竞赛推免第一讲：巧算有理数

第一讲：巧算有理数一、巧用运算律
进行有理数运算时注意符号的处理，再看是否可以用运算律简化运算。

例1 计算：(1)
7
1999
8
-×16；(2)
11311
()()
63641248
--+-÷-
解析(1)原式＝
1 (2000)
8
--×16
＝－(3200－2) ＝－31998
(2)原式＝－
1131
()48
636412
--+-⨯＝－(－8－
4
3
＋36－4)＝－
2
22
3
.
点评:
(1)像
7
1999
8
、2003等数字在参与运算时，往往将其写成
1
2000
8
-、2000＋3的形式；(2)利
用乘法对加法的分配律时，应注意符号的处理技巧，尽量以免错误。

二、有理数大小的比较
有理数大小比较的一般规律：正数>零>负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小；两个正数比较大小，倒数大的反而小、在进行有理数大小比较时，往往利用到作差、作商、倒数比较、平方比较以及运用一些熟知的规律进行比较.
例 2 把
199191199292
,,,
199292199393
----四个分数按从小到大的顺序排列
是.
解析：
1992192119931931 1,1,1,1, 199119919191199219929292 =+=+=+=+ 1111199319929392
,, 199219919291199219919291 199219919291199219919291
,. 199319929392199319929392 <<<∴<<<
∴>>>∴-<-<-<-
而
点评:比较分数的大小通常可以将分子化成相同或分母化成相同，再进行比较，除了通分外，
倒数法也是经常用到的方法.实际上，此类习题具有一般规律；
1
1
n n
n n
-
<
+
(n是正整数)，如
1234
2345
<<<<⋅⋅⋅
三、有理数巧算的几种特殊方法
有理数运算时，经常会出现一些较大或较多的数求和的问题，仔细观察它们的特点，探求其中的规律，往往可以为解题开辟新的途径.
1.倒序相加法
例3计算：(1)1＋2＋3＋…＋2003＋2004；
(2)1－2＋3－4＋…＋2003－2004.
解析(1)设S＝1＋2＋3＋…＋2003＋2004 ①
则S＝2004＋2003＋…＋3＋2＋1 ②
①＋②，得
2S ＝(1＋2004)＋(2＋2003)＋…＋(2004＋1)
＝2005＋2005＋…＋2005 (共2004个2005)
＝2005×2004，
∴S ＝
200520042
⨯＝2009010， 即原式＝2009010.
(2)原式＝(1－2)＋(3－4)＋…＋(2003一2004)
＝－1－1－…－1(共1002个－1)
＝－1002.
点评:(1)式的特点是：后一项减去前一项的差都相等，这样的一列数称为等差数列，第一项叫首项，通常用a 1表示；最后一项叫末项，通常用a n 表示；相等的差叫公差，通常用d 表示。

由上面的方法不难得到.
2.错位相减法
例4计算：5＋52＋53＋…＋5n .
解析 设S ＝5＋52＋53＋…＋5n ， ①
则 5S ＝52＋53＋…＋5n ＋1， ② ②－①，得4S ＝5n ＋1－5， 155,4n S +-= 即原式＝155,4
n +- 点评:本题显然不是一个等差数列求和的问题，怎么求和呢？这就需要我们去探索.为达到抵消中间一些数的目的，采取两边乘以5再做减法，达到目的。

3.裂项法。

例5：计算：1111.1212312100
+++⋅⋅⋅++++++⋅⋅⋅+ 解析 原式＝11111112()2()2()2334100101+-+-+⋅⋅⋅+-
＝11111112()2334100101+-+-+⋅⋅⋅+-
＝1112()2101+- ＝200101
点评:
由1＋2＋…＋100想到等差数列求和公式：(1),2n n n S +=所以12.(1)n S n n =+又由111,1(1)n n n n -=++想到111.(1)1
n n n n =-++
4.设元法
在有理数的运算以及其他代数式的运算中，我们常常把式中出现的相同部分用字母表示，从而使问题简化。

例6计算：111111111111()()313741475369293137414753++++++++++-
111111111111()().293137414753693137414753
++++++++++
解析 设
111111111111,.293137414753693137414753
m n ++++++=++++=则 原式＝11()()6969n m mn +-- ＝211()6969mn m n mn +--- ＝21111()69692969+-＝16929⨯12001
= 点评:对于式子中结构相同的部分我们通常可以用字母来表示，从而起到简化运算的作用
5.数形结合法
例7 计算当n 无限大时，111112482
n ++++⋅⋅⋅+的值. 解析 建立如下模型，设大正方形的面积为1，则有111112482n +++⋅⋅⋅+=，故原式＝2.
达标训练：
1.计算：
1131351397()()().244666989898
++++++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+ 解析 1312,442+=⨯13513,6662++=⨯1397149,9898982
++⋅⋅⋅+=⨯ ∴原式＝1(1249)2
++⋅⋅⋅+ ＝612.5.
2.计算：1－3＋5－7＋9－11＋…＋97－99＝.
解析原式＝(1－3)＋(5－7)＋(9－11)＋…＋(97－99)，
式中共50个数，分成了25组，
∴原式＝(－2)×25＝－50.
3.2004×20032003＋2005×20042004－2003×20042004－2004×20052005＝
解析：原式＝2004×20032003－2003×20042004＋2005×20042004－2004×20052005
＝(2004×2003×10001－2003×2004×10001)＋(2005×2004×10001－2004×2005×10001) ＝0
4.计算：
7 1999
8
-×16
4.解析(1)原式＝
1 (2000)
8
--×16 ＝－(3200－2) ＝－31998
5.(2)
11311 ()() 63641248 --+-÷-
5解析：原式＝－
1131
()48
636412
--+-⨯＝－(－8－
4
3
＋36－4)＝－
2
22
3
.
6.把
199191199292
,,,
199292199393
----四个分数按从小到大的顺序排列
是.
6.解析：1992192119931931 1,1,1,1, 199119919191199219929292 =+=+=+=+
1111199319929392
,, 199219919291199219919291
199219919291199219919291
,.
199319929392199319929392 <<<∴<<<∴>>>∴-<-<-<-
而
竞赛题：
1. 计算：
12320002001200120012001++++
2.
3.已知()11111223341n n ++++⨯⨯⨯⨯+大于19212001
，试求：自然数n 的最小值是多少？
4.计算：
222222
221223342000200112233420002001+++++++⨯⨯⨯⨯
5.计算：
()()22222222246100135991238910981++++-++++++++++++++.
6.。