倒易点阵
倒易点阵概念
倒易点阵概念
倒易点阵是一种用于描述晶体结构中原子排列和晶格常数的强大数学工具。
在倒易点阵中，一系列点表示晶格中原子位置的倒易矢量，这些点对应着晶体结构中的原子位置。
通过这些倒易点阵，我们可以计算出晶格常数、原子间距以及晶格结构中的对称性和对称元素。
倒易点阵的概念在晶体学和材料科学中具有极其重要的意义。
首先，它可以帮助我们深入理解晶体的结构和性质。
通过倒易点阵，我们可以直观地观察到原子在晶体中的排列和分布，从而更好地理解晶体的构造和形成机制。
此外，倒易点阵还可以帮助我们预测和解释晶体的物理和化学性质。
通过对倒易点阵的分析，我们可以推断出晶体的力学、光学、电学等性质，为材料科学的研究和应用提供重要依据。
此外，倒易点阵还可以用于计算晶体结构中的对称性和对称元素。
对称性是晶体学中的一个核心概念，它涉及到晶体的几何结构和物理性质。
通过对称性分析，我们可以了解晶体的稳定性和各向异性等特点，从而更好地理解晶体的性质和应
用。
倒易点阵是一种强大的工具，可以帮助我们理解和描述晶体的结构和性质。
它是晶体学和材料科学领域的重要概念之一，对于研究晶体的物理和化学性质、探索新的材料和设计具有广泛应用价值。
倒易点阵
＊
* * * * * a r*001 * * * * * * *c * β * *
＊
＊
202 ＊ ＊ r*001 ＊ ＊
a* = r*200 = 1/d200 = 2/(a.cos[β-90])= 2/(a.sinβ) b* = r*002 = 1/d002 = 2/b c* = r*001 = 1/d001 = 1/(c.cos[β-90])= 1/(c.sinβ) ＊
5、对于面心型，指数同为偶数或奇数的晶面才出现； 、对于面心型，指数同为偶数或奇数的晶面才出现； (111) (220)
(200)
（三）、倒易点阵小结 ）、倒易点阵小结
1、均为无限的周期点阵， 、均为无限的周期点阵， 2、正点阵的晶面对应于倒易点阵的阵点（除有公因子指数外）； 、正点阵的晶面对应于倒易点阵的阵点（除有公因子指数外）； 3、晶系不变，为11种中心对称的劳厄点群； 种中心对称的劳厄点群； 、晶系不变， 种中心对称的劳厄点群 4、P->P*, C->C*, I->F*, F->I*，即对复合单胞出现倒易点阵系统消光， 、 ，即对复合单胞出现倒易点阵系统消光， 立方系指数表见下表
r∗ r∗ r r r∗ r∗ r rhkl ⋅ AB = (ha + kb + lc ) (b / k − a / h) = 1 − 1 = 0 r∗ r c ∴ rhkl ⊥ AB r r∗ 同理可证： 同理可证： rhkl ⊥ AC C r b r∗ rhkl ⊥ BC B
∴
性质一证明 r r r r O A = a / h OB = b / k
1/ a2 cos γ * G* = ab 0
cos γ * ab 1/ b2 0
倒易点阵介绍
n O
光程差 On Am OA S OA S0 OA ( S S0 )
相应的位向差为
2
2
( S S0 )
OA
其中p、q、r是整数 因为S0是入射线方向单位矢量, S是衍射线方向为单 位矢量，因此S- S0是矢量，则：(S S0 ) * *
2
1/
A
O
S0 /
5 、以S0端点O点为原点，作
倒易空间，某倒易点（代表
某倒易矢量与hkl面网）的 端点如果在反射球面上， 说明该g*=S, 满足Bragg’s Law。某倒易点的端点如果
P
S/
S S0 g
2
不在反射球面上， 说明不
满足Bragg’s Law，可以直
1/
A
O
S0 /
25
概念回顾
以A为圆心，1/λ 为半径所做的球称为反 射球，这是因为只有在这个球面上的倒 易点所对应的晶面才能产生衍射。有时 也称此球为干涉球， Ewald球。 围绕O点转动倒易晶格，使每个倒易点 形成的球称为倒易球 以O为圆心，2/λ 为半径的球称为极限球。
26
大倒易球半径为
g=1/d≤ 2/:
hkl
即 d hkl
2
S/的晶面不Fra bibliotek1/
2 C S0/
g
O
Direction of direct beam
可能发生衍射
Sphere of reflection
极限球
Limiting sphere
关于点阵、倒易点阵及Ewald球的思考
(1) 晶体结构是客观存在，点阵是一个数学抽象。 晶体点阵是将晶体内部结构在三维空间周期平移这 一客观事实的抽象，有严格的物理意义。 (2) 倒易点阵是晶体点阵的倒易，不是客观实在， 没有特定的物理意义，纯粹为数学模型和工具。 (3) Ewald球本身无实在物理意义，仅为数学工具。 但由于倒易点阵和反射球的相互关系非常完善地描 述了X射线和电子在晶体中的衍射，故成为研究晶 体衍射有力手段。
