一般锐角的三角函数值
锐角三角函数(正弦、余弦和正切)
2．同一锐角三角函数的关系：
如图， 在 Rt△ ABC中，∠ C=90°， sin A
a ，cos A
b
，
c
c
则 sin2 A cos2 A
2
a
c
2
b
c
a2 b2 c2
c2 c2
1，即同一锐角的
正弦、余弦的平方和等于
1，或者说若
α
为锐角， 则
sinห้องสมุดไป่ตู้
2
2
α+cos α =1．
规律 学习锐角三角函数时，应明确三角函数值的两个变化规律： 1．特殊角的三角函数值的记忆规律：
Rt△ ABC中，∠ A+∠ B=90°，由
三角函数定义得
sin A
a ，cos(90
a
b
A) cosB ，cos A
sin B sin(90
A) ，
c
c
c
所以 sin A=cos（90° - A），cos A= sin （90° - A）．即任意锐角的余弦值等于它的余角的正
弦值，任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值．
锐角三角函数教案
概念
1．在直角三角形中，斜边大于直角边且各边均为正数，正弦、余弦都是直角边与斜边
的比值，正切是两直角边的比值，因此正弦值、余弦值都是小于
1 的正数，正切值是大于零
的数，并且都没有单位，即 0<sin A<1，0<cos A<1， tan A>0（∠ A为锐角）．
2．每一个三角函数都是一个完整的符号， 如 sin A不能理解为 sin · A，sin A 中的“ A”
2．锐角三角函数值的增减性：锐角 α 的正弦 sin α 值随着∠ α 的增大而增大；锐角
锐角三角函数 知识梳理
锐角三角函数知识梳理一、锐角三角函数的定义：在Rt△ABC中，∠C=90°．（1）正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA．即sinA=∠A的对边斜边=ac．（2）余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA．即cosA=∠A的邻边斜边=bc．（3）正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA．即tanA=∠A的对边∠A的邻边=ab．（4）三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数．二、锐角三角函数的增减性：（1）锐角三角函数值都是正值．（2）当角度在0°～90°间变化时，①正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；③正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）．（3）当角度在0°≤∠A≤90°间变化时，0≤sinA≤1，1≥cosA≥0．当角度在0°＜∠A＜90°间变化时，tanA＞0三、同角三角函数的关系：（1）平方关系：sin2A+cos2A=1（2）正余弦与正切之间的关系（积的关系）：一个角的正切值等于这个角的正弦与余弦的比，即tanA=sinAcosA 或sinA=tanA•cosA．（3）正切之间的关系：tanA•tanB=1．四、互余两角的函数关系：在直角三角形中，∠A+∠B=90°时，正余弦之间的关系为：①一个角的正弦值等于这个角的余角的余弦值，即sinA=（90°-∠A）；②一个角的余弦值等于这个角的余角的正弦值，即cosA=sin（90°-∠A）；也可以理解成若∠A+∠B=90°，那么sinA=cosB或sinB=cosA．五、特殊角的三角函数值：（1）特指30°、45°、60°角的各种三角函数值．sin30°=；cos30°=；tan30°=；sin45°=；cos45°=；tan45°=1；sin60°=；cos60°=； tan60°=；（2）应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记．（3）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多．六、计算器-三角函数（1）用计算器可以求出任意锐角的三角函数值，也可以根据三角函数值求出锐角的度数．（2）求锐角三角函数值的方法：如求tan46°35′的值时，先按键“tan”，再输入角的度数46°35′，按键“=”即可得到结果．注意：不同型号的计算器使用方法不同．（3）已知锐角三角函数值求锐角的方法是：如已知sinα=0.5678，一般先按键“SHIFT”，再按键“sin”，输入“0.5678”，再按键“=”即可得到结果．注意：一般情况下，三角函数值直接可以求出，已知三角函数值求角需要用第二功能键七、解直角三角形1、（1）解直角三角形的定义在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．（2）解直角三角形要用到的关系①锐角直角的关系：∠A+∠B=90°；②三边之间的关系：a2+b2=c2；③边角之间的关系：sinA=∠A的对边斜边=ac，cosA=∠A的邻边斜边=bc，tanA=∠A的对边∠A的邻边=ab．（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）2、解直角三角形的应用（1）通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问．如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度．（2）解直角三角形的一般过程是：①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案3、坡度角问题（1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i=1：m的形式．（2）把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i=hl=tanα．（3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题．应用领域：①测量领域；②航空领域③航海领域：④工程领域等．4、仰角俯角问题（1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角．（2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．5、方向角问题（1）在辨别方向角问题中：一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数．（2）在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角．。
28.1 .1 锐角三角函数
cos 60 1 （3） ； 1 sin 60 tan 30
1 2005 0 （4） 2 sin 45 cos 60 （ 1 ） （ 1 2）. 2
3、在Rt△ABC中，∠C = 90°，若sinA = cosA ，则tanA =
4、如果α是锐角，且sin2α+cos2 35º =1，那么α＝ 5、已知sinα+cosα= ，则sinα·cosα= 2 。
度。
6、若sinA=1/3，则cosA=
。
练习1：
如图,在Rt△DEF中, 若∠F=90°,EF=3，DE=5
则sin∠A=___.
