04-8.1 挠曲线近似微分方程
合集下载
北京交通大学材料力学 第六章 弯曲变形2
（2）对图b，C截面的挠度和转角分别为：
qa wCq 8 EI
4
Cq
qa3 6 EI
柯燎亮
北京交通大学工程力学研究所
§6-3 用叠加法求弯曲变形-例4 原外伸梁C端的挠度和转角也可按叠加原理求得，即：
wC wCq B a
所以：
C B Cq
qa4 1 qa3 5qa4 wC a （向下） 8EI 12 EI 24EI qa qa qa C 6 EI 12EI 4 EI
柯燎亮
w
B2
北京交通大学工程力学研究所
§6-3 用叠加法求弯曲变形-例3
对图a，可得C截面的挠度和转角为：
F
Fl wC1 3EI
Fl 2 C1 2 EI
3
3
(a)
wC1
C1
直线
C1 2l B1
wC1
wB1
由位移关系可得此时B截面的挠度和转角为：
Fl Fl 4 Fl wB1 wC1 C1 BC 2l （向下） 3EI 2 EI 3EI
ql 3l x 1 24
2
ql 3l EIw1 x1 C1 44 ql 3l EIw1 x 1 C1 x1 D1 12 4
3
CB段
M 1 ( x2 ) EIw2 q l 2 l x2 ( x2 l ) 2 2
MA
FA
M A 3ql 2 / 8
FA ql / 2
北京交通大学工程力学研究所 柯燎亮
M A 3ql 2 / 8
选取如图所示的坐标系：
FA ql / 2
AC段
梁的挠曲线近似微分方程及其积分.
f (P1P2 Pn ) f1(P1 ) f2 (P2 ) fn (Pn )
二、结构形式叠加（逐段刚化法）：
A a
P q
C a
P
a
a
q
a
a
+
=
例6－4-1 按叠加原理求A点转角 和C点挠度.
解、载荷分解如图
、由梁的简单载荷变形表，
查简单载荷引起的变形。
PA
Pa 2 4 EI
f ( x) M ( x) I0 M ( x)
EI ( x) I0
EI 0
EI 0 f ( x) M ( x)
M(x) M(x) I0
I(x)
：几何形状：长度不变，惯性矩变为I0 。
：实梁对应方程： EI0 f ( x) M ( x)
虚梁对应方程：
M (x) q(x)
：令：q(x) M ( x ) 依此建立虚梁上的分布载荷。
8
2
- q a2
a2
C
a
求虚梁B点的剪力和弯矩
x
13qa 3 RA 72
QB
13qa3 72
1 2
qa2 2
a
5 72
qa3
MB
13qa3 72
a
1 2
qa2 2
a
a 3
7 72
qa4
D
B
5qa 3 72EI
7qa4 f B 72EI
C点左右位移怎样？
四、变截面直梁的共轭梁法： ：将截面的变化折算到弯矩之中去。
梁的挠曲线微分:方E程 If ( x) M ( x) 梁的外载与内力的为关 : M系(x) q(x)
上二式形式相同，用类比法，将微分方程从形式上转化为 外载与内力的关系方程。从而把求挠度与转角的问题转化为求 弯矩与剪力的问题。
二、结构形式叠加（逐段刚化法）：
A a
P q
C a
P
a
a
q
a
a
+
=
例6－4-1 按叠加原理求A点转角 和C点挠度.
解、载荷分解如图
、由梁的简单载荷变形表，
查简单载荷引起的变形。
PA
Pa 2 4 EI
f ( x) M ( x) I0 M ( x)
EI ( x) I0
EI 0
EI 0 f ( x) M ( x)
M(x) M(x) I0
I(x)
：几何形状：长度不变，惯性矩变为I0 。
：实梁对应方程： EI0 f ( x) M ( x)
虚梁对应方程：
M (x) q(x)
：令：q(x) M ( x ) 依此建立虚梁上的分布载荷。
8
2
- q a2
a2
C
a
求虚梁B点的剪力和弯矩
x
13qa 3 RA 72
QB
13qa3 72
1 2
qa2 2
a
5 72
qa3
MB
13qa3 72
a
1 2
qa2 2
a
a 3
7 72
qa4
D
B
5qa 3 72EI
7qa4 f B 72EI
C点左右位移怎样？
四、变截面直梁的共轭梁法： ：将截面的变化折算到弯矩之中去。
梁的挠曲线微分:方E程 If ( x) M ( x) 梁的外载与内力的为关 : M系(x) q(x)
上二式形式相同，用类比法，将微分方程从形式上转化为 外载与内力的关系方程。从而把求挠度与转角的问题转化为求 弯矩与剪力的问题。
概述梁的挠曲线近似微分方程及其积分用积分
x 0 时， ， wA 0 A w A 0
当
求得：
C 0; D 0
y
L
P
B
B
wB
x
写出挠曲线方程并画出挠曲线的大致形状
Px 2 w( x) ( x 3L) 6EI
最大转角及最大挠度（绝对值最大）
max
PL2 B （ ） 2 EI
wmax
PL3 wB （ ） 3EI
C
x1
x2
AB段 (0 x1 a)
a
a
M1 Px1
