倒易点阵

向量P×Q正是沿晶面法向
P

b

a
Q

k c

h b
H

l
P
k
Q

(
b

a)

(
c

b)
kh lk
倒易点阵的引入（2）
H

P
Q

(
b

a)

( c

b)
kh lk
所以，为了方便表示， 我们引入新的矢量
H

(b

a)
如何确定倒易点阵上的阵点
根据基矢的对应关系式确定倒易基矢
a*

b
c
V
b*

a
c
c*

V a
b
V
a* 1 d100
b*
1
d 010
c* 1 d 001
倒易基矢的方向大小确定后，将基矢平移单位长度得到阵点
正点阵基矢间夹角和倒点阵基矢间夹角间的关 系
• 根据基矢之间的夹角的定义，有 • 把正点阵基矢与倒易点阵基矢的关系代入，得

(j 2 (i 2 (i
2
k) k) j)
体心立方的倒格子是边长为2/a的面心立方 。
变换矩阵的引入
由倒易矢量的定义可以知道，倒空间中的三个基矢其实 是正空间中与正空间基矢共原点的三个矢量，因此可以 用空间变换将两组基矢联系起来，从而将正、倒空间的 矢量计算结合起来。
ab bb
ac bc

a* b*

c c a c b c c c*
同样可以引入倒易点阵的度量张量G*
a*
a* a* a* b* a* c*
G* b* (a* b* c*) b* a* b* b* b* c*
研究倒易点阵的意义：
利用倒易点阵可以比较方便地导出 晶体几何学中的各种重要关系式；
用倒易点阵可以方便而形象地表示 晶体的衍射几何学；
在物理学中可以用倒易点阵来表示 波矢。
倒易点阵（二）
应用介绍
1、晶面间距计算
倒易点阵的矢量r*=ha*+kb*+lc*在方向上与正空间 的同名晶面(hkl)垂直，在数值上为正空间点阵中同名晶 面(hkl)的面间距的倒数。
• 最后得 • 同理得
• 按同样的方法，可用倒易点阵的α*、β*、γ*来表示正点阵的 α、β、γ。
正点阵与倒易点阵的关系
垂直关系（方向）
Hhkl 在倒易点阵中，从原点指向阵点[坐标hkl]的
倒易矢量 Hhkl = ha* +kb* +lc*
Hhkl必和正点阵的(hkl)面垂直， 即倒易点阵的阵点方向[hkl]*和正点阵的(hkl) 面垂直：[hkl]*⊥(hkl)。
ab c os
b2
bc cos
ac cos bc cos
c2
a* a* a* b* a* c* G* b* a* b* b* b* c*
c* a* c* b* c* c*
由于： G G1
将两矩阵的相应值进行对比，立刻可以得到倒易点阵的点阵常数：
It means
hiu kiv li w 0
3.2 广义晶带轴定律
h3k3l3
hu+kv+lw=N
给定一个正空间的晶向(uvw)， 对于任一给定的整数N，满足上 式 的 所 有 晶 面 (hikili) 都 在 倒 空 间 的同一层倒易面上；该倒易面上 的任意矢量(hikili)与晶向(uvw)的 点乘都等于整数N，这就是广义 晶带轴定律。
c*
G
1

a b
a
b
c G1G E
c
a a* b Gb* c c*
G
1

a b



a* b*

c c*
变换矩阵的引入
a a a b ba
h2k2l2 h1k1l1
广义晶带轴定律
h3k3l3
在每个过原点的倒易阵点平面的 上边和下边都还有与其平行的N层不过 原点的倒易阵点平面，它们所遵循的 条件是：
hu+kv+lw=N
为了便于区别，将过原点的倒易阵 点平面（零层倒易面）标为（uvw ）*，而将不过原点的倒易阵点平面 （高层倒易面）标为（uvw）N*。
给定一个正空间的晶向(uvw)，满足上式的 所有晶面(hikili)属于同一个晶带，其晶带轴即为 (uvw)；这就是晶带轴定律。
晶带轴定律
h3k3l3
h2k2l2 h1k1l1
Zone axis
g z Because of i
We have
gi z 0
Then
(hia * kib * lic*) (ua vb wc) 0
b* a*
b*
c*

