管理运筹学第2章：线性规划专题
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管理运筹学第二章 线性规划的图解法
B、约束条件不是等式的问题：
若约束条件为 ai1 x1+ai2 x2+ … +ain xn ≤ bi 可以引进一个新的变量si ，使它等于约束右 边与左边之差 si=bi–(ai1 x1 + ai2 x2 + … + ain xn ) 显然，si 也具有非负约束，即si≥0， 这时新的约束条件成为 ai1 x1+ai2 x2+ … +ain xn+si = bi
第二章 线性规划 的图解法
一、线性规划的概念 二、线性规划问题的提出 三、线性规划的数学模型 四、线性规划的图解法 五、线性规划解的情况 六、LP图解法的灵敏度分析
一、线性规划的概念
线性规划Linear Programming 简称LP，是一 种解决在线性约束条件下追求最大或最小的 线性目标函数的方法。 线性规划的目标和约束条件都可以表示成线 性的式子。
max z 3 x1 2 x2
2 x1 x2 ≤ 10 设备B台时占用 s.t. x1 x2 ≤ 8 x , x ≥ 0 产量非负 1 2
决策变量 （decision variable） 目标函数 （objective function） 约束条件 （subject to）
-ai1
x1-ai2 x2- … -ain xn = -bi 。
例1.3：将以下线性规划问题转化为标准形式 Min f = 3.6 x1 - 5.2 x2 + 1.8 x3 s. t. 2.3 x1 + 5.2 x2 - 6.1 x3 ≤15.7 4.1 x1 + 3.3 x3 ≥8.9 x1 + x2 + x3 = 38 x 1 , x 2 , x3 ≥ 0
128499-管理运筹学-第二章线性规划-习题
128499-管理运筹学-第⼆章线性规划-习题11（2），12,14,18 习题2-1 判断下列说法是否正确：（1）任何线性规划问题存在并具有惟⼀的对偶问题； T （2）对偶问题的对偶问题⼀定是原问题；T（3）根据对偶问题的性质，当原问题为⽆界解时，其对偶问题⽆可⾏解，反之，当对偶问题⽆可⾏解时，其原问题具有⽆界解；F（4）若线性规划的原问题有⽆穷多最优解，则其对偶问题也⼀定具有⽆穷多最优解；（5）若线性规划问题中的b i ，c j 值同时发⽣变化，反映到最终单纯形表中，不会出现原问题与对偶问题均为⾮可⾏解的情况；（6）应⽤对偶单纯形法计算时，若单纯形表中某⼀基变量x i <0，⼜x i 所在⾏的元素全部⼤于或等于零，则可以判断其对偶问题具有⽆界解。
（7）若某种资源的影⼦价格等于k ，在其他条件不变的情况下，当该种资源增加5个单位时，相应的⽬标函数值将增⼤5k ；（8）已知y i 为线性规划的对偶问题的最优解，若y i >0，说明在最优⽣产计划中第i 种资源已经完全耗尽；若y i =0，说明在最优⽣产计划中的第i 种资源⼀定有剩余。
2-2将下述线性规划问题化成标准形式。
≥≥-++-≤+-+-=-+-+-+-=⽆约束43214321432143214321,0,,232142224.5243max )1(x x x x x x x x x x x x x x x x st x x x x z2-3分别⽤图解法和单纯形法求解下述线性规划问题，并对照指出单纯形表中的各基可⾏解对应图解法中可⾏()≥≤≤-+-=++-+-=⽆约束321321321321,0,0624.322min 2x x x x x x x x x st x x x z 域的哪⼀顶点。
()≥≤+≤++=0,825943.510max 121212121x x x x x x st x x z ()≥≤+≤++=0,24261553.2max 221212121x x x x x x st x x z 2-4已知线性规划问题，写出其对偶问题：543212520202410max x x x x x z ++++=≥≤++++≤++++057234219532..5432154321j x x x x x x x x x x x t s≥≥+≥+≥+++≥++0226332..31434321421j x x x x x x x x x x x x t s≥≤≤-+-=++-⽆约束321321321,0,064..x x x kx x x x x x t s （1）(2)2-5运⽤对偶理论求解以下各问题：（1）已知线性规划问题：其最优解为（a ）求k 的值；（b ）写出并求出其对偶问题的最优解。
管理运筹学第二章线性规划的图解法
02
图解法的基本原理
