一元函数极限

数学中的典型例题与技巧
第三讲 一元函数极限中的典型例题与技巧
◆ L-Hospital 法则 ◆ 等价无穷小替换 ◆ 带Peano型余项Taylor公式 ◆ 两个重要极限 ◆ 极限存在的两个准则：夹逼性、单调有界原理 ◆ 其它：利用导数或微分的定义、微分中值定理、 定积分的概念、广义积分的收敛性等
数学中的典型例题与技巧
利用Lagrange中值定理知
( 2 tan x ) ( 2 sin x )
10
10
10( 2 x )9 (tan x sin x )
10( 2 x )9 (tan x sin x ) 故原式 lim x 0 sin x

2 ln a
数学中的典型例题与技巧
●
求当x 0时, 以下各量的等价无穷小.
1 3 (1) tan x sin x tan x(1 cos x ) ~ x 2
( 2) arctan(sin x ) x ~ tan(arctan (sin x ) x )
sin x tan x 1 3 ~ sin x tan x ~ x 1 sin x tan x 2
加减运算中慎用等价无穷小替换
数学中的典型例题与技巧 ◆带Peano型余项Taylor公式 常用的带Peano型余项Taylor公式
2 n x x ex 1 x o( x n ) 2! n!
2 n 1 x3 x5 x sin x x ( 1) n o( x 2 n1 ) 3! 5! ( 2n 1)!
f ( x ) (0) 1 f x lim x 0 0 f ( x ) f ( x ) 2 f (0) 2 x
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◆
等价无穷小替换
两对等价无穷小 ~ ' , ~ ' , 有 ' （1）分式型代换： lim lim ； ' （2）乘积型代换： lim lim ' , 其中是给定的因变量；
( 3) arcsin 2 x 2 arcsin x
(arcsin 2 x 2 arcsin x )' 2 2 2 2 1 x 1 4 x 2 2 2 1 4x 1 x 1 4x2 1 x2
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1 x2 1 4x2 (arcsin 2 x 2 arcsin x )' 2 1 4x2 1 x2
上列各式中等号的意义为“左边等于右边”，而反之不 然
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●
设x 0时，e tan x e x与x n 是同阶无穷小， 则n ____
提示：利用Taylor公式可以寻找等价无穷小
e tan x e x e x [e tan x x 1] ~ tan x x
n n
n
n
f ( xn ) 1 f ( x n ) f ( 0) f ' ( 0) lim lim n n x 0 2nx 2n 2n x 0 x
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●
设函数f ( x )在[0, )内具有二阶正的连续导数，且 f (0) f (0) 0, 求 lim xf ( u) , 其中u是曲线y f ( x ) x 0 0 uf ( x )
1 x
ln x x
1)
lim
x
ln x lim ln x 0 x x x x
●
ln ax (a 1) lim ln( x ln a ) ln x 0 x ln a

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0型
ln ax ln a ln x 1, x ln x ln a ln a
ln ax ln ax 2 ln a ln ax 1 ln 1 ( ln 1) ~ x x x ln x ln a ln ln ln a a a
sec x(sin x x cos x ) ~ sin x x cos x
x3 x 3!
●
3 3 x2 x x x(1 o( x 2 ) ) o( x 3 ) o( x 3 ) ~ 2 3 3
设在x 0处有三阶导数，且 f (0) f ' (0) f '' (0) 0, f (0) 1, 则当x 0时，f ( x )的等价无穷小量 .
●
3 2
1 x
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1 原式 3!
数学中的典型例题与技巧 难点：Taylor公式展开的阶数 解决：通常展开到两、三项即可. 展开多余项可以合并到高阶无穷小中.
设m , n是正实数，且
m n，则
（ 1）o( x m ) o( x n ); （2）x o( x n )，只要 n; （3）o( x m ) o( x n ) o( x n ); （4）o( x m ) o( x n ) o( x m n ); （5）x m o( x n ) o( x m n ).
1 x
ln( 1 x ) x
x
e lim e[e
x 0
ln( 1 x ) 1 x
1]
x
ln(1 x ) 1 ln(1 x ) x e x e lim e lim 2 x 0 x 0 x x 2
●
x
lim
x (e x ( x 1) xlim
,分别在(0, u)和(0, x )内
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解：
f ( x) x f ( x) u f ( x ) lim [1 ] lim lim x 0 0 x 0 0 x x 0 0 xf ( x ) x
f ( x) f ( x ) lim lim x 0 0 xf ( x ) x 0 0 f ( x ) xf ( x )
(1 x ) 1 x

