高一数学函数单调性的性质
高一数学必修一第三讲《函数的单调性与奇偶性》
注意：
①函数的奇偶性是函数的整体性质；
②定义域内的任意一个 x，则－x 也一定是定义域内的一个自变量
（即定义域关于原点对称）。
★★★利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：
①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；
②确定 f(－x)与 f(x)的关系；
③作出相应结论：
若 f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则 f(x)是偶函数；
f (a2 1) f (a 1) 0 的实数 a 的取值范围.
家长签字：
第五讲 函数单调性与奇偶性的复习 一、必备基础
1.单调函数：增函数，减函数，单调性，单调区间 2.奇偶函数定义：奇偶函数图象性质
3.最值：设函数 y f x 定义域为 I，如果存在实数满足：①对于任意的 x I ，都有 f x M 。②存在 x0 I 使得 f x0 M ，那么称函数 y f x 有最大值为 M。
2、画出反比例函数 y 1 的图象。 x
（1）这个函数的定义域 是什么？ （2）它在定义域 上的单调性是怎样的？证明你的结论。
家长签字：
第3页共8页
一、偶函数
暑期预科:函数
第四讲 奇偶性
勤动笔，多思考！ 各位，加油！！
画出函数 f (x) x 2 和函数 f (x) | x | 的图象，思考并讨论以下问题：
你能仿照函数最大值的定义，给出函数 y f (x) 的最小值 (min imum value ）的定义吗？ 例 5、求函数 f (x) x 1 在区间 (0,2) 上的最小值。
x
第2页共8页
暑期预科:函数
勤动笔，多思考！ 各位，加油！！
例
6、已知函数
y
2（ x 1
高一数学单调性知识点总结
高一数学单调性知识点总结在高中数学学习中，单调性是一个非常重要的概念。
单调性可以帮助我们理解函数的增减趋势以及函数图像的形状。
在本文中，我们将总结高一数学中与单调性相关的知识点，并探讨其应用。
一、函数的单调性函数的单调性是指函数在定义域内的增减趋势。
具体来说，我们可以分为递增和递减两种情况进行讨论。
1. 函数的递增性如果对于定义域内的任意两个实数a和b，当a<b时有f(a)<f(b)，那么我们称函数为递增函数。
简单来说，递增函数的函数值随着自变量的增大而增大。
通过求导可以帮助我们判断函数的递增性。
如果函数的导数大于零，则函数递增；如果导数小于零，则函数递减；如果导数等于零，则函数在该区间内的单调性不确定，需要进行进一步的分析。
2. 函数的递减性如果对于定义域内的任意两个实数a和b，当a<b时有f(a)>f(b)，那么我们称函数为递减函数。
递减函数的函数值随着自变量的增大而减小。
二、函数图像的单调性分析在图像上观察函数的单调性，可以通过以下几个方面来判断。
1. 函数图像在某个区间内递增或递减通过观察函数图像，在某个区间内如果图像整体上升，则该区间内函数递增；如果图像整体下降，则该区间内函数递减。
2. 函数图像在特定点的切线斜率通过求导函数，可以得到函数的导函数。
根据导函数的正负性，可以判断函数图像在特定点的切线斜率的正负。
如果导函数大于零，则函数图像在该点的切线斜率大于零，即函数递增；如果导函数小于零，则函数图像在该点的切线斜率小于零，即函数递减。
3. 函数图像的拐点与极值点在函数图像上，拐点和极值点可能对函数的单调性产生影响。
如果在拐点或极值点的左侧函数递增，在右侧函数递减，或者相反，那么拐点或极值点就是函数单调性发生改变的点。
三、应用举例单调性是数学中的一个重要概念，有许多实际应用。
1. 市场需求曲线在经济学中，市场需求曲线通常被认为是递减函数。
这意味着当商品价格上涨时，需求量下降；当价格下降时，需求量增加。
3.2.1第1课时函数的单调性(教学课件)-高中数学人教A版(2019)必修第一册
A．(－∞，1]
B．(－∞，2]
()
C．[1，＋∞)
D．[2，＋∞)
【答案】B 【解析】∵函数 f(x)＝x2－(a－1)x＋5 图象的对称轴为 x＝a－2 1，且
f(x)在区间12，1上单调递增，∴a－2 1≤21，即 a≤2.
3．(题型3)函数f(x)是定义域上的单调递减函数，且图象过点(－3,2) 和(1，－2)，则使|f(x)|<2的x的取值范围是________．
设x1，x2是f(x)定义域某一个子区间M上的两个变量值，如果f(x)满足 以下条件，该函数f(x)是否为增函数？
(1)对任意 x1<x2，都有 f(x1)<f(x2)； (2)对任意 x1，x2(x1≠x2)，都有(f(x1)－f(x2))(x1－x2)>0； (3)对任意 x1，x2(x1≠x2)都有fxx11－ －fx2x2>0.
【答案】－1，12 －1≤x≤1，
【解析】由题意得x<21，
解得－1≤x<12.
题型4 根据函数的单调性求参数的取值范围 已知函数f(x)＝x2－2ax－3在区间[1,2]上具有单调性，求实数a
的取值范围． 素养点睛：考查直观想象和数学运算的核心素养． 解：由于二次函数图象的开口向上，对称轴为x＝a，故其增区间为
(2)画出函数y＝－x2＋2|x|＋1的 图象并写出函数的单调区间．
素养点睛：考查直观想象和逻 辑推理的核心素养．
【答案】(1)[－2,1] [3,5] [－5， －2] [1,3]
【解析】观察图象可知，y＝f(x)的单调区间有[－5，－2]，[－2,1]， [1,3]，[3,5]．其中 y＝f(x)在区间[－5，－2]，[1,3]上具有单调递增，在区 间[－2,1]，[3,5]上单调递减．
函数的单调性课件-高一数学人教A版(2019)必修第一册
学运算素养．
新课引入
问题1：观察下面函数图象，从中你发现了图象的哪些特征？
= 2
=
= >0
升降变化、对称性，最高点或最低点等
今天，我们重点研究图象从左到右升降变化的规律。
随的增大而增大（或减小）——
函数的单调性
= 2
1
y
0
那么就称函数 在
区间D上时减函数
y
1
1 2 x
2
0
1 2
x
特别地，只有当函数 在它的定义域上单调递增（递减）时，
我们才称它是增（减）函数。
合作探究
思考1：−1 < 2时，有 −1 < 2 ，
说函数在区间 −1，2 上单增对吗？并说出你的理由。
不对，如图，虽−1 < 2时，有 −1 < 2 ,
函数值随自变量的增大（或减小）的性质叫做函数的单调性.