BC段 (0 x2 a)
M 2 P(a x2 )
写出挠曲线微分方程并积分 AB段
M1 Px1 EIw1
P 2 EI1 x1 C1 EIw1 2 P 3 EIw x1 C1 x1 D1 6
1
y
M<0
d2w 0 2 dx
d2w M ( x) 2 EI dx
o
x
d 2 w M ( x) (2) 2 EI dx
式（2）就是挠曲线近似微分方程。
对于等截面直梁，挠曲线近似微分方程可写成如下形式：
d w M ( x) 2 EI dx
二、求转角方程、挠曲线方程 1.微分方程的积分
最大挠度及最大转角
dw( x 2 ) Pa 2 ( x2 ) dx 2 2 EI
2
y
a
P
C
C
max C CB
wmax
Pa 2 2EI
L
B
x
wB
Pa 2 wB (3L a) 6EI
例2 求图示梁自由端的转角和挠度。
挠曲线方程
例7-3.图示一简支梁，在梁跨度中点C处作用一个集中力P。求 该跨中点C的挠度及支座A点处横截面的转角。
P
解：[分析]象这样类型习题的传统
解法是：以A点为原点,建立坐标系 A
B
，分AC段，CB段分别列出弯矩方程 RA x
及挠曲线方程，然后根据变形条件
L/2
L
RB
和连续条件确定积分方程。从而求
解，我们的书中用的就是这种解法，但是，我们只要稍微注意一
EIZ
y ''
RAx
q 2
x2
q 2
Lx
q 2
x2
EIZ
y'
q 4
Lx2
q 6
x3
C
EIZ
y
q 12
Lx3
q 24
x4
Cx
D
——（1） ——（2）
（3）利用边界条件确定积分常数C、D
x=0, y A 0 得：D=0
x=L, yB 0
得：C qL3
24
将C、D代入（1）（2）得：
EIZ EIZ
y' q Lx2 4
y q Lx3 12
q x3 qL3 6 24 q x4 qL3 24 24
x
（4） x
L 2
时，（将
x
L 2
代入（4）式得yC
）
EI Z yC
5 384
qL4
yC
5 384 EI Z
我们上面所讲的直接积分法是求梁变形的基本方法， 但在载荷复杂的情况下，要列多段弯矩方程，从而产生很 多的积分常数。运算非常复杂。现在我们将要介绍的叠加 法，基本上克服了这一缺点，为工程上常采用的较方便的 计算方法之一。
挠曲线近似微分方程及其积分
再积分一次，得挠度方程：
(x) 1 ( M(x)dx) cx D EI
2. 挠曲线近似微分方程及其积分
(2) 边界条件和连续条件 边界条件：梁在其支承处截面的挠度或转角是已知的，
这样的已知条件称为边界条件。
P D
固定端处 0 ， 0
P
A
C
B
铰支座处 0
M( x1 )
EI
x1
)
ql 2 8
EI ( x1 ) EI1 m( x1 )dx c1
ql 2 8
x1
c1
──── (1)
EI( x1）
EI1
M( x1)dx
dx
c1 x1
D1
ql 2 16
x12
c1 x1
D1
─ (2)
BC段： EI2
EI ( x2 )
d 2 M ( x)
dx2 EI
当y轴向上为正方向时，恒同号。
d 2
dx2
M(x) EI
——这个等式称为挠曲线近似微分方程。
2. 挠曲线近似微分方程及其积分
二、挠曲线近似微分方程的积分法
(1) 转角方程和挠度方程 对挠曲线的近似微分方程一次积分，得转角方程：
(x) d 1 ( M(x)dx c) dx EI
2. 挠曲线近似微分方程及其积分
连续条件：当弯矩方程需要分段建立时， 梁的挠曲线分段处满足的连续、光滑条件， 这样的已知条件称为连续条件。即在梁的 同一截面上应具有相同的挠度和转角。
2. 挠曲线近似微分方程及其积分
(x) 1 ( M(x)dx) cx D EI
2. 挠曲线近似微分方程及其积分
(2) 边界条件和连续条件 边界条件：梁在其支承处截面的挠度或转角是已知的，
这样的已知条件称为边界条件。
P D
固定端处 0 ， 0
P
A
C
B
铰支座处 0
M( x1 )
EI
x1
)
ql 2 8
EI ( x1 ) EI1 m( x1 )dx c1
ql 2 8
x1
c1
──── (1)
EI( x1）
EI1
M( x1)dx
dx
c1 x1
D1
ql 2 16
x12
c1 x1
D1
─ (2)
BC段： EI2
EI ( x2 )
d 2 M ( x)
dx2 EI
当y轴向上为正方向时，恒同号。
d 2
dx2
M(x) EI
——这个等式称为挠曲线近似微分方程。
2. 挠曲线近似微分方程及其积分
二、挠曲线近似微分方程的积分法
(1) 转角方程和挠度方程 对挠曲线的近似微分方程一次积分，得转角方程：
(x) d 1 ( M(x)dx c) dx EI
2. 挠曲线近似微分方程及其积分
连续条件：当弯矩方程需要分段建立时， 梁的挠曲线分段处满足的连续、光滑条件， 这样的已知条件称为连续条件。即在梁的 同一截面上应具有相同的挠度和转角。
