插值法及应用研究
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由此可得到关于系数 a0 , a1 ,…, an 的 n 1元线性方程组
a
0
a
0
a1 x0 a1 x1
an x0n an x1n
y0 y1
a0 a1xn an xn n yn
此方程组的系数矩阵为
1
x0
A
1
x1
x0 n x1n
，
1 xn xn n
称为范德蒙德矩阵，由于 xi i 0,1,n 互异，故
三．插值法的原理
设函数 y f x 在区间[a,b]上有定义，且已知在点 a x0 x1 xn b 上的值 y0 ， y1 ，…， yn ,若存在一简单函数 P x ，使 P xi yi ,i=0，1,…，n 成立，就称 P x 为 f x 的
插值函数，点 x0 , x1 ,…, xn 称为插值节点，包含插值节点的区间[a,b]称为插值区间，求插值
许多实际问题都用函数 y f (x) 来表示某种内在规律的数量关系，其中相当一部分函数
尚宏美 马寅洲 邱志祺
是通过实验或观测得到的。虽然 f (x) 在某个区间[a,b] 上是存在的，有的还是连续的，但却只 能给出[a,b] 上一系列点 xi 的函数值 yi f (xi ) (i 0,1,n) ，这只是一张函数表。有的函数虽 有解析表达式，但由于计算复杂，使用不方便，通常也造一个函数表，如大家熟悉的三角函 数表、对数表、平方根和立方根表等。为了研究函数的变化规律，往往需要求出不在表上的函 数值。因此，我们希望根据给定的函数表做一个既能反映函数 f (x) 的特性，又便于计算的简 单函数 p(x) ，用 p(x) 近似 f (x) ，通常选一类较简单的函数（如代数多项式或分段代数多项 式）作为 p(x) ，并使 p(xi ) f (xi ) 对 i 0,1n 成立。这样确定的 p(x) 就是我们希望得到的插 值函数。例如，在现代机械工业中用计算机程序控制加工机械零件，根据设计可给出零件外 形曲线的某些型值点 (xi , yi )(i 0,1n) ，加工时为控制每步走刀方向及步数，就要算出零件 外形曲线其它点的函数值，才能加工出外表光滑的零件，这就是求插值函数的问题。
尚宏美 马寅洲 邱志祺
《插值法及应用》研究
第一章.插值法概况
一.《插值法》描述
插值法是函数逼近的一种重要方法，是数值计算的基本课题，它来自生产实践，早在 一千多年前，我国科学家在研究历法上就应用了线性插值与二次插值，但它的基本理论却是 在微积分产生之后才逐渐完善的，其应用也日益增多，特别是在计算机软件中，许多库函数 ， 如 sin x, cos x 等的计算实际上归结于它的逼近函数的计算。逼近函数一般为只含有算术运算的 简单函数，如多项式、有理分式（即多项式的商）。在工程实际问题当中，我们也经常会碰到 诸如此类的函数值计算问题。拉格朗日插值是利用基函数方法构造的插值多项式，在理论上 较为重要，但计算不太方便。基函数方法是将插值问题划归为特定条件下容易实现的插值问 题，本质上是广义的坐标系方法。牛顿插值多项式计算上较为方便，是求函数近似值的常用 方法，尤其是等距节点的差分插值公式最为常用。历史上还有各种不同形式的差分插值公式 ， 目前已很少使用。
插值法又称“内插法”，是利用函数 f (x) 在某区间中若干点的函数值，作出适当的特 定函数，在这些点上取已知值，在区间的其他点上用这特定函数的值作为函数 f (x) 的近似 值，这种方法称为插值法。
二．插值法的一般定义
设 函 数 y f (x) 在 区 间 [a,b] 上 有 定 义 ， 且 已 知 在 点 a x0 x1 xn b 上 的 值
通过给定的 n 1个点 xi , yi ， i 0,1,2,n ,并用它近似已知曲线 y f x 。
证明：
尚宏美 马寅洲 邱志祺
设在区间[a,b]上给定 n+1 个点
a x0 x1 xn b
上的函数值 yi f xi , i 0,1,2,n ，求次数不超过 n 的多项式，使 P xi yi , i 0,1,2n
尚宏美 马寅洲 邱志祺