4 5、如图，在△ABC中， AB=CB=5，sinA= ， 5 求△ABC 的面积。
B
5
5
A
C
28.1锐角三角函数（2）
——余弦 正切
复习与探究：
B c A b a C
在 Rt ABC中， C 90
1.锐角正弦的定义
∠A的正弦： s inA
A的 对 边 BC a 斜边 AB c
方法一：从特殊到一般，仿照正弦的研究过程；
方法二：根据相似三角形的性质来说明。
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°， ★我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的
余弦（cosine），记作cosA， 即
B 斜边c A 对边a C
A的邻边 b cos A 斜边 c
邻边b
★我们把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的 正切（tangent），记作tanA， 即
1 2 3 2 解：原式 ( ) ( ) 2 2
2 sin 2 60表示（sin 60） ，
北师大版九年级数学下册《30°,45°,60°角的三角函数值》
= −+
=2 −
课堂练习
6.升国旗时，小明站在操场上离国旗20m处行注目礼.当国旗升至
顶端时，小明看国旗视线的仰角为45°（如图所示），若小明双眼
离地面1.60m，你能帮助小明求出旗杆AB的高度吗？
解：由已知得DC=EB=20m
∵tan∠ADC=tan45°=
∴AC=DC∙tan45°
°
（3）
+°
+
°
课堂练习
解： (1)1－2 sin30°cos30°
=1-2× ×
=1-
°
(3)
+°
=
+
+
+
=2- +
=2
°
(2)3tan30°－tan45°+2sin60°
=3×
−+×
O
C
B
A
D
答：最高位置与最低位置的高度差约为0.34m。
随堂练习P12
8
驶向胜利
的彼岸
八仙过海,尽显才能
某商场有一自动扶梯,其倾斜角为300,高为7m,
B
扶梯的长度是多少?
3.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,
∠A,∠B ,∠C的对边分别是a,b,c.
求证:sin2A+cos2A=1
老师期望:
sin30°=
sin60°=
=
2a
2
2a
a
3a 3
1
=2
cos30°=
常见三角函数值表
常见三角函数值表
三角函数是数学中的重要概念，在几何学、物理学、工程学等领域都有广泛应用。
常见的三角函数有正弦、余弦和正切函数，它们的数值在特定角度下是固定的。
下面是常见角度对应的三角函数值表，希望能帮助大家更好地理解和应用三角函数。
正弦函数值表
角度（度）0 30 45 60 90 120 135 150 180
正弦值0 0.5 √2/2√3/2 1 √3/2√2/20.5 0
余弦函数值表
角度（度）0 30 45 60 90 120 135 150 180
余弦值 1 √3/2√2/20.5 0 -0.5 -√2/2-√3/2-1
正切函数值表
角度（度）0 30 45 60 90 120 135 150 180
正切值0 √3/3 1 √3不存在-√3-1 -√3/30
通过这些数值表格，我们可以看到不同角度下三角函数的数值变化规律。
在实
际应用中，我们常常需要根据具体情况来计算三角函数的值，这些数值表格可以为我们提供一个参考，帮助我们更快地得到结果。
希望大家可以通过学习三角函数值表，更深入地理解三角函数的性质和应用，
为自己的学习和工作增添一份帮助。
23.一般锐角的三角函数值PPT课件(沪科版)
B C = C D 4 .2 5 .9 (千 米 )， sin C BA sin 45
【方法总结】解决问题的关键是作出辅助线，构造直 角三角形，利用三角函数关系求出有关线段的长．
例4：如图，课外数学小组要测量小山坡上塔的高度 DE，DE所在直线与水平线AN垂直．他们在A处测得塔 尖D的仰角为45°，再沿着射线AN方向前进50米到达B 处，此时测得塔尖D的仰角∠DBN＝61.4°，小山坡坡 顶E的仰角∠EBN＝25.6°.现在请你帮助课外活动小组 算一算塔高DE大约是多少米 (结果精确到个位)．
解：延长DE交AB延长线于点F，则∠DFA＝90°.
