微分方程与微分方程建模法

第三章微分方程模型3.1微分方程与微分方程建模法微分方程知识简介我们要掌握常微分方程的一些基础知识，对一些可以求解的微分方程及其方 程组，要求掌握其解法，并了解一些方程的近似解法。

微分方程的体系： （1）初等积分法（一阶方程及几类可降阶为一阶的方程）一阶线性微分方程组（常系数线性微分方程组的解法） （3）高阶线性微分方程 （高阶线性常系数微分方程解法）。

其中还包括了常微分方程的基本定理0.常数变易法： 常数变易法在上面的（1） （2） （3）三部分中都出现过，它是由线性齐次方程（一阶或高阶）或方程组的解经常数变易后求相应的非齐次 方程或方程组的解的一种方法。

1.初等积分法：掌握变量可分离方程、齐次方程的解法，掌握线性方程的解法， 掌握全微分方程（含积分因子）的解法，会一些一阶隐式微分方程的解法（参 数法），会几类可以降阶的高阶方程的解法（恰当导数方程）。

dx f(x)g(y);M(x)N(y)dx P(x)Q(y)dy 0;常数变易法：（1）线性方程，y p （x ）y f （x ）,(2)伯努里方程，y p(x)y f (x)y n ,积分因子法：化为全微分方程，按全微分方程求解。

对于一阶隐式微分方程F （x,y, y ） 0,有参数法：（1）不含x 或y 的方程:F （x,y ） 0,F （y,y ） 0;对于高阶方程，有分离变量法：（1）可分离变量方程: （2）齐次方程: dy dx dy dx f(ax by C ); ux vy w⑵可解出x或y的方程：y f（x,y）,x f （ y, y ）;降阶法：F(x,y(k),y(k 1), ,y(n))F(y,y,y) 0;恰当导数方程一阶方程的应用问题（即建模问题）2．一阶线性微分方程组：本部分主要内容有：一是一阶线性微分方程组的基本理论（线性齐次、非齐次微分方程组的通解结构，刘维尔公式等），二是常系数线性微分方程组的解法（求特征根，单根与重根［待定系数法］），三是常数变易法。

本部分内容与线性代数关系密切，如线性空间，向量的线性相关与线性无关，基与维数，特征方程、特征根与特征向量，矩阵的若当标准型等。

3．高阶线性微分方程：了解高阶线性微分方程的基本理论（线性齐次、非齐次微分方程的通解结构，刘维尔公式等）；n 阶线性常系数微分方程解法：（1）求常系数齐次线性微分方程基本解组的待定指数函数法；（2）求一般非齐次线性方程解的常数变易法；（3）求特殊型非齐次常系数线性方程解的待定系数法；（4）求解初值问题的拉普拉斯变换法；（5）求二阶线性方程的幂级数解法。

4．常微分方程的基本定理：常微分方程的几何解释（线素场），初值问题解的存在与唯一性定理（条件与结论），求方程的近似解（欧拉折线法与毕卡逐次逼近法），解的延展定理与比较定理、唯一性定理证明解的存在区间（如为左右无穷大），奇解与包络线，克莱罗方程。

5．常微分方程的稳定性理论：掌握稳定性的一些基本概念，以及运用特征根法判断常系数线性方程（组）的解的稳定性，运用李雅普诺夫函数法判断一般方程（组）的解的稳定性。

6．常微分方程的定性理论：掌握定性理论的一些基本概念，运用特征根法判断奇点类型，极限环。

7．差分方程。

8．偏微分方程。

二、数学建模的微分方程方法微分方程作为数学科学的中心学科，已经有三百多年的发展历史，其解法和理论已日臻完善，可以为分析和求得方程的解（或数值解）提供足够的方法，使得微分方程模型具有极大的普遍性、有效性和非常丰富的数学内涵。

微分方程建模包括常微分方程建模、偏微分方程建模、差分方程建模及其各种类型的方程组建模。

微分方程建模对于许多实际问题的解决是一种极有效的数学手段，对于现实世界的变化，人们关注的往往是其变化速度、加速度以及所处位置随时间的发展规律，其规律一般可以用微分方程或方程组表示，微分方程建模适用的领域比较广，利用它可建立纯数学（特别是几何）模型，物理学（如动力学、电学、核物理学等）模型，航空航天（火箭、宇宙飞船技术）模型，考古（鉴定文物年代）模型，交通（如电路信号，特别是红绿灯亮的时间）模型，生态（人口、种群数量）模型，环境（污染）模型，资源利用（人力资源、水资源、矿藏资源、运输调度、工业生产管理）模型，生物（遗传问题、神经网络问题、动植物循环系统）模型，医学（流行病、传染病问题）模型，经济（商业销售、财富分布、资本主义经济周期性危机）模型，战争（正规战、游击战）模型等。

其中的连续模型适用于常微分方程和偏微分方程及其方程组建模，离散模型适用于差分方程及其方程组建模。

下面，我们给出如何利用方程知识建立数学模型的几种方法。

1 •利用题目本身给出的或隐含的等量关系建立微分方程模型。

这就需要我们仔细分析题目，明确题意，找出其中的等量关系，建立数学模型。

例如在光学里面，旋转抛物面能将放在焦点处的光源经镜面反射后成为平行光线，为了证明具有这一性质的曲线只有抛物线，我们就是利用了题目中隐含的条件一一入射角等于反射角来建立微分方程模型的［5］。

又如在天文学、气象学中常用到的等角轨线，已知曲线或曲线族（C），求曲线l （等角轨线或正交轨线），使丨与（C）中每条曲线相交成给定的角度（这是题目中明确给出的条件，即曲线的切线相交成给定的角度，这样，就在它们的导数之间建立了联系），又题目中隐含的条件是：在I与（c）中曲线相交点处，它们的函数值相等；这样，我们只要求出已知曲线或曲线族的微分方程，根据它们之间的联系，就可以建立等角轨线的微分方程模型，从而求出等角轨线的方程［5］02 •从一些已知的基本定律或基本公式出发建立微分方程模型。

