第3章时域瞬态响应分析-过控

x(t)
1
0
t T
解： xt 1t 1t T
X s 1 1 eTs s
系统传递函数为：G s

L
1t 2e 2


s
2 0.5

4 2s 1
10
则：
Y s
4
s 2s 1
1 eTs
4(1 2 ) 1 eTs s 2s 1
dt
所以：
x0
t

d dt
x0
t

2et
tet
21
三、二阶系统的时间响应
凡以二阶微分方程作为运动方程的控制系统，称为二阶系统。
my(t) By(t) ky(t) xt
G(s)

ms2
1 Bs

k
x(t)
k
G(s) 1
1
1
1
k m s2 B s 1 k T 2s2 2 Ts 1
所以
C(s)

1 s2
T
1 s
T
s
1 1/T
T
进行拉氏反变换
c(t) t T Tet / T
r(t) c(t)
T
t
二、一阶系统的时间响应
3、单位斜坡响应
响应分为两个部分 瞬态响应：Tet T 稳态响应：t-T
r(t) c(t)
T
T
t
经过足够长的时间（稳态时，如t≥4T），输出增长速率近
C(s) K R(s) Ts 1
K为系统增益；
T为一阶系统的时间常数
C(s) 1 R(s) Ts 1
二、一阶系统的时间响应
1、单位阶跃响应
当输入为单位阶跃函数
c(t) 初始斜率1/T
1
R(s) 1 G(s) 1
s
Ts 1
0.865 0.95 0.982 0.632
c(t)=1-e-t/T
kk
G(s) 1
1
m s2 B s k

1 k

s2

n2 2n s
n2
T 1
n
mm
m
B
y(t)
式中，n2
=
k m
，2n

B ， =
m2
B mk
=
2
B mk

B BC
粘性阻尼系数 临界阻尼系数
1/k为系统增益 （G(0)=?）
三、二阶系统的时间响应
二阶系统的传递函数的典型形式为：
第3章 时域瞬态响应分析
本章主要内容：
时间响应 一阶系统的时间响应 二阶系统的时间响应 瞬态响应的性能指标
第3章 时域瞬态响应分析
本章学习要点：
理解时间响应的概念 掌握典型输入信号和时域性能指标 掌握一阶系统的时域分析方法 掌握二阶系统的时域分析方法 了解高阶系统的时域分析方法
4 1 1 eTs 4 2 1 eTs
s
2s 1
y t

4 1 1t
T
t 4 e 2

t T
e 2


4 1
t
e2


4
1 t
T


t T
e2



K1
K2

K3
s s n jd s n jd
25
K1

s2

n2 2n s
n2
s

0
1
K2

n2 s(s n
j )d sn jd

n2 2 jd (n
jd )

n2 2(d 2 jnd )
一、时间响应及典型输入信号
系统的时间响应：系统在输入信号作用下其输出随时间变化的规 律，即系统微分方程的解。
时间响应分为：瞬态响应和稳态响应。
y(t)
瞬态响应：系统受到外加作用激励后，从初始状态到最终状态的 响应过程，又称动态过程、瞬态过程。 c(t)
稳态响应：时间趋于瞬无态穷过大程时，系统的稳输态出过状程态。即稳态响应是 瞬态过程结束后仍然存在的时间响应。
输入 x(t) (t)
输出 y(t) g(t)
X (s) L[x(t)] L[ (t)] 1

Y (s) L[ y(t)] L[g(t)]
Lg(t) Gs
系统的传递函数G(s)为其脉冲响应函数g(t)的象函数。
例：单位脉冲信号输入时，系统的响应为：
第3章 时域瞬态响应分析
时域分析是三大分析方法之一,是通过求解系统微分 方程的解来分析、研究控制系统的性能，重点讨论过渡过 程的响应形式。其特点：1) 直观、精确；2) 比较烦琐。 时域分析的缺陷：
（1）高阶系统的分析难以进行； （2）难以研究系统结构参数变化对系统性能的影响； （3）当系统某些元件的传递函数难以列写时，整个系 统的分析工作将无法进行。
G(s)
n2
s2 2ns n2

1
T 2s2 2 Ts 1
(n

源自文库
1 T
)
其中， －无阻尼自然频率
系统特征方程：
－阻尼比
二阶系统标准形式相应的方块图
R(s)
-

2 n
C(s)
s(s 2 n )
闭环特征方程根：
特征根与阻尼比有关。
三、二阶系统的时间响应
一、二阶系统的单位阶跃响应
C(s) 1 1 1 T 0
Ts 1 s s Ts 1
T 2T 3T 4T
t

1 s

s
1
1
T
拉氏反变换 c(t) 1 et /T
一阶系统单位阶跃响应
瞬态响应： et T
稳态响应：1
c(0)=0，随时间的推移，c(t)指数增大， 且无振荡。
c(t) 1 et /T
一、时间响应及典型输入信号
常用的典型输入信号
名称
时域表达式 复数域表达式
单位脉冲信号
(t)
1
单位阶跃信号 单位斜坡信号 单位加速度
正弦信号
1(t )
t
1 t2 2
sin t
1 s
1 s2
1 s3
s2 2
一、时间响应及典型输入信号
典型输入信号的选用原则
能反映系统在工作过程中的大部分实际情况；如： 若实际系统的输入具有突变性质，则可选阶跃信号。阶 跃信号最常用，其跃变特性可用来测试系统对输入突变 响应的快速性、振荡程度和稳态误差。如：若实际系统 的输入随时间逐渐变化，则可选斜坡信号。斜坡函数可 用来测试系统对匀速变化的参考输入信号的跟踪能力。
似与输入相同，此时输出为t-T ，即输出相对于输入滞后时间T。
一阶系统的瞬态响应
1、单位斜坡响应： ct (t) t T Tet/T
2、单位阶跃响应： c1(t) 1 et/T
3、单位脉冲响应：
c
(t)

dc1 (t) dt
c1 (t)

dct (t) dt
c
(t)