∵∠A＝45°，
∴AF＝DF.
设EF＝x，
∵tan25.6°＝ EF ≈0.5，
BF
∴BF＝2x，则DF＝AF＝50＋2x，
故tan61.4°＝
DF BF
50 2x 2x
＝1.8，
解得x≈31.
故DE＝DF－EF＝50＋31×2－31＝81(米)．
所以，塔高DE大约是81米．
归纳总结
解决此类问题要了解角之间的关系，找到 与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中 没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直 角三角形．
巩固练习
1. 已知下列锐角三角函数值，用计算器求其相应 的锐角： （1）sinA=0.627 5，sinB＝0.054 7；
∠A=38°51′57″ ∠B=38°8″
锐角三角函数sin cos tan
锐角三角函数sin cos tan
我们要讨论锐角三角函数，包括正弦（sin）、余弦（cos）和正切（tan）。
首先，我们需要理解这些函数的基本定义和性质。
锐角三角函数是定义在锐角上的函数，这些函数与三角形的边和角有关。
1. 正弦（sin）: 正弦函数是定义为直角三角形中锐角的对边与斜边的比值。
2. 余弦（cos）: 余弦函数是定义为直角三角形中锐角的邻边与斜边的比值。
3. 正切（tan）: 正切函数是定义为直角三角形中锐角的对边与邻边的比值。
这些函数有一些重要的性质，例如：
1. 它们的值都在-1到1之间，这是因为在一个锐角三角形中，对边和邻边
的长度永远不会超过斜边的长度。
2. 正弦、余弦和正切函数在锐角范围内是单调的，这意味着随着角度的增加，它们的值也会增加。
3. 正弦和余弦函数在45度时相等（sin(45°) = cos(45°)），这是因为在一
个等腰直角三角形中，对边和邻边的长度是相等的。
4. 正切函数是无界的，这意味着随着角度的增加，正切函数的值可以无限增加或无限减少。
这些性质对于理解锐角三角函数非常重要，它们可以帮助我们解决各种与三角学相关的问题。
锐角三角函数
初中数学锐角三角函数初中知识点一、锐角三角函数的定义1.勾股定理：直角三角形两直角边a .b 的平方和等于斜边c 的平方。
222c b a =+ 在Rt △ABC 中，∠C 为直角，则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B )：定 义表达式 取值范围 关 系正弦 斜边的对边A A ∠=sin c aA =sin1sin 0<<A(∠A 为锐角)B A cos sin = B A sin cos =1cos sin 22=+A A余弦 斜边的邻边A A ∠=coscbA =cos1cos 0<<A(∠A 为锐角)正切的邻边的对边A tan ∠∠=A Aba A =tan 0tan >A(∠A 为锐角)B A cot tan = B A tan cot =AA cot 1tan =(倒数) 1cot tan =⋅A Atan α＝sin cos αα，cot α＝cos sin αα余切的对边的邻边A A A ∠∠=cotab A =cot 0cot >A(∠A 为锐角)注意：（1）正弦.余弦.正切.余切都是在直角三角形中给出的，要避免应用时对任意的三角形随便套用定义；（2）sinA 不是sin 与A 的乘积，是三角形函数记号，是一个整体。
“sinA ”表示一个比值，其他三个三角函数记号也是一样的；（3）锐角三角函数值与三角形三边长短无关，只与锐角的大小有关。