厄瓦尔德图解和倒易点阵课件
Ewald 反射球
2d sin
Ewald Transform
(1912)
2
1
sin
1 d
d
Lattice planes
反
射 球
晶体位 于反射 球中心
1
Bragg
plane 入
k'
k
射 线
Ag 倒易点阵原点
设一与晶
面垂直旳 矢量AB， 若其长度 等于1/d， 则OB方向 产生衍射
入
射 线
2 1 sin
1
1 d
A
倒易点阵
(reciprocal lattice)
倒易点阵是衍射措 施最主要旳理论基础：
若一种点旳方向矢 量垂直于同名指数旳晶 面，大小为1/d，此点便 是相应晶面旳倒易点。
1
由晶体全部倒 易点(不一定都落
在倒易球表面)构
成旳新点阵，称
入
为倒易点阵。
射
倒易点
线
Ag
倒易点阵也反应了 晶体旳周期性本质
正
点
➋正倒点
阵
阵相互倒
易，线、
倒
面互应，
易
互为付Al2里Ni3
点
叶变换。
阵
Silicon Wafer Laue Pattern
倒易点 阵虽是数 学抽象， 但却是实 实在在可 观察到旳 点阵。
90
正点阵 [001]方向 倒易点阵 旋转90º
(100)
正点阵
中旳一组 晶面，相 应倒易点 阵中旳一 种点。
正点阵 正点阵
倒易点阵 倒易点阵
倒易点与原点旳 连线垂直于晶面。
面间距
越大，倒 易点间距 越小。
倒易点阵名词解释
倒易点阵名
倒易点阵是由被称为倒易点的点所构成的一种点阵，它也是描述晶体结构的一种几何方法，它和空间点阵具有倒易关系。
倒易点阵中的一倒易点对应着空间点阵中一组晶面间距相等的点格平面。
倒易点阵的概念在晶体结构和固体物理学中都有十分重要的作用。
到目前为止，大多数教程都是在密勒指数或晶面指数无关的情况下来定义倒易点阵概念的。
由于晶面指数的概念出现得很早，有一些老的晶体学和固体物理学教程中甚至没有提到倒易点阵这个概念。
在目前流行的固体物理学教科书中，对倒易点阵均有叙述，而且处处应用。
但是，倒易点阵概念的引入比较生硬，对倒易点阵与晶面指数的关系交待得不够清楚。
倒易点阵介绍
1
倒易点阵
❖ 倒易点阵概念及定义 ❖ 倒易点阵的物理意义 ❖ 倒易点阵的应用是一个假想的点阵.
❖ 将空间点阵(真点阵或实点阵)经过倒易变换,就 得到倒易点阵,倒易点阵的外形也是点阵,但其 结点对应真点阵的晶面,倒易点阵的空间称为倒 易空间。
❖ 1860年法国结晶学家布拉菲提出并作为空间点 阵理论的一部分，但缺乏实际应用。
24
25
点阵中单胞的体积：V=a·(b×c)=b·(a×c) =c·(a×b)
5
倒易点阵基矢与正点阵基矢的关系
（仅当正交晶系）
6
倒易点阵的性质
1. 正倒点阵异名基矢点乘为0;
a*·b= a*·c=b*·a=b*·c=c*·b=0
同名基矢点乘为1。
a*·a=b*·b=c*·c=1.
2. 在倒易点阵中，由原点O*指向任意坐标为hkl的阵点
的。即倒易矢量ghkl是与相应指数的晶向[hkl] 平行的。
7
ghkl=h a*+k b*+lc* 表明：
❖ 1平.倒行易于矢它量的法gh向kl垂N直hkl于正点阵中相应的 [hkl]晶面，或 ❖ 2.倒易点阵中的一个点代表的是正点阵中的一组晶面
8
晶带定理
❖ 在正点阵中，同时平行于某一晶 向[uvw]的一组晶面构成一个晶带， 而这一晶向称为这一晶带的晶带 轴。
向平行于（hkl）晶面的法线，则有K‘ –K= G，即为布拉格方程 14
的矢量形式。
倒易点阵的应用
倒易点阵使许多晶体几何学问题的解决变得简易。例如单胞体 积，晶面间距、晶面夹角的计算以及晶带定理的推导等等。以 下是倒易点阵的应用。 1°由倒易点阵的基本性质可得： a*=1/d100，b*=1/d010，c*=1/d100 （a*=G100=1/d100） 在晶体点阵S 中，点之间或点阵平面之间的距离用Å 作单位， 因此，a*、b*、c*的单位为Å－1。在用图解法解决实际问题时， 用相对标度值表示相对大小即可。
倒易点阵
由满足这些条件的初基矢量a*, b*, c*决 定的点阵----倒易点阵
倒易点阵与正点阵的基本对应关系为
a * b a * c b * a b * c c * a c * b 0 a * a b * b c * c 1
*
： a 与a的夹角
*
： b*与b 的夹角 ： c 与c 的夹角
*
根据定义， a 与(b c )同方向 * 即： a 1 (b c )
*
倒易点阵的另一种表达方式
a a 1
*
* a a 1 (b c ) a 1 正点阵体积 V (b c ) a
bc a V
*
1 V 1
1 1 / V
a 1 (b c )
*
V a bc bc a c ab
bc bc a V a b c
*
ca ca b V bca
*
ab ab c V cab
*
