七年级数学笔记

新思维培训学校——数学学科
初中核心笔记——七年级下册第七章
第一讲有序数对
知识点1、有序数对
有顺序的两个数a 与b组成的数对，叫做有序数对，记作（a , b）。

利用有序数对表示平面上的点的位置时，应有下列程序：
（1）取定一点为原点将平面分成若干个小正方形。

（2）约定行列的顺序，一般是列数在前，行数在后，原点记为（0,0）。

知识点2.平面直角坐标系Array x
图7-1-1
在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。

两条数轴分别叫做横轴（x轴，水平，一般取向右为正方向）和纵轴（y轴，竖直，取向上为正方向），两数轴交点叫做原点O，如图7-1-1.
知识点3.点的坐标的概念
过平面内点A分别向x轴作垂线，垂足分别为M、N，若垂足M在x轴上对应的数为a，垂足N在轴y轴上对应的数为b，则该点的横坐标即为a，纵坐标即为b，有序数对（a，b）叫做点A的坐标，记作A（a，b）。

例：见课时训练41页的4题
知识点4.坐标平面结构
坐标平面是由两条坐标轴和四个象限构成的。

也就是说坐标平面内的点可以划分
为六个区域：x 轴、y 轴、第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。

在六个区域中，除了x 轴与y 轴有一个公共点（原点）外，其他区域之间均没有公共点，
[注意] （1）x 轴、y 轴和原点不属于任何一个象限。

（2）对于x 轴和y 轴上的点，有时需要表达得更具体一些，因此也把x 轴、y 轴分为正半轴和负半轴。

知识点5.坐标平面内点的坐标的特点 （1）各象限内点的坐标的特点 如图7-1-4
点P （x ，y ）在第一象限
，
y>0；
点
P （x ，y ）在第二象限，y>0; 点P （x ，y ）在第三象限，y<0；
点P （x ，y ）在第四象限，y<0。

图7-1-4 （2）坐标轴上的点的坐标的特点
[注意] 原点既在x 轴上，也在y 轴上，坐标为（0,0） 例：见课时训练44页的10题
二．方法、技巧平台
知识点6.在平面内确定物体位置的方法
第二
第三
第一
x
y
第四
（-，
-）
（+，+）
x
y
（+，-）
（-，+）
北
东
西
渔船C
渔船A
30° 30km
25km
40°
（1） 用有序数对表示物体的位置 （2） 用方向和距离确定物体的位置
如图7-1-5中渔船A 相对小岛的位置可用北偏东40°方向的25km 处表示。

（3） 用经度与纬度确定物体的位置
如：台北大约在北纬25°，东经°。

两个数据，缺一不可
知识点7.由坐标确定点方法
要确定由坐标（a ，b ）所示的点P 的位置，先在x 轴上找到表示a 的点，过这点作x 轴的垂线；再在y 轴上找到表示b 的点，过这点作y 轴的垂线，两条垂线的交点P 即为所求点的位置。

如图7-1-6所示。

知识点8.由点求坐标的方法
先由已知点P 分别向x 轴和y 轴作垂线，设垂足分别是A 和B ，再求出A 在x 轴上的坐标a 和B 在y 轴上的坐标b ，则点P 的坐标为（a ，b ） 三．创新，思维拓展
知识点9.平行于x 轴、y 轴的直线上的点的坐标的特点
[说明]（1）两点在平行于x
两点的纵坐标相同， 横坐标为不相等的两个数。

（2）两点在平行于y 轴的直线上纵坐标为不相等的两个数。

例：见课时训练51页的1题
知识点10.各象限角平分线上的点的坐标特征
（1）第一、第三象限角平分线上点的横、纵坐标相等。

x
（2）第二、第四象限角平分想上点的横、纵坐标互为相反数。

知识点11.点的坐标于线段长度
（1）点P （x ，y ）到x 轴的距离为 |y| ，到y 轴的距离为|x|；在y 轴上点（0，y ）到原点的距离为|y|；
（2）x 轴上两点A （1x ，0），B （2x ，0）间的距离为AB=|1x -2x |；y 轴上两点C （0，
1y ），D （0，2y ）间的距离为CD=|21y y |。

例：见课时训练54页的21题
新思维培训学校——数学学科 初中核心笔记—— 七年级下册第七章
第二讲 坐标方法的简单应用
一．
知识、能力聚焦
知识点1、用坐标表示地理位置
（1） 建立坐标系，选定一个适当的参照点为原点，确立x 轴、y 轴的正方向； （2） 根据具体问题确定适当的比例尺，在坐标轴上标出单位长度； （3） 在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称。

知识点2、用坐标表示平移 点的平移
在平面直角坐标系中，将点（x ，y ）向右（或左）平移a 个单位长度，可以得到对应点(x+a ，y)[或（x-a ，y ）]；将点（x ，y ）向上（或下）平移b 个单位长度，可以得到对应点
（x ，y+b ）[或（x ，y-b ）](a>0，b>0)。