2. 挠曲线近似微分方程及其积分
挠曲线近似微分方程
C1
Fb 6l
l2 b2
,
C2
Fab 6l
l
a
Page 14
材料力学 第六章 弯曲变形
四 积分法总结
❖ 优点：适用范围广、精确 ❖ 缺点：计算繁琐
五 刚度条件
w
max ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱax
w
练习：写边界条件和连续性条件
A
B
C
D
边界条件 wA 0; wB 0
连续性条件 wC wC;C C 或wC' wC' wD wD;D D 或wD' wD'
Mi EI wi" M EIw" M
w
wi
Page 19
材料力学 第六章 弯曲变形
例一：求图示简支梁C点挠度
y A
l/2
F
C l/2
x B
=
y
y
F
A
C
+ x
B
A
x
C
B
l/2
l/2
l/2
l/2
wC
wC q
wC F
5ql4 384EI
Fl 3 48EI
材料力学 第六章 弯曲变形
Page 20
Page 16
材料力学 第六章 弯曲变形
练习（续）
y
a
x
b
l
边界条件 w 0; 0
x0
x0
连续性条件
w w ;
w w ;
xa
xa xa
xa
xb
xb xb
xb
Page 17
材料力学 第六章 弯曲变形
一 叠加§原理6.4 用叠加法求梁的变形
材料力学弯曲变形
第18页/共34页
三、提高梁的刚度的措 施 由梁在简单荷载作用下的变形表和前面的变形计算可看：
梁的挠度和转角除了与梁的支座和荷载有关外还取决于 下面三个因素：
材料——梁的位移与材料的弹性模量 E 成反比； 截面——梁的位移与截面的惯性矩 I 成反比； 跨长——梁的位移与跨长 L 的 n 次幂成正比。
1 3
(L2
b2 )
e) 跨中点挠度及两端端截面的转角
y
x=
L 2
=
Fb 48EI
(3L2
4b2 );
=
y
x=
L 2
=
Fb 24LEI
L2 4b2
两端支座处的转角——
A
=
Fab(L 6LEI
b)
;
B
=
Fab(L 6LEI
a)
第8页/共34页
讨论：1、此梁的最大挠度和最大转角。
左 侧
1max y1 = 0 x1 = 0
等于各载荷单独作用下的弯矩的代数和。
M = M1 M2 M3 EIyi = M i (x)
EIy1 = M1( x) EIy2 = M 2 ( x) EIy3 = M 3 ( x)
第12页/共34页
叠加法计算梁的变形
EIy = M (x)
y = y1 y2 y3 M (x) = M1 M 2 M3
第5页/共34页
例：求图示悬臂梁自由端的挠度及转角( EI=常数）。
解：a) 建立坐标系并写出弯矩方程
M (x) = F(L x)
b) 写出微分方程并积分
EIy = M (x) = F(L x)
EIy
=
1 2
F
(L
挠曲线
主要内容及重点：计算弯曲变形的积分法、叠加法弯曲刚度计算梁的超静定问题1.弯曲变形工程中的弯曲变形问题2.1、挠曲线OB—平面弯曲时，梁变形后轴线。
在xoy 平面内的一条连续、光滑的弹性曲线。
PyxBA（梁弯曲变形的两个基本量）（1）挠度：梁变形后，横截面的形心在垂直于梁轴线（x 轴）方向上所产生的线位移，称为梁在截面的挠度。
一般情况下，不同横截面的挠度值不同。
横截面挠度随截面位置（x 轴）而改变的规律用挠曲线方程表示。
即：）（x f y =y AP x由梁弯曲的平面假设可知：梁的横截面变形前垂直于轴线，变形后仍垂直于挠曲线。
：曲线OAB 在A 点的切线与X 轴间的夹角θABAy AP xθA）挠度与转角的关系挠曲线切线的斜率：θtg dxdy=工程中θ极小：θθtg ≈)(x f dy′==θzEI M ＝ρ1zEI x M x )()(1＝ρOBPyxBPx23222])d d (1[d d )(1xw x w x +±＝ρz EI x M xw x w)(])d d (1d d 23222=+zEI x )(ρzEI x M x w )(d d 22＝±zEI x M x w )(d d 22＝±o>0d 2M>0d 2d 2<0oM<02d zEI Mx w ＝22d d －挠曲线近似微分方程线弹性范围适用对于等直梁)(x M x w EI z =22d d Cx x M xwEI x EI z z +=∫d )(d d )(＝θDCx x x x M x w EI z ++=∫∫d d )()(C 、D ：积分常数边界条件已知的挠度及转角光滑连续性PM(x)＝F P (L-x)xF L F x L x M xwP P 22))(d −=−=DCx x F x F ++−=3P 2P 6121)θA ＝0 x ＝0 时w A ＝0C=0 D=0)()(x L EI xF x z −22P ＝θ)3(6)(2P x L EI xF w z−＝θEI LF 22P