给出了倒易点阵与正点阵之间的方向 关系和数值关系。
a ,b ,c
* * *
2.3.1 倒易点阵的定义及倒易点阵参数 定义
c* b* 引入倒易点阵初基矢量 c b
令a * a 1, b * b 1; c * c 1
* 令a b , c * b a, c * c b, a
a
a*
*
V abc
bc sin sin a abc a sin 90 1 a a
*
1 b b
*
1 c c
*
1 a b c a
现代材料分析测试技术-第02章-3倒易点阵爱瓦尔德作图法精选全文
爱瓦尔德球与倒易点阵的关联作用
• 若有倒易点G（指数为hkl）落在球上，则 • G点对应的晶面组（hkl）与入射束oo*，
满足布拉格定律 • 有k‘－k＝g • 布拉格定律的另一种表达形式
12
证明：爱瓦尔德作图法－ 布拉格定律的几何表达形式
• O*D＝oo*sinθ • g=1/d （倒易矢量的定义）
• a*·a = b*·b = c*·c =1
• a* b* c*的表达式为：V空间点阵单位晶胞
的体积
a b c ;b a c ;c a b
V
V
V
4
• 某一倒易基矢垂直于正点阵中和自己异名的二 基矢所成的平面
• 正倒点阵异名基矢点乘为0,同名基矢点乘为1
5
倒易点阵与正点阵的倒易关系及 倒易矢量及性质
• 无数倒易点组成点阵－倒易点阵 • 倒易点阵的倒易是正点阵。 • 倒易矢量及性质：
从倒易点阵原点向任一倒易阵点所 连接的矢量叫倒易矢量，表示为：
Hhkl = ha* + kb* + l c* 两个基本性质
6
两个基本性质 ：
1) Hhkl垂直于正点阵中的hkl晶面 2) Hhkl长度等于hkl晶面的晶面间距dhkl的倒数
&2-3 倒易点阵
1
倒易点阵的引入
• 倒易点和倒易原点 • 晶体点阵中的晶面和相应倒易点的关系 • 整个晶体中各种方位、各种面间距的晶
面所对应的倒易点之总和，构成了一个 三维的倒易点阵。正空间与倒空间
2
3
1.倒易点阵中单位矢量的定义式
• a*·b = a*·c = b*·a = b*·c = c*·a = c*·b =0
7
2-4 爱瓦尔德图解法
倒易点阵 晶体结构
倒易点阵晶体结构倒易点阵晶体结构倒易点阵晶体结构是一种特殊的晶体结构，它具有许多独特的性质和应用。
本文将介绍倒易点阵晶体结构的基本概念、性质和应用。
一、基本概念倒易点阵是指在晶体中原子或分子排列的方式。
晶体是由周期性排列的原子或分子组成的固体，而倒易点阵则是晶体中原子或分子排列的镜像。
倒易点阵具有高度的对称性和周期性，其结构可以用倒易点群来描述。
二、性质1. 高度的对称性：倒易点阵具有高度的对称性，这是由于晶体中原子或分子的周期性排列所决定的。
倒易点阵的对称性可以通过倒易点群来描述，倒易点群是一组对称操作，包括旋转、镜像和反演等操作。
2. 布拉格定律：倒易点阵的周期性排列使得它们能够散射入射的电磁波。
布拉格定律描述了散射波与倒易点阵的相互作用。
根据布拉格定律，散射波的波矢量与倒易点阵的倒格矢量之间满足关系式：2π/λ = |G|，其中λ是散射波的波长，G是倒格矢量的模长。
3. 能带结构：倒易点阵的周期性排列使得它们具有能带结构。
能带结构是描述固体中电子能量与动量关系的理论。
倒易点阵的能带结构对于材料的电子输运和光学性质具有重要影响。
三、应用倒易点阵晶体结构在许多领域都有重要的应用，以下列举几个典型的应用：1. 光学器件：倒易点阵晶体结构具有特殊的光学性质，可用于制造光学器件。
例如，倒易点阵光纤具有高度的光学导引性能，可用于制造光纤通信设备。
2. 光子晶体：倒易点阵晶体结构可以形成光子禁带，即在某一频率范围内禁止光的传播。
光子晶体具有重要的光学性质，可用于制造光学滤波器、光学调制器等光学器件。
3. 电子器件：倒易点阵晶体结构对于电子输运具有重要的影响，可用于制造电子器件。
例如，倒易点阵晶体管具有优良的电子输运性能，可用于制造高频放大器和微波器件。
4. 气体吸附：倒易点阵晶体结构具有大的表面积和孔隙度，可用于吸附气体。
倒易点阵材料可以用作气体传感器、催化剂和分离膜等。
四、总结倒易点阵晶体结构是一种特殊的晶体结构，具有高度的对称性和周期性。
倒易点阵
倒易点阵:晶体点阵结构与其电子衍射斑点之间可以通过另外一个假想的点阵很好地联系起来，这就是~零层倒易截面：电子束沿晶带轴的反向入射时，通过原点的倒易平面只有一个，我们把这个二维平面叫做~消光距离：透射束或衍射束在动力学相互作用的结果，在晶体深度方向上发生周期性的振荡，这种振荡的深度周期叫做~明场像：通过衍射成像原理成像时，让透射束通过物镜光阑而把衍射束挡掉形成的图像称为明场像。
暗场像：通过衍射成像原理成像时，让衍射束通过物镜光阑而把透射束挡掉形成的图像称为暗场像。
