连续小波变换和离散小波变换.ppt
一看就懂的小波变换ppt

8
8
[32.5,0, 0.5,0.5,31,-29,27,-25]
Haar小波反变换:
1 1 1 0 1 0 0 0 32.5 64
1
1
1
0 -1
0
0
0
0
2
1 1 -1 0 0 1 0 0 0.5 3
1 1 -1 1 -1 0
0 1
0 -1 00
0 1
0 0
0.5
31
61 60
傅立叶变换: Of M log2 M
小波变换:
Ow M
设有信号f(t):
其傅里叶变
换为F(jΩ):
即:
f (t) 1 F ( j)e jtd
2
பைடு நூலகம் =
1
0. 8
0. 6
0. 4
0. 2
0 -0. 2 -0. 4 -0. 6
Ψ(t)
-0. 8
-1 0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
+
1
0. 8
0. 6
二维金字塔分解算法
令I(x,y)表达大小为M N旳原始图像,l(i)表达相对于分析
小波旳低通滤波器系数,i=0,1,2,…,Nl-1, Nl表达滤波器L旳 支撑长度; h(i)表达相对于分析小波旳高通滤波器系数,
i=0,1,2,…,Nh-1, Nh表达滤波器H旳支撑长度,则
IL x,
y
1 Nl
1.2 二维小波变换(二维多尺度分析)
二维小波变换是由一维小波变换扩展而来旳,二维尺度 函数和二维小波函数可由一维尺度函数和小波函数张量 积得到,即:
小波变换入门.ppt

f f
(2 j , x, (2 j , x,
y)
y)
2
j
x
y
f f
(x, (x,
y) y)
a a
(x, (x,
y)
y)
2
j
grad
f
(x,
y)
a
(x,
y)
37/103
整个图像的二进小波变换即矢量:
W (1) f (2 j , x, y)
T
W
(
T
2)
f
(2
j,
x,
y)
WT
f
(2
j,
x,
尺度空间的递归嵌套关系: 0 V1 V0 V1 L2 R
小波空间 W是j 和V j 之V间j1 的差,即 时丢V 失j 的信息V j。1 推出:
V0 W0 W1 Wj V j1
V0
Vj,它Wj 捕 V捉j1 由 逼近
V j1
L2 R
V j1
Vj
多分辨率的空间关系图
19/103
两尺度方程
1 ( x, y)
(x) (y)
2 ( x, y)
(x)(y)
3 ( x, y)
(x) (y)
与 (x, y)一起就建立了二维小波变换的基础。
26/103
图像的小波变换实现
1. 正变换 图像小波分解的正变换可以依据二维小波变换按如 下方式扩展,在变换的每一层次,图像都被分解 为4个四分之一大小的图像。
线性
设: xt g t ht
WTx a,b WTg a,b WTh a,b 平移不变性
若 xt WTx a,b,则 xt WTx a,b
伸缩共变性
连续小波变换和离散小波变换.ppt

和 WFT 在所有时间和频率都有相同的分辨率不一 样, 小波变换在高频段有好的时间分辨率和差的频率分 辨率,而在低频段有差的时间分辨率和好的频率分辨 率。 即小尺度因子 (对应高频段) 有更好的尺度分辨率 (即能更精确地确定尺度因子的值) ,大尺度因子对应 于更差的尺度分辨率。
例 已知一信号f(t)=3sin(100πt)+2sin(68πt)+ 5cos(72πt),且该信号混有白噪声,对该信号进行连续 小波变换。小波函数取db3,尺度为1、1.2、1.4、 1.6、…、3。其MATLAB程序如下:
3.2 连续小波变换的计算
设 f(t)是一个信号,我们选好了一个母小波函数 。 一旦选好了母小波,则从 a=1 开始计算 CWT。一般 而言,由于所研究的实用信号是带限的,因此只需要计算 对应于有限区间内的尺度的 CWT。 为方便起见,计算从 a=1 开始,a 将不断增大。即计 算将从高频算到低频。 a 的第一个值对应最紧缩的小波。 当 a 的值增大时,小波将逐渐膨胀。
但是 WFT 和小波变换之间有两个不同之处。 1. 加窗信号不做 Fourier 变换; 2. 小波变换的最重要特点是在计算每个频率成分时可 改变窗口的形状。
ˆ ( ) 定义 3.1 设 ψ L2(R) L1(R)。若它的 Fourier 变换
满足
ˆ ( ) | 2 | 0 C d | |
程序输出结果如下图所示。灰度颜色越深,表示系数的值 越大。
图1.11
3.3 几种常用的连续小波基函数
Harr 小波(1910 年由数学家 A. Harr 提出)
1 0 t 1 2 1 t 1 1 2 0 else
2
h(t)=
《小波变换》课件