max ＝θL F w 3P ＝Pmaxm a xθC x F Lx F x EI P Z +−==2P 21)(θmaxy maxB θ解：建立坐标、写弯矩方程）段：（20lx AC <≤）段：（l x lCB ≤<2BCL/2L/2xxPxx 21)(=)2(21)(lx P Px x M −−=Px1)=)(1)(lx P Px x y EI −−=′′一次：利用边界条件确定积分常数：12141C Px EI Z +=θ1131121D x C Px y EI Z ++=2222)2(241C l x P Px EI Z +−−=θ22332)2(6121D x C l x P Px y EI Z ++−−=⇒==右左右左，C C C C y y θθ2121DDC C ==2100D D y x A =⇒==，02Pl C C y l x B −==⇒==，maxy maxB θBCpL/2164Z 224EI Z )1612(23x Pl Px Z −]16)2(6121[12332x Pl l x P Px EI y Z −−−=max0θ，，l x ==ZEIPl 162max∓=θmax2y lx ，=ZEIPl y 483max−=maxy maxB θBCpx思考：在用积分法求梁的转角和位移过程中，何时需要考虑静力关系、物理关系、变形协调关系？静力关系：支反力、弯矩计算物理关系：挠曲线近似微分方程变形协调关系：积分运算及边界条件图示纯弯曲悬臂梁的挠曲线应为一圆弧线，而由积分法求得的梁挠曲线为二次抛物线为什么？近似微分方程获得的梁挠曲线近似解自由端B 处挠度的精确解：EIxM v e 22=()+−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−=−=43242!4!2cos 1lM l M v e e BBB θθρθρ1222211)()()(a x m x Lm x M x L mx M −−＝＝2a a 2a x2()2)(452)(2)(222222211a x q a x qa x q x M x q x M −+−+−−＝＝5.用叠加法求弯曲变形叠加法：当梁上同时作用几个荷载时，在小变形情况下，且梁内应力不超过比例极限，则每个荷载所引起的变形（挠度和转角）将不受其它荷载的影响。
材料力学 积分法求梁的变形
一、挠曲线近似微分方程
M ( x ) = r EI Z 1
1 = ± r d 2 w dx 2 d w é 2 ù 1 + ( ) ê ú dx ë û
3
±
d 2 w dx 2 d w 2 ù é 1 + ( ) ú ê dx û ë
3
M ( x ) = EI Z
边界条件、连续条件应用举例
弯矩图分三段，共6 个积分常数需6个边界条 件和连续条件 A B
P C D
w
铰连接
ω A点： A = 0, q A = 0
B 点 ： w B 左 = w B 右
C点 ： w C左 = w C右
D点：w D = 0
q C 左 = q C 右
边界条件、连续条件应用举例
y
边界条件
3 qL C1 = 6 EI z
EI zw =
1 (L - x )4 + C q 1 x + C 2 24
x = 0 x = 0 x = L
q = 0 w = 0
qL3 q B = 6 EI z
q =-
3 qL C2 =24 EI z
挠曲线方程应分两段AB,BC.
F A
a
q
B
EI z
L
共有四个积分常数
C
x
边界条件
x = a x = a + L
连续条件
w B = 0 wC = 0
y
x = a
w B1 = w B 2 q B1 = q B 2
例题 5.4 &
用积分法求图示各梁挠曲线方程时,试问下列各梁 的挠曲线近似微分方程应分几段;将分别出现几个积 分常数,并写出其确定积分常数的边界条件
M ( x ) = r EI Z 1
1 = ± r d 2 w dx 2 d w é 2 ù 1 + ( ) ê ú dx ë û
3
±
d 2 w dx 2 d w 2 ù é 1 + ( ) ú ê dx û ë
3
M ( x ) = EI Z
边界条件、连续条件应用举例
弯矩图分三段，共6 个积分常数需6个边界条 件和连续条件 A B
P C D
w
铰连接
ω A点： A = 0, q A = 0
B 点 ： w B 左 = w B 右
C点 ： w C左 = w C右
D点：w D = 0
q C 左 = q C 右
边界条件、连续条件应用举例
y
边界条件
3 qL C1 = 6 EI z
EI zw =
1 (L - x )4 + C q 1 x + C 2 24
x = 0 x = 0 x = L
q = 0 w = 0
qL3 q B = 6 EI z
q =-
3 qL C2 =24 EI z
挠曲线方程应分两段AB,BC.