图形语言：在 轴右侧,从左到右图象是上升的；
也就是说，在区间 ， +∞ 上，随的增大而增大
；
你能类比说出函数在y轴右侧的符号表示及单调性吗？
符号语言：
∀ , ∈ ， +∞ ， = , =
当 < 时，有 < 成立.
结论 这时， f (x)=kx +b是减函数。
结论：一次函数 = + ≠ 的单调性由的正负确定。
> 在R上单调递增； < 在R上单调递减.
k
(k为正常数)告诉我们，
例3、 物理学中的玻意耳定律 p =
高一数学复习知识讲解课件25 单调性与最大(小)值(第1课时) 函数单调性
3.2函数的基高一数学复习知3.2.1单调性与最大函数单调数的基本性质复习知识讲解课件最大(小)值(第1课时)数单调性在区间D上单调递增在区间D上单调递减要点2 函数的单调区间如果函数y ＝f (x )在区间D 上__________这一区间具有_________________，区间注意：(1)函数单调性关注的是整个区间单调递增或(严格的)单调性问题，所以单调区间的端点若属于定义域点不属于定义域则只能开．(2)单调区间D ⊆定义域I .(3)遵循最简原则，单调区间应尽可能大_______________，那么就说函数y ＝f (x )在区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间．个区间上的性质，单独一点不存在单调性递增或单调递减义域，则该点处区间可开可闭，若区间端可能大．3．通过上面两道题，你对函数的单调 答：函数单调性定义中的，必须是x 1x 2时，要注意保持其任意性．的单调性定义有什么新的理解？ 必须是任意的，应用单调性定义解决问题课时学案探究1 (1)证明函数的单调性的常用方是：①取值，在给定区间上任取两个自变量进行代数恒等变形，一般要出现乘积形式根据条件判断f (x 1)－f (x 2)变形后的正负；(2)讨论函数的单调性常见有两种：一种数在定义域的子区间上具有不同的单调性常用方法是利用函数单调性的定义，其步骤自变量x 1，x 2；②作差变形，将f (x 1)－f (x 2)形式，且含有x 1－x 2的因式；③判断符号，；④得出结论．一种是参数对单调性的影响，一种是函调性．思考题2 (1)如图所示为函数f (x )的图________________________，单调递减区间[－1，0]，[1，2]，[3，4] 的图象，其单调递增区间是_________减区间是________________________．[0，1]，[2，3](2)【多选题】设f (x )，g (x )都是单调函数A ．若f (x )单调递增，g (x )单调递增，B ．若f (x )单调递增，g (x )单调递减，C ．若f (x )单调递减，g (x )单调递增，D ．若f (x )单调递减，g (x )单调递减，调函数，则下列命题中正确的是()，则f (x )－g (x )单调递增，则f (x )－g (x )单调递增BC ，则f (x )－g (x )单调递减，则f (x )－g (x )单调递减探究3求函数的单调区间常用方法方法：①图象法；②利用已知函数的单调性；③定义法．课 后 巩 固1．函数y＝x2－6x＋10在区间(2，A．减函数C．先减后增函数4)上是()B．增函数CD．先增后减函数2．设(a ，b )，(c ，d )都是函数f (x )的单调d )，x 1<x 2，则f (x 1)与f (x 2)的大小关系是(A ．f (x 1)＝f (x 2) C ．f (x 1)>f (x 2) 的单调递增区间，且x 1∈(a ，b )，x 2∈(c ，)D B ．f (x 1)<f (x 2) D ．不能确定3．函数y ＝|x |－1的单调递减区间为A ．(0，＋∞) C ．(－∞，－1)解析解析 y ＝|x |－1＝x －1，x ≥0，－x －1，x <0，易知( )B ．(－∞，0)B D ．(－1，＋∞)易知其单调递减区间为(－∞，0)．故选B.4．【多选题】已知四个函数的图象如的函数是()BC图象如图所示，其中在定义域内具有单调性自助 餐一、证明单调性的探究1 单调性的证明证明某个函数在给定区间上的单调性明．它的步骤如下：第一步：取值．设x 1，x 2是给定区间上第二步：作差变形．写出差式f (x 1)方等手段，向有利于判断差的符号的方向变形式．第三步：判断符号．根据已知条件，第四步：下结论．根据定义，作出结论调性的方法与技巧调性，最常用的方法就是用定义去证区间上的任意两个自变量的值，且x 1<x 2. －f (x 2)，并且通过提取公因式、通分、配方向变形，一般写成几个最简因式相乘的，确定f (x 1)－f (x 2)的符号． 出结论．(5)图象变换对单调性的影响．①上下平移不影响单调区间，即y ②左右平移影响单调区间．如＝2的减y x 间为(－∞，－1]．③y ＝kf (x )，当k ＞0时单调区间与f (x＝f (x )和y ＝f (x )＋b 的单调区间相同． 的减区间为－∞，，＝＋2的减区(0]y (x 1))相同，当k ＜0时与f (x )相反．例2 已知f (x )>0在R 上恒成立，并且满f (x )>1，求证：f (x )在R 上是增函数．【证明证明】】 设x 1，x 2∈R 且x 1<x 2，则∵x >0时，f (x )>1，∴f (x 2－x 1)>1，又f (x )＞0在R 上恒成立∴f (x 2)＝f ((x 2－x 1)＋x 1)＝f (x 2－x 1)·f (∴f (x )在R 上是增函数． 并且满足f (x ＋y )＝f (x )·f (y )，当x >0时，则x 2－x 1>0，成立，x 1)>f (x 1)．。
高一数学人教版必修1课件：1.3 1.第一课时 函数的单调性
x)，所以
x－2<1－x，解得
3 x<2
②.