衍射衬度：由于样品中不同位向的晶体的衍射条件不同而造成的衬度差别叫~质厚衬度：是建立在非晶体样品中原子对入射电子的散射和透射电子显微镜小孔径角成像基础上的成像原理，是解释非晶态样品电子显微图像衬度的理论依据。
二次电子：在入射电子束作用下被轰击出来并离开样品表面的样品的核外电子叫~吸收电子：入射电子进入样品后，经多次非弹性散射能量损失殆尽，然后被样品吸收的电子。
透射电子：如果被分析的样品很薄，那么就会有一部分入射电子穿过薄样品而成为透射电子。
结构消光：当Fhkl=0时，即使满足布拉格定律，也没有衍射束产生，因为每个晶胞内原子散射波的合成振幅为零。
这叫做~分辨率：是指成像物体（试样）上能分辨出来的两个物点间的最小距离。
焦点：一束平行于主轴的入射电子束通过电磁透镜时将被聚焦在轴线上一点。
焦长：透镜像平面允许的轴向偏差.景深：透镜物平面允许的轴向偏差.磁转角：电子束在镜筒中是按螺旋线轨迹前进的，衍射斑点到物镜的而一次像之间有一段距离，电子通过这段距离时会转过一定的角度.电磁透镜：透射电子显微镜中用磁场来使电子波聚焦成像的装置。
透射电子显微镜：是以波长极短的电子束作为照明源，用电磁透镜聚焦成像的一种高分辨率，高放大倍数的电子光学仪器。
弹性散射：当一个电子穿透非晶体薄样品时，将与样品发生相互作用，或与原子核相互作用，或与核外电子相互作用，由于电子的质量比原子核小得多，所以原子核入射电子的散射作用，一般只引来电子改变运动方向，而能量没有变化，这种散射叫做弹性散射。
1-4倒易点阵
四、倒易点阵
2 怎样拟定倒易点阵
2.1 什么是倒易基矢 我们将正点阵中晶胞中旳a、b、c、、、六个点阵
常数用三个基矢 a、b、c 来替代，那么 a、b、c 就能
四、倒易点阵
4 实际晶体中旳倒易点阵
倒易点阵中出现节点旳条件： 正点阵中相互平行旳（hkl）面旳全体包括（经过）全部旳正点阵节 点。 例如：BCC和FCC旳（002）平行晶面族包括了全部原子
（001）平行晶面族只包括了二分之一原子 所以：在BCC和FCC旳倒易点阵中只出现（0，0，2）节点，而不 出现（0，0，1）节点。
四、倒易点阵
1 什么是倒易点阵
• 为了从几何学上形象旳拟定衍射条件， 人们就找到一个新旳点阵（倒易点阵），使 其与正点阵（实际点阵）相相应。
•
相应旳条件：新点阵中旳每一个结点都 相应着正点阵旳一定晶面，该结点既反O映P 该
晶面旳取向也反映该晶面旳面间距。
•
具体条件：OP 1/d(hkl)
• a. 新点阵中原点O到任意结点P(hkl) （倒易 点）旳矢量 正好沿正点阵中{hkl}面旳法 线方向。
（100）
四、倒易点阵
2.2 怎样拟定倒易基矢 2经过怎正样点拟阵定，倒能易够点得阵到：
d(100) =a
b b
c c
（2）
将（2）式代入（1）式得到：
a*= bc bc abc V
一样：b*
=
c
a V
c*
ab V
V 为正点阵晶胞旳体积。
（100）
四、倒易点阵
2 怎样拟定倒易点阵
倒易点阵概念
倒易点阵概念倒易点阵是一种特殊的图像处理技术，它是通过将图像的像素点进行重新排列，从而使得图像中的信息阅读不受制于字的排列顺序。
倒易点阵的设计旨在提高人类对图像信息的识别速度和准确性。
下面是对倒易点阵概念的详细回答。
倒易点阵的概念最早由日本的科学家田岛丰提出。
他观察到人类在日常生活中，识别一张印刷的纸张或屏幕上的信息时，通常通过目光在信息区域内跳跃以快速获取所需的信息。
这种目光跳转的方式导致我们需要先看一遍信息，再进行二次搜索来确保没有漏掉任何重要的细节。
倒易点阵技术正是通过重新排列图像的像素点来解决这个问题。
倒易点阵的原理很简单，就是将图像的像素点按照某种规则进行重新排列，通过矩阵的方式呈现给人眼。
这样一来，我们只需要一次扫视整个图像，就可以直接获取到所需的信息，而不需要再进行二次搜索。
在倒易点阵中，每个像素点的位置都被重新指定。
尽管像素点的位置改变了，但是图像的信息仍然可以被准确地还原出来。
这是因为倒易点阵技术充分利用了人脑对于横向和纵向线条的感知能力。
通过合理地调整像素点的位置，倒易点阵不仅可以保持图像信息的完整性，而且还可以提高人类对图像信息的识别速度和准确性。
倒易点阵技术可以应用于各种领域，例如印刷、屏幕显示、电子书阅读器等。
在印刷领域，倒易点阵可以使得书籍和报纸的阅读更加高效和方便。
通过使用倒易点阵技术，读者可以在一次扫视中获取到所需的信息，无需二次搜索整个页面。
倒易点阵技术在屏幕显示领域也有广泛应用。
例如，在智能手机和平板电脑上，通过倒易点阵技术可以提高用户对图像和文字的阅读体验。
用户在阅读电子书或浏览网页时，可以更快速地获取信息，更加方便地阅读和学习。
此外，倒易点阵技术还可以应用于电子书阅读器中。
传统的电子书阅读器需要读者滑动屏幕或按键翻页，才能够看到下一页的内容。