离散小波变换
定义
离散小波变换是对连续小波变换 的离散化,即将时间和频率轴进 行离散化,使小波变换能够应用 于数字信号处理。
原理
离散小波变换通过将信号进行离 散化,将连续的小波变换转换为 离散的运算,从而能够方便地应 用于数字信号处理系统。
应用
离散小波变换在图像压缩、数字 水印、音频处理等领域有广泛应 用,能够提供较好的压缩效果和 数据隐藏能力。
小波变换的应用拓展
图像处理
研究小波变换在图像压缩、去噪、增强等方面的应用,提高图像 处理的效果和效率。
语音信号处理
将小波变换应用于语音信号的降噪、特征提取等方面,提高语音 识别的准确率。
医学成像
利用小波变换对医学成像数据进行处理,提高医学影像的质量和 诊断准确率。
小波变换的算法优化
快速小波变换算法
《小波变换》ppt课 件 (2)
THE FIRST LESSON OF THE SCHOOL YEAR
目录CONTENTS
• 小波变换概述 • 小波变换的基本原理 • 小波变换的算法实现 • 小波变换在图像处理中的应用 • 小波变换的未来发展与挑战
01
小波变换概述
小波变换的定义
小波变换是一种数学分析方法,它通 过小波基函数的平移和伸缩,将信号 分解成不同频率和时间尺度的分量。
提供较好的特征提取和分类能力。
01
小波变换的算法实 现
常用的小波基函数
Haar小波
Daubechies小波
是最简单的小波,具有快速变换的特性, 但缺乏连续性和平滑性。
具有紧支撑性和良好的数学特性,广泛应 用于信号处理和图像处理。
Morlet小波
具有振荡性,适用于分析非平稳信号。
第三章连续小波变换和离散小波变换解读

R (t t0 )2 | (t) |2dt
= [ ]
1 || ˆ || 2
R ( 0 )2 |ˆ () |2d
1 2
则 a,b (t) 的窗口中心为 ta,b=at0+b,宽度为 ta,b=a t,ˆa,b () 的
窗口中心为
a,b=
1 a
0
,宽度为 a,b
1 da
f(t)= C 0 a2 WT f (a,b) a,b (t)db
小波分析中的尺度参数的倒数类似于地图上的比例尺。 我国的地形图比例尺有八种(即八种基本比例尺):1:5000 ,1:10000,1:25000,1:50000,1:100000,1:250000 ,1:500000,1:1000000。其中比例尺大于 1:10000 的 是大比例尺(一般小于 1:500),比例尺在 1:25000 和 1:100000 之间的是中比例尺,比例尺小于 1:250000 的 是小比例尺(一般小于 1:100 万)。
则 称 ψ 为 一 个 基 本 小 波 或 小 波 母 函 数 (mother
wavelet)。以上条件称为允许性条件,常数 C 称为允许
性常数。
小波这个词中的“小”指的是该函数是有限宽度的,它 们在时域都具有紧支集或近似紧支集。原则上,任何满足允 许性条件的函数都可以作为小波母函数,但实际上常选取时 域具有紧支集或近似紧支集(具有时域局部性)的具有正则 性(具有频域局部性)的函数作为小波母函数,以使小波母 函数在时—频两域都有较好的局部性。“波”指的是该函数 是振荡的,图像具有正负交替的波动性。因为
=
1 a
。
注:作为一种数学变换,伸缩变换用于膨胀或紧缩一个信号 。大尺度因子对应于信号的膨胀,而小尺度因子对应于信号 的紧缩。
小波变换简介PPT课件

47
X = waverec2(C,S,'wname')
reconstructs the matrix X based on the multi-level wavelet decomposition structure [C,S]
从小波和正弦波的形状可以看出,变化剧烈的信号, 用不规则的小波进行分析比用平滑的正弦波更好, 即用小波更能描述信号的局部特征。
18
连续小波基函数
将小波母函数 进行伸缩和平移后得到 函数
a,b(t)a1 2(t ab),a0,bR
称该函数为依赖于参数a,τ的 小波基函数。a 为尺度因子,b为位移因子 。
39
小波重构
重构概念
把分解的系数还原成原始信号的过程叫做小波重构 (wavelet reconstruction)或合成(synthesis),数学上叫做 逆离散小波变换(inverse discrete wavelet transform, IDWT)
两个过程
在使用滤波器做小波变换时包含滤波和降采样 (downsampling)两个过程,在小波重构时也包含升采 样(upsampling)和滤波两个过程。
Wavevlet “dB1”二级分解
水平细节分量cH
近似分量cA 垂直细节分量cV 对角细节分量cD
[C,S] = wavedec2(X,N,'wname')
returns the wavelet decomposition of the matrix X at level N, using the wavelet named in string 'wname‘. Outputs are the decomposition vector C and the corresponding bookkeeping matrix S.
小波变换课件

