高考数学一轮总复习6.7数学归纳法练习

—
解析 当 n = k +1 时，等式左边=1 + 3+ 5+-+ (2k + 1) + (2k + 3) = (k + 1) + (2k +
第七节数学归纳法
时间：45分钟分值：100分
［基 ［础|必| |做
一、选择题
111
1
1.已知 f (n ) = '+
+
+•••+=,则(
)
n n +1 n + 2
n
1 1
A. f (n )中共有 n 项，当 n = 2 时，f (2) = -+ 3
2 3 1 1
B. f (n )中共有 n + 1 项，当 n = 2 时，f (2) = - + 3
1 1
C. f (n )中共有 n 2
— n 项，当 n = 2 时，f (2) = -+-
2
1 1 1
D. f (n )中共有 n —n + 1 项，当 n = 2 时，f (2) = - + 3+ 4 2 1 1 1 解析 总项数为n —n + 1, f (2) = 2+ 3+ 4.故选D.
答案 D
2•用数学归纳法证明不等式
1 1 1 127 *
1 + - + 4 +…+ 2一1>64(n € N)成立，其初始值至少应取
( ) A. 7 C. 9
B. 8 D. 10
解析
1 1 1 1 +
2+ 4+…+ 产=
1 1 —
2 127 1>64， 1--
整理得2n
>128，解得n >7. •••初始值至少应取 8.
答案 B
3.用数学归纳法证明等式 1 + 3 + 5+-+ (2n + 1) = (n + 1)2
(n € N *)的过程中，第二步
假设n = k 时等式成立，则当 n = k + 1时应得到(
) 2
A. 1+ 3 + 5+-+ (2 k + 1) = k
B. 1 + 3 + 5+・・・+
(2 k + 3) = (k + 2)
C. 1 + 3 + 5+- + (2 k + 1) = (k + 2)
D. 1 + 3 + 5+- + (2 k + 3) = (k + 3)
答案 B
4•某个命题与自然数 n 有关，若n = k (k € N)时命题成立，那么可推得当n = k +1时该 命题也成立•现已知当 n =5时，该命题不成立，那么可推得 (
)
A. 当n = 6时，该命题不成立
B. 当n = 6时，该命题成立
C. 当n = 4时，该命题不成立
D. 当n = 4时，该命题成立
解析 因为当n = k 时命题成立可推出 n = k + 1时成立，所以n = 5时命题不成立，则n =4时命题也一定不成立.
答案 C
5•在数列｛a n ｝中，a i =扌，且S = n (2n — 1)勿，通过求a 2, a 3,a 4,猜想a n 的表达式为( )
1
B.
~2n + 1
1
2n — 1
2n +1
1
2n + 1
2n + 2 1
解析由 a 1 = 3, S= n (2 n — 1)a n , 得 S 2= 2(2 x 2— 1)a 2, 即 a 1+ a 2 = 6a 2.
二 a 2 =—=丄,S a = 3(2 x 3— 1)a 3,即〔+丄 + a s = 15a s .二 &3=丄=丄，同理可得 a 4
15 3x5 3 15 3
35 5X7
1
=7X9 .
答案 C 6.
下列代数式(其中k € N *)能被9整除的是
(
)
A. 6 + 6 ・7k
B. 2 + 7
k —1
— k +1
k
C. 2(2 + 7 )
D. 3(2 + 7)
解析(1)当k = 1时，显然只有3(2 + 7k
)能被9整除.
(2)假设当k = n (n € N)时，命题成立，即3(2 + 7n
)能被9整除，那么3(2 + 7n +1
) = 21(2
+ 7n
) — 36.
这就是说，k = n + 1时命题也成立.
A.
1
n — 1 n + 1
由(1)(2)可知，命题对任意 k € N *都成立.故选 D. 答案 D 二、填空题
7. 用数学归纳法证明"当 n 为正奇数时，x n
+ y n
能被x + y 整除”，当第二步假设 n =
2k — 1( k € N *)命题为真时，进而需证 n = _________ 时，命题亦真.
解析 t n 为正奇数，假设n = 2k — 1成立后，需证明的应为 n = 2k + 1时成立.
答案 2k +1
&若 f (n ) = 11 2 3
+ 22
+ 32
+…+ (2 n )2
,贝 U f (k + 1)与 f (k )的递推关系是 _________________ .