由①②得 1≤x<32. [答案] 1，32
[类题通法] 1．上题易忽视函数的定义域为[－1,1]，直接利用单调性得 到不等式 x－2<1－x，从而得出 x<32的错误答案． 2．解决此类问题的关键是利用单调性“脱去”函数符号 “f”，从而转化为熟悉的不等式．若函数 y＝f(x)在区间 D 上是增 函数，则对任意 x1，x2∈D，且 f(x1)<f(x2)，有 x1<x2；若函数 y ＝f(x)在区间 D 上是减函数，则对任意 x1，x2∈D，且 f(x1)<f(x2)， 有 x1>x2.需要注意的是，不要忘记函数的定义域．
由图象可知函数在(－∞，a]和[a，＋∞ )上分别单调，因此 要使函数 f(x)在区间[1,2]上单调，只需 a≤1 或 a≥2(其中当 a≤1 时，函数 f(x)在区间[1,2]上单调递增；当 a≥2 时，函数 f(x)在区 间[1,2]上单调递减)，从而 a∈(－∞，1]∪[2，＋∞)．
[类题通法] “函数的单调区间为 I”与“函数在区间 I 上单调”的区别 单调区间是一个整体概念，说函数的单调递减区间是 I，指 的是函数递减的最大范围为区间 I.而函数在某一区间上单调，则 指此区间是相应单调区间的子区间．所以我们在解决函数的单调 性问题时，一定要仔细读题，明确条件含义．
由函数的单调性求参数的取值范围 [例 3] (1)已知 y＝f(x)在定义域(－1,1)上是减函数，且 f(1 －a)<f(2a－1)，则 a 的取值范围是________． (2)已知函数 f(x)＝x2－2ax－3 在区间[1,2]上单调，求实数 a 的取值范围．
(1)[解析]由题意可知－－11<<12－a－a<1<1，1
函数的单调性课件-2022-2023学年高一上学期数学苏教版(2019)必修第一册
（3）最大（小）值定义中的“存在”是说定义域中至少有一个实数使等号成立，也就是说y＝f（x）的图象与直线y＝ f（x0）
至少有一个交点.
高中数学
示例
必修第一册
配套江苏版教材
1 + 2 +
＝
1 + 2 +
则f（x1）-f（x2）＝
1+
−
1 +
- 1+
−
2 +
＝
− −
− 2 −1
＝
1 + 2 +
1 + 2 +
.
∵ a>b>0，x2>x1>-b，∴ a-b>0，x2-x1>0，x2+b>0，x1+b>0，
∴ f（x1）-f（x2）>0，即f（x1）>f（x2），
f（x）在［0，a］上单调递减，在［a，2］上单调递增，
所以f（x）min＝f（a）＝-1-a2，f（x）max＝f（0）＝-1.
（4）当a>2时，由图可知，f（x）在［0，2］上单调递减，
所以f（x）min＝f（2）＝3-4a，f（x）max＝f（0）＝-1.
综 上 ， f （ x ）
−1, < 0,
综上，函数y＝f （x）在（0， ］上是减函数，在［ ，+∞）上是增函数.
高中数学
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【方法总结】
利用定义证明函数单调性的步骤
（1）取值：设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1<x2.
人教版高中数学必修1《函数的单调性》PPT课件
解：函数 f (x) kx b (k 0)的定义域是R．
x1， x2 R，且 x1 x2，则 f (x1) f (x2 ) kx1 b (kx2 b)
k(x1 x2 )． 由 x1 x2，得 x1 x2 0．所以
①当k 0时，k(x1 x2 ) 0．
只要 x1 x2，就有 f (x1) f (x2 )．
追问 3：这里对 x1，x2有什么要求？只取(,0]上的某些数对 是否可以？你能举例说明吗？
追问 3：这里对 x1，x2有什么要求？只取(,0]上的某些数对 是否可以？你能举例说明吗？
所有的 x1 x2，有 f (x1) f (x2 )．
你能由例 1、例 2 的证明过程，归纳一下用单调性定义研究或证 明一个函数在区间 D上的单调性的基本步骤吗？
证明函数在区间 D 上的单调性的基本步骤：
证明函数在区间 D 上的单调性的基本步骤： 第一步，在区间 D上任取两个自变量的值 x1，x2 D，并规定 x1 x2；
证明函数在区间 D 上的单调性的基本步骤： 第一步，在区间 D上任取两个自变量的值 x1，x2 D，并规定 x1 x2；
V
于一定量的气体，当其体积V 减小时，压强 p将增大，试对此用函数
的单调性证明．
例 2 物理学中的玻意耳定律 p k （k 为正常数）告诉我们，对
V
于一定量的气体，当其体积V 减小时，压强 p将增大，试对此用函数 的单调性证明．
思考:“体积V 减小时，压强 p增大”的含义？
例 2 物理学中的玻意耳定律 p k （k 为正常数）告诉我们，对
解：函数 f (x) kx b (k 0)的定义域是R．
x1， x2 R，且 x1 x2，则 f (x1) f (x2 ) kx1 b (kx2 b)
高一数学必修一函数的基本性质(单调性)精品PPT课件
观察图像变化规律
图像在对称轴左边呈下降， 在对称轴后边呈下降趋势。
x
y
O
x
y
O
x
y
O
自变量递增，函数递减
x
y
O
x
y
O
x
y
O
自变量递增，函数递增
增函数、减函数的概念：
增函数、减函数的概念：
一般地，设函数f(x)的定义域为I.
1.如果对于定义域I内的某个区间上的任意 两个自变量的值x1, x2，当x1＜x2时，都有 f(x1)＜f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是 增函数.