小波变换的基本思想是将信号分 解成一系列的小波函数,每个小 波函数都有自己的频率和时间尺
度。
小波变换通过平移和缩放小波函 数,能够适应不同的频率和时间 尺度,从而实现对信号的精细分
析。
小波变换的特点
01
02
03
多尺度分析
小波变换能够同时分析信 号在不同频率和时间尺度 上的特性,提供更全面的 信号信息。
图像去噪
利用小波变换去除图像中的噪声,提高图像的清晰度和质 量。
在小波变换中,噪声通常表现为高频系数较大的值,通过 设置阈值去除这些高频系数,可以达到去噪的效果。去噪 后的图像能够更好地反映原始图像的特征和细节。
图像增强
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
利用小波变换增强图像的某些特征,突出显示或改善图像的某些部分。
通过调整小波变换后的系数,可以增强图像的边缘、纹理等特定特征。这种增强 方式能够突出显示图像中的重要信息,提高图像的可读性和识别效果。
在信号处理、图像处理、语音识别等 领域有广泛应用。
特点
能够同时分析信号的时域和频域特性 ,具有灵活的时频窗口和多分辨率分 析能力。
离散小波变换
定义
离散小波变换是对连续小波变换 的离散化,通过对小波函数的离 散化处理,实现对信号的近似和
细节分析。
特点
计算效率高,适合于数字信号处理 和计算机实现。
应用
在信号处理、图像处理、数据压缩等领域有广泛应用,如语音压缩、图像压缩 、数据挖掘等。
CHAPTER 04
小波变换在图像处理中的应用
图像压缩
利用小波变换对图像进行压缩,减少存储空间和传输带宽的 需求。
通过小波变换将图像分解为不同频率的子带,去除高频细节 ,保留低频信息,从而实现图像压缩。压缩后的图像可以通 过逆小波变换重新构造,保持图像质量的同时减小数据量。
小波变换ppt课件

自适应压缩
在此添加您的文本16字
小波变换的自适应性质使得它在压缩过程中能够根据信号 的特性进行动态调整,进一步提高压缩效率。
信号去噪
有效去噪 多尺度分析 自适应去噪
小波变换能够检测到信号中的突变点,从而在去噪过程 中保留这些重要特征,同时去除噪声。
小波变换的多尺度分析能力使其在去噪过程中能够同时 考虑信号的全局和局部特性,实现更准确的去噪效果。
小波变换的算法优化
1 2
小波变换算法的分类
介绍不同类型的小波变换算法,如连续小波变换、 离散小波变换等。
算法优化策略
探讨如何优化小波变换算法,以提高计算效率和 精度。
3
算法实现技巧
介绍实现小波变换算法的技巧和注意事项。
小波变换在实际应用中的挑战与解决方案
01
小波变换在信号处理中的应用
介绍小波变换在信号处理领域的应用,如信号去噪、特征提取等。
小波变换ppt课件
• 小波变换概述 • 小波变换的基本原理 • 小波变换的算法实现 • 小波变换在信号处理中的应用 • 小波变换在图像处理中的应用 • 小波变换的未来发展与挑战
01
小波变换概述
小波变换的定义
01
小波变换是一种信号处理方法, 它通过将信号分解成小波函数的 叠加,实现了信号的多尺度分析 。
02
小波变换在图像处理中的应用
探讨小波变换在图像处理领域的应用,如图像压缩、图像增强等。
03
实际应用中的挑战与解决方案
分析小波变换在实际应用中面临的挑战,并提出相应的解决方案。
THANKS
感谢观看
离散小波变换具有多尺度、多方向和自适应的特点,能够提供信号或图像在不同尺 度上的细节信息,广泛应用于信号降噪、图像压缩和特征提取等领域。
《小波分析概述》PPT课件