1 T
x0 t 7 5e6t
求系统的传递函数。
解：由题意Xi(s)=1，所以：
Gs

X0 s Xi s

X0
s

L x0
t

L 7 5e6t

7 s

s
5
6

2s 42
ss 6
9
例：系统的单位脉冲响应函数为g(t)=2e(-t/2)，系统输入 x(t)如图，求系统的输出。
dc t
dt

1 T2
t0
T越大，响应越慢。
c(t) 1 et/T T
初始斜率为 1 T2 0.368/T
0.135/T 0.05/T 0.018/T
T 2T 3T 4T
t
二、一阶系统的时间响应
3、单位斜坡响应
当输入为单位斜坡函数
R(s) 1 s2 G(s) 1
Ts 1
c(∞)=1，无稳态误差。
t=0时，初始斜率为
dc t 1

dt
T
t0
c(t) 初始斜率1/T 1 0.865 0.95 0.982 0.632 c(t)=1-e-t/T
c(T)=1-e-1=0.632 ， 即 经 过
时间T，系统响应达到其稳态输 0
T 2T 3T 4T
t
出值的63.2%，从而可通过实
注意：对于同一系统，无论采用哪种输入信号， 由时域分析法所表示的系统本身的性能不会改变。
一、时间响应及典型输入信号
脉冲响应函数（或权函数）
当一个系统受到一个单位脉冲激励（输入）时，它所产生的 反应或响应（输出）定义为脉冲响应函数。即当系统输入x(t)=δ(t) 时，则输出y(t)=g(t)，g(t)为脉冲响应函数。
1

e2 nt n
2
(d2 d4

jnd ) (nd )2

e
jd t

(d 2 jnd ) 2 d4 (nd )2

e
jd t

26

1

e2 nt n


2
(d2 d4
T
c(t) 1 et/T T
初始斜率为 1 T2 0.368/T
0.135/T 0.05/T 0.018/T
T 2T 3T 4T
t
进行拉氏反变换
c(t)

1
t
eT
T
二、一阶系统的时间响应
3、单位脉冲响应
c(t)
响应分为两个部分
1
瞬态响应： 1 et T
T
T
稳态响应：0
c(0)=1/T，随时间的推移， 0 c(t)指数衰减。
求系统的单位阶跃响应和单位脉冲响应。
解：1）单位阶跃输入时
X0
s

Gs
Xi
s

2s 1
s s 12

1 s

1
s 12

1 s 1
所以： x0 t L X0 s 1 tet et
2）单位脉冲输入时，由于 t d 1t

jnd ) (nd )2

e
jd t

(d 2 jnd ) 2 d4 (nd )2

e
jd t

又 d n 1 2 ，则：
(d2 jnd )

2(1 2) j2 1 2
n
n
2 d4 (nd )2
一阶系统单位阶跃响应
验测量惯性环节的时间常数T。
通常工程中当响应曲线达到并保持在稳态值的95%~98%时， 认为系统响应过程基本结束。从而过渡过程时间为3T~4T。
时间常数T反映了系统响应的快慢。T愈小，系统响应愈快。
14
为了减小调节时间（提高快速性），必须减小时 间常数T。下面是减小时间常数的一个方法：
0
t1 t t
① 系统的过渡过程不仅仅取决于系统本身的特性，还与外加 输入信号的形式有关。
② 许多系统的外加输入信号是事先不可能知道的。
一、时间响应及典型输入信号
典型输入信号
在分析和设计系统时，必须预先规定一些具有特殊 形式的试验信号作为系统的输入，这种输入信号称为典 型输入信号。
对典型信号的要求： 能够使系统工作在最不利的情形下； 形式简单，便于求解分析； 实际中可以实现或近似实现。
t
eT
三者之间的关系
积分
积分
单位脉冲
单位阶跃
函数响应
函数响应
微分
微分
单位斜坡 函数响应
积分
单位抛物线 函数响应
微分
系统对输入信号导数的响应，等于系统对该输入信号响应的导
数；或者说，系统对输入信号积分的响应等于系统对该输入信号响
应的积分。
20
例：已知系统传递函数为：G

s


2s 1
s 12
1、阶跃响应的数学表达式 输入
（与有关）
求：
F(s)

s(s2


2 n
2ns
n2 )
0


1
的原函数。
解： F(s)
n2
s(s n n 2 1)(s n n 2 1)
令：d n 1 2 ，则：
F(s)
n2
s(s n jd )(s n jd )
K3

2(d 2
n2 jnd
)
F (s) K1
K2

K3
s s n jd s n jd
f (t)1
n2
e (n jd )t
n2
e(n jd )t
2(d 2 jnd )
2(d 2 jnd )

R(s)
E(s) 1
-
Ts 1
C(s)
G(s) 0.5 0.5Ts 1
通过反馈，使得时间常数减小了一半。
15
二、一阶系统的时间响应
2、单位脉冲响应
当输入为单位脉冲函数
c(t)
1
R(s) 1 G(s) 1
T
Ts 1
所以
C(s) 1 1 1 1
0
Ts 1 T s 1
2
n4
(1


2
)2


24 n
(1


2
)


4 1
t
e2


4
1
t T
e2

1t
T




11
二 、一阶系统的时间响应
R
ui
C
uo
xi(t)
xo(t)
K
B
UO (s) 1 U i (s) RCs 1
Xo(s) k Xi (s) Bs k
一阶系统一般形式：
一阶系统典型形式：