G
1

a b

a*
b*
c*
c*
c
G* G1

a* b*


G*

a b

c*
c
变换矩阵的引入
a a a b a c a2
G b a b b b c abcos c a c b c c accos
倒易点阵（一）
基本概念
空间坐标中平面的表示
（h k l）平面在坐标系中的绘制
在坐标轴上分别取点 (1/h 0 0) (0 1/k 0) (0 0 1/l) 三点构成的平面即为 (h k l)平面
倒易点阵的引入（1）
• 晶体学中最关心的通常是晶体的取向，即晶面的法线方向。 • 用3个基失a, b, c表示某晶面的法向矢量H。
这是倒易点阵的一个重要性质
晶面间距计算
晶面间距计算
晶面间距计算
具体计算过程
利用表2-4（P43）将上式中的倒易点阵参数 a*、b*、c*；α*、β*、γ*换算成正点阵参数a、b 、c；α、β、γ便可得到除三斜晶系之外各晶系的 晶面间距的计算公式。
晶面间距计算
2.1 晶面夹角计算
晶面夹角可以用晶面法线间的夹角来表示。所以， 晶体点阵中两个晶面(H1K1L1)和(H2K2L2)之间的夹角 可以用它们所对应的倒易矢量r 1 *和r2*之间的夹角表 示。于是有：
密勒指数
• 密勒指数是一种用来确定晶面方向的指数。要 想
• 计算出一个晶面的密勒指数（hkl)需要：
• 1、确定该晶面在晶胞坐标轴上的截距(依序为x, y, z轴，通常为长、宽、高)
• 2、取这些值的倒数（默认∞的倒数为0） • 3、将这些倒数化作最简整数比 • 4、用括号将它们括起
从作图可以看出， 正点阵和其对应的 倒易点阵同属一种 晶系。
Байду номын сангаас
例2：证明体心立方的倒格子是面心立方。
解： 体心立方的原胞基矢：
a1 a i j k 2
a2 a i j k 2 a a3 i j k
2
b1 a2 a3 V
b2 a3 a1 V
3.1 晶带轴定律
设 正 空 间 中 的 某 一 矢 量 为 ： ua+vb+wc ； 倒 空间的任一矢量为： ha*+kb*+lc*；则上面两矢量
的点乘为：
(ua+vb+wc)∙(ha*+kb*+lc*)=hu+kv+lw
当两矢量互相垂直时，其点乘为０，此时有：
hu+kv+lw=0
晶带轴定律
hu+kv+lw=0
( c

b)

b
c

a
b

c
a
k h l k kl hk hl
a* =(b×c)/V; b* =(c×a)/V; c* =(a×b)/V H= ha* +kb* +lc*
取比例因子为 hkl
V
V为晶胞体积
H

h
b
c

k
c
a

l
a
b
V
V
V
以a*,b*,c*为3个新基失，形成新点阵， 其阵点矢量方向就是原点阵晶面(hkl) 的法线方向，此新点阵为倒易点阵，
h2k2l2 h1k1l1
A、已知两晶面(h1k1l1)、(h2k2l2)，要求这两个晶 面所属的晶带轴，只须将与两晶面对应的倒易矢
量叉乘即可，所得的正空间矢量即为两晶面的晶
带轴。
晶带轴矢量
结果
a
ab c
(u v w)b (h1a* k1b* l1c*) (h2a* k2b* l2c*) h1 k1 l1
a a a
2 a
k
2 a
2 a
2 22
例2：证明体心立方的倒格子是面心立方 。
同理得：
倒格基矢：
b2
ik a
b3
i j a
b1
jk a
b2
ik a
i j
b3 a
面心立方基矢：顶点和最临近的三个面心连线。
b1 b2 b3
b3 a1 a2 V
ij a2 a3 a a
22 aa
22
b1
a2 a3 V

k
a a
a
a 2
i
2 a
a
2
2 a

j
2 a
2
2
2 a2 j a2 k
22
1
a3
a2 j k j k
2
a
V a1 a2 a3 1 a3 2
a*
a* b* c*
(h
k
l)
b* c*


(u1a

v1b

w1c)

(u2
a

v2b

w2c)

u1 u2
v1 v2
w1 w2
待求平面倒易矢量
结果：
h=v1w2-v2w1; k=w1u2-w2u1；l=u1v2-u2v1
小结
倒易点阵是用来处理正空间点阵一种数学工具， 倒易空间的基矢是由正空间的基矢构造出来的， 因此正倒空间可以通过空间变换联系起来； 利用倒易点阵可以非常方便地导出晶体几何学 中的各种重要关系式； 倒易空间与正空间都属于是点阵类型。
H为倒易矢量，原点阵为正点阵。 倒易空间的阵点分布代表着与正空间中
一系列面列的分布。
倒易点阵的引入可以把正点阵中的二维 问题简化为一维问题，利于解决实际问题
正点阵与倒易点阵之间的关系
a● a * = b● b * = c● c *≡1
a*垂直于bc平面； b*垂直于bc平面； c*垂直于ab平面；
c
h2 k 2 l2
ua+vb+wc=a(k1l2-k2l1)+b(l1h2-l2h1)+c(h1k2-h2k1)
u=k1l2-k2l1；v=l1h2-l2h1；w=h1k2-h2k1
B、已知两晶向(u1v1w1)，(u2v2w2)，求其构成的 平面(hkl)，只须将两个正空间矢量叉乘即可；
引入：
a
a a a b a c
G b (a b c) b a b b b c
c
c a c b c c
G被称为正空间到倒空间变换的度量张量，它是晶体 学计算中一个非常重要的参量。
变换矩阵的引入
a*
b* a b c E
c*
c* a* c* b* c* c*
变换矩阵的引入
a a* b Gb* c c*
a*
a
b* G-1b
c*
c
a*
a● b*= a● c *= b● a*= b● c*= c● a *= c● b * ≡0
V● V*≡1
a=(b*×c*)/V*; b=(c*×a*)/V *; c=(a*×b*)/V*
推导中用到的矢量积公式：
( A B) (C D) ( AC) (B D) ( A D) (B C)
•间O距点d到hkl(。hkl)d晶hkl面 的ah 垂HH 直 距H1 离就是晶面
•倒易矢量[hkl]的大小（模）就是其正点阵该 晶面族中相邻平行(hkl)晶面间距的倒数。
• 确定倒易矢量H，就确定了正点阵晶面 。
二维空间点阵和倒易点阵的关系图
a* 1 d100
c* 1 d 001