Heisenberg不等式表明窗口Fourier变换的时 窗半径和频窗半径, 一个减小必然引起另一个的 增大, 不能同时减小.
窗口Fourier变换的窗函数选定以后, 其时-频 窗就固定不变了, 这样就限制了窗口Fourier变换 的实际应用. 为了提取高频分量的信息, 时窗应该 尽量地窄, 而允许频窗适当地宽; 对于低频分量, 时窗则应适当加宽, 以保证至少能包含一个周期的 过程, 频窗应当尽量缩小, 保证有较高的频率分辨率.
§4.2 窗口Fourier变换简介
窗口Fourier变换是在 Fourier 变换的框架内, 将非平稳过程看成是一系列短时平稳信号的叠加, 通过在时域上加上窗口来实现短时性. 通常选择在 有限区间外恒等于零或迅速趋于零的钟形函数g(t) 作为窗函数, 用平移滑动的窗函数g(t-t)与信号f (t) 相乘, 有效地抑制了t=t 邻域以外的信号, 在t 附近 开窗, 通过平移来覆盖整个时间域. 再进行Fourier 变换, 所得的结果反映了t=t 时刻附近的频谱信息, 从而产生了时域局部化的作用.
设 f , g Lk12, k(2R是)任,意常数, 则
W (k1 f k2g) (a,b) k1 W f (a,b) k2 W g (a,b).
(2) 平移性质
设 f L2则(R),
W f (t t0 ) (a,b) W f (t) (a,b t0).
(3) 尺度法则
第四章 小波变换基础
§4.1 小波变换的背景 §4.2 窗口Fourier变换简介 §4.3 连续小波变换 §4.4 二进小波变换和离散小波变换 §4.5 多分辨分析 §4.6 Mallat分解与重构算法
主要内容
小波分析是当前数学中一个迅速发展的 新领域,它也是一种积分变换,是一个时间和 频率的局域变换,因而能有效地从信号中提 取信息,通过伸缩和平移等运算功能对函数 或信号进行多尺度细化分析,解决了Fourier 变换不能解决的许多困难问题.本章简单介绍 小波变换的基本理论和应用.
第三章连续小波变换和离散小波变换.

ˆ a,b () 的 则 a,b (t ) 的窗口中心为 ta,b=at0+b, 宽度为 ta,b=a t,
1 a , b 0 ,宽度为 窗口中心为 a,b= =a 。
1 a
注:作为一种数学变换,伸缩变换用于膨胀或紧缩一个信号 。大尺度因子对应于信号的膨胀,而小尺度因子对应于信号 的紧缩。 在数学上, 设 f(t)是一个给定函数, 则当 s>1 时, f(st) 表示 f(t)的一个紧缩,当 s<1 时,则表示 f(t)的膨胀。 在小波变换中,当尺度因子 a>1 时基函数被膨胀,当 a<1 时基函数被紧缩。
然后在尺度因子 a=1 处的小波向右移动 τ 个单位到 b=τ 处,在 a=1,b=τ 处计算 CWT,这相当于得到了时 间—尺度平面上对应于点 a=1,b=τ 的变换值。 重复上述过程, 直到到达信号的结束。 这时对应于尺 度因子 a=1 的时间—尺度平面上的一行点计算完毕。 然后 a 的值增加一点点。本来这是一个连续变换, 因此 b 和 a 的值应该连续增加。但如果用计算机来计算 小波变换的话,则 b 和 a 都必须以小步长增加。这就相 当于对时间—尺度因子相平面进行采样。
a,b (t ) 为依赖于参数
a,b 的小波基函数。由于 a,b 是连续取
值,故称对应的小波基函数族{ a,b (t ) }为连续小波基函数。
记小波母函数ψ(t)的窗口半径为 t,中心为 t0,它的 Fourier 变换ˆ ( ) 的窗口半径为 ,中心为 0,则 t0= || ||
3.2 连续小波变换的计算
设 f(t)是一个信号,我们选好了一个母小波函数 。 一旦选好了母小波,则从 a=1 开始计算 CWT。一般 而言,由于所研究的实用信号是带限的,因此只需要计算 对应于有限区间内的尺度的 CWT。 为方便起见,计算从 a=1 开始,a 将不断增大。即计 算将从高频算到低频。 a 的第一个值对应最紧缩的小波。 当 a 的值增大时,小波将逐渐膨胀。
小波变换原理与应用PPT课件

