可靠性工程概论03

s — 拉氏变换引入的变量
3.4 单部件可修系统
假设t=0时系统为正常状态，即 P0 (0) 1 ， P1(0) 0 。代入上式
ssPP10((ss))
1 P0 (s) P1 P0 (s) P1(s)
(s)
P0
(s
)
1 s
s
1
P1
(
s)
s(s
)
s s(s )
3.4 单部件可修系统
P(n) ij
Pk l ij
P(k iv
)
P(l) vj
v
式中n=k+l,vE(状态空间)
此式为由状态i经n步转移到状态j的概率，等于由状态i先 经k步转移到状态v，然后由状态v经l步转移到状态j的概率
(此处v也可理解为从i到j的通道)。
3.3 n步转移后系统各状态概率
上式中，若令k=1,l=1,由 Pij (i, j E)可决定 Pi(j2，)
拉氏反变换：
P0 (t)
e( )t
P1
(t
)
e( )t
3.4 单部件可修系统
由此瞬态有效度(可用度)：
A(t) P0 (t)
稳态有效度：
A() lim A(t)
t
平均有效度：(0 , t)
A(t) 1 t
t 0
A(t)dt
(
)2
t
e ( )t ( )2t
3.4 单部件可修系统
3.3 n步转移后系统各状态概率
例：如下图，已知P(0)=[P1(0), P2(0)]=[1, 0],求n=1,2,…等 各步(次)转移后系统各状态的概率。 图中e1——正常； e2——故障。
3.3 n步转移后系统各状态概率
解：依次求得 n=1，n=2， n=3，n=5时的状态矩阵
P(1) P(0)P 1
P0
P1
1
t t
1
t
t
P0
P1
PP0 0PP1 100
P0 P1
P0 P1 1
0
P0
P1
3.4 单部件可修系统
单部件系统是指一个单元组成的系统(或把整个系 统当作一个单元来研究)，部件故障，则系统故障； 部件正常，则系统正常。
0
x(t)
(系统状态)
1
时刻t系统正常 时刻t系统故障
3.2 状态转移图
由此可写出系统的转移矩阵为:
转移矩阵Pij也表示事件ei 发生的条件下，事件ej发生的 条件概率：Pij=P(ej|ei) ；
矩阵 P:行是起始状态，由小到大；列是到达状态，由 小到大排列，建立P时应与转移图联系起来。
3.2 状态转移图
例2
对于一可修系统，失效率和修复率λ、μ为常 数，试画出状态转移图：
3.3 n步转移后系统各状态概率
设平稳状态概率为P(n)=[ P1, P2…Pn], P为一步转 移概率矩阵，则求平稳状态概率，只需求解以下
方程：
P(n) P P(n)
或写成：
P11 P12 P1n
P1
P2
Pn
P21
P22
P2
n
P1
P2
Pn
Pn1
Pn2
Pnn
3.3 n步转移后系统各状态概率
3.1 马尔可夫过程
马尔可夫过程定义
马尔可夫过程是一类“后效性”的随机过程。 简单地说，在这种过程中系统将来的状态只与现 在的状态有关，而与过去的状态无关。或者说， 若已知系统在t0时刻所处的状态，那么t> t0时的状 态仅与时刻t0的状态有关。
3.1 马尔可夫过程
马尔可夫过程的数学描述
设{x(t),t≥0}是取值在E={0,1,2,…}或E={0,1,2,…,N}上的一 个随机过程。若对任意n个时刻点0≤t1<t2<…<tn 均有:
第三章 可修复系统的可靠性
3.1 马尔可夫过程 3.2 状态转移图 3.3 n步转移后系统各状态概率 3.4 单部件可修系统 3.5 串联可修系统 3.6 并联可修系统
引言
可修复系统的组成单元发生故障后，经过修理 可以使系统恢复至正常工作状态，如下图所示。 如果工作时间和修复时间都服从指数分布，就可 以借助马尔可夫过程来描述。
e1——正常； e2——故障。
3.2 状态转移图
由此可写出：
此时转移矩阵P也称为微系数矩阵
通常令Δt=1,则有
P
1
1
由此可知，状态转移图是求解(写出)转移矩阵的基础。
3.3 n步转移后系统各状态概率
P 设系统初始状态是 i n步转移 j的概率
(n) ，由切普
ij
曼—柯尔莫哥洛夫方程，Pi(jn) 可表示为：
P(n) P(0) Pn
式中
P－1步转移概率；
Pn－n步转移概率； n－转移步数(次数)；
P(0)－系统初始状态向量， P(0)=[ P1(0), P2(0)…] Pi(0)－初始t=0时刻系统处于i状态的概率 P(n)－n步转移后系统所处状态向量，P(n)=[ P1(n), P2(n),…] Pi(n) －n步转移后系统处于i状态的概率
