近世代数全31环的定义与性质

,则
n
n
(1) a( ai ) aai
i 1
i 1
n
n
(2) ( ai )a aia
i 1
i 1
n
m
nm
(3) ( ai )( bj ) aibj
i 1
j 1
i1 j1
(4) (ma)(nb) (mn)ab
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三、子环
定义4 若环 R 的非空子集 S 关于环 R 的加法与乘法也做成环，称 S 为 R 的子环
关于数的加法与乘法都构成有单位元的交换环.
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四、特殊类型的环 1. 无零因子环
定义 5 设 R 为环, a 为 R 的非零元素.
如果存在非零元 b ，使 ab 0 ，则称a 为 R 的一个左零因子； 如果存在非零元 b ，使
ba 0 ，则称 a 为 R 的一个右零因子.
左零因子与右零因子统称为零因子.
• R 的零元与 R 的每个元素的负元都是
唯一的.
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定义2 如果环 R 的乘法还满足交换律, 则称 R 为交换环.
定义3 如果环 R 中存在元素 e ,使得 ea ae a,a R
则称 R 为有单位元的环,并称 e 为 R 的
单位元.
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例1 整数集关于数的加法与乘法 构成有单位元的交换环. 这个环的零元是数0,单位元是数1. 这个环称为整数环.
它的零元为零矩阵, 单位元为单位矩阵.
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例 4 证明 数集
Z[i] {a bi | a, b Z}
关于数的加法与乘法构成有单位元的交换环. 这个环称为高斯整环.
类似地可证, 如果 d 为非平方整数, 则
Z[ d ] {a b d | a, b Z},
Q[ d ] {a b d | a, bQ}
，记作 S R.
定理2 S R "a, b S,
有a b S, ab S "
例 2 R {2a | a Z} Z
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例3
数域 K 上的全体 n 阶方阵的集合
Mn( K ) 关于矩阵的加法与乘法 构成环.
这个环称为数域 K 上的 n 阶全阵环.
当 n 1 时,这是一个非交换环,
交换的除环称为域.
不是左零因子也不是右零因子的元素， 叫做正则元.
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例5
设 M M2(R),
A
1 0
1 0
,
B
1 1
1
1
都是 M 的非零元,而 AB 0 ,所以 A, B
分别为 M 的左右零因子.
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定义 6 一个没有零因子的环称为无零因子环.
定理 3 无零因子环 R 中,关于乘法
同样,有理数集,实数集,复数集关 于数的加法与乘法构成有单位元 的交换环
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定理1
设 R 是一个环,如果 R 有单位元,则
单位元是唯一的.
R 的单位元常记作 1R .
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二、环的性质 性质1. 规定减法:
a b a (b),a, b R
，则有移项法则:
a b c a c b,a, b, c R
例7
Z 的可逆元仅有1, -1;
2Z 由于没有单位元,所以它没有可逆元.
例 8 A Mn( K ) 可逆当且仅当 | A | 0. 例 9 试求高斯整环 Z[i] 的可逆元. 解 可逆元只有 1, 1, i, i
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定义9
设 R 是有单位元的环,且 1R 0 .如果 R 中每个非零元都可逆,则称 R 为除环.
两个消去律成立.即设 a, b, c R, b 0
,如果 ab cb 或 ba bc ,则 a c.
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2.整环 定义 7 一个交换的,有单位元 1R 且
1R 0 的无零因子环 R 称为整环.
例 6 整数环, 高斯整环 都是整环, 而偶数环为 无零因子环.
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(3) 乘法对加法两个分配律成立：a, b, c R,
a (b c) a b a c, (b c) a b a c a
则称 (R, , ) 为环,或简称 R 为环.
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说明：
• (R, ) 是一个交换群. • 其加法单位元常用0表示,称为环 R 的零元.
• 设 a R, a 的加法逆元称为 a 的负元 ,记作 a .
an a14 a2L43a
n
,则有下列指数法则:
(1) (am )n amn (2) am an amn
注意: 如果环 R 不是交换环, 则等式
(a b)n an bn 一般不成立.
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性质5. 广义分配律: 设
a, ai , bj R, i 1, 2,L , n, j 1, 2,L , m
近世代数
第三章 环与域 §1 环的定义与性质
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一、环的定义
定义1 设 R 是一个非空集合. 如果在 R 上定义了两个代数运算“+”与“.”
(分别称为加法与乘法),并且满足
(1) R 关于加法构成一个交换群（加群）；
(2) 乘法结合律成立：
a, b, c R, (a b) c a (b c)
3.除环和域
定义 8 设 R 为有单位元 1R 的环,
a( 0) R ,如果存在 b R ,使得
,则称
a
为
ab ba 1R R 的可逆元,并称
b
为
a
的逆元.
•若a 可逆, 则 a 的逆元唯一, 且 a 的逆元也可逆.可逆元 a 的唯一的
逆元记作 a1 ,且 (a1 )1 a.
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性质2. 规定倍数: 设 a R , 规定
a1 44a 2 L4 43a
n
na (1a4) 4 (42a)4 L4 (43a)
n
0
如果n N 如果 n N 如果n 0
则有倍数法则:对任意 a, b R, m, n Z
(1) ma na (m n)a
(2) m(a b) ma mb
(3) m(na) (mn)a
(4) m(ab) (ma)b a(mb)
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性质3. 设 R 为环, 则对 a, b R ,有
(1) a 0 0 a 0 (2) (a) a (3) a(b) (a)b ab (4) (a)(b) ab
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性质4. 规定方幂: 设 a R, n N , 规定