而通过使用倒易点阵技术，读者只需要一次扫视屏幕，就可以获取到整页的内容，从而提高了阅读的效率。
倒易点阵是一个创新的图像处理技术，它通过重新排列图像的像素点，改变图像的表达形式，提高了人类对图像信息的识别速度和准确性。
倒易点阵介绍综述
(2) 波长连续， 使Ewald球的数 量增加，即球壁 增厚（Laue法）
S / 1/
A
S 0 /
O
Δλ
增大晶体产生衍射几率的方法
（ 3 ） Ewald 球 不 动 ， 增 加随机分 布的晶体 数量 ， 相当于围绕O点转动倒易
S / 1/ hkl
晶格，使每个倒易点均
形成一个 球 （倒易 球 ）。 （粉晶法的基础）
OA pa qb rc
ha k b l c*
现在不明确h、k、l一定是整数。由：
2
( S S0 )
可见，只有当φ =2π n时，才能发生衍射，此时n应 为整数。 由于p、q、r是整数，因此满足衍射条件时h、k、l 一定是整数。于是得到结论：
OA 2 (ha* k b* l c* ) ( pa qb r c) 2 (hp kq lr )
5
倒易点阵的性质
1. 正倒点阵异名基矢点乘为0; a*·b= a*·c=b*·a=b*·c=c*·b=0 同名基矢点乘为1。 a*·a=b*·b=c*·c=1. 2. 在倒易点阵中，由原点O*指向任意坐标为hkl的阵点的矢量 ghkl(倒易矢量)为：ghkl=h a*+k b*+lc* 式中hkl为正点阵中 的晶面指数 3. 倒易矢量的长度等于正点阵中相应晶面间距的倒数，即 ghkl=1/dhkl 4. 对正交点阵，有 a*∥a，b*∥b，c*∥c， a*=1/a，b*=1/b，c*=1/c， 5. 只有在立方点阵中，晶面法线和同指数的晶向是重合（平行） 的。即倒易矢量ghkl是与相应指数的晶向[hkl] 平行的。
O
观地看出那些面网的衍射状
况。
倒易点阵
倒易点阵的概念
• 定义 用a, b, c表示基矢量，用a*, b*, c*表示倒 易点阵的基矢量，则 •
倒易点阵的两个基本性质
• 倒易矢量的定义：从倒易点阵原点向任一倒易 点阵的阵点所连接的矢量叫倒易矢量。 r*=Ha*+Kb*+Lc* 1)r*HKL(HKL) , r*垂直于正点阵的（HKL）晶面；
倒易点阵
•倒易点阵的特点 •倒易点阵的概念 •倒易点阵的两个基本性质
倒易点阵的特点(从物理角度讲)
正点阵 从实际晶体结构中抽象出来,正点 阵与晶体的结构相关，是物质空 间（正空间）。
倒易点阵
由正点阵派生出的一种几何图象。 倒易点阵与晶体的衍射现象相关， 反映的是衍射强度分布
倒易点阵的特点
• 利用倒易点阵处理晶体几何关系和衍射 问题，使几何概念清楚，数学描述简化。 • 晶体点阵中的二维平面在倒易空间中对 应一个零维的倒易阵点。 • 晶面间距和取向两个参量在倒易空间中 仅用一个倒易矢量表示。
2）| r*HKL|=1/dHKL
倒易点阵
d hkl 1 = r G hkl
2)
一族晶面用倒易点阵中一个阵点来表示，就 是以正点阵中面指数为指数的倒易矢量。
r c
C
(hkl)
c l
d hkl
r G hkl
O
a h
b k
B
r b
A
1 r 1 r 证明1)：BA = a − b h k r r r r ⎛ 1 r 1 r⎞ BA ⋅ G hkl = ⎜ a − b ⎟ ⋅ h a ′ + k b ′ + l c ′ k ⎠ ⎝h r r r r r r b ×c c×a = a⋅ r r r −b⋅ r r r = 0 a ⋅ (b × c ) a ⋅ (b × c )
r a r b
课堂练习：作出下图所示2D点阵的倒易矢量 G100、G010、G110示意图：
r b r a
G100 G110 G010
(110)
(100) (010)
第三章：倒易点阵 § 3.2 倒到易点阵的定义及应用 正交归一性(本质)： r
r r a ′ ⋅ a = 1, r r b ′ ⋅ b = 1, r r c ′ ⋅ c = 1, r a ′ ⋅ b = 0, r r b ′ ⋅ c = 0, r r c ′ ⋅ a = 0,
倒易点阵
倒易点阵晶体点阵：－－实空间(用S表示) 由晶体的周期性直接抽象出的点阵(正点 阵)； 倒易点阵：－－倒易空间(用S*表示) 根据空间点阵虚构的一种点阵。
倒易点阵 (reciprocal lattice)倒易空间 倒易晶格c* c b b* a* auu r uur uur uu r r * = ha * + k b * + lc *uur uu uu r r 以 a *, b *, c * 为新的三个基矢，引入另一个点阵，显然该点阵中的点阵的方向uu r uur uu uu r r r * = ha * + kb * + lc *就是晶面 (hkl)的法线方向，该矢量指向的点阵点指数即为hkl。