种函数,“容许”条件非常重要,它限定了小波变换的
可逆性。
(x) ()
()2
C
d
小波本身是紧支撑的,即只有小的局部非零定义域, 在窗口之外函数为零;本身是振荡的,具有波的性质 ,并且完全不含有直流趋势成分,即满足
(x) (x)dx0
.
5
小波的基本概念——什么是小波
➢ 原始小波称为母小波。母小波在时域、频域的 ➢ 有效延伸范围有限,位置固定。为了分析时域、频域的
小波变换原理与应用
.—什么是小波 小波的发展历史——工程到数学 小波的基本类型——多分辨分析 小波的快速算法——Mallat算法 小波包分解算法——精细化处理 小波的工程应用——时频分析与降噪等 小波的结合应用——小波网络等
.
2
小波的基本概念——什么是小波
在当代信息社会,诸多领域都会涉及到信号的分析、 加工、识别、传输及储存等问题。长期以来,傅里叶 变换一直是处理这方面问题最重要的工具,并且已经 发展了一套内容非常丰富并在许多实际问题中行之有 效的方法。 但是傅里叶分析的致命弱点是不能做局部分析,只适 用于平稳信号的分析。而在实际中,瞬变信号大量存 在,人们往往需要的是某一时问内的某一频段的信息 。为克服傅里叶分析的不足,出现了小波分析。
j ln 2
1 2 3 4 56
1 2 3 4 5 6 kTs
.
25
小波的基本类型——多分辨分析
离散小波变换的可逆问题——框架理论 DWT的可逆问题蕴含的是DWT的表达能够完整的表达 待分析信号的全部信息,这就需要数学上的框架理论 作为支撑了,如果对于所有的待分析信号满足框架条 件,那么DWT就是可逆的
小波空间相互正交。随着尺度由大到小的变化,可在
《小波变换简介》课件

小波变换与小波包变换的异同
小波包变换是一种基于小波的变换方法,与 小波变换类似,不同的是小波包变换可以将 信号分解成更灵活的基函数库。
总结
1 小波变换是一种重要的信号处理方法
它可以将信号分解成不同频率的组件,支持非周期信号处理,具有时频局部化特性和压 缩性能。
2 在数字媒体技术中具有广泛的应用前景
小波变换简介
小波变换是一种处理非周期信号的重要方法。它不仅可以将信号分解成不同 的频率组件,而且具有时频局部化特性和良好的压缩性能。
什么是小波变换?
1
将信号分解成不同的频率组件
2
小波变换可以将信号分解成一组小波 基函数,每个小波基函数代表一种不
同的频率成分。
离散小波变换和连续小波变换
小波变换分为离散小波变换和连续小 波变换两种形式,分别适用于离散信 号和连续信号的处理。
小波变换在图像压缩、信号去噪和滤波、模式识别和分类等领域中具有广泛的应用前景。 Nhomakorabea1
快速算法
2
快速离散小波变换是提高离散小波变 换运算速度的重要算法,主要包括
Mallat算法、Lifting Scheme算法等。
基本算法
离散小波变换可以通过卷积操作和下 采样操作实现,包括一维和二维离散 小波变换。
小波变换与其他变换方法的比较
傅里叶变换和小波变换的区别
傅里叶变换是将信号分解成基频率的正弦或 余弦函数,而小波变换可以将信号分解成一 组不同尺度的小波基函数。
小波变换的特点
支持非周期信号处理
与傅里叶变换只能处理周 期信号不同,小波变换可 以处理非周期信号。
具有时频局部化特性
小波基函数具有时域和频 域的局部性,这意味着小 波变换可以更好地描述信 号的局部特征。
第十二章 离散小波变换 ppt课件

12.2框架理论
框架定义
k (t), k Z 0 A B
A x(t) 2 x(t),k (t) 2 B x(t) 2 Tk [x(t)] x(t),k (t) k
称k (t), k Z构成L2 (R)空间的一个框架
框架甚至是紧框架不一定能构成空间的的一个基。这意
(t)dt
1
A
j
k WTa0j ,k0 (t)
(t) a0j ,k0
*
a0j0 ,k0
0
(t)dt
1
Aj
k WTa0j ,k0 (t)K ( j0 , k0 ; j, k)
K ( j0 , k0; j, k)
(t) (t)dt a0j ,k0
x(t) x(t),j (t) j (t)
j
当 A B 1 时,紧框架
信号分解不具惟一性
j (t) A1 j (t)
最经济重建公式x(t) A1 x(t), j (t) j (t) j
ppt课件
8
Digital Signal Processing
小波框架的频域表示
A 0 ln a0 2
1
0
ˆ ()
2
d
0 ln a0 2
B
ppt课件
10
Digital Signal Processing
对偶小波框架和信号重建
当 A B 1时
a0j ,k0 (t) a0j ,k0 (t)
x(t) j
味着任一信号按基函数 k (t), k Z 展开时,其展开系数
小波变换课件 第6章 连续小波变换