2 2 2
解析•/ f (k ) = 1 + 2 +…+ (2 k ),
f (k + 1) = 12
+ 22
+•••+ (2 k )2
+ (2 k + 1)2
+ (2 k + 2)2
,
••• f (k + 1) = f (k ) + (2 k +1)2
+ (2k + 2)2
.
答案 f (k + 1) = f (k ) + (2k + 1) + (2 k + 2)
9•在数列｛a n ｝中，a 1= 1,且S, S+ 1,2S 成等差数列($表示数列｛a n ｝的前n 项和)，则
S, S 3, S 4分别为 ___________ ，由此猜想S= ___________ .
解析 由$, S+1,2$成等差数列，得 2$+1= S+ 2S ,
T S = a 1 = 1 ,• 2S +1= S+ 2.
3 令 n =1,贝U 2S = S+ 2= 1 + 2= 3,「. S =空
7
15
同理，分别令n = 2, n = 3,可求得S 3= 4, $= ~. 1 2 3
, 2 — 1 3 2 — 1 7 2 — 1
由 s = 1 = 2。

, S = 2= 21
, S = 4= 2 ,
—.11 .
2 一 1
S= £ = ，猜想 S n =
-1
三、解答题
10•用数学归纳法证明：
1
1 + 3 + 5 +…+ (2n — 1) = $n (4n — 1).
3
证明 (1)当n = 1时，左边=12
= 1,
1
右边=3X 1 X (4 — 1) = 1 ,等式成立.
1
⑵ 假设当 n = k (k € N)时等式成立，即
12
+ 32
+ 52
+…+ (2 k —1)2
= -k (4 k 2
— 1).
3
则当 n = k + 1 时，12
+ 32
+ 5 + …+ (2k — 1)2
+ (2k +1)2
1 2 2 1 2 2
=3k (4 k — 1) + (2 k + 1) = §k (4k — 1) + 4k + 4k + 1
4
15 2 — 1 3 7 15 2n
— 1
答案2 4, E 2n — 1
=3k [4( k + 1)2
- 1] - 3k • 4(2 k + 1) + 4k 2
+ 4k + 1 3 3
1 1
=3k [4( k + 1)2
- 1] + 3(12 k 2
+ 12k + 3 - 8k 2
- 4k ) 3 3 1 2 1 2
=§k [4( k + 1) - 1] + §[4( k + 1) - 1]
1 2
=3(k +1)[4( k +1) -1] • 即当n = k + 1时等式也成立.
由(1) , (2)可知，对一切n € N *，等式都成立. 11.数列｛a n ｝满足 S= 2n -a n ( n € N). (1) 计算a 1, a 2, a 3, a 4,并由此猜想通项公式 a n ；
(2) 用数学归纳法证明(1)中的猜想.
解 (1)当 n = 1 时，a 1 = S = 2 — a 1，— a = 1. 当 n = 2 时，勿+ Q = $= 2x 2-比，.・.a 2
= 2.
当 n = 3 时，a 1+ a? + a 3= S 3= 2x 3— a 3,
囲［优［演
I
［练
当n = 4时，
15 /. a =—. a 1+ a + a 3+ a 4= S= 2 x 4 — a 4,
由此猜想a n =
尹(n € N *).
⑵证明：①当n = 1时，a 1= 1，结论成立.
②假设n = k (k >1且k € N *)时，结论成立，即 k .
2 - 1 a k
= g k -1 ,
那么 n = k + 1(k >1 且 k € N *)时,
a k +1 = S k +1 — S k = 2( k + 1) — a k +1 — 2k + a k
=2 + a k — a k +1.
k
k +1
2 — 1 2 — 1
2a k +1 = 2 + a k = 2 + 2~ 1 = ~2'^—~
k + 1
2 - 1
a k +1 =
,
、n
由①②可知，对n € N , a n = 茅1都成立.
7
1 •对于不等式 WVS <n +1(n € N)，某同学用数学归纳法的证明过程如下：
⑴当n = 1时，；12
+ 1<1 + 1，不等式成立.
