、R2不相等时，两个圆相交与相离时，轨迹是双曲线的一支，半径相等时，轨迹是直线；当两个圆内切时，轨迹是射线，所以轨迹不可能是双曲线．故选：A．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．11．【解答】解：设直线x﹣y+1＝0的倾斜角为θ．由直线x﹣y+1＝0化为y＝x+1，∴，∵θ∈[0°，180°）∴θ＝60°．故答案为：60°．12．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的三棱柱，底面面积为：×2×2×2＝4，底面周长为：2+2+2＝4+2，故棱柱的表面积S＝4×（4+2）+4＝20+8，几何体的体积为：2×4＝8．故答案为：．13．【解答】解：双曲线的离心率为，可得：则m＝﹣2；双曲线的标准方程为：，它的渐近线方程为：y＝±x，此时两条渐近线的夹角为：．故答案为：；14．【解答】解：x，y∈R．若x+y﹣2＝0，则x2+y2的最小值为：＝2，所以x2+y2的取值范围是[2，+∞）；x2+2y2＝2，可得：，椭圆上的点设为（cosα，sinα），则x+y＝cosα+sinα＝sin（α+θ），其中tanθ＝，sin（α+θ）∈[﹣]．所以x+y的取值范围是：[﹣]．故答案为：；15．【解答】解：抛物线C：y2＝4x的焦点为F（1，0），准线为l，x＝﹣1，A为抛物线上一点，A在第一象限时，K⊥l，K为垂足，直线AB经过点F，如果△AKF为正三角形，可得AK＝KF＝KF＝4，则K（﹣1，2），A（3，2）．直线AF的方程，代入y2＝4x，解得x B＝，B（，）．＝＝﹣3．直线KF的斜率为：＝±．故答案为：﹣3；．16．【解答】解：∵在正方形ABCD中，CD⊥AD，而面P AD⊥面ABCD，∴CD⊥面P AD，∴CD⊥AM，在正三角形P AD中，AM⊥PD，∴AM⊥面PCD，∴AM⊥PC，∴cosθ＝0．故答案为：0．17．【解答】解：∵圆C：（x﹣a）2+y2＝1的圆心C（a，0）在x轴上，且圆的半径等于1，当圆心在A点左侧时，点A，B所在直线方程为x+y﹣1＝0，由圆心（a，0）到直线x+y﹣1＝0的距离等于1，得＝1，即|a﹣1|＝，解得a＝1﹣或a＝1+（舍），当圆心在A的右侧时，圆交线段AB于A时，a有最大值，此时a＝2．∴圆C：（x﹣a）2+y2＝1与线段AB有公共点的a的范围是{1﹣}∪（0，2]．故答案为：{1﹣}∪（0，2]．三、解答题（本大题共5个小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤）18．【解答】解：（1）∵p为假命题，∴m2≤9，﹣3≤m≤3﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）∵q为真命题，1﹣m＜0，m＞1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）∴1＜m≤3；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（2）∵p为真命题，∴m2+1＞10，m∈（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）p为真命题且q为真命题m∈（3，+∞）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）的离心率，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）19．【解答】（1）证明：A1F⊥AE﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）CF⊥AB，CF⊥平面A1B1BA，CF⊥AE﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）AE⊥平面A1CF，A1C⊂平面A1CF，∴AE⊥A1C﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）（2）如图，以F为坐标原点建立空间直角坐标系，则F（0，0，0），A（﹣1，0，0），B（1，0，0）A1（﹣1，0，2），E（1，0，1），，，由（1）平面A1FC的法向量为，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）设A1A与平面A1FC所成的角为α，则，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（15分）20．【解答】解：（1）∵，∴a2＝2b2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）将点带入得b2＝1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分），椭圆的短轴长为2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（2）由（1），显然直线AB的斜率存在且不为0，设AB的方程为：y＝kx+1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）带入并化简整理得：﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）设AC的方程为：，同理得﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分），∴，∵，∴，当且仅当k＝±1时，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（15分）21．