图的矩阵表示

1 若vi 可达v j pij 0 若vi 不可达v j
可达距阵的性质
性质 1 p 是以 0,1 为元素的距阵，其主对角线上的 元素全为 1，但不一定是对称的。 性质 2 （1） p 的元素全为 1 是 D 为强连通的充分 必要条件。 （2）p p p T 的元素全为 1 是 D 为单向连 通的充分必要条件
(i 1,2,, n) .
(2) aii () 的 值 Biblioteka Baidu 示 经 过 结 点 v i 的 长 度 为 的 回 路 条 数
(i 1,2,, n) . 2,G 中无平行边）
例 1 设图 G 的邻接矩阵为
（1）画出图 G .
v1 0 v 2 1 A v3 1 v4 0 v5 0
() （1） i j 时， aij 的值是 vi 到 v j 的长度为 的有向 ()
通路的条数 (i, j 1,2,n) （2） aii 的值是 vi 到自身的长度为 的有向向回路 的条数 (i 1,2, n)
()
三．有向图的可达矩阵
定义 5-19 设 v1 , v2 ,vn 是简单有向图的 D 的结 点，则称 p ( pij ) nn 是 D 的可达矩阵，其中
1．邻接矩阵 例如，右图的邻接矩阵为：
v1
1 6 4 4 6 0 , A2 1 4 0 0 0 1 2．无向图的邻接矩阵的性质 性质 1 A 是对称的. 1 2 1 0 2 1 0 0
性质 2
0 1 A 2 1
1 4 5 2
0 e1 1 e2 v2 e6 2 e3 1
一、无向图的邻接距阵 1．邻接矩阵
定义 5-17 设 v1 , v2 ,vn 是无向图 G 的所有结点, 则 称矩阵 A (aij ) nn 为 G 的邻接矩阵 , 其中 aij 表示结 点 vi , v j 之间的边数 (i j ) , 当 (vi , v j ) 是环时 , aii 2 , 否则 aii 0
有向图邻接矩阵的性质 性质 1：A 不一定是对称阵。 性质 2： A 的第 i 行元素之和为 deg (vi ) ，A 的第 i 列 元素之和为 deg _ (vi ) 。 (i 1,2,, n)
1 0 A 1 1
1 0 0 0
0 1 0 0
0 1 2 1
有向图邻接矩阵的性质 性质 3：设 A (aij ) ( 1) 则：
A (aij ) nn 为有向图 D 的邻接矩阵，其中 aij 是以 v i 为始
点， v j 为终点的边的条数。当 (vi , v j ) 是环时, aii 1 , 否则
aii 0 .
1 0 A 1 1
1 0 0 0
0 0 0 0
0 0 2 1
二．有向图的邻接矩阵表示
v3
e4 e5 v4
A 的第一 i 行(或第 i 列)元素之和为结点 v i 的度
数. (i 1,2,, n)
2．无向图的邻接矩阵的性质
() 性质 3 设简单图的邻接矩阵 A 的 次幂 A (aij ) ,( 为正整数)
则
() (1) i j 时 , aij 的值表示连接结点 vi , v j 的长度为 的通路条数
__
1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0
（2）讨论图中长度为 2 和 3 的通路和回路的数目. （3）通过 A2 , A3 讨论图中长度为 2 和 3 的通路和回路.
二．有向图的邻接矩阵表示
定义 5-18 设 v1 , v2 ,vn 是有向图 D 的结点，则称矩阵