我们要熟悉一些常用的基本定律、基本公式。

例如从几何观点看，曲线y=y（x）上某点的切线斜率即函数y=y（x）在该点的导数；力学中的牛顿第二运动定律：f=ma,其中加速度a就是位移对时间的二阶导数，也是速度对时间的一阶导数；电学中的基尔霍夫定律等。

从这些知识出发我们可以建立相应的微分方程模型。

例如在动力学中，如何保证高空跳伞者的安全问题。

对于高空下落的物体，我们可以利用牛顿第二运动定律建立其微分方程模型，设物体质量为m,空气阻力系数为k，在速度不太大的情况下，空气阻力近似与速度的平方成正比；设时刻t时物体的下落速度为v，初始条件：v（o）0。

由牛顿第二运动定律建立其微分方程模型：dv , 2m mg kvdt求解模型可得：^mg(exp[2^J kg] 1)\ mv J—、k(exp[2t、kg] 1) 勺m由上式可知，当t时，物体具有极限速度：.. mgv1 t imv \ k，其中，阻力系数k s , 为与物体形状有关的常数， 为介质密度，s 为物 体在地面上的投影面积。

根据极限速度求解式子，在m,, 一定时，要求落地速 度W 不是很大时，我们可以确定出s 来，从而设计出保证跳伞者安全的降落伞的 直径大小来。

3•利用导数的定义建立微分方程模型。

定义为商式 丄表示单位自变量的改变量对应的函数改变量，就是函数的瞬时平均变化x率，因而其极限值就是函数的变化率。

函数在某点的导数，就是函数在该点的变 化率。

由于一切事物都在不停地发展变化， 变化就必然有变化率，也就是变化率 是普遍存在的，因而导数也是普遍存在的。

这就很容易将导数与实际联系起来， 建立描述研究对象变化规律的微分方程模型。

例如在考古学中，为了测定某种文物的绝对年龄，我们可以考察其中的放射 性物质（如镭、铀等），已经证明其裂变速度（单位时间裂变的质量，即其变化 率）与其存余量成正比。

我们假设时刻t 时该放射性物质的存余量R 是t 的函数, 由裂变规律，我们可以建立微分方程模型： 期中k 是一正的比例常数，与放射性物质本身有关。

求解该模型，我们解得:R Ce kt ，其中c 是由初始条件确定的常数。

从这个关系式出发，我们就可以测定某文物的绝对年龄。

（参考碳定年代法）另外，在经济学领域中，导数概念有着广泛的应用，将各种函数的导函数（即 函数变化率）称为该函数的边际函数，从而得到经济学中的边际分析理论。

4•利用微元法建立微分方程模型。

一般的，如果某一实际问题中所求的变量 p 符合下列条件：p 是与一个变量t 的变化区间［a, b ］有关的量；p 对于区间［a, b ］ 具有可加性；部分量 P i 的近似值可表示为f （ J 1。

那么就可以考虑利用微元法来建立微分方程模型，其步骤是：首先根据问题的具体情况，选取一个变量例 如t 为自变量，并确定其变化区间［a, b ］；在区间［a, b ］中随便选取一个任意小的区 间并记作［t,t dt ］，求出相应于这个区间的部分量 p 的近似值。

如果 p 能近似的标示为［a, b ］上的一个连续函数在t 处的值f （t ）与dt 的乘积，我们就把f （t ）dt 称 为量p 的微元且记作dp 。

这样，我们就可以建立起该问题的微分方程模型:dp f （t ）dt 。

对于比较简单的模型，两边积分就可以求解该模型例如在几何上求曲线的弧长、平面图形的面积、旋转曲面的面积、旋转体 体积、空间立体体积⑶；代数方面求近似值⑻以及流体混合问题⑷；物理上求变 力做功、压力、平均值、静力矩与重心 ⑶；这些问题都可以先建立他们的微分方 程模型，然后求解其模型。

在2005年的全国大学生数学建模竞赛 A 题（原题见竞赛试题）中，对于长 江流域导数是微积分中的一个重要概念，其 f (x)lim f(x X ) f(x) X dRdt kR的三类主要污染物----溶解氧，高锰酸盐指数与氨氮污染，我们运用微元法，建立了其含参数的微分方程模型，并用平均值法估计出了其参数，具体求出了他们的解，之后，我们又给出了他们统一的微分方程模型及其求解公式。

5 •熟悉一些经典的微分方程模型，对一些类似的问题，经过稍加改进或直接套用这些模型。

多年来，在各种领域里，人们已经建立起了一些经典的微分方程模型，熟悉这些模型对我们是大有裨益的。

下面，我们仅以人口问题为例，说明用常微分方程、偏微分方程和差分方程建立的人口问题模型。

1）常微分方程模型设N（t）为时刻t人口总数，r m n为人口的增长率，其中m, n分别为出生率与死亡率，他们可以是t的函数。

1798年，英国神父Malthus建立了最简单的人口增长模型为N （t） rN（t）得出了人口按几何级数增长的结论。

此结论在短时期内与人口的实际增长吻合得比较好，时间越长误差越大。

经过对一些地区具体人口资料的分析，发现在人口基数较少时，人口的繁衍增长起重要作用，人口的自然增长率r基本为常数，但随着人口基数的增加，人口增长将越来越受自然资源、环境条件等的限制。

此时人口的自然增长率是变化的，即人口的自然增长率与人口数量有关。

1837 （8）年，荷兰生物学家P。