【解答】（1）证明：连接CD，DO⊥AE，OB⊥AE，得到AE⊥平面DOB，可得AE⊥BD，且垂足为AE的中点，记为点O，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）无论平面ADE翻折到与底面ABCE所成的二面角θ的大小如何变化，AE⊥OD，AE⊥OB，则AE⊥平面OBD，AE⊥BD，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）又AE∥BC，则BC⊥BD，所以△BCD必为直角三角形．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（2）解：由（Ⅰ）AE⊥OD，AE⊥OB，∠BOD＝120°，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）过D作DH⊥OB，交BO的延长线于H，连接CH，∴AE⊥平面DOB，又因为DH⊂平面DOB，所以AE⊥DH∴DH⊥平面ABCE，故∠DCH直线DC与平面ABCE所成的角﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分），，，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（15分）22．【解答】解：（Ⅰ）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（t，m），则x1+x2＝2t，y1+y2＝2m﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分），由抛物线定义知|F A|＝x1+t，|FB|＝x2+t．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）所以|F A|+|FB|＝x1+x2+2＝2+2t．…………（5分）（Ⅱ）由得（y1+y2）（y1﹣y2）＝4（x1﹣x2），所以＝．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）故可设直线AB方程为（y﹣m）＝x﹣1，即x＝y﹣+1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）联立消去x，得y2﹣2my+2m2﹣4＝0．则△＝16﹣4m2＞0，y1+y2＝2m，y1y2＝2m2﹣4．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）所以|AB|＝|y1﹣y2|＝﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）点F到直线AB的距离：，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（15分）。
2017-2018学年浙江省温州新力量联盟高二(上)期末数学试卷(解析版)
2017-2018学年浙江省温州新力量联盟高二（上）期末数学试卷一、选择题（本大题有16小题，每小题3分，共48分）1．（3分）直线x＝1的倾斜角为（）A．0°B．45°C．90°D．不存在2．（3分）若直线l的斜率为2，且在y轴上的截距为﹣1，则直线l的方程为（）A．y＝2x+1B．y＝2x﹣1C．y＝2x+2D．y＝2x﹣2 3．（3分）如图一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形A′B′O′，若O′B′＝B′A′＝1，那么原△ABO的面积是（）A．B．C．D．24．（3分）设命题：若平面α内有无数条直线与平面β平行，则平面α与β平行，则该命题与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是（）A．0B．1C．2D．35．（3分）设点A（2，3，﹣4）在xOy平面上的射影为B，则||等于（）A．B．5C．2D．6．（3分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．2B．3C．D．7．（3分）已知m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若α⊥β，m∥α，则m⊥βB．若m∥α，n∥β，且m∥n，则α∥βC．若m⊥β，α⊥β，则m∥αD．若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，则α⊥β8．（3分）如图，方程y＝ax+表示的直线可能是（）A．B．C．D．9．（3分）“a＝1”是“直线ax+y+2＝0与直线x+（a﹣2）y+1＝0”垂直的（）条件A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要10．（3分）已知一个球的内接正方体的体积为8，则这个球的体积为（）A．4B．C．πD．12π11．（3分）已知F1、F2是椭圆+y2＝1的左、右焦点过F2作倾斜角为的弦AB，则△AF1B的面积为（）A．4B．1C．D．212．（3分）正三棱锥V﹣ABC（顶点在底面的射影是底面正三角形的中心）中，D，E，F 分别是VC，VA，AC的中点，P为VB上任意一点，则直线DE与PF所成的角的大小是（）A．30°B．90°C．60°D．随P点的变化而变化13．（3分）若过点A（4，0）的直线l与圆（x﹣2）2+y2＝1有公共点，则直线l的斜率的最大值为（（）A．B．C．D．﹣14．（3分）如图，过抛物线y2＝4x的焦点F的直线分别交抛物线于A，B两点交直线x＝﹣1于点P，若＝2，＝，则μ的值为（）A．﹣2B．2C．D．15．（3分）已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，过2的直线l与双曲线右支交于A，B两点（B在第四象限），若△ABF1为等腰三角形且∠ABF1＝120°，设双曲线的离心率为e，则e2＝（）A．2﹣3B．7﹣2C．2D．5﹣216．