例：见课时训练49页的1，2题
图形的平移
在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加上（或减去）一个正数b，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移b个单位长度。

为了更直观，将上述变化规律简单表示为如图7-2-1.
知识点3、对称点的坐标特征
(a,-b)；
（1）点A（a,b）关于x轴的对称点的坐标轴为A
1
(-a,b);
（2）点A(a,b)关于y轴的对称点的坐标为A
2
(-a,-b);
（3）点A(a,b)关于原点的对称点的坐标为A
3
(b,a)；（4）点A(a,b)关于第一、第三象限的角平分线（y=x）的对称点的坐标为A
4
(-b,-a)。

（5）点A(a,b)关于第二、第四象限的角平分线（y=-x）的对称点的坐标A
5
知识点4、图形的对称问题
（1）横坐标保持不变，纵坐标乘上-1，所得图形与原图形关于x轴对称；
（2）纵坐标保持不变，横坐标乘上-1，所得图形与原图形关于y轴对称；
（3）横坐标乘上-1，纵坐标乘上-1，所得图形与原图形关于原点对称；
（4）横、纵坐标交替位置，所得图形与原图形关于y=x对称；
（5）横、纵坐标交替位置，并且同时乘上-1，所得图形与原图形关于y=-x对称。

二．方法、技巧平台
知识点5、平移作图的方法步骤
图形上的某一个点横向（或纵向）平移a个单位长度，则图形上的所有点都向这个方向
平移a个单位长度。

作图步骤：（1）找出图形中的关键点；
（2）作出这些关键点的对应点；（3）连接对应点即得变换后的图形。

三．创新、思维拓展
知识点6、平移的方向与坐标变化的规律
平行移动最关键的是应掌握平移的方向与坐标变化之间的联系，若用口诀形式表示，即
横坐标，右移加，左移减
纵坐标，上移加，下移减。

知识点7、图形的放大与压缩
（1）横坐标、纵坐标分别变成原来的a(a>1)倍，所得图形与原图形相比，形状不变，大小放大为原来的a倍。

（2）横坐标、纵坐标分别变成原来的a(0<a<1)倍，所得图形与原图形相比，形状不变，大小压缩为原来的a倍。

新思维培训学校——数学学科
初中核心笔记——七年级上册第八章
第一讲二元一次方程组
一、知识、能力聚焦
知识点1.二元一次方程定义
含有两个未知数（x和y），并且未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程。

（1）在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数。

（2）“未知数的次数都是1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是1
（3）二元一次方程的左边和右边都必须是整式。

知识点2.二元一次方程的解
使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。

注意：二元一次方程的每一个解，都是一对数值，而不是一个数值。

一个二元一次方程有无数个解。

知识点3.二元一次方程组的概念
把两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。

此外，组成二元一次方程组的各个方程也不必都同时含有两个未知数。

知识点4.二元一次方程组的解
一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。

（1）方程组的解必须满足方程组里的各个方程，而方程组中某一个方程的某一组解不一定是方程组的解。

（2）在同一方程组中，各个相同未知数应取相同的值。

（3）方程组的解要用大括号联立，如 x=3,
y=4,而不能表示成x=3,y=4.
（2）一般地二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况，如方程组
二.方法、技巧平台
知识点5.判断二元一次方程合在一起，就组成一个二元一次方程组，判断一个方程组是不是二元一次方程组，就看它是否满足一下两个条件：（1）看整个方程组里含有的未知数是不是两个；（2）看含未知数的项的次数是不是1.如方程组
知识点6．怎样检验一对数是不是某个二元一次方程组的解。

常用的方法是：将这个对数值分别带入方程组中的每个方程，只有当这个对数值满足其中的所有方程时，才能说这对数值是次方程组的解；否则，如果这对数值不
满足其中的任何一个方程，那么它就不是次方程组的解。

知识点7.二元一次方程的整数解的求法
[例] 求二元一次方程3x+4y=18的正整数解。

第二讲消元—解二元一次方程组
一.知识、能力聚焦
知识点1.代入消元法解二元一次方程组
①消元的基本思路：未知数由多变少。

②消元的基本方法：把二元一次方程组转化为一元一次方程。

代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。

这种方法叫做代入消元法，简称代入法。

例1：用代入法解方程组
y=2x
3y+2x=8
知识点2.加减消元法解二元一次方程组
两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程。

这种方法叫做加减消元法，简称加减法。

例2：用加减削元法解下列方程组
3x+7y=9
4x-7y=5
知识点3.运用代入法、加减法解二元一次方程组要注意问题
（1）当方程组中含有一个未知数表示另一个未知数的代入式时，用代入法比较简便；
（2）若方程组中未知数的系数为1（或-1），选择系数为1（或-1）的方程进行变形，用代入法也比较简便；
（3）当方程组中的两个方程有某个未知数的系数相同或互为相反数时，进行加减消元比较方便；
（4）若两个方程中，同一个未知数的系数成倍数关系，利用等式性质，可以转化成（3）的类型，选择加减消元法比较简便；
（5）若两个方程中，同一个未知数的系数的绝对值都不相等，那么，应选出一组系数（选最小公倍数较小的一组系数），求出它们的最小公倍数，然后将原方程组变形，使新方程组的这组系数的绝对值相等（都等于原系数的最小公倍数），再加减消元；（6）对于比较复杂的二元一次方程组，应先化简（去分母、去括号、合并同类项等）。

