第四讲模糊数学方法汇总

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0, x a,
②
偏大型
A
x
x b
a a
,
a
x
b,
y
1, x b.
1
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Oa b
x 24
0, x a,
x
a
,
a
x
b,
③
中间型
A
x
b
a 1,
b x c,
y
d
x
,
c
x
d
1
d c
0, x d.
Oa b c d x
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(2) 抛物形分布
① 偏小型
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和关系，这类问题往往可以用模糊数 学方法处理。
本讲主要介绍模糊集、模糊模式 识别、模糊聚类和模糊综合评价。
本讲要掌握的重点是： 1. 理解模糊集相关概念，在数学 建模问题中正确选用模糊数学方法； 2. 掌握确定隶属度的常用方法，
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能根据具体问题构造适当的隶属度函 数；
3. 能编程实现模糊模式识别，能 利用提供的程序进行模糊聚类和模糊 综合评价。
模糊分布法将隶属函数看成一种 模糊分布，首先根据问题性质选取适 当的模糊分布，然后再依据相关数据 确定分布中的参数。
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下面介绍几种常用的模糊分布。
(1) 梯形与半梯形分布
① 偏小型
1, x a,
y 1
A
x
b
b
x a
,
a
x
b,
0, x b.
O
a
bx
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2
1
,
50
x 100.
1,
0 x 25,
B
x
1
x
25 5
2
1
,
25
x 100.
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2. 模糊集的运算
由于模糊集中没有元素和集合间
的绝对隶属关系，所以模糊集的运算
是通过隶属函数完成的。
设模糊集A,B的隶属函数为A x, B x，则A与B的常用运算有
控制论专家扎德1965年引入了模糊集
概念。
定义 设给定论域 U，所谓U上的
一个模糊集A是指对于任意 x U，都
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都能确定一个正数 A x[0,1] ，用
其表示 x 属于A的程度。映射
x U A x[0,1] 称为A的隶属函数，函数值 A x 称
为x对A的隶属度。 显然，每个元素都有隶属度的集
其中 , 分别表示取大，小运算。
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3. 隶属度函数的确定 由模糊集的概念可知，模糊数学
的基本思想是隶属度，所以应用模糊 数学方法建立数学模型的关键是建立 符合实际的隶属函数。然而，如何确 定一个模糊集的隶属函数至今还是尚 未完全解决的问题。
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确定隶属度的常用方法有模糊统 计法、二元对比排序法和模糊分布法 等。其中，模糊分布法在数学建模中 较为常用。
(1) 包含：A B A x B x (2) 相等：A B A x B x
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(3) 交：C A B C x
A x B x (4) 补：AC AC x 1 A x
(5) 内积：A B A x B x xU
(6) 外积：A B A x B x xU
1,
x a,
y 1
A
x
b b
x a
k
,
a
x
b,
0,
x b.
O
a
b
x
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② 偏大型 0,
x a,
A
x
x b
a a
k
,
a
x
b,
y
1,
x b.
1
Oa
b
x
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③ 中间型
0,
x a,
xa ba
k
,
a
x
b,
A
x
1,
b x c,
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8. 分类水平的含义。 9. 最佳分类水平的确定。 10. 模糊聚类程序与练习。 11. 模糊综合评价的基本思想和具体 步骤。 12. 评价指标权重的确定。 13. 如何进行模糊合成和综合评价。 14. 模糊综合评价程序与练习。
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二、模糊集的相关概念
1. 模糊集 现实中的许多现象及关系比较模
合即为模糊集。确定模糊集的关键是
构造隶属函数。
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下面通过两个例子说明如何构造 隶属度，定义模糊集。
例1 从下列30条线段中选出长线 段。
…… 1234
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…… 28 29 30
13
解 “长”是模糊概念，可用模
糊集描述。
设 xi 表 示 第 i(i=1,2,…,30) 条 线 段 , 则论域 U={x1, x2,…, x30}。
若A为“长线段”的集合，则线 段xi作为集A的成员资格，就是xi对A 的隶属度。
下面建立A的一种隶属函数。
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因为线段越长，属于A的程度越 大，所以线段的长短可作为A的隶属 度。从而，令A(x1)=1, A(x30)=0，作 直线
A
xi
0
10 1 30
i
30
从而得第i条线段xi属于“长线段”集 A的隶属函数
y 1
d d
x c
k
,
c
x
d
0,
x d.
Oa b c
dx
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(3) 柯西分布
糊。如高与矮，长与短，大与小，多 与少，穷与富，好与差，年轻与年老 等。
这类现象不满足“非此即彼”Biblioteka Baidu 排中律，而具有“亦此亦彼”的模糊 性。 2020/10/2 需要指出的是，模糊不确定不同 10
于随机不确定。随机不确定是因果律
破损造成的不确定，而模糊不确定是
由于排中律破损造成的不确定。
为了研究模糊现象和关系，美国
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A
xi
1 29
30
i
,
i
1,
2,
, 30
例2 在标志年龄(0～100)的数轴
上，标出“年老”和“年轻”区间。
解 取论域U=[0, 100]，集合A和B
分别表示“年老”和“年轻”，扎德
给出它们的一种隶属函数
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0,
0 x 50,
A
x
1
x
50 5
2013数学建模培训
第四讲 模糊数学方法
一、引 言
现实世界中的许多现象和关系具 有不确定性。这些不确定性的表现形 式是多种多样的，如随机性、模糊性、 粗糙性和灰色性等。
模糊数学正是利用模糊集及其运 算研究、处理模糊不确定现象和关系 的数学分支学科。
许多数学建模问题包括模糊现象
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下面给出本讲的问题提纲，以便 于大家学习。
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1. 如何理解模糊集、隶属函数以及隶 属度？ 2. 模糊集合的常用运算。 3. 构造隶属函数的常用方法。 4. 如何理解模糊集合间的贴近度？ 5. 模糊识别的常用原则及适用场合。 6. 模糊聚类的一般步骤。 7. 相似系数的确定方法。
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