多元函数积分学总结

第九章 多元函数积分学

（三重积分、第一类曲线积分与第一类曲面积分、点函数的性质及其应用）

1、 三重积分的引入：

三重积分的概念是从求三维立体的质量而引入的，问题的关键点是同一个立体的不同质点处的密度并不均匀，密度函数是一个三元函数。（了解三重积分的来源有助于真正的掌握它的应用哦

）

问题的解决方法是经典的四部曲，分割，取近似，求和，取极限。

2、 三重积分的计算：

（1） 作图,由于三重积分是体积的质量，自然我们要先将积质量的基准区域找出来，作图的功力

要大家慢慢练习好好体会了，苏老师的复习小帮手上写得很清楚了。

（2） 计算

三重积分主要有四种计算方法（平面坐标系下的投影法及平面截割法、柱面坐标系转换、球面坐标系转换），接下来我们一一归纳之……

投影法

方法概要

该法的本质是将所求的立体看作是一个主体，通过将每一个小主体上的质量积分最终得到总的质量，立体区域V 是曲面()y x z z

,1=（称为下曲面），()y x z z ,2=（称为上曲面）与以σ

xy

边界为准线，母线平行于Oz 轴的柱面为侧面。

图形示例

适用范围

投影区域较简单，上、下曲面可表示为垂直坐标平面坐标轴对应的变量为坐标平面上对应的两个变量的函数，且化成累次积分后容易计算出积分的值。

注意点

若xy σ是x 一型区域：()()b x a x y x ≤≤≤≤,21ϕϕ，则有

()()

()()()

().,,,,,,2121⎰

⎰

⎰

⎰⎰⎰=y x z y x z x x b a

V

dz z y x f dy dx dv z y x f ϕϕ

若σxy 是y 一型区域：()()d x c y x y ≤≤≤≤,21ϕϕ，则有

()()

()()()

().,,,,,,2121⎰

⎰

⎰⎰⎰⎰

=y x z y x z y y d

c

V

dz z y x f dx dy dv z y x f ϕϕ

若σxy 是圆域或圆域的一部分时，也可化为σxy 上的二重积分以后，再用极

坐标变换化为累次积分。

平面截割法

方法概要该方法是将所求立体看作是一根平行于某一坐标轴的细棒，通过将细棒上任意一小截面上的质量积分，最终得到总质量。设立体V介于两平面d

z

c

z=

=,之间（d

c<，知对立体V中

任意一点()z y

x

P,

,，有d

z

c≤

≤）。过()[]d c

z

z,

,

,0,0∈，作垂直于Oz轴的平面与立体

相截，截面区域为

z

D，如图6-26所示，（知对立体V中的任意一点()z y x

P,

,，有()z D

y

x∈

,），从而立体区域V可表示为：

()()

{},

,

,

:

,

,d

z

c

D

y

x

z

y

x

V

z

≤

≤

∈

=

于是()()

⎰⎰

⎰

⎰⎰⎰=

z

D

d

c

V

dxdy

z

y

x

f

dz

dv

z

y

x

f,

,

,

,

图形示例

适用范围()z y x f,,仅是z的表达式或是常数，而

z

D的面积有公式可计算，可使这种方法，()()()().dz

S

z

g

dxdy

dz

z

g

dxdy

z

g

dz

dv

z

g

z

z

z

D

d

c

D

d

c

D

d

c

V

⋅

=

=

=⎰

⎰⎰

⎰

⎰⎰

⎰

⎰⎰⎰

从而直接化成了关于z的一元函数定积分。

注意点

根据具体情况，也可作垂直于Oy轴或Ox轴的平面去截割立体。()z y

x

f,

,仅是x（y）的表达式或是常数，而D的面积有公式可计算

煮面坐标变换（

多好听的名字，大家把柱体当成锅，就可以煮面了，最好是圆底锅）

方法概要

.,0,20.,sin ,cos +∞<<-∞+∞<≤≤≤===z r z z r y r x πθθθ由直角坐

标与柱面坐标可知，()θ,r 是点()z y x M ,,在Oxy 平面上投影点()y x M ,'的极坐标，z 是原直

角

坐

标

系

中

的

竖

坐

标

，

如

图

6-27.

此

时

()().,sin ,cos ,,dz rdrd z r r f dv z y x f V

V

θθθ⎰⎰⎰⎰⎰⎰=

设平行于Oz 轴的直线与区域V 的边界至多只有两个交点，设V 在Oxy 平面上的投影区域为

xy σ。区域xy σ用θ,r 不等式表示与平面中的极坐标变换把平面区域用θ,r 不等式表示完全相

同，把上面投影法中的上曲面与下曲面表示成()().,,,12θθr z z r z z ==于是立体区域V 可表

示为

()()()(){}.,,,,:,,:21θσθθθθr r r z z r z z r V ∈≤≤

从而

()()()

()⎰

⎰⎰⎰⎰⎰

=

θθθ

θθθ,,621,sin ,cos ,,r z r z r V

dz z r r f rdrd dv z y x f

图形示例

适用范围

若立体在Oxy 平面上的投影区域是圆域或圆域的一部分（或被积函数中含有22

y x +），可用柱

面坐标系下的计算。（另外两个坐标平面同样适用）

注意点

在柱面坐标系下，一般总是先积z ，后积r ，最后积θ。煮面坐标系变换实质上是投影法与极坐标变换的结合，在积分计算的过程中不要忘记添加r 因子