2．两种方法：
判断函数单调性的方法 有图象法、定义法． 下一课时我们会重点练习
课堂小结
1．阅读教材P.27 -P.30； 2．教材课后练习：1、2、3.
课后作业
谢谢欣赏
一般地，设函数f(x)的定义域为I.
增函数、减函数的概念：
函数最大值→图像最高点
一般地，设函数y=f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足： （1）对于任意的x∈I，都有f（x）≤M （2）存在x0∈I，使得f（x0）=M. 那么我们称M是函数y=f（x）的最大值 .
函数最小值→图像最低点
一般地，设函数y=f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足： （1）对于任意的x∈I，都有f（x）≥M （2）存在x0∈I，使得f（x0）=M. 那么我们称M是函数y=f（x）的最小值 .
-2
3
2
1
-1
y
-3
-4
4
O
x
2
-2
3
1
-3
-1
高中数学 第三章 函数概念与性质 3.2.函数的单调性课件 a高一第一册数学课件
则函数y=x+ 的a 单调增区间(qū jiān)是(-∞，- ]和a[ ，+∞)，a 单调减区间是 x
(- ，a0)和(0， ). a (2)若a<0，其图象如图2所示，
函数y=x+ 在a (-∞，0)和(0，+∞)上均单调递增，即y=x+ 的单调增区间a
为(-∞，0)和x(0，+∞).
x
12/8/2021
第1课时 函数(hánshù)的单调性
12/8/2021
第一页，共四十八页。
必备知识·自主(zìzhǔ)学习
导 1.怎样描述函数的图象上升、下降的性质？ 思 2.什么是函数的单调区间？
1.函数(hánshù)的单调性 (1)定义
函数
增函数
减函数
图示
条件 设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I：如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，
12/8/2021
第十六页，共四十八页。
类型二 利用定义证明函数(hánshù)的单调性(数学抽象、逻辑推理)
【典例】证明函数f(x)= 在区间1 (2，+∞)上单调递减. x2 4
四步
内容
理解 题意
条件：函数f(x)= ，1x∈(2，+∞)
x2 4
结论：函数f(x)在(2，+∞)上单调递减
思路 任取x1，x2∈(2，+∞)，且x1<x2⇨f(x1)>f(x2)⇨函数在(2，+∞)上单 探求 调递减
12/8/2021
第九页，共四十八页。
3.(教材二次开发：例题改编(gǎibiān))若函数f(x)=(2k-1)x+1是减函数，则实数k的取值范围是
3.2.1函数的性质单调性说课课件高一上学期数学人教A版
只要x1 x2,就有f (x1) f (x2 )
六、 教学过程
情境创设
思考: 这里对x1, x2有什么要求？只取 0， 上的某些数是否可以？ 请举例说明
六、 教学过程 画出函数f(x)=x2的图象，观察其变化规律：
情境创设
当x≥0时,y随x的增大而增大
y
x
… 1 2 3 4…
f (x) = x2 … 1 4 9 16 …
学情分析 教学目标 教学重难点 教学方法 教学过程 板书设计 教学反思
四、教学重难点
重点：函数单调性定义的符号语言刻画。
难点：归纳函数单调性的定义及用定义 证明函数的单调性。
学情分析 教学目标 教学重难点 教学方法 教学过程 板书设计 教学反思
五、教学方法
教师为主导
启发 引导 点拨
通过活动 创设情境
y
y x 1
y x2 y
O
x
O
x
增函数、减函数是针对的是函数的整个定义域，是函数的整体性质， 而函数的单调 性是对定义域下的某个区间，是函数的局部性质. 一个函数在定义域下的某个区间具有单调性，但在整个定义域上不一定具有单调性.
六、 教学过程
概念剖析
六、 教学过程
例题解析
例题探究---证明函数的单调性 例1. 根据定义，研究函数f(x)=kx+b(k≠0)的单调性.
当x从1增到2, f (x)则从1增大到4;
O
x
当x从2增到3, f (x)则从4增大到9; 当x从3增到4, f (x)则从9增大到16;
……
思考: 你觉得更严格的表达应该是怎样的？
六、 教学过程 画出函数f(x)=x2的图象，观察其变化规律：
高一数学 单调性 反函数
黄冈中学高一数学 函数的单调性 反函数1、函数的单调性:（1）设函数y=f(x)的定义域是M ，区间D 是M 的一个子集，若对于当x 1＜x 2时，恒有f(x 1)＜f(x 2)成立，则称函数y=f(x)在区间D 上是单调递增函数．（2）设函数y=f(x)的定义域是M ，区间D 是M 的一个子集，若对于当x 1＜x 2时，恒有f(x 1)＞f(x 2)成立，则称函数y=f(x)在区间D 上是单调递减函数．（3）单调函数：单调递增函数与单调递减函数统称为单调函数.若y=f(x)在区间D 上为单调函数，则称D 是这个函数的单调区间．2、单调函数的基本性质:（1）y=f(x)在区间I 上是单调递增（减）函数，c ，d 都是常数，则y=cf(x)+d 在I 上也是单调函数．若c ＞0，y=cf(x)+d 在I 上是单调递增（减）函数；若c ＜0，y=cf(x)+d 在I 是单调递减（增）函数．（2）若函数y=f （x ）与y=g （x ）在区间I 上同为单调递增（减）函数，则y=f(x)+g(x)在I 上也是单调递增（减）函数．（3）u=g(x)在区间(a,b)上为增（减）函数，y=f(u)在(g(a),g(b))(或(g(b), g(a)）)上为增（减）函数，则y=f(g(x))在（a ，b ）上为增函数．（4）u=g(x)在（a ，b ）上为增（减）函数，y=f(u)在(g(a)，g(b))(或（g(b)，g(a)））上为减（增）函数，则y=f(g(x))在（a ，b ）上为减函数．3、一次函数，反比例函数和二次函数的单调性函数 y=ax＋b(a≠0)y=(a≠0) y=ax 2＋bx ＋c(a≠0) 单调区间 (－∞,＋∞)(－∞,0) (0,＋∞) (－∞,－] [－,＋∞) 单调性 a>0 增函数 减函数 减函数 减函数 增函数 a<0 减函数 增函数 增函数 增函数 减函数4、反函数的概念：（1）只有自变量x 与其对应的函数值y 是一一对应的函数才存在反函数，反函数的对应法则是原函数对应法则f 的逆对应，反函数的定义域、值域分别是原函数的值域、定义域．