F A
a
q
B
EI z
L
共有四个积分常数
C
x
边界条件
x = a x = a + L
连续条件
w B = 0 wC = 0
y
x = a
w B1 = w B 2 q B1 = q B 2
例题 5.4 &
用积分法求图示各梁挠曲线方程时,试问下列各梁 的挠曲线近似微分方程应分几段;将分别出现几个积 分常数,并写出其确定积分常数的边界条件
工程力学第1节 挠曲线近似微分方程
挠曲轴线 近似微分方程 结论
M ( x) y EI
两种情况下弯矩与曲线的二阶导数均同号，微分 方程式应取正号，即： 挠曲轴线 近似微分方程
M ( x) y EI
梁的挠曲轴线近似微分方程的适用条件：梁的变 形是线弹性的小变形。
M ( x) y EI
微分方程弯矩M与曲线的二阶导数 y的正负号关系
1）如图a所示，梁的挠曲轴线是一下凸曲线，梁的下 侧纤维受拉，弯矩 M >0，曲线的二阶导数 y >0；
2）如图b所示，梁的挠曲轴线是一上凸曲线，梁的下 侧纤维受压，弯矩 M <0，曲线的二阶导数 y <0；
第十章
梁的弯曲变形
一、挠曲轴线近似微分方程
挠曲轴线：图示悬臂 梁在纵向对称面内的 外力 F 的作用下，将 产生平面弯曲，变形 后梁的轴线将变为一 条光滑的平面曲线， 称梁的挠曲轴线。
挠曲轴线方程
y f ( x)
y f ( x)
挠度：截面形心线位移的垂直分量称为该截面的 挠度，用 y 表示。
第ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ章
梁的弯曲变形
工程中的很多结构或构件在工作时， 不但要满 足强度条件，同时对于弯曲变形都有一定的要求：
第一类是要求梁的位移不得超过一定的数值。例如 若机床主轴的变形过大，将会影响齿轮的正常啮合 以及轴与轴承的正常配合，造成不均匀磨损、振动 及噪音，缩短了机床的使用寿命，还影响机床的加 工精度。因此，在工程中进行梁的设计时，除了必 须满足强度条件之外，还必须限制梁的变形，使其 不超过许用的变形值。 第二类是要求构件能产生足量的变形。例如车辆钢 板弹簧，变形大可减缓车辆所受到的冲击；跳水起 跳板大变形，以确保运动员被弹起。
转角：横截面绕中性轴转动产生了角位移，此角 位移称转角，用 表示。小变形时，转角 很小， 则有以下关系：
《材料力学 第2版》_顾晓勤第07章第1节 挠曲线近似微分方程
曲线 y f (x) 的曲率
1
(x)
(1
y y2
)3/ 2
(1
y y2 )3/2
M (x) EI
忽略不计
挠曲轴线 近似微分方程
y M (x) EI
第 1 节 挠曲线近似微分方程
第七章 梁的弯曲变形
挠曲轴线 近似微分方程
y M (x) EI
微分方程弯矩 M 与曲线的二阶导数 y 的正负号关系
则有以下关系：
tan y dy
dx
由此可知，只要知道梁的挠曲轴线方程 y f (x) ，
就可求出挠度和转角。
挠度和转角的正负号的规定
挠度：与 y 轴正方向同向为正，反之为负；
转角：以逆时针方向转动为正，反之为负。
第 1 节 挠曲线近似微分方程
第七章 梁的弯曲变形
梁任一截面的曲率
1
(x)
M (x) EI
结论
两种情况下弯矩与曲线的二阶导数均同号，微分 方程式应取正号，即：
挠曲轴线 近似微分方程
y M (x) EI
梁的挠曲轴线近似微分方程的适用条件：梁的变 形是线弹性的小变形。
外力F 的作用下，将
产生平面弯曲，变形 后梁的轴线将变为一 条光滑的平面曲线， 称梁的挠曲轴线。
挠曲轴线方程 y f (x)
挠度：截面形心线位移的垂直分量称为该截面的
挠度，用 y 表示。
第 1 节 挠曲线近似微分方程
第七章 梁的弯曲变形
转角：横截面绕中性轴转动产生了角位移，此角
位移称转角，用 表示。小变形时，转角 很小，
第二类是要求构件能产生足量的变形。例如车辆钢 板弹簧，变形大可减缓车辆所受到的冲击；跳水起 跳板大变形，以确保运动员被弹起。
梁的挠曲线近似微分方程
由边界条件：
x 0，yA 0 ; D 0
xl,
yB 0 ;
C ql3 24
q
A
x θA
θB
y
l
B
x
EIy ql x3 q x4 Cx D 12 24
EIy ql x2 q x3 ql3 4 6 24
q (l3 6lx2 4x3)
ql x3 q x4 ql3 x 12 24 24
24EI
最大转角和最大挠度分别为：
y qx (l3 2lx2 x3) 24EI
ymax
y
x l 2
5ql 4 384EI
max
A
B
ql3 24 EI
外伸梁，承受集中载荷作用，试绘制挠曲线的大致形状图。 设弯矩刚度EI为常数。
§6-3 用积分法求梁的变形
解：1、绘制挠曲线的基本依据
1 y M (x)
(x)
EI z
根据弯矩的正、负、零值点或零值区，确定挠曲线的凹、
凸、拐点或直线区。
在梁的被约束处，应满足位移边界条件；在分段处，则 应满足位移连续条件。