y0, , yn ，若存在一简单函数 p(x) ，使 p(xi ) yi ,i 0,1,n 成立，就称 p(x) 为 f (x) 的插值 函数，点 x0 , x1, , xn 称为插值节点，包含插值节点的区间 [a,b] 成为插值区间，求插值函数 p(x) 的方法称为插值法。若 p(x) 是次数不超过 n 的代数多项式，即 p(x) a0 a1x an x n ， 其中 ai 为实数，就称 p(x) 为插值多项式，相应的插值法称为多项式。若 p(x) 为分段的多项式 就称为分段插值，若 p(x) 为三角多项式，就称为三角插值。
函数的方法称为插值法。若 P x 是次数不超过 n 的代数多项式，即 P x a0 a1x an xn ， 其中 ai 为实数，就称 P x 为插值多项式，相应的插值法称为多项式插值。若 P x 为分段
的多项式，就称为分段插值。若 P x 为三角多项式，就称为三角插值。 从几何上看，插值法就是求曲线错误：引用源未找到错误：引用源未找到 y P x ,使其
n-1
det A xi - x j
i, j0来自百度文库
0. 。
i j
因此，线性方程组的解 a0 , a1 ,…， an 存在且唯一。
尚宏美 马寅洲 邱志祺
【重要结论】 1. 满足上述条件的插值多项式 P(x) 是存在唯一的。 2. 直接求解上述方程组就可得到插值多项式 P(x) ，但这是求插值多项式最繁杂的方法， 一般是不用的。
四.国内外研究进展
插值法是古老的数学方法，它来自于生产实践。早在一千多年前的隋唐时期制定历法时 就应用了二次插值，隋朝刘焯（公元 6 世纪）将等距节点二次插值应用于天文计算。公元 7 世纪，我国唐朝数学家张遂提出了不等距节点内插公式。但插值理论都是在 17 世纪微积分产 生以后才逐步发展的，牛顿的等距节点插值公式及均差插值公式都是当时的重要成果。18 世 纪，拉格朗日给出了更一般的非等距节点上的插值公式。近半世纪由于计算机的广泛使用和 造船、航空、精密机械加工等实际问题的需要，使插值法在理论上和实践上得到进一步发展， 尤其是 20 世纪 40 年代后发展起来的样条插值，更获得广泛应用，成为计算机图形学的基础。
a
0
a
0
a1 x0 a1 x1
an x0n an x1n
y0 y1
a0 a1xn an xn n yn
此方程组的系数矩阵为
1
x0
A
1
x1
x0 n x1n
，
1 xn xn n
称为范德蒙德矩阵，由于 xi i 0,1,n 互异，故
三．插值法的原理
设函数 y f x 在区间[a,b]上有定义，且已知在点 a x0 x1 xn b 上的值 y0 ， y1 ，…， yn ,若存在一简单函数 P x ，使 P xi yi ,i=0，1,…，n 成立，就称 P x 为 f x 的
插值函数，点 x0 , x1 ,…, xn 称为插值节点，包含插值节点的区间[a,b]称为插值区间，求插值
许多实际问题都用函数 y f (x) 来表示某种内在规律的数量关系，其中相当一部分函数
尚宏美 马寅洲 邱志祺
是通过实验或观测得到的。虽然 f (x) 在某个区间[a,b] 上是存在的，有的还是连续的，但却只 能给出[a,b] 上一系列点 xi 的函数值 yi f (xi ) (i 0,1,n) ，这只是一张函数表。有的函数虽 有解析表达式，但由于计算复杂，使用不方便，通常也造一个函数表，如大家熟悉的三角函 数表、对数表、平方根和立方根表等。为了研究函数的变化规律，往往需要求出不在表上的函 数值。因此，我们希望根据给定的函数表做一个既能反映函数 f (x) 的特性，又便于计算的简 单函数 p(x) ，用 p(x) 近似 f (x) ，通常选一类较简单的函数（如代数多项式或分段代数多项 式）作为 p(x) ，并使 p(xi ) f (xi ) 对 i 0,1n 成立。这样确定的 p(x) 就是我们希望得到的插 值函数。例如，在现代机械工业中用计算机程序控制加工机械零件，根据设计可给出零件外 形曲线的某些型值点 (xi , yi )(i 0,1n) ，加工时为控制每步走刀方向及步数，就要算出零件 外形曲线其它点的函数值，才能加工出外表光滑的零件，这就是求插值函数的问题。