（2）互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称，即点（a，b）在y=f(x)的图象上，则点（b，a）必在y=f－1(x)图象上.（3）互为反函数的两个函数具有相同的单调性．5、反函数的性质:（1）y =f－1(x)是y=f（x）的反函数，则y=f（x）也是y =f－1(x)的反函数，即y=f(x)和y =f－1(x)互为反函数．（2）函数y=f(x)存在反函数的充要条件是函数y=f(x)是定义域到值域的一一映射．（3）函数y=f(x)和反函数y =f－1(x)的定义域，值域互换，即函数y =f－1(x)函数y=f(x)定义域 A C值域 C A6、互为反函数的图象关系:函数y=f(x)的图象和它的反函数y =f－1(x)的图象关于直线y=x对称．7、反函数与原函数的其它性质和联系:1）反函数与原函数 f[f-1(x)]=x，f－1[f(x)]=x注：f－1 [f－1(x)]）并不是反函数的反函数，而是y=f－1(x)与自身形成的复合函数，谨防出现f－1 [f－1(x)]=f(x)的错误作法.（2）反函数与单调性:如果函数y=f(x)有单调性，则反函数y=f－1(x)也有与y=f(x)一致的单调性，即y=f(x)在[a，b]上为增函数，则y=f－1(x)在[f(a)，f(b)]上为增函数；y=f(x)在[a，b]上为减函数，则y=f－1(x)在[f(b)，f(a)]上为减函数．8、复合函数的单调性::复合函数y=f[g(x)]的单调性规律是“同则增，异则减”，即f(u)与g(x)若具有相同的单调性，则f[g(x)]必定是增函数，若具有不同的单调性，则f[g(x)]必定是减函数，讨论复合函数单调性的步骤是：（1）求出复合函数的定义域；（2）把复合函数分解成若干个常见的基本函数，并判定其定义域；（3）把中间变量的变化范围转化为自变量的变化范围；（4）根据上述复合函数的单调性规律判定其单调性.三、方法指导1、判定函数单调性的方法:（1）定义法：根据函数单调性的定义进行证明，其步骤如下：第一步：取值．即设x1、x2是该区间内的任意两个值，且x1＜x2.第二步：作差变形．即作差f(x1)-f(x2)，并通过因式分解，配方，有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形．第三步：定正负．确定差f(x1)-f(x2)的正负，当正负不确定时，可以进行分区间讨论．第四步：判断．根据定义作出结论．即“取值——作差变形——定正负——判断”这几个步骤．（2）直接法：运用已知的结论，直接得到函数的单调性．如一次函数，二次函数，反比例函数的单调性均可直接说出，注意了解以下一些结论，对于直接判断函数的单调性有好处：①函数y=-f(x)与函数y=f(x)的单调性相反．②当f(x)恒为正或恒为负时，函数的单调性相反．③在公共区间内，增函数+增函数=增函数，增函数-减函数=增函数等．（3）图象法：根据函数的图象进行判断．例1、讨论函数（x>0）的单调性.例2已知f(x)=8+2x-x2， g(x)=f(2-x2)，试求g(x)的单调区间．例3、已知函数（－5≤x≤0），点P（－2，－4）在它的反函数的图象上.（1）求f(x)的反函数f－1（x）；（2）证明f－1（x）在其定义域上是减函数.例4、求函数的值域例5、已知函数y=kx＋b的图象过(1，2)点，它的反函数f-1(x)的图象过(4，0)点，求函数f(x)的解析式.例6、设f(x)的定义域为（0，＋∞），且对一切x、y>0，都有=f(x)－f(y)，当x>1时，有f(x)>0.（1）求f(1)的值；（2）判断f(x)的单调性并证明；（3）若f(6)=1，解不等式.。
高一数学函数单调性的性质
（1）求证：f ( x)是R上的增函数；
（2）若f (4) 5，解不等式f (3m m 2) 3
；
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来到集市上，我摆上新鲜的蔬菜。 三三两两的人开始光顾我的菜摊儿，渐渐地人越来越多，他们观赏起每一样新鲜的蔬菜来。有的人拿起圆圆的大菜椒看 来看去，也有的人拿起长长的辣椒脸上露出疑惑不解的神态。 村里的马老爷子却拿起又嫩又鲜的蒜薹好奇地问：“苏林，这蒜薹是哪儿来的？这样的季节怎么会有这种又鲜又嫩的蔬 菜？” 说起马老爷子，他是我们这一带最早的中学教师，教过一级又一级的山里孩子，我也跟他上过三年高中，深知他的为人。 俗话说秀才不出门全知天下事，马老爷子见多识广，为人正直，大家都很尊敬他。 我看着马大伯，所有人的眼光却投向了我，期待我的回答。 “马大伯，你是中学教师，想必你一定知道冷库的储存与保鲜作用„„” 马老爷子立即打断了我的话，发自肺腑的感叹，“只在书上看过，实物还是第一次见，真没想到冷库的保鲜效果如此得 好，简直就像刚刚从地里打出来似的。” 马老爷子抽出一根蒜薹，用手折断放到嘴里慢慢地嚼了嚼，“好！味道不错，称上二斤!” 在马老爷子的带头下，人们开始各自称起他们需要的菜来，我顿时忙得不亦乐乎。 妻子知道我是个门外汉，掌起称来远远不及她灵活，所以她让我去收钱，自己一个人应付起所有的顾客来。从谈菜价到 称称，无论是对待年轻的还是上了岁数的，她总是面带微笑百问不厌，她的耐心使我感到她很伟大，她的胸怀很宽 广„„ 这时，来了两个中年人，把摩托车停在菜摊儿前，他们急急火火地拿上了青椒、辣椒、芫荽和蒜薹等蔬菜，顺便打了个 欠条递给我，骑上摩托车笑着对我说：“掌柜的，明天进货时要进些新鲜的南方菜我到集上去找你。” 还没等我回过神儿来，他们便驱车而去。 “摊上这样的大客户，你们要发大财了„„”突然有人叫了起来。 我看看妻子，又看了看手中的欠条。 “把欠条收好，这人我认识，他是镇政府食堂的小杨，负责后勤工作„„这钱以后我跟他要„„”妻子跟他很熟，以 前他经常买妻子的蘑菇。
高一数学必修1函数的单调性
讨论函数f(x)＝
(a≠0，－1＜x＜1)的单调性.