载荷作用。试求此梁的转角方程和挠度方程，并确定最大转角
和最大挠度。
y
q
解：
FRA
FRB
ql 2
A
B
x
M(x) ql x q x2 22
x
l
EIy ql x q x2 22
EIy ql x2 q x3 C 46
EIy ql x3 q x4 Cx D 12 24
§6-3 用积分法求梁的变形
§6-3 用积分法求梁的变形
梁的挠曲线近似微分方程：
d 2 y M (x) dx2 EI
挠度分析
ql 3 ml 24EI 3 EI
wc wc ( q ) wc ( m )
A
A (q )
m A
C
B
wc (q)
5ql ml 384EI 16 EI
4
2
A (m)
C
wc ( m )
B
HOHAI UNIVERSITY
例2：已知F、q、EI。求θc和wc。
F=qa A B
Fa Fl 2 EA 48EI
3
l
F
A C
D a
wc1 wc2
l
B
HOHAI UNIVERSITY
例3：一阶梯形悬臂梁，在左端受集中力作用。 试求左端的挠度。
F
EI
A B
2EI
a
a
C
HOHAI UNIVERSITY
F
解：采用逐段刚化法
A
EI a F B
2EI
a C
1、令BC刚化，AB为
A 悬臂梁。 wA1 θA1
y
2 o 梁的挠曲线微分方程为 ql qx 2 EIw x 2 2 ql x 2 qx3 积分 EIw C 2 2 2 3 ql x 3 qx4 EIw Cx D 2 2 3 2 3 4
HOHAI UNIVERSITY
边界条件 x0: w 0 xl : w0
w max
Fbl 2 0.0642 。 EI 9 3 EI
2
Fbl 2
F b C D B
Fbl Fbl wc 0.0625 。 16EI EI
A x
a
x
y
l
因此，受任意荷载的简支梁，只要挠曲线上没 有拐点，均可近似地将梁中点的挠度作为最大挠度。
wc wc ( q ) wc ( m )
A
A (q )
m A
C
B
wc (q)
5ql ml 384EI 16 EI
4
2
A (m)
C
wc ( m )
B
HOHAI UNIVERSITY
例2：已知F、q、EI。求θc和wc。
F=qa A B
Fa Fl 2 EA 48EI
3
l
F
A C
D a
wc1 wc2
l
B
HOHAI UNIVERSITY
例3：一阶梯形悬臂梁，在左端受集中力作用。 试求左端的挠度。
F
EI
A B
2EI
a
a
C
HOHAI UNIVERSITY
F
解：采用逐段刚化法
A
EI a F B
2EI
a C
1、令BC刚化，AB为
A 悬臂梁。 wA1 θA1
y
2 o 梁的挠曲线微分方程为 ql qx 2 EIw x 2 2 ql x 2 qx3 积分 EIw C 2 2 2 3 ql x 3 qx4 EIw Cx D 2 2 3 2 3 4
HOHAI UNIVERSITY
边界条件 x0: w 0 xl : w0
w max
Fbl 2 0.0642 。 EI 9 3 EI
2
Fbl 2
F b C D B
Fbl Fbl wc 0.0625 。 16EI EI
A x
a
x
y
l
因此，受任意荷载的简支梁，只要挠曲线上没 有拐点，均可近似地将梁中点的挠度作为最大挠度。
材料力学A_(梁弯曲变形的描述,挠曲线近似微分方程,积分法和叠加法)
2
w
(x) 挠曲线(轴) (x) w(x)
x x F (13.9) (13.10)
2.挠曲线近似微分方程 由变形几何关系：
1
( x)
M ( x) EI
平面曲线w = w(x) 的曲率为 小变形简化：
( x)
1
( x)
w( x) [1 (w( x))2 ]2
w M>0
§5.5 弯曲时挠曲线的近似微分方程
1.弯曲变形的描述
第5章 弯曲 弯曲变形
w
(x) 挠曲线(轴) (x) w(x)
x x F
季葆华
北京理工大学宇航学院力学系
弯曲使梁的任意 x 截面产生弯曲位移： （1）截面形心的铅垂位移 ——挠度w(x)(向上为正) （2）截面绕中性轴转过的角度 ——转角(x)(为正)
例题
例 题 5-12
l
a
§5
梁的弯曲
D 求图示结构C点的挠度。 解：该梁由梁AB和 拉杆BD组成 1.BD刚化(拉杆不变 形)，仅AB变形 B点相当于简支座：
(a)AB段刚化,BC段变形
BC段相当于 Fa 3 f CF 1 悬臂梁： 3EI
A
B
F C
(b)BC段刚化，AB段变形 F力向B点平移后， A 仅有M=Fa使AB段弯曲变形： Ml Fal Fa2l fCF 2 B2 a a a 3EI 3EI 3EI f C f Cq f CF 1 f CF 2 A
2.弯曲位移计算的载荷叠加法
17
称为叠加原理 叠加原理 利用基本变形表13.2
18
3
例题
例 题 5-8
求图示梁的 f c ?