（3分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝，P是底面正方形ABCD内一点，M 是CC1中点若P A1，PM与底面所成角相等，则tan∠A1P A最大值为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）17．（4分）双曲线﹣＝1的渐近线方程是．18．（4分）点A（﹣1，2，1）关于z轴的对称点坐标为．19．（4分）若两条平行直线l1：x﹣y+m＝0（m＞0）与l2：x+ny﹣1＝0之间的距离是，则m+n等于．20．（4分）在长方体ABCD﹣A′B′C′D′中，AB＝BC＝2，AA′＝1，则BC′与平面BB′D′D所成角的正弦值为．21．（4分）已知O为坐标原点，D为圆C：x2+y2﹣2x﹣6y＝0上任一点，过D作OD的垂线l，设l方程为y＝kx+b，则k和b满足的关系式为．22．（4分）已知两矩形ABCD与ADEF所在的平面互相垂直，AB＝1，若将△DEF沿直线FD翻折，使得点E落在边BC上（即点P），则当AD取最小值时，边AF的长是；此时四面体F﹣ADP的外接球的半径是．三、解答题（本大题有4小题，共48分。
数学---浙江温州八校2017-2018学年第一学期高二期末联考卷
参考答案一、选择题：1.B2.D3.B4.A5.C6.D7.D8.D9.A 10.D二、填空题： 11.[)1,,0,3⎡⎫-+∞+∞⎪⎢⎣⎭； 12.6,2 13.(,0),x y 10-∞+-= 14.6482;83ππ++ ； 15.455 16.223log ,log 32⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 17.25,25⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭三、解答题：（本大题共5个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 18.解：（1）23,32OP AB k k =∴=- ,所以直线AB 方程为：32260x y +-=；……7分 （2）由(6,4)P 为AB 的中点时,可知(10,0)B ,(2,8)A 82AB =所以以AB 为直径的圆的方程为：22(x 6)(y 4)32-+-= ……14分19.解：（1）由2F(x)x (1)a x a =+-+22(a 1)4610a a a ∆=--=-+= ，得322a =± ……6分（2）由2log ((2)1)x x f +=，得2(2)(a 1)210x xa +-++=令2,0x t t => ，得关于t 的方程2(a 1)t a 10t +-++= 在(0,)+∞ 上有解 得22(t t 1)3(t 1)(t t 1),(t 1)311a a t t -+⎡⎤+=--+=-=-++-⎢⎥++⎣⎦ ， 由于3(t 1)3(233)1t ⎡⎤-++-≤--⎢⎥+⎣⎦，得323a ≤- ……15分 20.（本小题满分15分）（1）证明：连结CM ，因为E 是正三角形BCD ∆的中心，所以E 在CM 上且2CE EM =，又2AN NM = ，所以在AMC ∆中有N MNM A CE E =， 所以//EN AC ，又EN ⊄平面ABC ， AC ⊂平面ABC ，所以//EN 平面ABC . ……6分（2）解法一：作AF ⊥BC 交CB 的延长线于F ，作FH BM 交CM 的延长线于H ，由面ABC ⊥面BCD 知AF ⊥面BCD ，所以AF CH ⊥，又FH BM ，所以FH ⊥CH 所以CH ⊥面AFH ,所以面ACH ⊥面AFH ，作FG AH ⊥，则 FG ⊥面ACH 连结CG ，则FCG ∠为BC 与面ANE 所成角， ∴7sin 7FG FCG FC ∠==，即所求角的正弦值为77.……15分 解法二：以BC 中点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.∵2AB BC ==， 30ACB ∠=︒ ∴()2,0,3A ，()1,0,0B ， ()1,0,0C -， ()0,3,0D -， ∴13,,022M ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭， ()3,0,3CA = ，33,,022CM ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ ，()2,0,0CB = . 设面ANE 的法向量为(),,n x y z = ，则330,{ 330,22x z x y +=-= 取()1,3,3n =- ， ∴7sin cos 7n CB θ=⋅= ，即所求角的正弦值为77.……15分21.（本小题满分15分）解：（1）设0000(x ,y ),F(0,),(,y )(2,0)22p p A AF x =--= 得02,2x p =-= 所以抛物线的方程为24x y = ……5分（2）设221212(x ,),(x ,),A(2,1)44x x B C - 过点B 的切线方程为2111(x x )42x x y -=- ，即21124x x y x =- 同理过点C 的切线方程为22224x x y x =- 由2112222424x x y x x x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ 得，1212,24D D x x x x x y +== ,即1212(,)24x x x x D + 取BC 中点221212(,)28x x x x P ++ 32212121212121132228416BCDx x x x x x S DP x x x x ∆-+=-=--== ,得：128x x -= 由21121211224,244x x x k k x ---===+ ，212124x x k k --== 为定值……15分 22. （本小题满分15分）解：（1）由'1(1)(1)()1ax x f x ax a x x+-=-+-=-，又0,0a x >> 得10ax +> 故，当01x <<时，'()0f