04-8.1 挠曲线近似微分方程

显然 ds2 dx2 dy2
ds dx2 dy2 dx2 1 y2 x 1 y2 xdx
所以
d ds
y x
3
1 y2 x 2
正负号的确定
y M>0
y M<0
M 与 w″同号
w″> 0
o
x
w″< 0
o
x
w"
M
挠曲线微分方程
1 w'2
3 2
EI
小变形：w′ 远小于 1, 或 w′≈ 0
w" M EI
挠曲线近似微分方程
挠曲线方程讨论
w" M EI
注意事项—— 适用条件
1. 应采用右手坐标系 2. 忽略剪力 FS 的影响 3. 小变形，w′<< 1, 或 w′≈ 0 4. 材料服从胡克定律
材料力学
大连理工大学 王博
弯曲变形
梁的弯曲问题回顾 弯曲内力
弯曲应力
弯曲变形
弯矩 剪力
正应力 剪应力
挠度 转角
弯曲变形
一、 研究变形的目的
1. 建立刚度条件 2. 利用变形（缓冲，减震） 3. 解静不定问题（位移协调条件）
二、挠曲线
F
轴线
挠曲线
定义：梁变形后的轴线称为挠曲线 特点：
1. σ ≤ σp , 光滑连续，f 、 f′、 f″连续 2. 平面弯曲变形时为一条平面曲线
F
F
x
dx
w"
x
1 w'2
3 2
w"
1 w'2
3 2
M EI
y
y(x)
M点处的平均曲率
M α+∆α
lim d
s0 s
ds
∆s
Mα
若y(x)存在一阶、二阶导数
y x tan
x
y x sec2 d
dx
则
d
y x
y x
y x
sec2 dx 1 tan2 dx 1 y2 x dx
yθ
θ
A
w
x
小变形θ≈tanθ= w′
dw
x
dx
五、约束处的挠度和转角
wA = 0 A
wB = 0 B
x l
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
wA = 0 A
θA= 0
x
l
B
x = 0, w = 0 x=l, w=0
x=0, w=0 θ=0
挠曲线近似微分方程
纯弯曲
1M
EI
横力弯曲
1 M(x) (x) EI
y a
ρ dθ
a
由高等数学知识，挠曲线曲率，即κ=1/ρ，为
y = f(x)
三、梁的位移
y
Fθ
w
x
x
1.挠度：截面形心在垂直于原轴线方向的线位移与 y 轴正向一致为正。挠度方程 w = w ( x )
2.转角：横截面的角位移。与自 x 轴正向转到 y 轴 正向一致为正。转角方程 θ = θ ( x )
3.水平线位移：平行于轴线方向的线位移忽略
四、挠度与转角的关系