图解法的概念
图解法是一种通过图形来直观展示线性规划问题解的方法。它通过在坐标系中绘 制可行域和目标函数，帮助我们理解问题的结构和最优解的位置。
图解法适用于线性规划问题中变量和约束条件较少的情况，能够直观地展示出最 优解的几何意义。
图解法的步骤
确定决策变量和目标函数
明确问题的决策变量和目标函数，以便在图 形中表示。
目标函数是要求最小化或最大化的函数，通常表示为 $f(x) = c_1x_1 + c_2x_2 + ldots + c_nx_n$。
04
约束条件是限制决策变量取值的条件，通常表示为 $a_1x_1 + a_2x_2 + ldots + a_nx_n leq b$或 $a_1x_1 + a_2x_2 + ldots + a_nx_n = b$。
LINDO是一款开源的线性规划求解器，用 户可以免费使用。
软件工具的使用方法
Excel
用户需要先在Excel中设置好线性规划模型，然后使 用“数据”菜单中的“规划求解”功能进行求解。
Gurobi/CPLEX/LINDO
这些软件通常需要用户先在软件界面中输入线性规划 模型，然后通过点击“求解”按钮进行求解。
实例三：分配问题
总结词
分配问题是指如何根据一定的分配原则 或目标，将有限的资源分配给不同的需 求方，以最大化整体效益。
VS
详细描述
分配问题在实际生活中广泛存在，如物资 分配、任务分配等。通过图解法，可以将 分配问题转化为线性规划模型，并利用图 形直观地展示最优解的资源分配方案。在 分配问题中，通常需要考虑不同需求方的 重要性和优先级，以及资源的有限性等因 素，以实现整体效益的最大化。
管理运筹学_第二章_线性规划的图解法
线性规划中超过约束最低限的部分，称为剩余量。 记s1,s2为剩余变量，s3为松弛变量，则s1=0, s2=125,
s3=0，加入松弛变量与剩余变量后例2的数学模型变为 标准型： 目标函数： min f =2x1+3x2+0s1+0s2+0s3 约束条件： x1+x2-s1=350， x1-s2=125, 2x1+x2+s3=600, x1, x2, s1,s2,s3≥0.
阴影部分的每 一点都是这个线 性规划的可行解， 而此公共部分是 可行解的集合， 称为可行域。
B
X2=250
100
100
300
x1
B点为最优解， X1+X2=300 坐标为（50, 250）， Z=0=50x1+100x2 此时Z=27500。 Z=10000=50x1+100x2 问题的解： 最优生产方案是生产I产品50单位，生产Ⅱ产品250单位，可得 最大利润27500元。
Z=10000=50x1+50x2
线段BC上的所有点都代表了最优解，对应的最优值相 同： 50x1+50x2=15000。
10
3. 无界解，即无最优解的情况。对下述线性规划问题：
目标函数：max z =x1+x2 约束条件：x1 - x2≤1 -3x1+2x2≤6 x1≥0, x2≥0．
x2 -3x1+2x2=6 3
其中ci为第i个决策变量xi在目标函数中的系数， aij为第i个约束条件中第j个决策变量xj的系数， bj(≥0)为第j个约束条件中的常数项。
16
灵敏度分析
灵敏度分析：求得最优解之后，研究线性规划的
运筹学课件 第二章线性规划
2020/11/23
广东工业大学管理学院
10
配料问题：由若干种不同价格、不同成分含量的原料，用 不同的配比混合调配出一些不同规格的产品，在原料的供 应量限制和保证产品成分含量的前提下，如何进行配料来 获取最大利润或使总成本最低。
投资问题：如何从不同的投资项目中选出一个投资方案， 使得投资的回报达到最大。
甲
乙
丙
A B C 加工费
x11 60%以上 x12 20%以下 x13 0.50
x21 15%以上 x22 60%以下 x23 0.40
x31 x32 50%以下 x33 0.30
售价
3.40
2.85
2.25
原料成本 2.00 1.50 1.00
限制用量 2000 2500 1200
设该厂每月生产甲品牌糖果(x11 x12 x13)千克，其中用原料A x11千克，用原料B x12千克，用原料C x13千克; 生产乙品牌糖果(x21 x22 x23)千克，其中用原料A x21千克，用原料B x22千克，用原料C x23千克; 生产丙品牌糖果(x31 x32 x33)千克，其中用原料A x31千克，用原料B x32千克，用原料C x33千克。
设一共植了y棵树，男生中有x1人挖坑, x2人栽树, x3人浇水； 女生中有x4人挖坑, x5人栽树, x6人浇水.
max z y
20x1 10x4 y 0 30x2 20x5 y 0
s.t.