第6章 连续小波变换6.1 小波及连续小波变换● 定义6.1 设函数12()()()t L R L R ψ∈ ,并且ˆ(0)0ψ=,既()0t dtψ+∞-∞=⎰,则称为一个基本小波或母小波。
对母小波()t ψ做伸缩平移得,()a b t b t a ψ-⎛⎫=⎪⎝⎭(6-1) 称为,()a b t ψ小波函数,简称小波。
其中0a ≠,b 、t 均为连续变量:1) a 为尺度因子,b 为平移因子。
变量a 反映了函数的宽度,b 反映了小波在t 轴上的平移位置,小波函数,()a b t ψ是基本小波函数()t ψ先b 做移位再由a 做伸缩,,a b 不断变化产生的一组函数,又称作小波基函数,或小波基。
2) 母小波的能量集中在原点,小波函数,()a b t ψ的能量集中在b 点。
3)一般,尺度因子0a >,作用是使小波()t ψ做伸缩,a 越大,()t aψ越宽,既小波的持续时间随aa 变化时保持小波,()ab t ψ的能量相等,既2,()a b t ψ2()t ψ=(保范性质)。
● 定义 6.2 设12()()()t L R L R ψ∈ ,且满足条件2ˆ()c d ψψωωω+∞-∞=<∞⎰(6-2) 则称()t ψ为允许小波,上式为允许条件。
由c ψ<+∞知,ˆ(0)0ψ=,既()0t dt ψ+∞-∞=⎰,因此允许小波一定是基本小波;反之,若()t ψ满足1()(1)(0)t c t εψε--≤+>,且ˆ(0)0ψ=,其中c 是一个常数,则式(6-2)成立。
这表明允许条件与()0t dt ψ+∞-∞=⎰几乎是等价的。
从小波的定义知,小波要求由振荡性,既包含着某些频率特征,还要求具有一定的局部性,既它在一定的区间上恒等于零或很快收敛到零。
● 设()t ψ是一个基本小波,,()b a t ψ是连续小波函数,对于()f t 2()L R ∈,其连续小波变换定义为(,)f WT ab ()*t b f t dt a ψ+∞-∞-⎛⎫=⎪⎝⎭,,a b f ψ= (6-3)其中,0a ≠,b 、t 均为连续变量,*()t ψ表示()t ψ的共轭。
第7章-小波变换ppt课件

第七章 频域处理
波和小波-波与小波之间的差异
上部两条曲线是频率不 同的余弦波,持续宽度 相同。底下的两条是沿 着轴向频率和位置都不 相同的小波。最古老又 最简单的小波 -Haar小 波 ,它的基向量都是由 一个函数通过平移和伸 缩来产生的。
.
第七章 频域处理
生动的例子:小波和音乐
乐谱可以看作描绘了一个二维的时频空间。频率(音高)从层次的底部向上 增加,而时间(以节拍来测度)则向右发展。乐章中每一个音符都对应于一 个将出现在这首歌的演出记录中的小波分量(音调猝发)。每一个小波持续 宽度都由音符(为四分之一音符、半音符等)的类型来编码。
该式表示小波变换是信号f(x)与被缩放和平移的小波函数ψ() 之积在信号存在的整个期间里求和的结果。CWT的变换结果是许 多小波系数C,这些系数是缩放因子(scale)和平移(positon) 的函数。
.
第七章 频域处理
基本小波函数ψ()的缩放和平移操作含义如下:
(1) 缩放——压缩或伸展基本小波, 缩放系数越小, 则小 波越窄,如图所示。
.
第七章 频域处理
2. 离散小波变换 ( Discrete Wavelet Transform ,DWT)
如果缩放因子和平移参数都选择为2j(j>0且为整数)的倍 数, 即只选择部分缩放因子和平移参数来进行计算,会使分析 的数据量大大减少。使用这样的缩放因子和平移参数的小波变 换称为双尺度小波变换(Dyadic Wavelet Transform),它是离 散小波变换(Discrete Wavelet Transform, DWT)的一种形式。 通常离散小波变换就是指双尺度小波变换。
.
第七章 频域处理
离散小波变换的有效方法是使用滤波器, 该方法是Mallat 于1988年提出的,称为Mallat算法。
信号分析_第5章 小波变换