解：设－1＜x1＜x2＜1，
那么f(x1)－f(x2)＝
＝
.
∵－1＜x1＜x2＜1， ∴|x1|＜1，|x2|＜1，x2－x1＞0，
－1＜0， －1＜0，|x1x2|＜1， 即－1＜x1x2＜1，∴x1x2＋1＞0.
∴
＞0.
因此，当a＞0时，f(x1)－f(x2)＞0. 即f(x1)＞f(x2)，此时函数f(x)在(－1,1)上为减函数； 当a＜0时，f(x1)－f(x2)＜0， 即f(x1)＜f(x2)，此时函数f(x)在(－1,1)上为增函数.
讨论函数f(x)＝ [思路点拨]
(a＞0)的单调性.
[课堂笔记] ∵f(x)＝
，
∴函数的定义域为{x|x∈R且x≠1}.
法一：(定义法)任取x1，x2∈R，且x1，x2均不为1，x1＜x2
，
那么f(x1)－f(x2)＝(a＋
)－(a＋
)
＝
＝
.
①设x1＜x2＜1，x1－1＜0，x2－1＜0，x2－x1＞0，a＞0， ∴f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2). ②设1＜x1＜x2，x2－1＞0，x1－1＞0，x2－x1＞0，a＞0， ∴f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2). ∴函数f(x)在(－∞，1)和(1，＋∞)上均为减函数.
答案：D
4. y ＝ 的递减区间是
区间是
.
，y＝
的递减
解析：y＝
＝
＝－1＋
,
∴y＝
的递减区间是(－1，＋∞)和(－∞，－1).
要使函数y＝
有意义，那么
≥0，且1＋x≠0，
∴－1＜x≤1
高一数学导数与函数的单调性与极值
高一数学导数与函数的单调性与极值函数的单调性和极值是数学中的重要概念，对于理解函数的性质和解决实际问题都具有重要意义。
在这篇文章中，我们将探讨高一数学中导数与函数的单调性和极值的概念、性质及其应用。
一、导数与函数的单调性函数的单调性是指函数在定义域上的变化趋势。
在数学中，导数是描述函数变化率的重要工具。
1.1 导数的定义对于函数 y=f(x)，若函数在点 x0 处可导，则导数 f'(x0) 的定义如下：f'(x0) = lim(h->0) [f(x0+h) - f(x0)] / h其中，lim 表示极限，h 为自变量的增量。
1.2 单调性的判定通过导数的符号来判断函数的单调性：若在某一区间内，f'(x)>0，函数单调递增；若在某一区间内，f'(x)<0，函数单调递减；若在某一区间内，f'(x)=0，函数在该区间内可能有极值点。
1.3 单调性的应用函数的单调性在实际问题的建模和求解中具有重要应用，例如在经济学中，可以利用函数的单调性来研究供求关系、市场行为等问题。
在求解最优化问题时，函数的单调性也是一个重要考虑因素。
二、导数与函数的极值函数的极值包括最大值和最小值，用于描述函数的局部极限。
2.1 极值点的定义对于函数 y=f(x)，若存在 a，使得 f(a) 是函数在该点上的最大值或最小值，则称 a 为函数的极值点，而 f(a) 称为函数的极值。
2.2 极值点的判定通过导数的性质来判断函数的极值点：1) 若 f'(x) 在 a 点两侧变号，则 a 点是函数的极值点；2) 若 f'(x) 在 a 点两侧保持符号相同，则 a 点不是函数的极值点。
2.3 极值点的应用函数的极值在实际问题的求解中起着重要的作用。
例如，在工程中优化设计问题，可以通过求解函数的极值来找到最优解。
在生物学中，可以利用极值点来研究生物体的最佳生长环境。
总结：通过学习导数与函数的单调性和极值，我们可以更深入地理解函数的性质和变化趋势。
高一函数的性质知识点
高一函数的性质知识点（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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高中数学必修一课件 第一章集合与函数概念 1.3.1.1 函数的单调性
[规律方法] 1.本题逆用函数单调性，将函数值的不等关系，转 化为与之等价的代数不等式组，但一定注意定义域．
2．设x1，x2∈D，且x1＜x2： (1)f(x1)＜f(x2)⇔f(x)在D上是增函数； (2)f(x1)＞f(x2)⇔f(x)在D上是减函数．
【活学活用 3】 已知函数 f(x)的定义域为[－2,2]，且 f(x)在区 间[－2,2]上是增函数，f(1－m)＜f(m)，求实数 m 的取值范围． 解 ∵f(x)在[－2,2]上是增函数，且 f(1－m)＜f(m)，
类型二 求函数的单调区间 【例 2】 画出函数 y＝－x2＋2|x|＋1 的图象并写出函数的单调 区间． [ 思 路 探 索 ] 去绝对值 → 化为分段函数 → 作图象 → 求单调区间
解 y＝－－xx22＋－22xx＋＋11，，xx≥＜00，， 即 y＝－ －xx－ ＋1122＋ ＋22， ，xx≥ ＜00，. 函数的大致图象如图所示，单调增区间为(－∞，－1]，[0,1]， 单调减区间为[－1,0]，[1，＋∞)．
高一数学必修一
第一章 集合与函数概念 1．3 函数的基本性质
1．3.1 单调性与最大(小)值 第1课时 函数的单调性
【课标要求】 1．理解函数的单调性的概念． 2．掌握判断函数单调性的一般方法． 【核心扫描】 1．单调性的概念．(重点、难点) 2．判断函数的单调性及函数单调性的应用．(重点)