25x3
x1
x2
15x6 x3
y 30
0
x4
x5
x6
20
x1, x2 , x3 , x4 , x5 , x6 , y 0
松弛变量
xs 2 (2x1 3x2 x3)
第2章线性规划的图解法素材
• 这时新的约束条件成为
• ai1 x1+ai2 x2+ … +ain xn – si = bi
管理运筹学- 第二章 线形规划的图解法
20
• 3. 变量无符号限制的问题：
•
• • • •
在标准形式中，必须每一个变量均 为非负变量。当某一个变量 xj 没有非 负约束时，可以令 xj = xj’ – xj” 其中 xj’ ≥ 0，xj” ≥ 0 即用两个非负变量之差来表示一个 无符号限制的变量，当然 xj 的符号取决 于xj’和xj” 的大小。
＝ 8 ＝ 16 ＝ 12
19
管理运筹学- 第二章 线形规划的图解法
•
•
当约束条件为
ai1 x1+ai2 x2+ … +ain xn ≥ bi
•
可以在不等式左端减去一个新的非负 剩余变量si，使它等于约束右边与左边之
• 差。
• si = (ai1 x1+ai2 x2+ … +ain xn) – bi
第二章 线性规划的图解法
• §1 问题的提出 • §2 图解法 • §3 图解法的灵敏度分析
管理运筹学- 第二章 线形规划的图解法
1
第二章 线性规划的图解法
在管理中一些典型的线性规划应用 • 合理利用线材问题：如何在保证生产的条件下，下料最少 • 配料问题：在原料供应量的限制下如何获取最大利润 • 投资问题：从投资项目中选取方案，使投资回报最大 • 产品生产计划：合理利用人力、物力、财力等，使获利最 大 • 劳动力安排：用最少的劳动力来满足工作的需要 • 运输问题：如何制定调运方案，使总运费最小
• 能解决问题的共性特点： • 1·都有要求达到某些数量上的最大化或最 小化的目标。 • 2.所有问题都是在一定的约束条件下来追求 其目标的。
《管理运筹学》02-1线性规划的数学模型及相关概念
03 线性规划的求解方法
单纯形法
1
单纯形法是一种求解线性规划问题的经典算法， 其基本思想是通过不断迭代来寻找最优解。
2
单纯形法的基本步骤包括：建立初始单纯形表格、 确定主元、进行基变换、更新单纯形表格和判断 是否达到最优解。
3
单纯形法在处理大规模线性规划问题时，由于其 迭代次数与问题规模呈指数关系，因此计算量较 大。
06 线性规划的案例分析
生产计划问题
总结词
生产计划问题是一个常见的线性规划应用场景，通过合理安排生产计划，企业可以优化资源利用，降低成本并提 高利润。
详细描述
生产计划问题通常涉及确定不同产品组合、生产数量、生产批次等，以满足市场需求、资源限制和利润目标。线 性规划模型可以帮助企业找到最优的生产计划，使得总成本最低或总利润最大。
最优性条件由单纯形法推导得出，是判断线性规划问题是否达到最优解的 重要依据。
解的稳定性
解的稳定性是指最优解在参数变化时保持相对稳定的能力。
在实际应用中，由于数据的不确定性或误差，参数可能会发生变化。因此，解的稳 定性对于线性规划问题的实际应用非常重要。
解的稳定性取决于目标函数和约束条件的性质，以及求解算法的鲁棒性。在某些情 况下，可以通过敏感性分析来评估解对参数变化的敏感性。
输标02入题
决策变量是问题中需要求解的未知数，通常表示为 $x_1, x_2, ldots, x_n$。
01
03
目标函数是需要最大或最小化的函数，通常表示为 $f(x) = c_1x_1 + c_2x_2 + ldots + c_nx_n$。
04
约束条件是问题中给定的限制条件，通常表示为 $a_1x_1 + a_2x_2 + ldots + a_nx_n leq b$ 或 $a_1x_1 + a_2x_2 + ldots + a_nx_n = b$。
北交大交通运输学院《管理运筹学》知识点总结与例题讲解第2章 线性规划
第二章线性规划教学目的：了解线性规划的基本概念，理解线性规划最优化原理、单纯形法原理，掌握单纯形法及其矩阵描述、人工变量法、，能够对简单的问题建模。
教学重点：线性规划的含义、性质；线性规划问题的求解方法——图解法、单纯形法。