0
1 / 2 /
2 5
1/ 2 2) P(0) P2 P(0) P P P(1) P 1/ 2
1/
2
1/ 2 /
2 5
1/ 3/
2 5
0.45
0.55
P(3) 0.445 0.555
P(5) 0.44445 0.55555
由此可知，随着n的递增，P1(n)、 P2(n)逐渐趋于稳定。 稳定状态概率称为极限概率。
即由全部一步转移概率可确定全部两步转移概率。 若重复上述方法，就可由全部一步转移概率决定 所有的转移概率。
若用矩阵表示n步转移概率，即 P(n) [Pi(jn)] ，则 有：
P P P (n)
kl
P 转移矩阵
3.3 n步转移后系统各状态概率
一般地，可利用转移概率和系统的初始状态，求出任意转 移后系统各状态的概率。公式如下：
3.4 单部件可修系统
部件的失效率、修复率分别是常数λ、μ，则：
t时刻系统处于工作(正常工作)状态，在 t→t+Δt之间内发生故障的条件概率为λΔt
(即为 P01 )
t时刻系统处于故障状态，在t→t+Δt之间即Δt 时间内修复好的条件概率为μΔt
(即为 P10 )
3.4 单部件可修系统
单部件可修系统状态转移图
3.4 单部件可修系统
上图中:
P01 P01(t) P{x(t t 1) | x(t) 0} t
条件概率
P00 P00 (t) P{x(t t 0) | x(t) 0} 1 t
同理:
P10 P10 (t) P{x(t t 0) | x(t) 1} t P11 P11(t) P{x(t t 1) | x(t) 1} 1 t
P1(t t) 的表达式
3.4 单部件可修系统
P0 (t t) P{x(t t) 0} P{x(t t) 0 | x(t) 0}P{x(t) 0} P{x(t t) 0 | x(t) 1}P{x(t) 1} P00 (t) P0 (t) P10 (t) P1(t)
P{x(tn)=in|x(t1)=i1,x(t2)=i2,…,x(tn-1)=in-1} =P{x(tn)=in|x(tn-1)=in-1} i1,i2,…,in∈E
则称{x(t),t≥0}为离散状态空间E上连续时间马尔可夫过程。
3.1 马尔可夫过程
齐次马尔可夫过程
如果对任意t,u≥0,均有 P{x(t+u)=j|x(u)=i}=Pij(t) i,j∈E
回顾复习
维修度M(τ)
对可修产品在发生故障或失效后，在规定的条件下和 规定的时间（0, τ）内完成修复的概率。
修复率μ(τ)
修理时间已达到某个时刻但尚未修复的产品，在该时 刻后的单位时间内完成修复的概率。
有效度A(t)
可维修产品在某时刻t具有或维持其功能的概率。
第三章
可修复系统的可靠性
3.1 马尔可夫过程
齐次马氏过程的性质
n
0 Pij 1; Pij 1 j 1
可以证明，对系统寿命以及故障后的修 复时间均服从指数分布时，则系统状态变 化的随机过程{x(t),t≥0}是一个齐次马尔可 夫过程。
3.1 马尔可夫过程
三条假设
a) ，为常数(即寿命和维修时间服从指数分布) b) 部件和系统取正常和故障两种状态。 c) 在相当小的t内，发生两个或两个以上部件同
同理可得：
P1(t t) tP0 (t) (1 t)P1(t)
P1(t) P0 (t) P1(t)
(2)
(1)、(2)联立即可求出 P0 (t) 和 P1(t) 。
(1)、(2)的联立方程称为状态方程
3.4 单部件可修系统
下边求解状态方程 对上述(1)、(2)两边取拉氏变换：
3.3 n步转移后系统各状态概率
如果转移矩阵P经过n次相乘后，所得矩阵的全部元素都大
于0,即
P(n) ij
0
(i,jE),(注：常以此为判断马尔可夫链是
否为各态历经的或是否存在极限概率)，则这样的转移矩
阵都是遍历矩阵。遍历矩阵一定存在极限概率(或稳定状
态)。
经过n步转移后的极限状态，就是过程的平稳状态，既然 如此，即使再多转移一步，状态概率也不会有变化，这样 可以求出平稳状态。
3.3 n步转移后系统各状态概率
本例n时的极限概率为P1()=4/9, P2()=5/9,即n时，
Pn 将收敛于一个定概率矩阵，即(本例为)：
Pn
4 4
/ /
9 9
5 / 9 5 / 9