例题:1.在Rt △ABC 中，∠C 为直角，a =1，b =2，则cosA =________ ，tanA =_________．2. 在Rt △ABC 中，∠C 为直角，AB =5，BC =3，则sinA =________ ，tanA =_________．3.在Rt △ABC 中，∠C 为直角， ∠A =300，b =4，则a =__________，c =__________4.（2008·威海中考）在△ABC 中，∠C ＝90°，tanA ＝31，则sinB ＝（ ） A ．1010B ．23 C ．34D ．310105.在△ABC 中，∠C =90°，a, b, c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边，下列各式错误的是（ ）A .a =c ·sinAB ．b =c ·cosBC ．b =a ·tanBD ．a =b ·tanA6.在△ABC 中，∠C ＝90°，(1)已知：c ＝ 83，∠A ＝60°，求∠B .a .b ． (2) 已知：a ＝36， ∠A ＝30°，求∠B .b .c .7.（2009·漳州中考）三角形在方格纸中的位置如图所示，则tan 的值是（ ）A ．35B ．43 C ．34D ．45练习:1.在Rt △ABC 中，∠C 为直角，若sinA =53，则cosB =_________． 2.已知cosA =23，且∠B =900-∠A ，则sinB =__________． 3.∠A 为锐角，已知sinA =135，那么cos (900-A)=___________ ． 4.在Rt △ABC 中，∠C 为直角，AC =4，BC =3，则sinA =（ ） A ．43 B ．34 C ． 53 D ．54 5.在Rt △ABC 中，∠C 为直角，sinA =22，则cosB 的值是( ) A ．21 B ．23 C ．1D ．22知识点二、特殊角所对的三角函数值1. 0°.30°.45°.60°.90°特殊角的三角函数值(重要)三角函数0° 30°45°60°90° αsin0 2122 231 αcos1 23 22210 αtan 0 331 3- αcot-3133注意：记忆特殊角的三角函数值，可用下述方法：0°.30°.45°.60°.90°的正弦值分别是02.12.22.32.42，而它们的余弦值分别是42.32.22.12.02；30°.45°.60°的正切值分别是13.22.31，而它们的余切值分别是31.22.13。
锐角三角函数 复习
C.扩大4倍
D.没有变化
2.（2013•温州）如图，在△ABC中， ∠C=90°，AB=5，BC=3，则sinA的值是（ C ）
A. 3
B. 4
C. 3
4
3
5
D. 4 5
3
3.在△ABC中，∠C＝90，BC＝6cm，sinA= ，
则AC的长为( B )
5
A.3cm B.8cm C.10cm D.5cm
边为c，a，b分别是∠A的对边和邻边，则
正弦：sinA=______=_______； A
b
余弦：cosA=______=_______；
C
正切：tanA=______=_______．
c aB
考点二：特殊角的三角函数 值30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表：
角度 三角函数
sinA
BE 5
AE
ABC为等腰直角三角形， AB AC 6， B 且A 45，在RtAED中，AE DE x,
由AB AE EB得 : 62 62 x 5x 解得x 12
AD AE2 DE2 122 122 12 2
14．如图，在某建筑物AC上，挂着“美丽家园”的宣传条 幅BC，小明站在点F处，看条幅顶端B，测的仰角为，再往 条幅方向前行20米到达点E处，看到条幅顶端B，测的仰角 为，求宣传条幅BC的长，（小明的身高不计，结果精确到 0.1米）
D
A
O
B
C
11.（2008 泰安）直角三角形纸片的两直
角边长分别为6，8，现将如图那样折叠，
使点 A 与点 B重合，折痕为DE，则
tan CBE 的值是
。
锐角的三角函数值
锐角的三角函数值（4）——一般锐角的三角函数值导学目标：会使用计算器求锐角三角函数值，会使用计算器根据锐角三角函数值求对应的锐角。
