圆锥曲线小结论
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椭圆问题小结论：
（1）与椭圆22221x y a b +=共焦点的椭圆的方程可设为()22
22
21,0x y b a b λλλ+=+>++ （2）与椭圆22221x y a b +=有相同的离心率的椭圆可设为()22
22,0x y a b λλ+=>
或()22
22,0x y b a
λλ+=> （3）直线l 与椭圆22
221x y a b +=相交与()()1122,y ,,A x B x y 两点，其中点(),P x y ，则有：
22AB OP
b K K a ⋅=-；若椭圆方程为22221y x a b +=时，2
2AB OP a K K b
⋅=-；
（4）椭圆的光学性质：从一个焦点发出的一束光线，照在椭圆上，其反射光线必经过另一个焦点，例：椭圆上一点P 到椭圆内一点A 和2F 的距离之和的最小值为12a AF -，最大值为12a AF +。
(5) 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y
a b +=.
(6) 若000(,)P x y 在椭圆22
221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点
弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y
a b
+=.
(7) 椭圆22
221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点
12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan
2
F PF S b γ
∆=.
(8) 椭圆22
221x y a b
+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：
10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).
(9) 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.
(10) 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.
(11) 若000(,)P x y 在椭圆22
221x y a b
+=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是
22
00002222x x y y x y a b a b
+=+ (12) 若000(,)P x y 在椭圆22
221x y a b
+=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是
22002222x x y y
x y a b a b
+=+. 双曲线问题小结论：
（1）与22221x y a b -=共轭的双曲线方程为22
221x y a b
-=-，①它们有公共的渐近线；②四个
焦点都在以原点为圆心，C 为半径的圆上；③
2
212
11
1e e +=。 （2）与22
221x y a b
-=有相同焦点的双曲线方程为
()2222
22
1,0,0,0x y a b a b
λλλλλ-=≠->+>-+ （3）与22
221x y a b
-=有相同焦点的椭圆方程为：
()2222
22
1,0,0x y a b a b λλλλλ+=≠+>->+- （4）与22
221x y a b
+=有相同焦点的双曲线方程为：
()2222
22
1,0,0,0x y a b a b
λλλλλ-=≠->->-- （5）与22
221x y a b
-=有相同离心率的双曲线方程为：
①焦点在x 轴上时：()22
22,0,1x y a b λλλ-=>≠
②焦点在y 轴上时：()22
22,0y x a b
λλ-=>
（6）与22221x y a b -=有相同的渐近线方程为：()22
22,0,1x y a b
λλλ-=≠≠；
（7）双曲线的光学性质：从一个焦点发出的一束光线，照在双曲线上，其反射光线的反向
延长线必经过另一个焦点，例：双曲线上一点P 到双曲线位于Y 轴右侧的一点A 和右焦点
2F 的距离之和没有最大值，其最小值为12AF a -。
（8）直线y kx m =+与椭圆22
221x y a b
+=相交于()()1122,,,A x y B x y ，其中点(),P x y ，
则22AB OP
b K K a ⋅=，若双曲线的焦点在y 轴上时，2
2AB OP a K K b
⋅=。 （9）焦点在x 轴的双曲线来说，焦点到渐近线的距离是b 。 （10）双曲线上任意一点P ，使得12F PF θ∠=，则122tan
2
PF F b S θ
∆=
抛物线的小结论
抛物线的光学性质：从一个焦点发出的一束光，照在双曲线的一支上，其反射光线的反向延
长线必经过另外一个焦点。
（1）抛物线的通径长为2P ，弦的端点坐标为,2P A p ⎛⎫
⎪⎝⎭和,2P B P ⎛⎫
⎪⎝⎭
，设准线与x 轴的交点为,02P E ⎛⎫
-
⎪⎝⎭
，则1,1,0AE BE AE BE K K K K ==-+=，1AE BE K K ⋅=-， 所以AE BE ⊥，以通径AB 为直径的圆与准线相切于点E ；
（2）抛物线过焦点的弦AB ，则12AB x x P =++，若该弦的倾斜角为θ，
则221212,4P x x y y P ==-，22sin P AB θ
=，以AB 为直径的圆与准线相切于CD 的中点2O ，所以22AO BO ⊥；弦长最短的是通径，
112
AF BF P
+=； （3）AO 的延长线与准线相交于点C ，则CB x 轴；若经过点B 向准线作垂线，交准线于点C ，则,,A O C 三点共线；
（4）过点,A B 分别作准线的垂线，垂足分别为,D C ，则以CD 为直径的圆与AB 相切于点F ，则CF DF ⊥。