(2)假设当n = k (k € N 且k > 1)时，不等式成立，即
k 2
+ k <k +1，则当n = k + 1时，
■' k + 1—2
+ ―k + 1 = ：'k 2
+ 3k + 2< ,：―k 2
+ 3k + 2—+―k + 2 = '―k + 2 2
= (k + 1) +1,
所以当n = k +1时，不等式成立，则上述证法
( )
A. 过程全部正确
B. n = 1验得不正确
C. 归纳假设不正确
D. 从n = k 到n = k + 1的推理不正确
解析 在n = k + 1时，没用n = k 时的假设，不是数学归纳法.•••从 n = k 到n = k + 1 的推理不正确.
答案 D
2.用数学归纳法证明 34n +1
+ 52n + 1
(n € N *)能被8整除时，当n = k + 1时，对于3
4(k +1) +1
+ 5 可变形为(
)
A. 56 ・3 4k +1
+ 25(3
4k +1
+ 52k +1
)
B. 34
・34k +1
+ 52
・5
2k
解析 34(k +1) +1
+ 52(k +1) +1
= 34++1
+ 52
・5
2k +1
=(56 + 25) ^3 4k +1
+ 52
・52k +1
=56 ・3 4k +1
+ 25(3 4k +1
+ 52k +1
).
答案 A 3.
设平面上n 个圆周最多把平面分成 _______ f (n )片(平面区域)，则f (2) =
, f (n )
= _________ .( n 》1, n 是自然数)
解析 易知2个圆周最多把平面分成 4片；n 个圆周最多把平面分成 f (n )片，再放入第
n + 1个圆周，为使得到尽可能多的平面区域， 第n + 1个应与前面n 个都相交且交点均不同，
有n 条公共弦，其端点把第n + 1个圆周分成2n 段，每段都把已知的某一片划分成
2片，即
2
f (n + 1) = f ( n ) + 2n (n 》1)，所以 f (n ) - f (1) = n (n — 1)，而 f (1) = 2，从而 f ( n ) = n —n +
2.
答案 4 n 2
— n +2
4. (2014 •陕西卷)设函数 f (x ) = ln(1 + x ) , g (x ) = xf '( x ) , x >0,其中 f '( x )是 f (x ) 的导函数.
(1)令 g 1
(x ) = g ( x ), g n + i (x ) = g ( g n (x )) , n €N ,求 g n (x )的表达式;
C.
3绷+1
2k + 1 D. 25(3 4k +1
+ 52k +1
)
⑵ 若f (x ) > ag ( X )恒成立，求实数a 的取值范围.
x
解 由题设得，g ( x ) = i + x (x > 0).
x
x
1 + x
g i (x ) =
, g 2(x ) = g (g i (x ))= —
z\.
1+
弔
x
可得 g n (x )=
. 1 + nx
下面用数学归纳法证明.
x
① 当n = 1时，g(x ) =
，结论成立. I 十x
② 假设n = k 时结论成立， 即 g k (x ) =
^―. 1+ kx
x
g k x
1 + kx x
那么，当 n = k + 1 时，g k
+1( x ) = g (g k
( x ))=
=
=
.即
1 + g k x
x 1 + k +1 x 1 + - :-
1 + kx
结论成立.
由①②可知，结论对 n € N *成立. (2)已知f (x ) > ag (x )恒成立，
ax
即ln(1 + x ) > 恒成立.
1 + x
r
ax
设 0 (x ) = ln(1 + x ) — 1+x (x >0),
亦，， 1 a x +1 — a
即 0 ( x) = —
2
=
2
,
屮 1 + x 1 + x
1 + x
当a wl 时，0'(x ) >0(仅当x = 0, a = 1时等号成立),
••• 0 (x )在［0,+^)上单调递增，又 0 (0) = 0,
••• 0 (x ) >0 在［0,+^)上恒成立，
当 a >1 时，对 x € (0 , a — 1］有 0'( x )<0 ,
• 0 (x )在(0 , a — 1］上单调递减，
x
1 + 2x g 3
(x) = 1 + 3x ，
⑴由已知得, • a wl 时,
ln(1
ax
1 + x 恒成立(仅当x =0时等号成立).
•0 (a—1)< 0 (0) = 0.
ax
即a>1时，存在x>0，使0 (x)<0，故知ln(1 + x) > 不恒成立,
1十x 综上可知，a的取值范围是（—g, 1].
2
3) = (k + 2).。