新知导学 1．定义域为I的函数f(x)的增减性
探究点3 若函数f(x)在定义域内的两个区间A、B上都是减(增) 函数，你能认为f(x)在区间A∪B上是减(增)函数吗？ 提示 不能．如f(x)＝在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上 也是减函数，但不能说它在定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)上是 减函数，如取x1＝－1＜1＝x2，有f(－1)＝－1＜1＝f(1)，不 满足减函数．
高一数学函数单调性的性质
知识探究（一）
思考2：若函数f (x)在区间D上为增
函数a， 0 为常数，则函数a f (x)
afx)在区间D上
都是增函数，则函数 f (x) g(x)、 f (x) g(x)在区间D上的单调性
能否确定？
问题提出
思考：函数 f (x) kx b 是单调函数吗
若 f (x1) f (x2 ) 0 ，
x1 x2
则函数 f (x)在区间D上的单调性如何？
若 f (x1) f (x2 ) 0 呢？
x1 x2
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；
走，心中有一份心安理得的坦然。。 一种令人怅然以致走入恐惧的想像，像雾霭一般不可避免地缓缓升起，模糊了我们的来路和去处，令人不得不断然打住思绪。我们的生命，端坐于概率垒就的金字塔的顶端。面对大自然的鬼斧神功，我们还有权利和资格说我不重要吗？ 你的身体是跟 随你终身的好朋友，在它那里，居住着你自己的灵魂。如果它粉碎了，你所有的理想都成飘萍。身体是会报复每一个不爱惜不尊重它的人的。如果你浑浑噩噩地摧残它，它就会冷峻地给你一点颜色看。一旦它衰微了，你将丧失聪慧的智力和充沛的体力，难以自强自立于世。。 很多东西， 不是因为它的价值高或是身世奇特我们才珍视它，是因为它其中蕴含了我们太多的心意和太久的眷恋。 如果一个人把自己的血液和骨髓捐献出来帮助别人，那么这个人的一生就超越了自我，被放大成人类最美丽的故事，成为一种充满勇敢和友爱的慈悲。。 我们有幸成为这颗星球上最高 等智慧的人类当中的一员，我觉得有一种使命感，就是要把自己的生命充分利用起来。这些是什么人告诉我的？如果一定要说是谁告诉我的，那我想是严酷的自然告诉我的，对生命的一份短暂的珍贵。 沙尘暴里也有鱼的种子 ?很多人衣橱里的婚纱还熠熠生辉,婚姻已被蠹出千疮百孔。到 底哪
08.高一寒假数学讲义：函数的单调性(定义法、图象法、性质法)(应用)【讲师版】
高一寒假数学讲义“函数的单调性（定义法、图象法、性质法）（应用）”学生姓名 授课日期 教师姓名授课时长这一部分知识一般是综合题中最基本的组成部分，先有正确的判断才会有后面一系列顺利的解题，所以相当重要。
函数的单调性1．函数的单调性我们把自变量在定义域中逐渐增加时，函数值逐渐增加(或减小)的性质叫做函数的单调性．对于某个区间上的自变量的任意两个值21,x x 当21x x <时，都有)()(21x f x f <，则函数)(x f 在这个区间上是增函数。
这个区间叫做函数)(x f 的单调增区间．对于某个区间上的自变量的任意两个值21,x x 当21x x <时，都有)()(21x f x f > 则函数)(x f 在这个区间上是减函数，这个区间叫做函数)(x f 的单调减区间．2．常见函数单调性的判断有关单调函数，我们还可以证明以下一些重要结论：(1)若函数y =f (x )和y =g (x )在公共区间A 内都是增(减)函数，则函数y =f (x )+g (x )在A 内是增(减)函数．(2)若两个正值函数y =f (x )和y =g (x )在公共区间A 内都是增(减)函数，则函数y =f (x )•g (x )在区间A 内也是增(减)函数．(3)若两个负值函数y =f (x )和y =g (x )在公共区间A 内都是增(减)函数，则函数y =f (x )•g (x )在区间A 内是减(增)函数．3．复合函数单调性的判断设有函数y =f (u ),及u =g (x ),则我们称形如y =f [g(x)]的函数是复合函数，例如32)(2-+=x x x f 以看作是由u y =和322-+=x x u 复合而成的复合函数，像这样的函数有很多，其中u =g (x )又称之为内层函数，y =f (u ),称之为外层函数．有关复合函数的单调性，我们很容易证明以下结论(证明留给读者自己完成)(见下表)。