线性规划模型的建立非标准型线性规划问题转化为标准线性规划问题；线性规划问题的图解法；解的存在情况判断；大M法；两阶段法；单纯形法的矩阵表示；教学难点：单纯形法的求解思想、矩阵表示、对偶理论、对偶单纯形法以及灵敏度分析。
学时： 8学时2.1 线性规划(Linear Programming,LP)问题及其数学模型（1学时）我们应用数学规划模型求解实际问题中，将实际问题抽象成数学模型，然后再对其求解。
2.1.1线性规划问题提出我们用一个简单例子来说明如何建立数学规划问题的数学模型。
例2.1 某家具厂生产桌子和椅子两种家具，有关资料见表2－1。
解：用数学语言来描述生产计划安排问题，这个过程称为建立其数学模型，简称建模。
设：①桌子、椅子生产的数量分别为x1，x2，称为决策变量。
因为产量一般是一个非负数，所以有x1，x2≥0，称非负约束。
②限制条件为木工和油漆工的加工时间约束了产品的生产量x1，x2。
约束如下：4x1＋3x2≤1202x1＋x2≤50③生产桌子、椅子x 1，x 2所得总收入为Z ，显然Z ＝50x 1＋30x 2。
我们希望总收入值能达到最大，这个关系用公式表达为max Z ＝50x 1＋30x 2 把上述所有数学公式归纳如下12121212max .0z 50x 30x 4x 3x 120s t 2x x 50x x =++≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，这就是一个最大化的线性规划模型。
例 2.2（运输工具的配载问题）有一辆运输卡车，载重2.5t ，容积183m ，用来装载如下的两种货物：箱装件125kg/个、0.43m /个；包装件20kg/个、1.53m /个。
问：如何装配，卡车所装物件个数最多？解 根据题意，设箱装件1x 个，包装件2x 个，那么需要满足条件：体积约束 120.4 1.518x x +≤重量约束 12125202500x x +≤非负约束12,0x x ≥目标要求 max z=12x x +我们对上面的式子稍作整理，便得到下面的形式：max z=12x x +1212120.4 1.518125202500,0x x x x x x +≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩ 上述两例中所提出的问题，最终都归结为在变量满足线性约束条件的前提下，求使线性目标函数最大或最小的问题，这种问题称为线性规划问题。
管理运筹学讲义 第2 章 线性规划讨论
14
OR:SM
第四节 线性规划灵敏度分析
一、灵敏度分析的必要性
线性规划研究的是一定条件下的最优化问题
• 资源环境和技术条件是可变的 • 基础数据往往是测算估计的数值
• 灵敏度分析的概念
灵敏度分析又称敏感性分析或优化后分析
• 研究基础数据发生波动后对最优解的影响
• 最优解对数据变化的敏感程度 • 在多大的范围内波动才不影响最优基
设备H：
4
经Lindo软件求解，得到最优解为Z=5800,x1=40,x2=60,x3=40。
OR:SM
第二节 线性规划的适用层次
计划链的层次
• 产值计划 或 利润计划 • 绝对数量 或 增长幅度 • 期限:年度 单位:万元 • 大类产品年度生产计划 当前条件 • 确定产品的品种和数量 • 期限:年度 单位:万台
库存管理
物料需求计划MRP 能力需求计划
CRP
预测
经营计划 销售计划 生产计划大纲 主生产计划MPS
• 大类产品销售收入或台套 • 产品品种和数量如何确定 • 期限:年度 单位:万台
粗能力计划
物料清单
• 具体产品在具体 时段的出产计划 • 合同订单和预测 转换为生产任务
• 将产品出产计划 转换成物料需求表
6
OR:SM
第三节 线性规划的典型案例
一、配送中心选择
决策变量：设从供货源Si到分销中心Wj的运输量为 xij ，从分销中 心Wj到需求市场Rk的运输量为 y jk 。选址规划在于二者的实际取值。 如果 x11 x21 0 ，则不设置分销中心W1； 反之，则设置W1,其规模为 x11 x21 如果 x12 x22 0 ，则不设置分销中心W2； 反之，则设置W2，其规模为 x12 x22