x >，当1x >时'()0f x <，∴ ()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减……6分（2） 假设存在两点1122(,),(,)A x y B x y ，不妨设120x x <<，则211111ln (1)2y x ax a x =-+-，222221ln (1)2y x ax a x =-+- 222121212121211(ln ln )()(1)()2ABx x a x x a x x y y k x x x x ---+---==--=211221ln ln 1()12x x a x x a x x --++-- 在函数图象1202x x x +=处的切线斜率 ''12120122()()(1)22x x x x k f x f a a x x ++===-+-+ 得：211221ln ln 1()12x x a x x a x x --++--12122(1)2x x a a x x +=-+-+ 化简得：212112ln ln 2x x x x x x -=-+， 22211212112(1)2()ln 1x x x x x x x x x x --==++ 令21x t x =，则1t >，上式化为：2(1)4ln 211t t t t -==-++，即4ln 21t t +=+ 若令4()ln 1g t t t =++，2'2214(1)()(1)(1)t g t t t t t -=-=++ 由'1,()0t g t ≥≥， ()g t ∴在[1,)+∞上单调递增，()(1)2g t g >= 这表明在(1,)+∞内不存在t ，使得4ln 21t t +=+ 综上，函数)(x f 图象上是不存在不同两点1122(,),B(,)A x y x y ，使得()f x 在 122x x x +=处的切线l 平行于直线AB . ……15分。
[精品]浙江省温州市十校联合体高二上期末数学试卷有答案
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2016-2017学年浙江省温州市十校联合体高二（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（4分）准线方程是y=﹣2的抛物线标准方程是（）A．x2=8y B．x2=﹣8y C．y2=﹣8x D．y2=8x2．（4分）已知直线l1：x﹣y+1=0和l2：x﹣y+3=0，则l1与l2之间距离是（）A．B． C．D．23．（4分）设三棱柱ABC﹣A1B1C1体积为V，E，F，G分别是AA1，AB，AC的中点，则三棱锥E﹣AFG体积是（）A． B．C．D．4．（4分）若直线x+y+m=0与圆x2+y2=m相切，则m的值是（）A．0或2 B．2 C．D．或25．（4分）在四面体ABCD中（）命题①：AD⊥BC且AC⊥BD则AB⊥CD命题②：AC=AD且BC=BD则AB⊥CD．A．命题①②都正确B．命题①②都不正确C．命题①正确，命题②不正确 D．命题①不正确，命题②正确6．（4分）设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面．考查下列命题，其中正确的命题是（）A．m⊥α，n⊂β，m⊥n⇒α⊥βB．α∥β，m⊥α，n∥β⇒m⊥nC．α⊥β，m⊥α，n∥β⇒m⊥n D．α⊥β，α∩β=m，n⊥m⇒n⊥β7．（4分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，二面角A﹣BD1﹣B1的大小是（）A． B．C．D．8．（4分）过点（0，﹣2）的直线交抛物线y2=16x于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，且y12﹣y22=1，则△OAB（O为坐标原点）的面积为（）A．B．C．D．9．（4分）已知在△ABC中，∠ACB=，AB=2BC，现将△ABC绕BC所在直线旋转到△PBC，设二面角P﹣BC﹣A大小为θ，PB与平面ABC所成角为α，PC与平面PAB所成角为β，若0＜θ＜π，则（）A．且B．且C．且D．且10．（4分）如图，F1，F2是椭圆C1与双曲线C2的公共焦点，点A是C1，C2的公共点．设C1，C 2的离心率分别是e1，e2，∠F1AF2=2θ，则（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．11．（6分）双曲线C：x2﹣4y2=1的渐近线方程是，双曲线C的离心率是．12．（6分）某空间几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积V= cm3，表面积S= cm2．13．（4分）已知抛物线y2=4x的焦点为F，准线与x轴的交点为M，N为抛物线上的一点，则满足= ．14．（6分）已知直线l1：y=mx+1和l2：x=﹣my+1相交于点P，O为坐标原点，则P点横坐标是（用m表示），的最大值是．15．（6分）四面体ABCD中，已知AB=AC=BC=BD=CD=1，则该四面体体积的最大值是，表面积的最大值是．16．（4分）过双曲线G：（a＞0，b＞0）的右顶点A作斜率为1的直线m，分别与两渐近线交于B，C两点，若|AB|=2|AC|，则双曲线G的离心率为．17．（4分）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是正方体棱上的一点（不包括棱的端点），对确定的常数m，若满足|PB|+|PD1|=m的点P的个数为n，则n的最大值是．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（14分）已知抛物线C：y2=4x，直线l：y=﹣x+b与抛物线交于A，B两点．（Ⅰ）若|AB|=8，求b的值；（Ⅱ）若以AB为直径的圆与x轴相切，求该圆的方程．19．（15分）在四棱锥E﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，EC⊥底面ABCD，F为BE的中点．