尚宏美 马寅洲 邱志祺
《插值法及应用》研究
第一章.插值法概况
一.《插值法》描述
插值法是函数逼近的一种重要方法，是数值计算的基本课题，它来自生产实践，早在 一千多年前，我国科学家在研究历法上就应用了线性插值与二次插值，但它的基本理论却是 在微积分产生之后才逐渐完善的，其应用也日益增多，特别是在计算机软件中，许多库函数 ， 如 sin x, cos x 等的计算实际上归结于它的逼近函数的计算。逼近函数一般为只含有算术运算的 简单函数，如多项式、有理分式（即多项式的商）。在工程实际问题当中，我们也经常会碰到 诸如此类的函数值计算问题。拉格朗日插值是利用基函数方法构造的插值多项式，在理论上 较为重要，但计算不太方便。基函数方法是将插值问题划归为特定条件下容易实现的插值问 题，本质上是广义的坐标系方法。牛顿插值多项式计算上较为方便，是求函数近似值的常用 方法，尤其是等距节点的差分插值公式最为常用。历史上还有各种不同形式的差分插值公式 ， 目前已很少使用。
插值法又称“内插法”，是利用函数 f (x) 在某区间中若干点的函数值，作出适当的特 定函数，在这些点上取已知值，在区间的其他点上用这特定函数的值作为函数 f (x) 的近似 值，这种方法称为插值法。
二．插值法的一般定义
设 函 数 y f (x) 在 区 间 [a,b] 上 有 定 义 ， 且 已 知 在 点 a x0 x1 xn b 上 的 值
通过给定的 n 1个点 xi , yi ， i 0,1,2,n ,并用它近似已知曲线 y f x 。
证明：
尚宏美 马寅洲 邱志祺
设在区间[a,b]上给定 n+1 个点
a x0 x1 xn b
上的函数值 yi f xi , i 0,1,2,n ，求次数不超过 n 的多项式，使 P xi yi , i 0,1,2n
尚宏美 马寅洲 邱志祺
y0, , yn ，若存在一简单函数 p(x) ，使 p(xi ) yi ,i 0,1,n 成立，就称 p(x) 为 f (x) 的插值 函数，点 x0 , x1, , xn 称为插值节点，包含插值节点的区间 [a,b] 成为插值区间，求插值函数 p(x) 的方法称为插值法。若 p(x) 是次数不超过 n 的代数多项式，即 p(x) a0 a1x an x n ， 其中 ai 为实数，就称 p(x) 为插值多项式，相应的插值法称为多项式。若 p(x) 为分段的多项式 就称为分段插值，若 p(x) 为三角多项式，就称为三角插值。
函数的方法称为插值法。若 P x 是次数不超过 n 的代数多项式，即 P x a0 a1x an xn ， 其中 ai 为实数，就称 P x 为插值多项式，相应的插值法称为多项式插值。若 P x 为分段
的多项式，就称为分段插值。若 P x 为三角多项式，就称为三角插值。 从几何上看，插值法就是求曲线错误：引用源未找到错误：引用源未找到 y P x ,使其
n-1
det A xi - x j
i, j0来自百度文库
0. 。
i j
因此，线性方程组的解 a0 , a1 ,…， an 存在且唯一。
尚宏美 马寅洲 邱志祺
【重要结论】 1. 满足上述条件的插值多项式 P(x) 是存在唯一的。 2. 直接求解上述方程组就可得到插值多项式 P(x) ，但这是求插值多项式最繁杂的方法， 一般是不用的。
四.国内外研究进展
插值法是古老的数学方法，它来自于生产实践。早在一千多年前的隋唐时期制定历法时 就应用了二次插值，隋朝刘焯（公元 6 世纪）将等距节点二次插值应用于天文计算。公元 7 世纪，我国唐朝数学家张遂提出了不等距节点内插公式。但插值理论都是在 17 世纪微积分产 生以后才逐步发展的，牛顿的等距节点插值公式及均差插值公式都是当时的重要成果。18 世 纪，拉格朗日给出了更一般的非等距节点上的插值公式。近半世纪由于计算机的广泛使用和 造船、航空、精密机械加工等实际问题的需要，使插值法在理论上和实践上得到进一步发展， 尤其是 20 世纪 40 年代后发展起来的样条插值，更获得广泛应用，成为计算机图形学的基础。