运筹学—线性规划第2章
1 1
1 0
0 1
0 0
6 2 0 0 1
1 0 0
则
B 0
1
0
的列是线性无关的，即
1
0
0 0 1
p3 0, p4 1 0 0
•
0
p5 0 是线性无关，因此 1
x3
x4
x5
是, 0
p2
1 2
不在这个基中，所以x1,
x2为非基变量。
定义10：使目标函数达到最优值的基本可行解，称为基
本最优值。
• 例4：（SLP)如例3，试找一个基本可行解。
1 1 0
解：B1
1
0
0
是其一个基矩阵.p1,p3, p5是一个基。
6 0 1
则 x1 , x3, x5为基变量。X2, x4为非基变量。令 x2=x4=0. 得x1=2, x3=3, x5=9. 故 x1=(2,0,3,0,9)是原问题的一个基本 可行解，B1为基可行基。
•当 由0连续变动到1时，点z由y沿此直线连续的变动到x，且 因z-y平行x-y，则有：z y (x y) 于是有：
z x (1 ) y
•这说明当 0 1 时，x (1 ) y表示以x.y为端点的直线段
上的所有点，因而它代表以 x.y为端点的直线段。 一般地，如果x.y是n维欧氏空间Rn中的两点，则有如下定义：
• 定义14：设R是Rn中的一个点集，（即R Rn），对于任意 两点x R, y R 以及满足0 1 的实数 ,恒有
x (1 )y R
则称R为凸集。
• 根据以上定义12及13可以看到，凸集的几何意义是：连接凸 集中任意两点的直线段仍在此集合内。
其可行域如上图，可行解（3，1，0，0）T。用x1, x2 表示则为图上点（3，1）。由图可见这不是可行域的 顶点。而我们将证明基本可行解是可行域的顶点。而 在例4中p1,p3线性无关，所以B=(p1,p3)是一个基矩阵， 对应的基本解为（4，0，0，0）T。用坐标x1, x2表示则 为平面上的点（4，0），是上图可行域的顶点。
管理运筹学 线性规划的图解法课件
线性规划的应用领域
生产计划
线性规划可以用于制定生产计划，优 化资源配置，提高生产效率。
物流优化
线性规划可以用于优化物流配送路线 、车辆调度等问题，降低运输成本。
金融投资
线性规划可以用于金融投资组合优化 ，实现风险和收益的平衡。
资源分配
线性规划可以用于资源分配问题，如 人员、资金、设备等资源的合理分配 ，提高资源利用效率。
束条件。
线性规划的目标是在满足一系列 限制条件下，使某一目标函数达
到最优值。
线性规划问题通常表示为求解一 组变量的最优值，使得这些变量 满足一系列线性等式或不等式约
束。
线性规划的数学模型
线性规划的数学模型由决策变量、目标函数和约束条 件三部分组成。
输标02入题
决策变量是问题中需要求解的未知数，通常表示为 $x_1, x_2, ldots, x_n$。
01
03
约束条件是限制决策变量取值的条件，通常表示为 $a_1x_1 + a_2x_2 + ldots + a_nx_n leq b$或 $a_1x_1 + a_2x_2 + ldots + a_nx_n = b$。
04
目标函数是问题要优化的函数，通常表示为$f(x) = c_1x_1 + c_2x_2 + ldots + c_nx_n$。
03
绿色发展与线性规 划的结合
将可持续发展理念融入线性规划 ，实现资源节约、环境友好的发 展目标。
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约束条件
生产计划问题通常受到资源限制、市场需求和生 产能力等约束条件的限制。
详细描述
生产计划问题通常涉及到如何分配有限的资源， 以最大化某种目标函数（如利润）。通过图解法 ，我们可以将约束条件和目标函数在二维平面上 表示出来，从而找到最优解。
管理运筹学第2章 线性规划的图解法
i
i
MinZ e1i e2i
i
i
s.t.eβ10i-,eβ21i无 符yi 号 β限0 制β1xi
e1i , e2i 0,i 1,2,, n
还可以加上一些特定的需求.例如,要求必须过某 一点.
