计算方法第八章矩阵特征值计算

max(
uk
)
1
,
lim
k
vk
x1 max( x1)
12
幂法
证明lim k
vk
x1 max( x1)
vk
uk max( uk )
Avk 1 max( Avk1)
Ak v0 max( Akv0 )
n
n
Akv0 Ak ( ai xi ) aiik xi
i 1
i 1
1k
a1x1
n i2
于是
n
n
n
vk Akv0 Ak ( ai xi ) ai Ak xi aiik xi
i 1
i 1
i 1
9
幂法
以下只考虑主特征值是单重实值的情形。
设 1 2 n , 则
vk
a11k x1
n i2
aiik xi
1k
a1
x1
n i2
ai
(
i 1
)k
xi
对于充分的k，i
1
B的特征值为 1 , 2 ,n 选择适量的平移量 ,
1 i i 2,3,, n
20
幂法的加速
且 max i 2 2in 1 1
例1中，选取 2, 得到矩阵B，迭代5次后，得 1 13.000, (1 11.000)
ai
( i 1
)k
xi
13
幂法
lim
k
vk
lim
k
Ak v0 max( Akv0 )
lim
k1
a1x1
n i2
ai
(
i 1
)k
xi
k
max
k1
a1
x1
n i2
ai
(i 1
)k
xi
lim x1 k max( x1)
14
幂法
证明lim k
max(
uk
)
1
uk
Avk 1
另一方面，一个特征向量只对应一个特征值。
6
矩阵特征值与特征向量的关系
7°实对称矩阵有完全特征向量系，而且对应于不 同特征值的特征向量彼此正交。
7
§8.2 幂法及反幂法
1 幂法
设n阶矩阵A有完全 特征向量系 x1 , x2 ,, xn ,
其对应的特征值为 1 , 2 ,, n . 幂法的基本作法
是，对任给初始向量 v0 , 利用迭代公式 vk Avk1 k 1, 2,
第8章 矩阵特征值计算
§8.1 特征值性质和估计 §8.2 幂法及反幂法 §8.3 正交变换与矩阵分解 §8.4 QR方法
§8.1 特征值性质和估计
1 矩阵特征值的有关定义
给定n阶矩阵
a11 a12 a1n
A
a21
a22
a2
n
an1
a2n
ann
定义 1 如果有数和非零向量 x (x1 , x2 ,, xn )T , 使得 Ax x 则称为矩阵A的特征值，
4
0.502
1.0
5
0.499
1.0
6
0.500
1.0
7
0.500
1.0
8
0.500
1.0
(vk )3
1 0.588 0.826 0.726 0.758 0.748 0.751 0.750 0.750
max( uk )
17.0 9.472 11.584 10.834 11.052 10.982 11.004 11.000
18
例题
因此，1 11.00, x1 (0.500,1.000,0.750)T
矩阵 A 三个特征值的标准值是
1 11, 2 3, 3 2
比值 2 0.27 较小，所以收敛速度较快。 1
19
幂法的加速
2 幂法的加速
（1）原点平移法
设矩阵A的特征值 1 2 n , B A I
构造向量序列
v1 Av0 , v2 Av1 A2v0 ,
vk Avk1 Akv0
k 1, 2, 8
幂法
由于序列 vk 实质是由矩阵A的各次幂作用于初
始向量而形成的，故此法称为幂法。
因为 x1 , x2 ,, xn 线性无关，可以为基底表示
向量 v0 ,即
v0 a1x1 a2x2 anxn
矩阵特征值与特征向量的关系
2 矩阵特征值与特征向量的性质
1°设 1 , 2 ,, n 为矩阵A的n个特征值，
x1 , x2 ,, xn 为对应的特征向量，则
A1
的特征值为
1 i
(i
1, 2,, n ,且i
0) ;
Ak 的特征值为 ik (i 1, 2,, n , );
Ak I 的特征值为ik (i 1, 2,, n , );
将很小，向量
n i2
ai
(
i 1
)
xi
的范数
必很小，故有 vk 1k a1x1
10
幂法
对任一分量
(vk )k (vk 1 ) k
1
任给非零初始向量v0
uk Avk1
vk
uk max( uk )
k 1, 2,
vk vk1
11
幂法
max( uk ) 为所求的主特征值。
lim
k
A
Ak 1v0 max( Ak1v0
)
Ak v0 max( Ak1v0 )
1k
a1x1
n i2
ai
(
i 1
)k
xi
max
1k
1
a1x1
n i2
ai
( i 1
)k 1
xi
15
幂法
故
lim k
max( uk
)
max
1k
a1x1
max
1k
1
a1
x1
n
i2 n
i2
ai
(
i 1
它们对应的特征向量仍为 xi (i 1, 2,, n).
矩阵特征值与特征向量的关系
2° A的 n个特征值之和等于A的迹； A的 n个特征值
之积等于A的行列式之值，即
n
wk.baidu.com
n
n
i aii tr(A), i det( A)
i 1
i 1
i 1
3°奇异矩阵至少有一个特征值是零；
对角矩阵和三角矩阵的特征值是它的对角线元素；
)k
xi
ai
(
i 1
)
k
1
xi
1
16
例题
例1 计算矩阵
2 3 2 A 10 3 4
3 6 1
的主特征值及对应的特征向量。
解 取 v0 (1,1,1)T
应用幂法的计算结果列于下表中。
17
例题
k
vkT
(vk )1
(vk )2
0
1
1
1
0.412
1.0
2
0.528
1.0
2
0.493
1.0
实矩阵的特征值是实数或共轭复数；
实对称矩阵的特征值是实数；
对称正定矩阵的特征值是正数。
矩阵特征值与特征向量的关系
4°相似矩阵的特征值相同。 5°矩阵的不同特征值所对应的特征向量线性无关。 6°矩阵的每个特征值对应着无穷多个特征向量。
当是单重特征值时，对应的线性无关特征向量只 有一个；
当是k重特征值时，对应的线性无关特征向量不 多于k个。
x为矩阵A的特征值所对应的特征向量。
矩阵特征值的有关定义
n阶矩阵A具有 n个特征值，按模最大者称为A的 主特征值。
A I 称为A的特征矩阵； det( A I ) 称为A的特征多项式； det( A I ) 0 称为A的特征方程。
定义2 如果矩阵A有n个线性无关的特征向量，则称A 有完全特征向量系，A为非亏损矩阵。