倒易点阵的一个结点对应空间 点阵的一个晶面。
二维问题一维化处理倒易矢量的性质倒易点阵矢量垂直于正空间点阵平面。
正空间点阵平面间距等于倒易点阵矢量的 倒数。
dhkl=1/r*倒易矢量：由倒易点阵的原点O至任一倒易点 hkl的矢量为r* 。
r* = ha* + kb* + lc*倒易矢量的两个重要性质(1) r*的方向与实际点阵面（hkl）相垂直，或r* 的方向是实际点阵面（hkl）的法线方向。
(2) r*的大小等于实际点阵面（hkl）面间距的倒数， 即:rhkl1 = d hkl倒易基矢的方向:要求倒易基矢垂直于晶面001a* ⊥ (100) b* ⊥ (010) c* ⊥ (001)c*c*c b b*a* a 100010Z立方晶格的倒易变换 （简单点阵）0.25 Å-1 1Å b (220) (010) (110) b* 010 H110C*Y 220 X020120 H220 110 H210 100 a*(100)210c(210) a200000正晶格倒易晶格Z立方晶格的倒易变换 （面心点阵）0.25 Å-1 1Å b (220) (010) (110) b* 020 H220 220 X Y(100)c(210) aC*200 000 a*正晶格倒易晶格。
倒易点阵
倒易点阵:晶体点阵结构与其电子衍射斑点之间可以通过另外一个假想的点阵很好地联系起来，这就是~零层倒易截面：电子束沿晶带轴的反向入射时，通过原点的倒易平面只有一个，我们把这个二维平面叫做~消光距离：透射束或衍射束在动力学相互作用的结果，在晶体深度方向上发生周期性的振荡，这种振荡的深度周期叫做~明场像：通过衍射成像原理成像时，让透射束通过物镜光阑而把衍射束挡掉形成的图像称为明场像。
暗场像：通过衍射成像原理成像时，让衍射束通过物镜光阑而把透射束挡掉形成的图像称为暗场像。
衍射衬度：由于样品中不同位向的晶体的衍射条件不同而造成的衬度差别叫~质厚衬度：是建立在非晶体样品中原子对入射电子的散射和透射电子显微镜小孔径角成像基础上的成像原理，是解释非晶态样品电子显微图像衬度的理论依据。
二次电子：在入射电子束作用下被轰击出来并离开样品表面的样品的核外电子叫~吸收电子：入射电子进入样品后，经多次非弹性散射能量损失殆尽，然后被样品吸收的电子。
透射电子：如果被分析的样品很薄，那么就会有一部分入射电子穿过薄样品而成为透射电子。
结构消光：当Fhkl=0时，即使满足布拉格定律，也没有衍射束产生，因为每个晶胞内原子散射波的合成振幅为零。
这叫做~分辨率：是指成像物体（试样）上能分辨出来的两个物点间的最小距离。
焦点：一束平行于主轴的入射电子束通过电磁透镜时将被聚焦在轴线上一点。
焦长：透镜像平面允许的轴向偏差.景深：透镜物平面允许的轴向偏差.磁转角：电子束在镜筒中是按螺旋线轨迹前进的，衍射斑点到物镜的而一次像之间有一段距离，电子通过这段距离时会转过一定的角度.电磁透镜：透射电子显微镜中用磁场来使电子波聚焦成像的装置。
透射电子显微镜：是以波长极短的电子束作为照明源，用电磁透镜聚焦成像的一种高分辨率，高放大倍数的电子光学仪器。
弹性散射：当一个电子穿透非晶体薄样品时，将与样品发生相互作用，或与原子核相互作用，或与核外电子相互作用，由于电子的质量比原子核小得多，所以原子核入射电子的散射作用，一般只引来电子改变运动方向，而能量没有变化，这种散射叫做弹性散射。
倒易点阵
正点阵基矢间夹角和倒点阵 基矢间夹角间的关系
• 根据基矢之间的夹角的定义，有 • 把正点阵基矢与倒易点阵基矢的关系代入，得
• 最后得 • 同理得 • 按同样的方法，可用倒易点阵的α*、β*、γ*来表示正点阵的 α、β、γ。
正点阵与倒易点阵的关系
a
Hhkl
垂直关系（方向）
在倒易点阵中，从原点指向阵点[坐标hkl]的 倒易矢量 Hhkl = ha* +kb* +lc* Hhkl必和正点阵的(hkl)面垂直， 即倒易点阵的阵点方向[hkl]*和正点阵的(hkl) 面垂直：[hkl]*⊥(hkl)。
晶体学基础
倒易点阵
Outline
• 倒易点阵的定义
• 倒易点阵的基本性质
• 由正点阵导出倒易点阵 • 倒易矢量在晶体学中几何关系的应用
倒易点阵引入（1）
• 1913-1921年Ewald根据Gibbs倒易空间概念提出了倒易点阵。 • 晶体学中最关心通常是晶体取向，即晶面的法线方向。 • 用3个基失a, b, c表示某晶面的法向矢量Shkl。
• 底心点阵的倒易点阵仍为底心点阵，如果是C面有 心化，倒易点阵单胞的棱长已不是a*, b*, c*，而是 2a*, 2b*, c* 。单胞体积变为正点阵单胞的4倍。
SUMMARY
• 倒易点阵的定义
• 倒易点阵的基本性质（垂直及倒数关系） • 如何由正点阵导出倒易点阵 • 求点阵平面的法线方向指数