16
线性规划问题的应用举例(回归分析)
新标准:最小化最大绝对误差.
–整数规划问题
• 考虑短期排班的问题
–对午休换班进行建模
• 考虑每个工人
–允许工人有不同的偏好
29
套裁下料问题
例某工厂要做100套钢架，每套用长为2.9 m,2.1 m,1.5 m的圆钢
各一根。已知原料每根长7.4 m，问：应如何下料，可使所
用原料最省？
方案 1 方案 2 方案 3 方案 4 方案 5 方案 6 方案 7 方案 8
产品名称
规格要求
单价（元/kg）
甲 原材料 1 不少于 50%，原材料 2 不超过 25%
50
乙 原材料 1 不少于 25%，原材料 2 不超过 50%
35
丙
不限
25
原材料名称
1 2 3
每天最多供应量
100 100 60
单价（元/kg） 65 25 35
9
线性规划应用举例
解：设 xij 表示第 i 种（甲、乙、丙）产品中原料 j 的含量。 这样我们建立数学模型时，要考虑：
x1 + x2 ≥ 70 x2 + x3 ≥ 60 x3 + x4 ≥ 50 x4 + x5 ≥ 20 x5 + x6 ≥ 30 x1,x2,x3,x4,x5,x6 ≥ 0
20
关于决策变量的选择的启示
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50 20
0.9 2
3 50 230
30
×
1.2 50
0.3 70
80
2.5 30
全部空格检验数均为非负，当前调运方案最优：
X11 = 20， X13 = 80， X22= 50， X24= 30， X31= 30， X32=20 Z* = 1.5×20 + 0.3×80 + 0.8×50 + 2×30 + 1.2×30 + 0.3×20 =196
33 = C33 – (U3 + V3) = 2 - (5 + 0.3) = -3.3 34 = C34 – (U3 + V4) = 2.5 - (5 – 3.5) = 1
6
冶炼厂 矿山 A1 A2 A3 Vj
B1
B2
B3
B4
Ui
全部空格检验数均为非负，
当前调运方案最优：
20
×
30
1.2
× 5.3
1.2 50
0.3 70
2.5 30
第一步：列出产售平衡表。 第二步：给出初始调运方案(相当于单纯形法的初始基本可行解)。
用最小元素法：从运价最小的变量格子开始分配，按尽可能满足一方取小的原则。
冶炼 厂 矿山 A1
④
B1
20 30
×
B2
×ห้องสมุดไป่ตู้
B3
80
× ×
B4
×
产量 (万 t ) 100 3 80 2 50 230
1 1 11
②计算空格检验数：ij=Cij –(Ui + Vj) 有
12 = C12 – (U1 + V2) = 2 - (0 - 4.7) = 6.7
14 = C14 – (U1 + V4) = 3 - (0 – 3.5) = 6.5 23 = C23 – (U2 + V3) = 1.4 - (5.5 + 0.3) = -4.4
1
空格x33的检验数： 沿闭回路增加1个单位 的运输量，由此带来 的费用代数和，即 33= 2 - 0.3 + 1.5 -7 + 0.8 - 0.3 = -3.3 其余类推。
20
-
1.5
-5.3
2 0.8
80
×
0.3 1.4 2
30
×
7
20
50
-4.4
3 50 230
30
×
-
1.2 50
0.3 70
1.5
1.4
2
80
×
0.9
0.3
×
1.2 U 1
3
X11 = 20， X13 = 80， X22= 50， X24= 30，
50
0.8
30
2
U2
7
1.4
X31= 30， X32=20
Z* = 1.5×20 + 0.3×80 + 0.8×50 + 2×30 +
20
0.3
×
V3
2
2
×
V4
1 U3
2.5
V1
80
2.5 30
③沿闭回路方向调整运输量：标正号的格子增加30，标负号的格子减少30，得新调运方案如下。