w
(x) 挠曲线(轴) (x) w(x)
x x F (13.9) (13.10)
2.挠曲线近似微分方程 由变形几何关系：
1
( x)
M ( x) EI
平面曲线w = w(x) 的曲率为 小变形简化：
( x)
1
( x)
w( x) [1 (w( x))2 ]2
w M>0
§5.5 弯曲时挠曲线的近似微分方程
1.弯曲变形的描述
第5章 弯曲 弯曲变形
w
(x) 挠曲线(轴) (x) w(x)
x x F
季葆华
北京理工大学宇航学院力学系
弯曲使梁的任意 x 截面产生弯曲位移： （1）截面形心的铅垂位移 ——挠度w(x)(向上为正) （2）截面绕中性轴转过的角度 ——转角(x)(为正)
例题
例 题 5-12
l
a
§5
梁的弯曲
D 求图示结构C点的挠度。 解：该梁由梁AB和 拉杆BD组成 1.BD刚化(拉杆不变 形)，仅AB变形 B点相当于简支座：
(a)AB段刚化,BC段变形
BC段相当于 Fa 3 f CF 1 悬臂梁： 3EI
A
B
F C
(b)BC段刚化，AB段变形 F力向B点平移后， A 仅有M=Fa使AB段弯曲变形： Ml Fal Fa2l fCF 2 B2 a a a 3EI 3EI 3EI f C f Cq f CF 1 f CF 2 A
2.弯曲位移计算的载荷叠加法
17
称为叠加原理 叠加原理 利用基本变形表13.2
18
3
例题
例 题 5-8
求图示梁的 f c ?
挠曲线的近似微分方程
Bx FBy
解：弯矩方程 :
M x 1 qlx 1 qx2
22
挠曲线的近似微分方程:
w
1 EI z
1 2
qlx
1 2
qx2
进行一次积分得：
w
1 EI z
1 4
qlx2
1 6
qx3
C
再进行第二次积分得：
w
1 EI z
1 12
qlx3
Tmax 180 [] GIp
一般传动轴， [φ’] = 0.5 ~1/m
例4 图为一圆截面轴 AC ，受扭转力偶矩MA，MB 与Mc作用。 已知MA =90 N·m , MB =160 N·m ， MC =70 N·m ， l=2 m， G=80 GPa ， IP=3.0×105 mm4 ， [φ’] =0.3 (o)/m 。试计算 该轴的总扭转角 φAC （即截面C对截面A的相对转角），并 校核轴的刚度。
F C、D为积分常数，它由位移边界与连续条件确定。
边界条件：梁截面的已知位移条件 固定端的挠度和转角均为零，铰支座处的挠度为零。
A
wA=0 θA=0
F B
A wA=0
F C
B
wC1=wC2 wB=0 θC1=θC2
$ 挠曲轴在C点连续且光滑 连续条件：分段处挠曲轴应满足的连续、光滑条件
例6 如图所示图形为一外伸梁，承受集中载荷作用，试绘制
B
w xl
ql3 6EI z
ql 4
wB
w xl
8EI z
根据挠度和转角的符号规定，上述结果表明转角为顺时针，挠度方 向为向下。
概述梁的挠曲线近似微分方程及其积分用积分
1
( x)
d 2w dx2
dx
y
M<0
d2w dx2
M (x) EI
d2w dx2
0
x
o
d2w dx2
M (x)(2) EI
式（2）就是挠曲线近似微分方程。
对于等截面直梁，挠曲线近似微分方程可写成如下形式：
d2w dx2
M (x) EI
EI
d2w dx2
M
(x)
二、求转角方程、挠曲线方程 1.微分方程的积分
y
a
P
A x1
C
x2
L
x B
EIw
0
P(a
x1)
(0 x1 a) (a x2 L)
EIw
P 2
x12
Pax1
C1
C2
EIw
P
6
x13
Pa 2
x12
C1x1
D1
C2 x2 D2
确定积分常数 边界条件
EI 0 x1 0
EI w 0 x1 0
C1 0 D1 0
连续性条件
当 x1 x2 a 时，
题一、解：
x
y
L
P
建立坐标系并写出弯矩方程
A
B
M (x) P(L x)
x
写出挠曲线微分方程并积分
EIw M (x) P(L x)
EIw P x2 PLx C 2
EIw P x3 PL x2 Cx D 62
确定积分常数
当 x 0 时，
A wA 0， wA 0
求得：
C 0; D 0
(6a
a)
RC a3 3EI
a
RC a
第2节 梁变形的基本方程
第八章 梁的变形
第二节 梁变形的基本方程
一、挠曲轴线近似微分方程 梁任一截面的曲率 曲线 y f ( x ) 的曲率
M ( x) 1 ( x) EI y 1 ( x) 2 )3 / 2 (1 y
二阶小量
y M ( x) 2 3/2 EI (1 y )
简支梁： y A 0 , 悬臂梁： A 0 ,
yB 0 yA 0
由边界条件、变形连续条件可确定积分常数，通 过上面两个公式可计算梁任一截面的转角与挠度， 这方法称积分法。
第八章 梁的变形