倒易点阵定义
点阵参数分别为a, b, c和a*,b*,c* 的两个点阵的基矢存在如下关系：
则，这两个点阵互为倒易。 正点阵晶胞体积为V，则 V = a●b×c 因a ● a*=1，则 a* =(b×c)/V 同理 b* =(c×a)/V; c* =(a×b)/V 同理 a =(b* ×c*)/V*; b =(c* ×a *)/V*; c =(a* ×b)/V* 正点阵晶胞体积与倒易点阵晶胞体积之间也存在倒易关系，即 V● V*≡1
倒易点阵介绍
表明某一倒易基矢垂直于 正点阵中和自己异名的二基矢 所成平面
4
倒易点阵的性质
1. 正倒点阵异名基矢点乘为0; a*·b= a*·c=b*·a=b*·c=c*·b=0
(S-S0)/λ= 2sinθ)/λ=ghkl=1/d
2dsinθ =λ
11
Ewald 作图法
❖ Ewald 图解是衍射条件的几何表达式。 ❖ sinθ =λ/2d
g ❖ 令d= λ / hkl （此时比例系数用X射线的波长） ❖ 则sinθ = ghkl /2
❖ 即某衍射面（ hkl）所对应的布拉格角的正弦等 于其倒易矢量长度的一半。
hkl S/
1/
A
S0/
O
Δλ
增大晶体产生衍射几率的方法
（3）Ewald球不动，增 加随机分布的晶体数量， 相当于围绕O点转动倒易 晶格，使每个倒易点均形 成一个球（倒易球）。 （粉晶法的基础）
hkl S/
1/
A
S0/
O
倒易球
衍射的极限条件
可见，能获得衍射的最 大倒易球半径为
g=1/d≤ 2/:
先计算原点O和任一原子 A的散射线在与S方向的 位向差。
ghkl
m
θ
A
θ
θ
n O
光程差 On Am OA S OA S0
OA (S S0 )
S2 (S-S0) (HKL)
S0
❖ 相应的位向差为 2 2 (S S0 ) OA
OA pa qb rc 其中p、q、r是整数
(2) 倒易点阵是晶体点阵的倒易，不是客观实在，没 有特定的物理意义，纯粹为数学模型和工具。
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向量P×Q正是沿晶面法向
P
b
a
Q
k c
h b
H
l
P
k
Q
(
b
a)
(
c
b)
kh lk
倒易点阵的引入（2）
H
P
Q
(
b
a)
( c
b)
kh lk
所以，为了方便表示， 我们引入新的矢量
H
(b
a)
如何确定倒易点阵上的阵点
根据基矢的对应关系式确定倒易基矢
a*
b
c
V
b*
a
c
c*
V a
b
V
a* 1 d100
b*
1
d 010
c* 1 d 001
倒易基矢的方向大小确定后，将基矢平移单位长度得到阵点
正点阵基矢间夹角和倒点阵基矢间夹角间的关 系
• 根据基矢之间的夹角的定义，有 • 把正点阵基矢与倒易点阵基矢的关系代入，得
(j 2 (i 2 (i
2
k) k) j)
体心立方的倒格子是边长为2/a的面心立方 。
变换矩阵的引入
由倒易矢量的定义可以知道，倒空间中的三个基矢其实 是正空间中与正空间基矢共原点的三个矢量，因此可以 用空间变换将两组基矢联系起来，从而将正、倒空间的 矢量计算结合起来。
ab bb
ac bc
a* b*
c c a c b c c c*
同样可以引入倒易点阵的度量张量G*
a*
a* a* a* b* a* c*
G* b* (a* b* c*) b* a* b* b* b* c*
研究倒易点阵的意义：
利用倒易点阵可以比较方便地导出 晶体几何学中的各种重要关系式；
用倒易点阵可以方便而形象地表示 晶体的衍射几何学；
在物理学中可以用倒易点阵来表示 波矢。
倒易点阵（二）
应用介绍
1、晶面间距计算
倒易点阵的矢量r*=ha*+kb*+lc*在方向上与正空间 的同名晶面(hkl)垂直，在数值上为正空间点阵中同名晶 面(hkl)的面间距的倒数。
• 最后得 • 同理得
• 按同样的方法，可用倒易点阵的α*、β*、γ*来表示正点阵的 α、β、γ。
正点阵与倒易点阵的关系
垂直关系（方向）
Hhkl 在倒易点阵中，从原点指向阵点[坐标hkl]的
倒易矢量 Hhkl = ha* +kb* +lc*
Hhkl必和正点阵的(hkl)面垂直， 即倒易点阵的阵点方向[hkl]*和正点阵的(hkl) 面垂直：[hkl]*⊥(hkl)。
ab c os
b2
bc cos
ac cos bc cos
c2
a* a* a* b* a* c* G* b* a* b* b* b* c*
c* a* c* b* c* c*
由于： G G1
将两矩阵的相应值进行对比，立刻可以得到倒易点阵的点阵常数：
It means
hiu kiv li w 0
3.2 广义晶带轴定律
h3k3l3
hu+kv+lw=N