通常要把每个方程整理成含未知数的项在方程的左边，常数项在方程的右边的形式，再作加减消元的考虑。

二.方法、技巧平台
知识点4.用代入法解二元一次方程组的步骤
（1）从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有x（或y）的代数式表示y（或x）,即变形y=ax+b(或x=ay+b)的形式；
（2）将y=ax+b（或x=ay+b）代入另一个方程（不能代入原变形方程）中，消去y(或x)得到一个关于x（或y）的一元一次方程；
（3）解这个一元一次方程，求出x(或y)的值；
（4）把x（或y）的值代入y=ax+b（或x=ay+b）中，求y（或x）的值；
（5）用“|”联立两个未知数的值，就是方程组的解。

知识点5.用加减法解二元一次方程组的步骤
（1）根据“等式的两边都乘以（或除以）同一个不等于0的数，等式仍然成立”的性质，将原方程组化成有一个未知数的系数绝对值相等的形式；
（2）根据“等式两边加上（或减去）同一个整式，所得的方程与原方程是同解方程”的性质，将变形后的两个方程想加（或相减），消去一个未知数，得到一个一元一次方程；
（3）解这个一元一次方程去，求出这个未知数的值；
（4）把求得的未知数的值代入原方程组中比较简单的一个方程中，求出另一个未知数的值；
（5）用“|”联立两个未知数的值，就是方程组的解。

第三讲实际问题与二元一次方程组
一.知识能力聚焦
知识点1.列方程组解应用题的意义
列方程必须满足：（1）方程两边表示的是同类量；（2）同类量的单位要统一；（3）方程两边的数值要相等。

知识点2.列方程解应用题中常用的基本等量关系
（1）行程问题：速度×时间=路程
顺水速度=静水速度+水流速度
逆水速度=静水速度-水流速度
（2）工程问题：工作效率×工作时间=工作量
（3）浓度问题：溶液×浓度=溶质
（4）银行利率问题：免税利息=本金×利率×期数
二.方法技巧平台
知识点3.列方程组解决实际问题的步骤
可以简单地表示为：问题 方程组 解答 其具体表示的意义为：
审、 设、 找、 列、 解、 答
例1：为了保护生态环境，一个边长为300米的正方形状的某饲养场的一部分要划为保护区，但允许饲养厂向其他地方扩展，这样饲养厂变成了一个周长和原来周长相等的等腰三角形，且它的一条边长是另一条边长的2倍，你能计算出建后饲养场的三边的长吗
例2：有一个两位数，个位上的数比十位上的数大5，如果把这个两数的位置对换，那么所得的新数与原 数的和是143，求这个两位数
第四讲 三元一次方程组的解法
一． 知识能力聚焦
知识点1.三元一次方程的概念
三元一次方程就是含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程。

[注意]满足三元一次方程的条件：（1）是整式方程；（2）含有三个未知数；（3）含有未知数的项的最高次数是1.
知识点2.三元一次方程组的概念
方程组中含有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组。

理解三元一次方程组的概念应注意的问题：
分析 抽象 求解
检验
（1）三元一次方程组必须，满足：①方程组中有且只有三个未知数；②含未知数的项的次数都是1.
知识点3.三元一次方程组的解的概念
一般地，使三元一次方程两边的值相等的三个未知数的值，叫做三元一次方程组的解。

知识点4. 三元一次方程组的解法
（1）代入消元法
用代入消元法解三元一次方程组的步骤：
①利用代入法消去一个未知数，得出一个二元一次方程组；
②解这个二元一次方程组，求得两个未知数的值；
③将这两个未知数的值代入原方程组中较简单的一个方程，求出第三个未知数的
值，把这三个数写在一起，就是所求三元一次方程组的解。

（2）加减消元法
定义：用加减的方法消去统一个未知数，化成二元一次方程组，这种解三元一次方程组的方法叫做加减消元法。

用加减解三元一次方程组的步骤：
①利用加减的方法消去一个未知数，得出一个二元一次方程组；
②解这个二元一次方程组，求得两个未知数的值；
③将这两个未知数的值带入原方程组中较简单的一个方程，求出第三个未知数的
值，把这三个数写在一起，就是所求的三元一次方程组的解。

[注意]（1）三元一次方程组的解是三个数，要将这三个数代入方程组中的每个方程进行检验，当这些数满足方程组中的每一个方程时，这些数才是这个方程组的解。

例：解方程组
3x+4y+z=14
x+5y+2z=17
2x+2y-z=3。