a , a ,b (t )时宽
2) 窗口中心 * 时窗中心 t
t | a,b (t ) |2 dt at0 b
t0 为 a 1 , b 0 之时窗中心
1 频窗中心 ˆ a,b ( ) ||2 ||
*
ˆ a,b ( ) | d |
12
窗口面积与 a,b无关,只由小波母函数决定
20
0
2 / 2
0 / 2
t
时窗中心
t * at0 b
频窗中心
* 0
a
时窗宽度
t
a,b
频窗宽度
a,b a
13
a t
(5) . 窗口特性
i) 时窗和频窗中心分别随a和1/a成正比例变化;
ii) 时窗宽度和频窗宽度分别随a和1/a发生变化;
第7章 小波分析
主要内容
连续小波变换的基本概念 小波变换的性质
小波分类和常见的小波
离散小波变换
1
1. 连续小波变换的时域定义 1 * t b Ws (a, b) s (t ) dt a a
* Ws (a, b) s(t ) a ,b (t )dt
7
说明:
信号s(t)的小波变换 Ws (a, b)是a和b的函数。 母小波可以是实函数,也可以是复函数。
a ,b (t )在时域是有限支撑的,则和s(t)作内积后,将
保证小波变换 Ws (a, b) 在时域也是有限支撑的,从 而实现所希望的时域定位功能。 Ws (a, b)所反映的, 是在b附近的性质
(t )
(t 1)
1 -1
第十一章连续小波变换剖析精品PPT课件