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[单选,A1型题]喜笑不休，心神不安，精神涣散，思想不集中，属于（）。A.喜证B.怒证C.忧思证D.悲恐证E.惊证 [单选]测血压时，应该注意A.测量时血压计"0"点与心脏、肱动脉在同一水平B.固定袖带时应紧贴肘窝，松紧能放入一指为宜C.听诊器胸件应塞在袖带内便于固定D.测量前嘱患者先休息10～20分钟E.放气速度应慢，约2mmHg／s [单选]下列银行结算账户中，不能支取现金的是()。A.党、团、工会经费专用存款账户B.个人银行结算账户C.预算单位零余额账户D.单位银行卡账户 [问答题,简答题]交叉杆擦伤深度、全长范围内弯曲的运用限度是多少？ [填空题]直流系统发生（）接地时，其负极对地电压降低，而正极对地电压升高。 [单选,A2型题,A1/A2型题]关于颅脑MRI技术叙述错误的是（）A.增强检查，注射对比剂后行T2WI成像B.增强扫描常用对比剂为顺磁性对比剂Gd-DTPAC.常规颅脑扫描横断位成像应在正中矢状位像上定位D.层厚4～8mm，层间距取层厚的10%～50%E.血管性病变常做平扫加血管成像 [填空题]安全带日常检查的内容有：（）。 [单选]低血容量时，肾的生理改变是A.肾血流明显降低B.肾小球后动脉收缩C.肾小球前后动脉收缩D.肾血流出现选择性再分布E.以上均是 [单选]下列不属于短期借款信用条件的是（）。A.信用额度B.周转信用协议C.借款抵押D.收账期限 [多选]以下说法正确的是（）。A.所出为井B.所注为荥C.所溜为输D.所行为经E.所进为合 [单选]夜间行车，车速在30公里／小时以上，应使用（）。A、远光灯B、防雾灯C、近光灯 [单选]通过遥控器的以下组合操作来操作高清变焦摄像机的变焦（）A、shift键↑+滚转指令→B、shift键↑+俯仰指令↓↑C、shift键↑+滚转指令←D、shift键↑+油门指令↓↑ [单选]高效集约发展区的区域功能是？（）A、强化生态功能，禁止开发建设B、构建生态屏障，严格控制开发C、集聚经济人口，高效集约开发。 [问答题,简答题]生物进化论研究的对象是什么？ [问答题]一个尺寸为33.5×48.5的货盘可承载的最大重量为多少？（地板承载限制76磅/平方英尺货盘重量44磅系留装置27磅） [问答题,简答题]皮肤接触氢氧化钠如何急救？ [单选,A2型题,A1/A2型题]后鼻孔填塞纱球的底部留置丝线主要作用是（）。A.固定纱球B.取出纱球时牵引用C.填塞纱球时牵拉纱球用D.固定于前鼻孔牵拉纱球用E.以上均不正确 [问答题,简答题]什么是“抄表段”？ [单选,A2型题,A1/A2型题]以下关于骨髓的描述正确的是（）A.全部位于长骨的骨髓腔内B.黄骨髓有造血功能C.胎儿和幼儿无黄骨髓只有红骨髓D.黄骨髓主要成分为水E.红骨髓不会转变为黄骨髓 [单选]为提高奥氏体型不锈钢的屈服强度，应采用的强化方法为（）。A．冷变形B．正火C．淬火D．酸洗与钝化 [单选,A2型题,A1/A2型题]下列代谢过程不能直接补充血糖的是（）A.肝糖原分解B.肌糖原分解C.食物糖类的消化吸收D.糖异生作用E.肾小球的重吸收作用 [单选]英版海图图式“Cy”表示（）。A．贝壳B．黏土C．珊瑚D．泥 [判断题]测定水的色度的铂钴比色法与稀释倍数法应独立使用，两者一般没有可比性。A.正确B.错误 [单选,A2型题,A1/A2型题]不属于人格的投射类测验的是（）A.洛夏墨迹测验B.主题统觉测验C.霍兹曼墨迹测验D.词语联想测验E.范畴测验 [单选,B1型题]分泌性中耳炎鼓膜造孔术常用（）。A.氩离子激光B.准分子激光C.半导体激光D.CO2激光E.Nd：YAG激光 [单选]产妇，28岁，分娩时产后出血达1000mL，现产后11个月尚未见月经来潮，无乳汁分泌，自觉畏寒，周身无力，毛发脱落明显，性欲减退。本例闭经原因最可能为（）。A.子宫性闭经B.卵巢功能减退C.垂体功能低下D.下丘脑性闭经E.甲状腺功能低下 [填空题]回转窑密封装置的基本型式有（）、（）、（）和（）四种。 [单选,A1型题]公卫医师何某在取得医师资格证书和执业许可证后的一年里，擅自从事婚前医学检查、遗传病诊断和产前诊断，虽经卫生行政部门制止，仍不改正，并又施行终止妊娠手术。依据《母婴保健法》规定，应对何某给予的行政处罚是（）A.处以罚款B.没收违法所得C.没收非法财物D.吊 [单选,A2型题,A1/A2型题]注意缺陷多动障碍的康复，不包括（）A.认知训练B.言语治疗C.感觉统合训练D.疏泄和行为矫正疗法E.为父母和教师提供咨询 [问答题,案例分析题]病例摘要：杜某，女，59岁，已婚，退休，于2013年3月21日就诊。患者于2年前与家人争吵后出现间断性头痛，伴头晕，无肢体活动障碍及语言不利，当时测血压高于正常值，患者经休息症状好转。此后上述症状间断出现，最高血压195/110mmHg，多次测量血压均高于正常值 [单选]上颌窦内靠下壁的半圆形软组织影边缘光滑，直径1.0～1.5cm，窦腔内其余部分无异常，最可能的诊断是()A．息肉B．黏液囊肿C．黏膜囊肿D．血管瘤E．正常变异 [填空题]当高层建筑与相连的裙房之间不设置沉降缝和后浇带时，应进行（）验算。 [单选]下列选项中不属于配送中心主要功能的是（）。A.储存功能B.分拣功能C.配送功能D.计划功能 [单选,A2型题,A1/A2型题]致溶血现象的抗血细胞抗体检测主要用于何种类型超敏反应的检测（）。A.Ⅰ型B.Ⅱ型C.Ⅲ型D.Ⅳ型E.Ⅴ型 [填空题]拆除接地线时应拆（）后拆（）。 [单选]企业月末在产品数量较多、各月在产品数量变化不大时，最适宜将产品生产费用在完工产品和月末在产品之间分配的方法是()。A.定额比例法B.不计算在产品成本法C.约当产量比例法D.在产品按固定成本计算法 [问答题,简答题]列车机车与第一辆车的车钩、软管摘解是怎样规定的？ [名词解释]二众 [单选]胰位于十二指肠的弯曲中，其内分泌部又名胰岛，下列选项中不是胰岛分泌的是？（）A、胰岛素B、胰液C、胰高血糖素 [单选,A2型题,A1/A2型题]以下不是长骨的是（）A.腓骨B.肋骨C.跖骨D.掌骨E.指骨