（Ⅰ）求证：DE∥平面ACF；（Ⅱ）求证：BD⊥AE；（Ⅲ）若AB=CE，在线段EO上是否存在点G，使CG⊥平面BDE？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．20．（15分）如图，四棱锥P﹣ABCD，PA⊥底面ABCD，AB∥CD，AB⊥AD，AB=AD=PA=2，CD=4，E，F分别是PC，PD的中点．（Ⅰ）证明：EF∥平面PAB；（Ⅱ）求直线AC与平面ABEF所成角的正弦值．21．（15分）已知点C（x0，y）是椭圆+y2=1上的动点，以C为圆心的圆过点F（1，0）．（Ⅰ）若圆C与y轴相切，求实数x的值；（Ⅱ）若圆C与y轴交于A，B两点，求|FA|•|FB|的取值范围．22．（15分）已知椭圆C的方程是，直线l：y=kx+m与椭圆C有且仅有一个公共点，若F1M⊥l，F2N⊥l，M，N分别为垂足．（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）求四边形F1MNF2面积S的最大值．2016-2017学年浙江省温州市十校联合体高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（4分）准线方程是y=﹣2的抛物线标准方程是（）A．x2=8y B．x2=﹣8y C．y2=﹣8x D．y2=8x【解答】解：由题意可知抛物线的焦点在y轴的正半轴，设抛物线标准方程为：x2=2py（p＞0），∵抛物线的准线方程为y=﹣2，∴=2，∴p=4，∴抛物线的标准方程为：x2=8y．故选A．2．（4分）已知直线l1：x﹣y+1=0和l2：x﹣y+3=0，则l1与l2之间距离是（）A．B． C．D．2【解答】解：∵已知平行直线l1：x﹣y+1=0与l2：x﹣y+3=0，∴l1与l2间的距离 d==，故选C．3．（4分）设三棱柱ABC﹣A1B1C1体积为V，E，F，G分别是AA1，AB，AC的中点，则三棱锥E﹣AFG体积是（）A． B．C．D．【解答】解：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1体积为V，∴V=S△ABC •AA1，∵E，F，G分别是AA1，AB，AC的中点，∴S△AFG=，，∴三棱锥E﹣AFG体积：VE﹣AFG ===S△ABC•AA1=．故选：D．4．（4分）若直线x+y+m=0与圆x2+y2=m相切，则m的值是（）A．0或2 B．2 C．D．或2【解答】解：∵圆x2+y2=m的圆心为原点，半径r=∴若直线x+y+m=0与圆x2+y2=m相切，得圆心到直线的距离d==，解之得m=2（舍去0）故选B．5．（4分）在四面体ABCD中（）命题①：AD⊥BC且AC⊥BD则AB⊥CD命题②：AC=AD且BC=BD则AB⊥CD．A．命题①②都正确B．命题①②都不正确C．命题①正确，命题②不正确 D．命题①不正确，命题②正确【解答】解：对于①作AE⊥面BCD于E，连接DE，可得AE⊥BC，同理可得AE⊥BD，证得E 是垂心，则可得出AE⊥CD，进而可证得CD⊥面AEB，即可证出AB⊥CD，故①正确；对于②，取CD的中点O，连接AO，BO，则CD⊥AO，CD⊥BO，∵AO∩BO=O，∴CD⊥面ABO，∵AB⊂面ABO，∴CD⊥AB，故②正确．故选A．6．（4分）设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面．考查下列命题，其中正确的命题是（）A．m⊥α，n⊂β，m⊥n⇒α⊥βB．α∥β，m⊥α，n∥β⇒m⊥nC．α⊥β，m⊥α，n∥β⇒m⊥n D．α⊥β，α∩β=m，n⊥m⇒n⊥β【解答】解：设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则：m⊥α，n⊂β，m⊥n时，α、β可能平行，也可能相交，不一定垂直，故A不正确α∥β，m⊥α，n∥β时，m与n一定垂直，故B正确α⊥β，m⊥α，n∥β时，m与n可能平行、相交或异面，不一定垂直，故C错误α⊥β，α∩β=m时，若n⊥m，n⊂α，则n⊥β，但题目中无条件n⊂α，故D也不一定成立，故选B．7．（4分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，二面角A﹣BD1﹣B1的大小是（）A． B．C．D．【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为1，则A（1，0，0），B（1，1，0），B1（1，1，1），D1（0，0，1），=（0，﹣1，0），=（﹣1，﹣1，1），=（0，0，1），设平面ABD1的法向量=（x，y，z），则，取y=1，得，设平面BB1D1的法向量=（a，b，c），则，取a=1，得=（1，﹣1，0），设二面角A﹣BD1﹣B1的大小为θ，则cosθ===﹣，∴θ=．∴二面角A﹣BD1﹣B1的大小为．故选：C．8．（4分）过点（0，﹣2）的直线交抛物线y2=16x于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，且y12﹣y22=1，则△OAB（O为坐标原点）的面积为（）A．B．C．D．【解答】解：设直线方程为x=my+2m，代入y2=16x可得y2﹣16my﹣32m=0，∴y1+y2=16m，y1y2=﹣32m，∴（y1﹣y2）2=256m2+128m，∵y12﹣y22=1，∴256m2（256m2+128m）=1，∴△OAB（O为坐标原点）的面积为|y1﹣y2|=．故选：D．9．（4分）已知在△ABC中，∠ACB=，AB=2BC，现将△ABC绕BC所在直线旋转到△PBC，设二面角P﹣BC﹣A大小为θ，PB与平面ABC所成角为α，PC与平面PAB所成角为β，若0＜θ＜π，则（）A．且B．且C．且D．