3
Digital Signal Processing
✓Meyer小波
0 8 / 3 or 0 2 / 3
ˆ ()
e j / 2
1
exp
32 3
(
2
1/ 2
8 / 3 )2 ( 4 / 3 )2
e j / 2
4 / 3
e j / 2
1
exp
4 3
▪时频堆砌 “变焦”功能示意图
宽分析窗
窄分析窗
Digital Signal Processing
▪小波变换的发展 •地质物理学家J.Morlet提出了分析窗的尺度伸缩和平移概念 •数学家Y.Meyer构造了近似光滑的正交小波基
•S.Mallat提出了多分辨率概念,引出构造正交小波基的一般方法 •I.Daubeices在此基础上构造了著名的Daubeices正交小波基
Digital Signal Processing
✓Matlab工具箱中常用小波及其特性比较
Digital Signal Processing
11.3连续小波变换的性质
▪线性性
y(t) x1(t) x2 (t)
▪时移不变性
WTy (a, ) WTx1 (a, ) WTx2 (a, )
✓尺度伸缩平移窗函数的特性 ▪尺度a增加,分析窗时域伸展,带宽变小 ▪尺度a减小,分析窗时域收缩,带宽变大 ▪分析窗的时间——带宽乘积等于常数 ˆa, 常数
Digital Signal Processing
例, (t) (1 t 2 )et2 / 2
a ,
(t)
1
(t
a
)2
( t
ea
Digital Signal Processing
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a,b 的小波基函数。由于 a,b 是连续取
值,故称对应的小波基函数族{ a,b (t ) }为连续小波基函数。
记小波母函数ψ(t)的窗口半径为 t,中心为 t0,它的 Fourier 变换ˆ ( ) 的窗口半径为 ,中心为 0,则 t0= || ||
ˆ (0) = R (t )dt =0。“母”指的是小波变换中用到的基函数
都是从它生成的。即母小波是生成其它窗函数的样本。
定义 3.2 设 ψ(t)是一个小波函数。 对它进行伸缩和平移变 换得
a ,b (t )
1 t b ( ),a 0,b R a |a|
其中 a 为伸缩因子(尺度因子,scale) ,b 为平移因子。称
2)海森堡测不准原理告诉我们:在任何尺度因子 a 和 平移因子 b 上,小波基函数 a,b (t ) 的时—频窗面积是不变的, 即时间、尺度分辨率是相互制约的,不可能同时提得很高。
小尺度因子 高频 持续时间短 窄的时间窗口,宽的频率窗口 大尺度因子 低频 持续时间长 宽的时间窗口,窄的频率窗口
1
2
2
R
t | (t ) | 2 dt ,
2
0= || ˆ || R | ˆ ( ) |
1
d
t= || || [
2
1
R
(t t 0 ) 2 | (t ) | 2 dt
] ,
1
1 2
=
1 ˆ || 2 ||
[
R
ˆ ( ) | 2 d ] 2 ( 0 ) 2 |
在地图中,在同样的图幅中,比例尺越大,地图所表示 的范围越小,图内表示的内容越详细,精度越高;比例尺越 小,地图上所表示的范围越大,反映的内容越简略,精确度 越低。小比例尺(小于一百万分之一)得到的是整个地区的 地形概貌,细节不多,而大比例尺(大于万分之一)得到的 是局部地区的细节。类似地,在信号分析中,低频率段(大 尺度因子段,相当于小比例尺)对应一个信号的整体信息( 时间跨度大),而高频率段(小尺度因子段,相当于大比例 尺)对应信号中一个内在模式的详细信息(时间跨度小)。
பைடு நூலகம்
ˆ a,b () 的 则 a,b (t ) 的窗口中心为 ta,b=at0+b, 宽度为 ta,b=a t,
1 a , b 0 ,宽度为 窗口中心为 a,b= =a 。
1 a
注:作为一种数学变换,伸缩变换用于膨胀或紧缩一个信号 。大尺度因子对应于信号的膨胀,而小尺度因子对应于信号 的紧缩。 在数学上, 设 f(t)是一个给定函数, 则当 s>1 时, f(st) 表示 f(t)的一个紧缩,当 s<1 时,则表示 f(t)的膨胀。 在小波变换中,当尺度因子 a>1 时基函数被膨胀,当 a<1 时基函数被紧缩。
第三章 连续小波变换和离散小波变换
3.1 连续小波变换(CWT, Continuous Wavelet Transform)
CWT 用来代替窗口傅里叶变换(WFT)以克服分辨率不 能随时间与频率的不同而改变不变的问题。 当窗口函数选定 之后,对 WFT 来说,时-频窗的窗口形状是固定的,它不能 随着所欲分析的信号成分是高频信息或低频信息而相应变 化,而非平稳信号都包含丰富的频率成分,所以,它们对非 平稳信号的分析能力是很有限的。小波变换类似于 WFT, 即信号用小波相乘,对时域信号的不同时间段计算小波变 换。
但是 WFT 和小波变换之间有两个不同之处。 1. 加窗信号不做 Fourier 变换; 2. 小波变换的最重要特点是在计算每个频率成分时可 改变窗口的形状。
ˆ ( ) 定义 3.1 设 ψ L2(R) L1(R)。若它的 Fourier 变换
满足
ˆ ( ) | 2 | 0 C d | |
定义 3.3 设ψ(t)是一个小波函数, 则连续小波变换(CWT) 定义如下:WT f(a,b)=
1 a
R
f (t ) (
t b )dt a
从定义可知,小波变换与 Fourier 变换一样,都是一种 积分变换,但从上述方程可以看出,变换后的信号是两个变 量的函数:一个是平移参数 b,另一个是尺度参数 a。即小 波变换将一个时域函数变换到二维的时间—尺度相平面上。 函数 f(t)在某一尺度因子 a、平移参数 b 上的小波变换系数 ,表征的是在 b 位置处,时间段 2a t 内包含的中心频率为
0 a
、宽度为 2 a 的频窗内的频率成分的大小。
定 义 3.4
设 ψ (t) 是 一 个 小波 函 数 , 则 连 续 小 波 变 换
(CWT)的逆变换定义如下:
1 f(t)= C
0
da a2
WT f (a, b) a,b (t )db
小波分析中的尺度参数的倒数类似于地图上的比例尺。 我国的地形图比例尺有八种 (即八种基本比例尺) : 1:5000 , 1:10000, 1:25000, 1:50000, 1:100000, 1:250000 ,1:500000,1:1000000。其中比例尺大于 1:10000 的 是大比例尺(一般小于 1:500),比例尺在 1:25000 和 1:100000 之间的是中比例尺,比例尺小于 1:250000 的 是小比例尺(一般小于 1:100 万)。
故关于时—频窗口中心及形状随尺度因子 a 的变化有 如下几个规律: 1) 平移的意义在小波变换中和 WFT 中一样, 它与窗口 的位置有关,表示窗口在信号中的移动。这显然与变换域中 的时间信息相关。但和 WFT 不一样,小波变换中没有频率 参数, 而有尺度参数。 尺度因子 a 的倒数在一定意义上对应 于频率。尺度因子越小,对应频率越高,尺度因子越大,对 应频率越低。
则 称 ψ 为 一 个 基 本 小 波 或 小 波 母 函 数 (mother wavelet)。以上条件称为允许性条件,常数 C 称为允许 性常数。
小波这个词中的“小”指的是该函数是有限宽度的,它 们在时域都具有紧支集或近似紧支集。原则上,任何满足允 许性条件的函数都可以作为小波母函数,但实际上常选取时 域具有紧支集或近似紧支集(具有时域局部性)的具有正则 性(具有频域局部性)的函数作为小波母函数,以使小波母 函数在时—频两域都有较好的局部性。“波”指的是该函数 是振荡的,图像具有正负交替的波动性。因为