微分方程与微分方程建模法

第三章微分方程模型

3.1微分方程与微分方程建模法

微分方程知识简介

我们要掌握常微分方程的一些基础知识，对一些可以求解的微分方程及其方 程组，要求掌握其解法，并了解一些方程的近似解法。 微分方程的体系： （1）初等积分法（一阶方程及几类可降阶为一阶的方程）

一阶线性微分方程组（常系数线性微分方程组的解法） （3）高阶线性微分方程 （高阶线性常系数微分方程解法）。其中还包括了常微分方程的基本定理

0.常数变易法： 常数变易法在上面的（1） （2） （3）三部分中都出现过，它是

由线性齐次方程（一阶或高阶）或方程组的解经常数变易后求相应的非齐次 方程或方程组的解的一种方法。

1.初等积分法：掌握变量可分离方程、齐次方程的解法，掌握线性方程的解法， 掌握全微

分方程（含积分因子）的解法，会一些一阶隐式微分方程的解法（参 数法），会几类可以降阶的高阶方程的解法（恰当导数方程）。

dx f(x)g(y);

M(x)N(y)dx P(x)Q(y)dy 0;

常数变易法：（1）线性方程，y p （x ）y f （x ）,

(2)伯努里方程，y p(x)y f (x)y n ,

积分因子法：化为全微分方程，按全微分方程求解。

对于一阶隐式微分方程F （x,y, y ） 0,有

参数法：（1）不含x 或y 的方程:F （x,y ） 0,F （y,y ） 0;

对于高阶方程，有

分离变量法：（1）可分离变量方程: （2）齐次方程: dy dx dy dx f(ax by C ); ux vy w

⑵可解出x或y的方程：y f（x,y）,x f （ y, y ）;

降阶法：F(x,y(k),y(k 1), ,y(n))

F(y,y,y) 0;

恰当导数方程

一阶方程的应用问题（即建模问题）

2．一阶线性微分方程组：本部分主要内容有：一是一阶线性微分方程组的基本

理论（线性齐次、非齐次微分方程组的通解结构，刘维尔公式等），二是常系数线性微分方程组的解法（求特征根，单根与重根［待定系数法］），三是常数变易法。本部分内容与线性代数关系密切，如线性空间，向量的线性相关与线性无关，基与维数，特征方程、特征根与特征向量，矩阵的若当标准型等。

3．高阶线性微分方程：了解高阶线性微分方程的基本理论（线性齐次、非齐次

微分方程的通解结构，刘维尔公式等）；

n 阶线性常系数微分方程解法：（1）求常系数齐次线性微分方程基本解组的待定指数函数法；（2）求一般非齐次线性方程解的常数变易法；（3）求特殊型非齐次常系数线性方程解的待定系数法；（4）求解初值问题的拉普拉斯变换法；（5）求二阶线性方程的幂级数解法。

4．常微分方程的基本定理：常微分方程的几何解释（线素场），初值问题解的存在与唯一性定理（条件与结论），求方程的近似解（欧拉折线法与毕卡逐次逼近法），解的延展定理与比较定理、唯一性定理证明解的存在区间（如为左右无穷大），奇解与包络线，克莱罗方程。

5．常微分方程的稳定性理论：掌握稳定性的一些基本概念，以及运用特征根法判断常系数线性方程（组）的解的稳定性，运用李雅普诺夫函数法判断一般方程（组）的解的稳定性。

6．常微分方程的定性理论：掌握定性理论的一些基本概念，运用特征根法判断奇点类型，极限环。

7．差分方程。

8．偏微分方程。

二、数学建模的微分方程方法

微分方程作为数学科学的中心学科，已经有三百多年的发展历史，其解法和理论已日臻完善，可以为分析和求得方程的解（或数值解）提供足够的方法，使得微分方程模型具有极大的普遍性、有效性和非常丰富的数学内涵。微分方程建模包括常微分方程建模、偏微分方程建模、差分方程建模及其各种类型的方程组建模。微分方程建模对于许多实际问题的解决是一种极有效的数学手段，对于现

实世界的变化，人们关注的往往是其变化速度、加速度以及所处位置随时间的发展规律，其规律一般可以用微分方程或方程组表示，微分方程建模适用的领域比

较广，利用它可建立纯数学（特别是几何）模型，物理学（如动力学、电学、核物理学等）模型，航空航天（火箭、宇宙飞船技术）模型，考古（鉴定文物年代）模型，交通（如电路信号，特别是红绿灯亮的时间）模型，生态（人口、种群数量）模型，环境（污染）模型，资源利用（人力资源、水资源、矿藏资源、运输调度、工业生产管理）模型，生物（遗传问题、神经网络问题、动植物循环系统）模型，医学（流行病、传染病问题）模型，经济（商业销售、财富分布、资本主义经济周期性危机）模型，战争（正规战、游击战）模型等。其中的连续模型适用于常微分方程和偏微分方程及其方程组建模，离散模型适用于差分方程及其方程组建模。下面，我们给出如何利用方程知识建立数学模型的几种方法。

1 •利用题目本身给出的或隐含的等量关系建立微分方程模型。这就需要我们

仔细分析题目，明确题意，找出其中的等量关系，建立数学模型。

例如在光学里面，旋转抛物面能将放在焦点处的光源经镜面反射后成为平行光线，为了证明具有这一性质的曲线只有抛物线，我们就是利用了题目中隐含的

条件一一入射角等于反射角来建立微分方程模型的［5］。又如在天文学、气象学中常用到的等角轨线，已知曲线或曲线族（C），求曲线l （等角轨线或正交轨线），使丨与

（C）中每条曲线相交成给定的角度（这是题目中明确给出的条件，即曲线的切线相交成给定的角度，这样，就在它们的导数之间建立了联系），又题目中隐

含的条件是：在I与（c）中曲线相交点处，它们的函数值相等；这样，我们只要求出已知曲线或曲线族的微分方程，根据它们之间的联系，就可以建立等角轨线的微分方程模型，从而求出等角轨线的方程［5］0

2 •从一些已知的基本定律或基本公式出发建立微分方程模型。我们要熟悉一些

常用的基本定律、基本公式。例如从几何观点看，曲线y=y（x）上某点的切线斜率即函数y=y（x）在该点的导数；力学中的牛顿第二运动定律：f=ma,其中加速度a

就是位移对时间的二阶导数，也是速度对时间的一阶导数；电学中的基尔霍夫定律等。从这些知识出发我们可以建立相应的微分方程模型。

例如在动力学中，如何保证高空跳伞者的安全问题。对于高空下落的物体，我们可以利用牛顿第二运动定律建立其微分方程模型，设物体质量为m,空气阻

力系数为k，在速度不太大的情况下，空气阻力近似与速度的平方成正比；设时

刻t时物体的下落速度为v，初始条件：v（o）0。由牛顿第二运动定律建立其微

分方程模型：

dv , 2

m mg kv

dt

求解模型可得：

^mg(exp[2^J kg] 1)

\ m

v J—

、k(exp[2t、kg] 1) 勺m

由上式可知，当t时，物体具有极限速度：

.. mg

v1 t imv \ k，