且【解答】解：在△ABC中，∠ACB=，AB=2BC，可设BC=a，可得AB=PB=2a，AC=CP=a，过C作CH⊥平面PAB，连接HB，则PC与平面PAB所成角为β=∠CPH，且CH＜CB=a，sinβ=＜=；由BC⊥AC，BC⊥CP，可得二面角P﹣BC﹣A大小为θ，即为∠ACP，设P到平面ABC的距离为d，由BC⊥平面PAC，且VB﹣ACP =VP﹣ABC，即有BC•S△ACP =d•S△ABC，即a••a•a•sinθ=d••a•a解得d=sinθ，则sinα==≤，即有α≤．另解：由BC⊥AC，BC⊥CP，可得二面角P﹣BC﹣A大小为θ，即为∠ACP以C为坐标原点，CA为x轴，CB为z轴，建立直角坐标系O﹣xyz，可设BC=1，则AC=PC=，PB=AB=2，可得P（cosθ，sinθ，0），过P作PM⊥AC，可得PM⊥平面ABC，∠PBM=α，sinα==≤，可得α≤；过C作CN垂直于平面PAB，垂足为N，则∠CPN=β，sinβ==＜=．故选：B．10．（4分）如图，F1，F2是椭圆C1与双曲线C2的公共焦点，点A是C1，C2的公共点．设C1，C 2的离心率分别是e1，e2，∠F1AF2=2θ，则（）A．B．C．D．【解答】解：根据椭圆的几何性质可得，=b12tanθ，∵e1=，∴a1=，∴b12=a12﹣c2=﹣c2，∴=c2（）tanθ根据双曲线的几何性质可得，=，∵a2=，∴b22=c2﹣a22=c2﹣=c2（）∴=c2（）•，∴c2（）tanθ=c2（）•，∴（）sin2θ=（）•cos2θ，∴，故选：B二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．11．（6分）双曲线C：x2﹣4y2=1的渐近线方程是y=±x ，双曲线C的离心率是．【解答】解：双曲线C：x2﹣4y2=1，即为﹣=1，可得a=1，b=，c==，可得渐近线方程为y=±x；离心率e==．故答案为：y=±x；．12．（6分）某空间几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积V= cm3，表面积S= cm2．【解答】解：由题意，该几何体是以俯视图为底面，有一条侧棱垂直于底面的三棱锥，所以V==cm3，S=+++=．故答案为：；．13．（4分）已知抛物线y2=4x的焦点为F，准线与x轴的交点为M，N为抛物线上的一点，则满足= ．【解答】解：设N到准线的距离等于d，由抛物线的定义可得d=|NF|，由题意得 cos∠NMF===∴∠NMF=．故答案为：．14．（6分）已知直线l1：y=mx+1和l2：x=﹣my+1相交于点P，O为坐标原点，则P点横坐标是（用m表示），的最大值是．【解答】解：直线l1：y=mx+1和l2：x=﹣my+1相交于点P，∴，∴x=﹣m（mx+1）+1，解得x=，y=m×+1=，∴P点横坐标是；∴=（﹣，﹣），∴=+=≤2，且m=0时“=”成立；∴的最大值是．故答案为：，．15．（6分）四面体ABCD中，已知AB=AC=BC=BD=CD=1，则该四面体体积的最大值是，表面积的最大值是+1 ．【解答】解：∵四面体ABCD中，AB=AC=BC=BD=CD=1，∴当平面ABC⊥平面BDC时，该四体体积最大，此时，过D作DE⊥平面ABC，交BC于E，连结AE，则AE=DE==，∴该四面体体积的最大值：==．Smax∵△ABC，△BCD都是边长为1的等边三角形，面积都是S==，∴要使表面积最大需△ABD，△ACD面积最大，∴当AC⊥CD，AB⊥BD时，表面积取最大值，此时=，四面体表面积最大值Smax==1+．故答案为：，．16．（4分）过双曲线G：（a＞0，b＞0）的右顶点A作斜率为1的直线m，分别与两渐近线交于B，C两点，若|AB|=2|AC|，则双曲线G的离心率为或．【解答】解：由题得，双曲线的右顶点A（a，0）所以所作斜率为1的直线l：y=x﹣a，若l与双曲线M的两条渐近线分别相交于点B（x1，y1），C（x2，y2）．联立其中一条渐近线y=﹣x，则，解得x2=①；同理联立，解得x1=②；又因为|AB|=2|AC|，（i）当C是AB的中点时，则x2=⇒2x2=x1+a，把①②代入整理得：b=3a，∴e===；（ii）当A为BC的中点时，则根据三角形相似可以得到，∴x1+2x2=3a，把①②代入整理得：a=3b，∴e===．综上所述，双曲线G的离心率为或．故答案为：或．17．（4分）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是正方体棱上的一点（不包括棱的端点），对确定的常数m，若满足|PB|+|PD1|=m的点P的个数为n，则n的最大值是12 ．【解答】解：∵正方体的棱长为1，∴BD1=，∵点P是正方体棱上的一点（不包括棱的端点），满足|PB|+|PD1|=m，∴点P是以2c=为焦距，以2a=m为长半轴的椭圆，∵P在正方体的棱上，∴P应是椭圆与正方体与棱的交点，结合正方体的性质可知，满足条件的点应该在正方体的12条棱上各有一点满足条件．∴满足|PB|+|PD1|=m的点P的个数n的最大值是12，故答案为12．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（14分）已知抛物线C：y2=4x，直线l：y=﹣x+b与抛物线交于A，B两点．（Ⅰ）若|AB|=8，求b的值；（Ⅱ）若以AB为直径的圆与x轴相切，求该圆的方程．【解答】解：（Ⅰ）设A（x1，y1），B（x2，y2），由抛物线C：y2=4x，直线l：y=﹣x+b得y2+4y﹣4b=0﹣﹣﹣﹣﹣（2分）∴|AB|=|y1﹣y2|===8﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）解得b=1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）（Ⅱ）以AB为直径的圆与x轴相切，设AB中点为M|AB|=|y1+y2|又y1+y2=﹣4﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）∴4=解得b=﹣，则M（，﹣2）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）∴圆方程为（x﹣）2+（y+2）2=4﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）19．