第3章时域瞬态响应分析-过控
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第3章_时域瞬态响应分析_3.1时域响应以及典型输入信号
当系统输入为单位脉冲函数时， 当系统输入为单位脉冲函数时，其输出响应称 为脉冲响应函数。由于δ(t)函数的拉氏变换等于 函数的拉氏变换等于1 为脉冲响应函数。由于 函数的拉氏变换等于1， 因此系统传递函数即为脉冲响应函数的象函数。 因此系统传递函数即为脉冲响应函数的象函数。
上述各函数之间的关系： 上述各函数之间的关系：
3.1.4 脉冲函数 脉冲函数(Impulse function)
t<0或t>0 0 r (t ) = a 0<t <ε lim ε ε →0 R( s) = a
r(t)
a
ε
0 ε t 时的脉冲函数， 单位脉冲函数, 当a=1时的脉冲函数，称为单位脉冲函数,记为 时的脉冲函数 称为单位脉冲函数 δ(t)。 。
典型输入信号的选择： 典型输入信号的选择： 分析瞬态响应，选择典型输入信号，有如下优点： 分析瞬态响应，选择典型输入信号，有如下优点： 数学处理简单，在给定典型信号作用下， （1）数学处理简单，在给定典型信号作用下，易 确定系统的性能指标，便于系统分析和设计。 确定系统的性能指标，便于系统分析和设计。 在典型信号作用下的瞬态响应， （2）在典型信号作用下的瞬态响应，往往可以作 为分析系统在复杂信号作用下的基础和依据。 为分析系统在复杂信号作用下的基础和依据。 便于进行系统辨识， （3）便于进行系统辨识，确定未知环节的参数和 传递函数。 传递函数。 常用的典型输入信号有阶跃信号、斜坡信号、 常用的典型输入信号有阶跃信号、斜坡信号、 加速度信号、脉冲信号及正弦信号。 加速度信号、脉冲信号及正弦信号。
3.1.3 加速度函数(Parabolic function) 加速度函数
0 r (t ) = 2 at 2a R(s) = 3 s t<0 t≥0
第三章 时域瞬态响应分析
5. 正弦函数
asin t xi t 0
xi
t0 t0
aw X i ( s) 2 s w2
a
0
t
China university of petroleum
中国石油大学机电工程学院
12
控制工程基础
第三章 时域瞬态响应分析
究竟采用哪种典型信号？
取决于系统在正常工作情况下最常见的输入 信号形式。
0
China university of petroleum
T
2T
3T 4T 5T t 19 中国石油大学机电工程学院
99.3%
95%
1 xo t e T
1 t T
1t
控制工程基础
第三章 时域瞬态响应分析
X i s
xi t
1 Ts 1
X o s
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15
控制工程基础
一阶系统的单位阶跃响应曲线
1 B A 63.2% 86.5% 95%
第三章 时域瞬态响应分析
xo t
0.632
99.3%
98.2%
结论：
1. 一阶系统总是稳定的；
0
T
2T
3T
4T
5T t
2. 可用实验方法测 T；
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17
控制工程基础
第三章 时域瞬态响应分析
一阶系统的单位斜坡响应曲线
xi,x0
xi t t
e T
1 t xo t t T T e T 1t
Chap3-时域瞬态响应分析54页
8
dxo(t) 1 dt t0 T
时间常数T反映了系统响应的快慢。通常工 程中当响应曲线达到并保持在稳态值的95% ~98%时，认为系统响应过程基本结束。从 而惯性环节的过渡过程时间为3T~4T。
将一阶系统的单位阶跃响应式改写为：
t
e T 1xo(t)
1t T
ln1xo(t)