冶炼 厂 矿山 A1 A2 A3 需要量 (万 t )
B1
20
× 30
B2
× 1.4
B3
80
× ×
B4
× 1.2
产量 (万 t ) 100 80 2
1
1.5 7
5.3
2 0.8
0.3 1.4 2
对应的基格(基变量) x21出基。
冶炼 厂 矿山 A1 A2 A3 需要量 (万 t )
-
B1
20 30
B2
×
+
B3
6.7
B4
× 6.5
产量 (万 t ) 100 80 2
1
1.5
-5.3
2 0.8
80
× ×
0.3 1.4 2
7
20
-4.4
3 50 230
4
30
×
+ ×
1.2 50
-
50
-3.3
0.3 70
5
⑵
用位势法求ij：
冶炼厂 矿山 A1 A2 A3 Vj
B1
B2
B3
B4
Ui
20
1.5
× + 20
7
6.7
2
80
× -4.4
0.3
×
6.5 U 1
3
30 -
30
2
U2
-5.3 × - 50 +
1.2
0.8
×
0.3
-3.3
1.4
×
V4
1 U3
2.5
2
V1
V2
V3
①利用基格求行列位势：令Ui + Vj = Cij 有 U1 =0 U + V = C =1.5
1.5 7
③ ①
2
②
0.3 1.4 2
⑤
A2
⑥
20
50
0.8
30
×
A3 需要量 (万 t )
1.2 50
0.3 70
80
2.5 30
总运费：Z(1) = 1.5×20 + 0.3×80 + 7×30 + 0.8×20 + 2×30 + 0.3×50 = 390 基格：已分配运量的格子，对应的变量为基变量，共6个。 空格：未分配运量的格子，对应的变量为非基变量(打×)，共6个。
第二章：运输问题
3.1 产销平衡的运输问题：直接用表作业法
例：某地有三个有色金属矿A1、A2、A3，生产同一种金属矿石，A1矿的年产量为100万吨，A2矿
为80万吨，A3矿为50万吨。矿石全部供应四个冶炼厂，B1厂的全部需求量为50万吨，B2厂70为
万吨，B3厂为80万吨，B4厂为30万吨。产量恰好等于总需求量，矿石由各矿山运到冶炼厂的单 位运价已知，如下表。问如何安排运输，使各矿山的矿石运到冶炼厂，满足各厂的需要，且 运输费用最小，试建立该问题的数学模型？
V2
1.2×30 + 0.3×20 =196
+×
-3.3
80
2.5 30
闭回路：起点和终点是同一空格以外，其余顶点均为基格的曲折闭合多边形。 凡可行调运方案均只能画唯一闭回路。下以空格x33为例作闭回路。
3
①确定入基空格：取最小的负数-5.3对应的空格(非基变量) x31入基。
②确定出基基格：在x31的闭回路中，标负号的基格运输量最小者 Min{50，30}=30，
U1 + V3= C13=0.3 U2 + V1= C21=7
令U1=0
U2=5.5 U3=5
U2 + V2= C22=0.8
U2 + V4= C24=2 U3 + V2= C32=0.3
V1= 1.5
V2= -4.7 V3= 0.3 V4= -3.5
31 = C31 – (U3 + V1) = 1.2 - (5 + 1.5) = -5.3
2
第三步：判断当前调运方案是否最优。 若表上所有空格的检验数ij均为非负，则当前调运方案最优。 否则，当前调运方案非最优， 须调整改进。 ⑴ 用闭回路法求ij：
冶炼 厂 矿山 A1 A2 A3 需要量 (万 t )
性质：
B1
+
B2
×
+
B3
6.7
-
B4
× 6.5
产量 (万 t ) 100 80 2
运输价格表
冶炼 厂 矿山 A1 A2 A3 需要量 (万 t )
B1 X 11 X 21 X 31
B2 X 12 X 22 X 32
B3 X 13 X 23 X 33 80
B4 X 14 X 24 X 34
产量 (万 t ) 100 3 80 2 50 230
1
1.5 7
2 0.8
0.3 1.4 2