（15分）在四棱锥E﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，EC⊥底面ABCD，F为BE的中点．（Ⅰ）求证：DE∥平面ACF；（Ⅱ）求证：BD⊥AE；（Ⅲ）若AB=CE，在线段EO上是否存在点G，使CG⊥平面BDE？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．【解答】解：（I）连接OF．由ABCD是正方形可知，点O为BD中点．又F为BE的中点，所以OF∥DE．又OF⊂面ACF，DE⊄面ACF，所以DE∥平面ACF…．（4分）（II）证明：由EC⊥底面ABCD，BD⊂底面ABCD，∴EC⊥BD，由ABCD是正方形可知，AC⊥BD，又AC∩EC=C，AC、E⊂平面ACE，∴BD⊥平面ACE，又AE⊂平面ACE，∴BD⊥AE…（9分）（III）：在线段EO上存在点G，使CG⊥平面BDE．理由如下：取EO中点G，连接CG，在四棱锥E﹣ABCD中，AB=CE，CO=AB=CE，∴CG⊥EO．由（Ⅱ）可知，BD⊥平面ACE，而BD⊂平面BDE，∴平面ACE⊥平面BDE，且平面ACE∩平面BDE=EO，∵CG⊥EO，CG⊂平面ACE，∴CG⊥平面BDE故在线段EO上存在点G，使CG⊥平面BDE．由G为EO中点，得．…（14分）20．（15分）如图，四棱锥P﹣ABCD，PA⊥底面ABCD，AB∥CD，AB⊥AD，AB=AD=PA=2，CD=4，E，F分别是PC，PD的中点．（Ⅰ）证明：EF∥平面PAB；（Ⅱ）求直线AC与平面ABEF所成角的正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：因为E，F分别是PC，PD的中点，所以EF∥CD，又因为CD∥AB，所以EF∥AB，又因为EF⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，所以EF∥平面PAB．（Ⅱ）解：取线段PA中点M，连结EM，则EM∥AC，故AC与面ABEF所成角的大小等于ME与面ABEF所成角的大小．作MH⊥AF，垂足为H，连结EH．因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AB，又因为AB⊥AD，所以AB⊥平面PAD，又因为EF∥AB，所以EF⊥平面PAD．因为MH⊂平面PAD，所以EF⊥MH，所以MH⊥平面ABEF，所以∠MEH是ME与面ABEF所成的角．在直角△EHM中，EM=AC=，MH=，得sin∠MEH=．所以AC与平面ABEF所成的角的正弦值是．21．（15分）已知点C（x0，y）是椭圆+y2=1上的动点，以C为圆心的圆过点F（1，0）．（Ⅰ）若圆C与y轴相切，求实数x的值；（Ⅱ）若圆C与y轴交于A，B两点，求|FA|•|FB|的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当圆C与y轴相切时，|x|=，（2分）又因为点C在椭圆上，所以，（3分）解得，（5分）因为﹣，所以．（6分）（Ⅱ）圆C的方程是（x﹣x0）2+（y﹣y）2=（x﹣1）2+，令x=0，得y2﹣2y0y+2x﹣1=0，设A（0，y1），B（0，y2），则y1+y2=2y，y1y2=2x﹣1，（8分）由，及得﹣2﹣2＜x＜﹣2+2，又由P点在椭圆上，﹣≤x≤，所以﹣≤，（10分）|FA|•|FB|=•=（12分）===，（14分）所以|FA|•|FB|的取值范围是（4，2+2]．（15分）22．（15分）已知椭圆C的方程是，直线l：y=kx+m与椭圆C有且仅有一个公共点，若F1M⊥l，F2N⊥l，M，N分别为垂足．（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）求四边形F1MNF2面积S的最大值．【解答】解：（Ⅰ）证明：将直线的方程y=kx+m代入椭圆C的方程3x2+4y2=12中，得（4k2+3）x2+8kmx+4m2﹣12=0．由直线与椭圆C仅有一个公共点知，△=64k2m2﹣4（4k2+3）（4m2﹣12）=0，化简得：m2=4k2+3．设d1=|F1M=，d2=|F2M|=，d 1d2=•===3，|F1M|+|F2M|=d1+d2≥=2．（Ⅱ）当k≠0时，设直线的倾斜角为θ，则|d1﹣d2|=|MN||tanθ|，∴|MN|=，S=|MN|•（d1+d2）====，∵m2=4k2+3，∴当k≠0时，|m|，∴＞+=，∴S．当k=0时，四边形F1MNF2是矩形，．所以四边形F1MNF2面积S的最大值为2．。
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2017-2018 学年浙江省温州新力量联盟高二（上）期末数 学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题有 16 小题，每小题 3 分，共 48 分）
1．【解答】解：直线 x＝1 与 x 轴垂直，故直线的倾斜角是 90°，
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B．若 m∥α，n∥β，且 m∥n，则 α∥β C．若 m⊥β，α⊥β，则 m∥α D．若 m⊥α，n⊥β，且 m⊥n，则 α⊥β 8．（3 分）如图，方程 y＝ax+ 表示的直线可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（3 分）“a＝1”是“直线 ax+y+2＝0 与直线 x+（a﹣2）y+1＝0”垂直的（
A．
B．
C．
D．
二、填空题（本大题有 6 小题，每小题 4 分，共 24 分）
17．（4 分）双曲线 ﹣ ＝1 的渐近线方程是
．
18．（4 分）点 A（﹣1，2，1）关于 z 轴的对称点坐标为