e(t)xi(t)xo(t)T(1etT) e()T
11
5、三种响应的比较
系统时域响应通常由稳态分量和瞬态分量 共同组成，前者反映系统的稳态特性，后 者反映系统的动态特性。
注意到： 对一阶系统：
( t ) d 1 ( t )
dt
1(t ) d t
dt
xo
稳态响应：在某一输入信号的作用下，系统在时 间趋于无穷大时的输出状态。
特点:(1)直接在时域中对系统进行分析校正，直观，准确；
(2) 可以提供系统时间响应的全部信息；
(3)基于求解系统输出的解析解，比较烦琐。
2
时域分析概述
典型输入信号
脉冲信号 (突变过程)
(t)
阶跃信号
（工业过程）
u (t)
dxo(t) dt
t0
T12
对于实际系统，通常应用具有较小脉冲宽 度（脉冲宽度小于0.1T）和有限幅值的脉 冲代替理想脉冲信号。
6
3、一阶系统的单位阶跃响应
X
i
(s)
1 s
X t o(s)G (s)X i(s)T1 s11 s1 ss 1 1T
xo(t)1e T, t0
第三章 时域瞬态响应分析
时域分析概述 一阶系统的瞬态响应分析 二阶系统的瞬态响应分析 二阶系统系统性能指标 高阶系统的瞬态响应分析
第三章 时域瞬态响应
添加副标题
时域瞬态响应
汇报人：XX
目录
CONTENTS
01 添加目录标题
02 时域瞬态响应的基 本概念
03 时域瞬态响应的分 析方法
04 时域瞬态响应在工 程中的应用
05 时域瞬态响应的未 来发展
添加章节标题
时域瞬态响应的基本概 念
定义与特性
时域瞬态响应：描 述系统在时域中的 瞬态响应特性
定义：系统在输入 信号作用下的输出 信号随时间的域信号进行分析
现代分析方法
快速傅里叶变换（FFT）：快速计 算傅里叶变换，适用于长信号分析
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
拉普拉斯变换：将时域信号转换为 复频域信号进行分析
小波变换：将时域信号分解为不同 尺度的小波，适用于非平稳信号分 析
优缺点比较
优点：能够直观地反映系统的动态特性，易于理解和分析 缺点：需要大量的数据，计算量较大 优点：可以分析系统的稳定性和稳定性裕度 缺点：不能直接反映系统的频率特性，需要进一步处理才能得到频率响应
瞬态激励：通常 采用阶跃函数、 脉冲函数等作为 瞬态激励
响应测量：通过 测量系统在瞬态 激励下的输出信 号来获取系统的 瞬态响应
数据处理：对测 量数据进行处理 和分析，以获取 系统的瞬态特性 参数
时域瞬态响应的分析方 法
经典分析方法
傅里叶变换：将时域信号转换为频域信号，便于分析 拉普拉斯变换：将时域信号转换为复频域信号，便于分析 卷积定理：用于分析两个信号的卷积，得到新的信号 傅里叶级数：将时域信号分解为傅里叶级数的形式，便于分析 拉普拉斯变换的逆变换：将复频域信号转换为时域信号，便于分析 傅里叶变换的逆变换：将频域信号转换为时域信号，便于分析
时域瞬态响应
汇报人：XX
目录
CONTENTS
01 添加目录标题
02 时域瞬态响应的基 本概念
03 时域瞬态响应的分 析方法
04 时域瞬态响应在工 程中的应用
05 时域瞬态响应的未 来发展
添加章节标题
时域瞬态响应的基本概 念
定义与特性
时域瞬态响应：描 述系统在时域中的 瞬态响应特性
定义：系统在输入 信号作用下的输出 信号随时间的域信号进行分析
现代分析方法
快速傅里叶变换（FFT）：快速计 算傅里叶变换，适用于长信号分析
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
拉普拉斯变换：将时域信号转换为 复频域信号进行分析
小波变换：将时域信号分解为不同 尺度的小波，适用于非平稳信号分 析
优缺点比较