一自主预习：1.在利用计算器求一个锐角的三角函数值时,应先使计算器设置在”“状态.标志是屏幕上显示 .2.sin-1,cos-1,tan-1键是表示由求锐角度数的功能键3.求sin400的值的按键顺序是什么？4.求值(精确到0.0001)⑴cos34035/⑵tan66015/17//二．合作探究：探究点1：求一个锐角的三角函数值。
我们知道sin300=,那么sin3002/是多少呢？说明：⑴用计算器求一个角的三角函数值时，首先要把计算器设置在“角度”状态下，也就是在计算器的显示屏上出现“DEG”的字样。
⑵在角度单位状态为度的情况下，先输入数据，再按sin,cos,tan键可以直接求出一个角的正弦，余弦，正切值了例1：用计算器求下列各三角函数的值（精确到0.001）⑴sin240⑵tan63027/ ⑶cos18059/27//例2.用计算器求：①sin100,sin200,sin300,……sin900的值.②cos100,cos200,cos300,……,cos900的值.③tan100,tan200,tan300,……,tan900的值.⑵根据所求结果总结：①随角度变化函数值的变化规律。
②同角的正余弦函数值间的关系⑵比较大小：①sin72032/ 620 ; ②cosa cosβ (a<β,a,β为锐角)⑶sin12012/ cos78030探究点二：已知三角函数值求锐角。
例.根据下列条件求∠A 的度数（用度，分，秒表示）⑴cosA=o.6753 ⑵tanA=87.54 ⑶sinA=0.4553说明：计算器中sin-1,cos-1,tan-1，这些键的功能是由正弦值，余弦值，正切值求锐角的度数。
在角度状态为“度“的情况下，求锐角时，先输入数据，再按2ndF键，再按sin-1,cos-1,tan-1键，即可得到相应的角度。
特殊角的三角函数值及用计算器求角的三角函数值
（1）我们要用到科学计算器中的 键： sin cos tan
（2）按键顺序
◆如果锐角恰是整数度数时，以 “求sin18°”为例，按键顺序如下：
按键顺序 显示结果
sin18°
sin 18 sin18
0.309 016 994
∴ sin18°= 0.309 016 994≈0.31
1、用科学计算器求一般锐角的三角函数值：
7
4
=
显示结果
17.30150783
如果再按“度分秒健”就换算成度分 秒， °′″
即∠ α＝17o18’5.43”
2.熟练掌握用科学计算器由已知三角函
数值求出相应的锐角.
例如：sin A=0.9816，∠A＝
；
cos A＝0.8607，∠A＝
；
tan A＝56.78，∠A＝
。
小结 :
1.30°、45°、60°角的三角函数值， 并且进行计算；
（1）m的值；（2）∠A与∠B的度数．
活动4
当锐角A是特殊角时，可以求得这些角的正弦、余 弦、正切值；如果锐角A不是这些特殊角，怎样得 到它的三角函数值呢？
我们可以用计算器来求锐角的三角函数值。 sin37°24′ sin37°23′ cos21°28′ cos38°12′
用科学计算器求一般锐角的三角函数值：
两块三角尺中有几个不同的锐 角？分别求出这几个锐角的正 弦值、余弦值和正切值．
60°
30° 45°
45°
设30°所对的直角边长为a，那么斜边长为2a
另一条直角边长＝ 2a2 a2 3a
sin 30o a 1 2a 2
30°
cos 30o 3a 3 2a 2
tan 30o a 3 3a 3
30°,45°,60°角的三角函数值(2015年初三数学第一章 第二节 )最新版
(6)cos450,cos600等于多少 ?(7)tan450,tan600等于多少?
300
2
2
450
1
450 ┌ 600 ┌
老师期望:
1
1
你能对伴随九个学年的这副三角尺所具有的功
能来个重新认识和评价.
根据上面的计算,完成下表:<特殊角的三角函数值表>
做一做
洞察力与内秀
特殊角的三角函数值表
随堂练习
同角之间的三角函数的关系
3.如图,在Rt△ABC中,∠C=900,∠A,∠B,∠C的对
边分别是a,b,c.