．
19．（4 分）若两条平行直线 l1：x﹣y+m＝0（m＞0）与 l2：x+ny﹣1＝0 之间的距离是 ，
线 l 与双曲线右支交于 A，B 两点（B 在第四象限），若△ABF1 为等腰三角形且∠ABF1 ＝120°，设双曲线的离心率为 e，则 e2＝（ ）
A．2 ﹣3
B．7﹣2
C．2
D．5﹣2
16．（3 分）在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，AB＝ ，P 是底面正方形 ABCD 内一点，M
是 CC1 中点若 PA1，PM 与底面所成角相等，则 tan∠A1PA 最大值为（ ）
＝
﹣．
（1）求 P 点轨迹 C 的方程；
（2）设直线 PA1、PA2 分别与直线 x＝4 交于点 M、N；
（i）求证：
为定值；
（ii）求△A1MN 的面积 S 的最小值．
26．（12 分）如图，在三棱锥 B﹣APC 中，PC⊥面 ABC，D 是 AB 的中点，△ABC 为等腰直 角三角形，∠ACB＝90°，设 AC＝a，∠PDC＝θ． （1）求证：平面 PAB⊥平面 PCD； （2）当角 θ 变化时，求直线 BC 与平面 PAB 所成的角的取值范围．
线 l，设 l 方程为 y＝kx+b，则 k 和 b 满足的关系式为
．
22．（4 分）已知两矩形 ABCD 与 ADEF 所在的平面互相垂直，AB＝1，若将△DEF 沿直线
FD 翻折，使得点 E 落在边 BC 上（即点 P），则当 AD 取最小值时，边 AF 的长是
；
此时四面体 F﹣ADP 的外接球的半径是
．
三、解答题（本大题有 4 小题，共 48 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 23．（12 分）如图，矩形 ABCD 的中心在点 M（3，1），AB 边所在直线方程为 x﹣2y﹣6＝0，
点 D（﹣2，1）． （1）求 AD 边所在直线的一般式方程； （2）求矩形 ABCD 外接圆的方程．
。.
2017-2018 学年浙江省温州新力量联盟高二（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题有 16 小题，每小题 3 分，共 48 分）
1．（3 分）直线 x＝1 的倾斜角为（ ）
A．0°
B．45°
C．90°
D．不存在
2．（3 分）若直线 l 的斜率为 2，且在 y 轴上的截距为﹣1，则直线 l 的方程为（ ）
C．
D．2
12．（3 分）正三棱锥 V﹣ABC（顶点在底面的射影是底面正三角形的中心）中，D，E，F
分别是ห้องสมุดไป่ตู้VC，VA，AC 的中点，P 为 VB 上任意一点，则直线 DE 与 PF 所成的角的大小是
（）
A．30°
B．90°
C．60°
D．随 P 点的变化而变化
13．（3 分）若过点 A（4，0）的直线 l 与圆（x﹣2）2+y2＝1 有公共点，则直线 l 的斜率的
题与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
5．（3 分）设点 A（2，3，﹣4）在 xOy 平面上的射影为 B，则| |等于（ ）
A．
B．5
C．2
6．（3 分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（
D． ）
A．2
B．3
C．
D．
7．（3 分）已知 m、n 是两条不同的直线，α、β 是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A．若 α⊥β，m∥α，则 m⊥β
最大值为（（ ）
A．
B．
C．
D．﹣
14．（3 分）如图，过抛物线 y2＝4x 的焦点 F 的直线分别交抛物线于 A，B 两点交直线 x＝﹣ 。.
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1 于点 P，若 ＝2 ， ＝
，则 μ 的值为（ ）
A．﹣2
B．2
C．
D．
15．（3 分）已知双曲线
＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为 F1、F2，过 2 的直
A．充分不必要
B．必要不充分
C．充要
D．既不充分也不必要
10．（3 分）已知一个球的内接正方体的体积为 8，则这个球的体积为（ ）
）条件
A．4
B．
C． π
D．12π
11．（3 分）已知 F1、F2 是椭圆 +y2＝1 的左、右焦点过 F2 作倾斜角为 的弦 AB，则△
AF1B 的面积为（ ）
A．4
B．1
则 m+n 等于
．
20．（4 分）在长方体 ABCD﹣A′B′C′D′中，AB＝BC＝2，AA′＝1，则 BC′与平面
BB ′ D ′ D 所 成 角 的 正 弦 值 为
．
。
11，，
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21．（4 分）已知 O 为坐标原点，D 为圆 C：x2+y2﹣2x﹣6y＝0 上任一点，过 D 作 OD 的垂
24．（12 分）如图所示，矩形 ABED 所在的平面垂直于△ABC 所在的平面，AC⊥BC，G，F 分别是 EC，BD 的中点． （1）求证：GF∥平面 ABC； （2）求证：直线 AC⊥平面 BEC．
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25．（12 分）设 A1（2，0）和 A2（2，0），动点 P 与 A1、A2 的连线的斜率之积
A．y＝2x+1
B．y＝2x﹣1
C．y＝2x+2
D．y＝2x﹣2
3．（3 分）如图一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形 A′B′O′，若 O′
B′＝B′A′＝1，那么原△ABO 的面积是（ ）
A．
B．
C．
D．2
4．（3 分）设命题：若平面 α 内有无数条直线与平面 β 平行，则平面 α 与 β 平行，则该命