优点：能够直观地反映系统的动态特性，易于理解和分析 缺点：需要大量的数据，计算量较大 优点：可以分析系统的稳定性和稳定性裕度 缺点：不能直接反映系统的频率特性，需要进一步处理才能得到频率响应
瞬态激励：通常 采用阶跃函数、 脉冲函数等作为 瞬态激励
响应测量：通过 测量系统在瞬态 激励下的输出信 号来获取系统的 瞬态响应
数据处理：对测 量数据进行处理 和分析，以获取 系统的瞬态特性 参数
时域瞬态响应的分析方 法
经典分析方法
傅里叶变换：将时域信号转换为频域信号，便于分析 拉普拉斯变换：将时域信号转换为复频域信号，便于分析 卷积定理：用于分析两个信号的卷积，得到新的信号 傅里叶级数：将时域信号分解为傅里叶级数的形式，便于分析 拉普拉斯变换的逆变换：将复频域信号转换为时域信号，便于分析 傅里叶变换的逆变换：将频域信号转换为时域信号，便于分析
控制工程基础时域瞬态响应分析
d tan d t p tan n
dt p tp d n 1 2
求最大超调量 M p 将式(3.16)代入到式(3.4)表示的单位阶 跃响应的输出表达式中，得 M p xo (t p ) 1
n e d 1 2 1 n 2 1 n
1t
dxo t 0 ，得 峰值点为极值点，令 dt
n e
nt p 1 2 sin d t p
d e
n t p
1 2
cos d t p 0
因为
e
所以
n t p
0
以进入±5%的误差范围为例，解 n t e 5% 2 1 得 2 ln 0.05 ln 1 ts n 当阻尼比ζ较小时，有 ln 0.05 3 ts n n 同理可证，进入±2%的误差范围，则有
ts ln 0.02
n
当系统输入任一时间函数时，如下图所示， 可将输入信号分割为n个脉冲，当n→∞时， 输入函数x(t)可看成n个脉冲叠加而成。 按比例和时间平移的方法，可得 k 时刻 的响应为 ，则 x g t
y t lim
t 0
k
n k 0
n
x k g t k
1t
将 xo (t r ) 1代入，得
2 1 e 1 1 sin d t r arctan 2 1 n t r
因为 e
n t r
0
2 1 0 所以 sin t arctan d r 由于上升时间是输出响应首次达到稳态值 的时间，故 2 1 d t r arctan 所以
第3章 时域瞬态响应分析
控制工程基础
dt
t 0
T
二、一阶系统的单位斜坡响应
1 xi(t ) t 则 xi(s) 2 s xo(s) 1 1 1 T T xo(s) xi(s) 2 2 xi(s) Ts 1 s s s s 1 T
进行拉氏反变换，得
蓝色为瞬态 分量，红色 为稳态分量
经拉氏反变换
xo(t )
n nt e sin( n 1 2 )t 1 2
控制工程基础
欠阻尼二阶系统单位脉冲响应曲线
控制工程基础
2、
n n xo(s) 2 x i(s) 2 2 s 2 ns n (s n)
2 2
1
经拉氏反变换得
) (t 0)
控制工程基础
当 0 1 时，二阶系统的单位阶跃响应是以 wd 为角频 率的的衰减振荡，且随 的减小，其振荡幅值加大。
控制工程基础
2、当
1
时，称为临界阻尼。此时，二阶系统的极点是二重根
s1, 2 n n 2 1 n
xo(s) n 2 1 1 n 1 xo(s) xi(s) 2 2 xi(s) (s n) s s (s n) s n
1 xi(s) s
控制工程基础
进行拉氏反变换，得
xo(t ) 1 e
1 t T
(t 0)
控制工程基础
Байду номын сангаас
1、经过时间Ｔ，曲线上升到0.632的高度，即， 当响应曲线达到0.632的高度时，所用的时间即 为惯性环节的时间常数Ｔ。 2、经过时间3T~4T，响应曲线已达稳态值的 95%~98%，可以认为其调整时间已经完成， 故一般取调整时间ts=(3~4)T； 3、 dxo(t ) 1 故在t=0处，响应曲线的切线斜率为1/T。 4、一阶惯性系统总是稳定的，无振荡的，无超调 的优秀系统。