求证: tanA sinA.
cosA
证明 :tanAa,
sinAa,coA sbb,
c
c
a
sin A cosA
c b
a b
tan A.
B c
┌
A
b
C
c
随堂练习
c
c
si2nAco2A sa2b2
┌
a2 b2 c2
c2 c2
c c
A
1. 即 si2n Aco 2A s1.
b
C
灵活变换: si2n A1co 2A s.或 siA n 1co2A s.
co 2A s1si2n A .或 coAs 1si2nA.
解: (1)sin300+cos450
1 2 1 2 . 22 2
(2) sin2600+cos2600-tan450
3
23121
1 2
2
1
44
0.
老师提示:
初三常用三角函数值表
初三常用三角函数值表
在初中数学学习中，三角函数是一个非常重要的概念，而
三角函数值表则是初学者经常需要掌握的内容之一。
三角函数包括正弦、余弦和正切三种函数，它们在不同角度下的取值可以通过表格形式展示，方便学生查找和运用。
在初三阶段，学生通常需要熟记特定角度下的三角函数值，这对于解决三角函数问题和推导公式都有很大帮助。
正弦函数值表
角度0°30°45°60°90°
正弦值00.5√2/2√3/21
余弦函数值表
角度0°30°45°60°90°
余弦值1√3/2√2/20.50
正切函数值表
角度0°30°45°60°90°
正切值0√3/31√3不存在
通过上面的三角函数值表，我们可以看到在常见角度下，
正弦、余弦和正切函数的取值情况。
这些数值是通过三角函数的定义和几何图形推导得到的，对于初三学生来说，熟练掌握这些数值对于解答题目是非常有帮助的。
同时，这些数值也在实际生活和工程领域中有着广泛的应用，比如在建筑、航海、天文学等领域都会用到三角函数的概念和数值。
除了常用的角度下的数值，还有一些其他角度下的三角函
数值也是初中阶段需要记住的，比如120°、150°、210°、240°等。
通过不断练习和记忆，学生可以更加熟练地运用三
角函数值，解决各种数学问题，为未来的学习打下坚实的基础。
希望初三的学生能够认真学习三角函数，掌握相关的数值表，提高数学水平，为未来的学习和发展奠定扎实的基础。
锐角三角函数
A
A的 对 边 1 斜边 2
A的 邻 边 3 斜边 2
3
cos30°=
A的 对 边 3 tan30°= A的 邻 边 3
新知探索:45°角的三角函数值
B
2
1
45.0
A的 对 边 2 sin45°= 斜边 2
A
1
C
cos45°= A的 邻 边 2
斜边 2
A的 对 边 tan45°= 1 A的 邻 边
a 对边 C
b
例如，当∠A＝30°时，我们有 1 sin A sin 30 2 当∠A＝45°时，我们有
2 sin A sin 45 2
在图中 ∠A的对边记作a ∠B的对边记作b ∠C的对边记作c
注意
sinA是一个完整的符号，它表示∠A的正 弦，记号里习惯省去角的符号“∠”； sinA没有单位，它表示一个比值，即直角 三角形中∠A的对边与斜边的比； sinA不表示“sin”乘以“A”。
A
3、如图所示，在△ABC中，∠ACB B ＝90°，AC=12，AB=13， ∠BCM=∠BAC，求sin∠BAC和 M 点B到直线MC的距离．
C
4、如图所示，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高， 2 求证： C
BC AB BD.