例8-1 如图所示简支梁，跨度为l，受均布载荷 q作用，梁的抗弯曲刚度EI已知，求跨中截面C的挠 度及截面A处的转角。 解：梁的弯矩方程为： 1 1 2 x M ( x ) qlx qx C 2 2 将上式一次积分得转角： 1 1 1 3 2 ( qlx qx ) C EI 4 6 再次积分，可得挠度方程： 1 1 1 3 4 y ( qlx qx ) Cx D EI 12 24
3
4
5
y 边界条件： x l 时， A 0 ， A 0
C ql
梁的挠度方程24 EID ql4y
qx
5
30 EI
120 EIl
ql x 24 EI
3
ql
4
30 EI
令 x 0 ，得B截面的挠度为
yB
ql 30 EI
（）
挠曲轴线 近似微分方程
M ( x) y EI
第八章 梁的变形 挠曲轴线 近似微分方程
M ( x) y EI
微分方程弯矩M与曲线的二阶导数 y的正负号关系
1）如图a所示，梁的挠曲轴线是一下凸曲线，梁的下 侧纤维受拉，弯矩 M>0，曲线的二阶导数 y >0；
第二节 梁变形的基本方程
一、挠曲轴线近似微分方程 梁任一截面的曲率 曲线 y f ( x ) 的曲率
M ( x) 1 ( x) EI y 1 ( x) 2 )3 / 2 (1 y
二阶小量
y M ( x) 2 3/2 EI (1 y )
简支梁： y A 0 , 悬臂梁： A 0 ,
yB 0 yA 0
由边界条件、变形连续条件可确定积分常数，通 过上面两个公式可计算梁任一截面的转角与挠度， 这方法称积分法。
第八章 梁的变形
例8-1 如图所示简支梁，跨度为l，受均布载荷 q作用，梁的抗弯曲刚度EI已知，求跨中截面C的挠 度及截面A处的转角。 解：梁的弯矩方程为： 1 1 2 x M ( x ) qlx qx C 2 2 将上式一次积分得转角： 1 1 1 3 2 ( qlx qx ) C EI 4 6 再次积分，可得挠度方程： 1 1 1 3 4 y ( qlx qx ) Cx D EI 12 24
3
4
5
y 边界条件： x l 时， A 0 ， A 0
C ql
梁的挠度方程24 EID ql4y
qx
5
30 EI
120 EIl
ql x 24 EI
3
ql
4
30 EI
令 x 0 ，得B截面的挠度为
yB
ql 30 EI
（）
挠曲轴线 近似微分方程
M ( x) y EI
第八章 梁的变形 挠曲轴线 近似微分方程
M ( x) y EI
微分方程弯矩M与曲线的二阶导数 y的正负号关系
1）如图a所示，梁的挠曲轴线是一下凸曲线，梁的下 侧纤维受拉，弯矩 M>0，曲线的二阶导数 y >0；
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
显然 ds2 dx2 dy2
ds dx2 dy2 dx2 1 y2 x 1 y2 xdx
所以
d ds
y x
3
1 y2 x 2
正负号的确定
y M>0
y M<0
M 与 w″同号
w″> 0
o
x
w″< 0
o
x
w"
M
挠曲线微分方程
1 w'2
3 2
EI
小变形：w′ 远小于 1, 或 w′≈ 0
y = f(x)
三、梁的位移
y
Fθ
w
x
x
1.挠度：截面形心在垂直于原轴线方向的线位移与 y 轴正向一致为正。挠度方程 w = w ( x )
2.转角：横截面的角位移。与自 x 轴正向转到 y 轴 正向一致为正。转角方程 θ = θ ( x )
3.水平线位移：平行于轴线方向的线位移忽略
四、挠度与转角的关系
F
F
x
dx
w"
x
1 w'2
3 2
w"
1 w'2
3 2
M EI
y
y(x)
M点处的平均曲率
M α+∆α
lim d
Байду номын сангаас
s0 s
ds
∆s
Mα
若y(x)存在一阶、二阶导数
y x tan
x
y x sec2 d
dx
则
d
y x
y x
y x
sec2 dx 1 tan2 dx 1 y2 x dx
材料力学
大连理工大学 王博
弯曲变形
梁的弯曲问题回顾 弯曲内力
弯曲应力
弯曲变形
弯矩 剪力
正应力 剪应力
挠度 转角
弯曲变形
一、 研究变形的目的
1. 建立刚度条件 2. 利用变形（缓冲，减震） 3. 解静不定问题（位移协调条件）
二、挠曲线
F
轴线
挠曲线
定义：梁变形后的轴线称为挠曲线 特点：
1. σ ≤ σp , 光滑连续，f 、 f′、 f″连续 2. 平面弯曲变形时为一条平面曲线
w" M EI
挠曲线近似微分方程
挠曲线方程讨论
w" M EI
注意事项—— 适用条件
1. 应采用右手坐标系 2. 忽略剪力 FS 的影响 3. 小变形，w′<< 1, 或 w′≈ 0 4. 材料服从胡克定律
yθ
θ
A
w
x
小变形θ≈tanθ= w′
dw
x
dx
五、约束处的挠度和转角
wA = 0 A
wB = 0 B
x l
wA = 0 A
θA= 0
x
l
B
x = 0, w = 0 x=l, w=0
x=0, w=0 θ=0
挠曲线近似微分方程
纯弯曲
1M
EI
横力弯曲
1 M(x) (x) EI
y a
ρ dθ
a
由高等数学知识，挠曲线曲率，即κ=1/ρ，为