给定一个正空间的晶向(uvw)， 对于任一给定的整数N，满足上 式 的 所 有 晶 面 (hikili) 都 在 倒 空 间 的同一层倒易面上；该倒易面上 的任意矢量(hikili)与晶向(uvw)的 点乘都等于整数N，这就是广义 晶带轴定律。
c*
G
1
a b
a
b
c G1G E
c
a a* b Gb* c c*
G
1
a b
a* b*
c c*
变换矩阵的引入
a a a b ba
h2k2l2 h1k1l1
广义晶带轴定律
h3k3l3
在每个过原点的倒易阵点平面的 上边和下边都还有与其平行的N层不过 原点的倒易阵点平面，它们所遵循的 条件是：
hu+kv+lw=N
为了便于区别，将过原点的倒易阵 点平面（零层倒易面）标为（uvw ）*，而将不过原点的倒易阵点平面 （高层倒易面）标为（uvw）N*。
给定一个正空间的晶向(uvw)，满足上式的 所有晶面(hikili)属于同一个晶带，其晶带轴即为 (uvw)；这就是晶带轴定律。
晶带轴定律
h3k3l3
h2k2l2 h1k1l1
Zone axis
g z Because of i
We have
gi z 0
Then
(hia * kib * lic*) (ua vb wc) 0
b* a*
b*
c*
G
1
a b
a*
b*
c*
c*
c
G* G1
a* b*
G*
a b
c*
c
变换矩阵的引入
a a a b a c a2
G b a b b b c abcos c a c b c c accos
倒易点阵（一）
基本概念
空间坐标中平面的表示
（h k l）平面在坐标系中的绘制
在坐标轴上分别取点 (1/h 0 0) (0 1/k 0) (0 0 1/l) 三点构成的平面即为 (h k l)平面
倒易点阵的引入（1）
• 晶体学中最关心的通常是晶体的取向，即晶面的法线方向。 • 用3个基失a, b, c表示某晶面的法向矢量H。
这是倒易点阵的一个重要性质
晶面间距计算
晶面间距计算
晶面间距计算
具体计算过程
利用表2-4（P43）将上式中的倒易点阵参数 a*、b*、c*；α*、β*、γ*换算成正点阵参数a、b 、c；α、β、γ便可得到除三斜晶系之外各晶系的 晶面间距的计算公式。
晶面间距计算
2.1 晶面夹角计算
晶面夹角可以用晶面法线间的夹角来表示。所以， 晶体点阵中两个晶面(H1K1L1)和(H2K2L2)之间的夹角 可以用它们所对应的倒易矢量r 1 *和r2*之间的夹角表 示。于是有：
密勒指数
• 密勒指数是一种用来确定晶面方向的指数。要 想
• 计算出一个晶面的密勒指数（hkl)需要：
• 1、确定该晶面在晶胞坐标轴上的截距(依序为x, y, z轴，通常为长、宽、高)
• 2、取这些值的倒数（默认∞的倒数为0） • 3、将这些倒数化作最简整数比 • 4、用括号将它们括起
从作图可以看出， 正点阵和其对应的 倒易点阵同属一种 晶系。
Байду номын сангаас
例2：证明体心立方的倒格子是面心立方。
解： 体心立方的原胞基矢：
a1 a i j k 2
a2 a i j k 2 a a3 i j k
2
b1 a2 a3 V
b2 a3 a1 V
3.1 晶带轴定律
设 正 空 间 中 的 某 一 矢 量 为 ： ua+vb+wc ； 倒 空间的任一矢量为： ha*+kb*+lc*；则上面两矢量
的点乘为：
(ua+vb+wc)∙(ha*+kb*+lc*)=hu+kv+lw
当两矢量互相垂直时，其点乘为０，此时有：
hu+kv+lw=0
晶带轴定律
hu+kv+lw=0
( c
b)
b
c
a
b
c
a
k h l k kl hk hl
a* =(b×c)/V; b* =(c×a)/V; c* =(a×b)/V H= ha* +kb* +lc*
取比例因子为 hkl
V
V为晶胞体积
H
h
b
c
k
c
a
l
a
b
V
V
V
以a*,b*,c*为3个新基失，形成新点阵， 其阵点矢量方向就是原点阵晶面(hkl) 的法线方向，此新点阵为倒易点阵，
h2k2l2 h1k1l1
A、已知两晶面(h1k1l1)、(h2k2l2)，要求这两个晶 面所属的晶带轴，只须将与两晶面对应的倒易矢
量叉乘即可，所得的正空间矢量即为两晶面的晶
带轴。
晶带轴矢量
结果
a
ab c
(u v w)b (h1a* k1b* l1c*) (h2a* k2b* l2c*) h1 k1 l1
a a a
2 a
k
2 a
2 a
2 22
例2：证明体心立方的倒格子是面心立方 。
同理得：
倒格基矢：
b2
ik a
b3
i j a
b1
jk a
b2
ik a
i j
b3 a
面心立方基矢：顶点和最临近的三个面心连线。
b1 b2 b3
b3 a1 a2 V
ij a2 a3 a a
22 aa
22