A D B
B
1、在Rt△ABC中，∠C＝90°，
BC 7 , AC 21 ，
BC B' C' 即 . AB A' B '
直角三角形中，当锐角A的度数一定时，∠A的 对边与斜边的比是一个固定值．
正弦 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把 锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦（sine），记作 B sinA， 即
锐角三角函数的特殊值。
锐角三角函数的特殊值。
锐角三角函数是数学中常见的一类函数，它们在三角学和解析几何中有着重要的应用。
这些函数的特殊值在计算和解题中起着重要的作用，下面我们将详细介绍锐角三角函数的特殊值。
一、正弦函数的特殊值正弦函数是最基本的三角函数之一，它表示一个角的对边与斜边的比值。
在锐角三角函数中，正弦函数的特殊值主要集中在0°、30°、45°、60°和90°五个角度上。
1. 当角度为0°时，正弦函数的值为0。
这是因为0°角的对边为0，所以正弦函数的值也为0。
2. 当角度为30°时，正弦函数的值为1/2。
这是因为30°角的对边等于斜边的一半，所以正弦函数的值为1/2。
3. 当角度为45°时，正弦函数的值为√2/2。
这是因为45°角的对边等于斜边的一半，所以正弦函数的值为√2/2。
4. 当角度为60°时，正弦函数的值为√3/2。
这是因为60°角的对边等于斜边的一半，所以正弦函数的值为√3/2。
5. 当角度为90°时，正弦函数的值为1。
这是因为90°角的对边等于斜边，所以正弦函数的值为1。
二、余弦函数的特殊值余弦函数是三角函数中的另一个重要函数，它表示一个角的邻边与斜边的比值。
在锐角三角函数中，余弦函数的特殊值也主要集中在0°、30°、45°、60°和90°五个角度上。
1. 当角度为0°时，余弦函数的值为1。
这是因为0°角的邻边等于斜边，所以余弦函数的值为1。
2. 当角度为30°时，余弦函数的值为√3/2。
这是因为30°角的邻边等于斜边的一半，所以余弦函数的值为√3/2。
3. 当角度为45°时，余弦函数的值为√2/2。
这是因为45°角的邻边等于斜边的一半，所以余弦函数的值为√2/2。
人教版锐角三角函数
新知探索:30°角的三角函数值
sin30°= A的对边 1
斜边 2
3
cos30°= A的邻边 3
斜边
2
tan30°= A的对边 3
A的邻边 3
新知探索:45°角的三角函数值
sin45°= A的对边 2
2
斜边
2
cos45°= A的邻边 2
斜边
2
tan45°= A的对边 1 A的邻边
rldmm8989889
新知探索:60°角的三角函数值
sin60°= A的对边 3
斜边
2
2
3 cos60°= A的邻边 1
斜边 2
1
tan60°= A的对边 3
A的邻边
30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值 如下表：
锐角a 三角函数
30°
45°
60°
sin a
1
2
3
2
2
2
cos a
3
2
1
2
2
2
tan a
★我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的
余弦（cosine），记作cosA， 即
cos
A
A的邻边 斜边
b c
斜边c
B 对边a
A 邻边b C
★我们把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的 正切（tangent），记作tanA， 即
tan
A
A的对边 A的邻边
a b
注意
▪ cosA，tanA是一个完整的符号，它表示∠A 的余弦、正切，记号里习惯省去角的符号 “∠”；
AC DC tan 42,
D 42°
C
1.6m
AB AC CB 20 tan 42 1.6. 少呢？
23.1.3一般锐角的三角函数值
解析:由于余弦函数在角为锐角时,函数值随着角度的增大而减小,所以 cos 60° <cos 40° ;正切函数在角为锐角时,函数值随着角度的增大而增大,所 以 tan 44° <tan 88° .
答案:(1)<
(2)<
余弦函数的增减性与正弦函数、 正切函数的增减性不一样,容易将余弦函数 看成和正弦函数一样而出现错误 cos 60° >cos 40° .
<
tan 68° > tan 43° . 6.已知 α,β 为锐角,若 cos α>cos β,则 α
β(填“>”“=”或“<”).
2
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当堂检测
1.用计算器求一般锐角的三角函数值 【例 1】 用计算器计算 cos 44° 的结果(精确到 0.01)是( A.0.90 B.0.72 C.0.69 D.0.66
������������ ������ = = ������������ ( 2+1)x
2-1.
答案
12
着角度的增大而 增大 ,余弦函数值随着角度的增大而 减小 . 3.已知一个角的三角函数值,求这个锐角,也可用 计算器 来解决. 4.用计算器求值:sin 23° 5'+cos 66° 55'≈ 0.784 1 . 5.比较大小: sin 36° < cos 54° > sin 72° ; cos 83° ;
解析:不同的计算器的操作方法不同. 答案:B
)
3
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当堂检测
针对性训练 见当堂检测· 基础达标栏目第 5 题
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