( 1)
2! ( 1)( n 1) n x o( x n ) n!
x2
1 2 n n 1 x x x o( x ) 1 x
x lim [( x x )e x 6 1] x 2 1 x 解 x , ( x 3 x 2 )e x 2 x 1 1 1 1 3 2 ( x x )[1 o( 3 )] 2 3 2 x 2! x 3! x x 1 x 1 x 1 1 2 3 2 3 x x x x o x(1 o)( 3 ) 2 2 2 2 3! x 1 1 1 1 3 6 3 3 o ( )] x 1 x 1 6 x [1 x o(1) 6 6 2x x x
在( x , f ( x ))处的切线在x轴上的截距.
f ( x) 分析：u x f '( x )
1 2 x [ f ( ) u ] xf ( u) lim lim 2! x 0 0 uf ( x ) x 0 0 1 u[ f ( ) x 2 ] 2!
f ( )u u lim lim x 0 0 f ( ) x x 0 0 x
1 1 1 1 x lim x 0 2 2x
故原式 e

1 2
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●
设f ( x )可导，且 f (0) 0, F ( x ) 0 t
x n 1
f ( x n t n )dt ,
F ( x) 求 lim 2 n . x 0 x 1 x F ( x ) 0 f ( x n t n )d( x n t n ) n x t u 1 x 1 0 x f ( u)du 0 f ( u)du n n 1 n n 1 f ( x ) nx F ( x) F '( x ) n lim 2 n lim lim x 0 x x 0 2nx 2 n1 x 0 2nx 2 n1
1 1
（3）幂指型代换： lim(1 ) lim(1 ' ) ' .
●
lim( x e x )
x 0
x 0
1 x
(1 )
1 x
lim[1 (e x 1 x )]
lim(1 2 x ) e 2
x 0
1 x
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●
(1 x ) e e lim lim x 0 x 0 x
2n x2 x4 x6 x cos x 1 ( 1) n o( x 2 n ) 2! 4! 6! ( 2n)!
x x x ln(1 x ) x ( 1) o( x ) 2 3 n1
2 3 n1 n n1
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◆ L-Hospital 法则
1 1 00 0 0 0 00 0
0 0 ,1 , 0 型
取对数
ห้องสมุดไป่ตู้
型
0 型 0 型
0 型
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●
(1 x ) lim[ ] x 0 e
1 x
1 x
(1 )
1 x

1 (1 x ) 先取对数 lim ln x 0 x e 1 ln( 1 x) 1 ln( 1 x) x x l im lim 2 x 0 x 0 x x
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ln ax lim ln( x ln a ) ln x 0 x ln a

2 ln a lim ln( x ln a ) x 0 ln x ln a

2 ln a lim (ln x ln ln a ) x 0 ln x ln a
1 1 x 1 ~ ( x 2 ) 2 ~ 2[( 1 x 2 1) ( 1 4 x 2 1)] 1 2 2 1 4 x 1 ~ ( 4 x ) 2 ~ 3x 2
2
~ 2( 1 x 2 1 4 x 2 )
arcsin 2 x 2 arcsin x ~ x 3
◆ 其它：利用导数或微分的定义、微分中值定理、 定积分的概念、广义积分的收敛性等
●
若函数f ( x )在x 1处可导，且f (1) 1, 则
f (1 x ) f (1 2 sin x ) 2 f (1 3 tan x ) lim x 0 x
f (1 x ) f (1) f (1 2 sin x ) f (1) lim lim x 0 x 0 x x 2 f (1) 2 f (1 3 tan x ) lim x 0 x
f ' (1) 2 f ' (1) 6 f ' (1) 9
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●
( 2 tan x )10 ( 2 sin x )10 10 10 2 lim x 0 sin x
设f ( x ) ( 2 x )10 , f ( x ) 10( 2 x )9 ,
数学中的典型例题与技巧 求极限的常用方法 ◆ 等价无穷小替换+带Peano型余项Taylor公式 ◆ L-Hospital 法则 ◆ 其它：利用导数或微分的定义、微分中值定理、 定积分的概念、广义积分的收敛性等 ◆ 两个重要极限 ◆ 极限存在的两个准则：夹逼性、单调有界原理
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