dt
t 0
T
二、一阶系统的单位斜坡响应
1 xi(t ) t 则 xi(s) 2 s xo(s) 1 1 1 T T xo(s) xi(s) 2 2 xi(s) Ts 1 s s s s 1 T
进行拉氏反变换，得
蓝色为瞬态 分量，红色 为稳态分量
经拉氏反变换
xo(t )
n nt e sin( n 1 2 )t 1 2
控制工程基础
欠阻尼二阶系统单位脉冲响应曲线
控制工程基础
2、
n n xo(s) 2 x i(s) 2 2 s 2 ns n (s n)
2 2
1
经拉氏反变换得
) (t 0)
控制工程基础
当 0 1 时，二阶系统的单位阶跃响应是以 wd 为角频 率的的衰减振荡，且随 的减小，其振荡幅值加大。
控制工程基础
2、当
1
时，称为临界阻尼。此时，二阶系统的极点是二重根
s1, 2 n n 2 1 n
xo(s) n 2 1 1 n 1 xo(s) xi(s) 2 2 xi(s) (s n) s s (s n) s n
1 xi(s) s
控制工程基础
进行拉氏反变换，得
xo(t ) 1 e
1 t T
(t 0)
控制工程基础
Байду номын сангаас
1、经过时间Ｔ，曲线上升到0.632的高度，即， 当响应曲线达到0.632的高度时，所用的时间即 为惯性环节的时间常数Ｔ。 2、经过时间3T~4T，响应曲线已达稳态值的 95%~98%，可以认为其调整时间已经完成， 故一般取调整时间ts=(3~4)T； 3、 dxo(t ) 1 故在t=0处，响应曲线的切线斜率为1/T。 4、一阶惯性系统总是稳定的，无振荡的，无超调 的优秀系统。
第3章_时域瞬态响应分析_3.5高阶系统的瞬态响应
×
1
偶极子 -1
0
s2×
相距很近的一对零点和极点叫作偶极子。 相距很近的一对零点和极点叫作偶极子。 一对靠得很近的零点和极点，在输出中， 一对靠得很近的零点和极点，在输出中，与该极 点相对应的分量可以忽略， 点相对应的分量可以忽略，也即这一对靠得很近的零 点和极点可以一起消掉，这种情况称为偶极子相消。 点和极点可以一起消掉，这种情况称为偶极子相消。 经验指出， 经验指出，如果闭环零点和极点之间的距离比它 们本身的模值小一个数量级时， 们本身的模值小一个数量级时，则这一对零点和极点 就构成了偶极子。 就构成了偶极子。 偶极子的概念对控制系统的综合设计是很有用的， 偶极子的概念对控制系统的综合设计是很有用的， 有时可以有目的地在系统中加入适当的零点， 有时可以有目的地在系统中加入适当的零点，以抵消 对动态性能影响较大的不利的极点， 对动态性能影响较大的不利的极点，使系统的性能得 到改善。 到改善。
m m −1 m m −1 X o ( s ) K ( s + b1s + L + bm −1s + bm ) K ( s + b1s + L + bm−1s + bm ) = q = n n −1 r Xi (s) s + a1s + L + an −1s + an ( s + pi ) ∏ ( s 2 + 2ξ jω j s + ω 2j ) ∏ i =1 j =1
《控制工程基础》 控制工程基础》
第3章 时域瞬态响应分析 章 3.5 高阶系统的瞬态响应
3.5.1 高阶系统的单位阶跃响应
一般的高阶机电系统可以分解成若干一阶惯 性环节和二阶振荡环节的叠加。 性环节和二阶振荡环节的叠加。其瞬态响应即是由 这些一阶惯性环节和二阶振荡环节的响应函数叠加 组成。对于一般单输入、单输出的线性定常系统， 组成。对于一般单输入、单输出的线性定常系统， 其传递函数可表示为
时域瞬态响应分析 三章时域分析法38页PPT
临界阻尼二阶系统的单位阶跃响应是稳态值为1的非 周期上升过程。但过渡时间较临界阻尼长。
xo(t) 1
0
t
4. 无阻尼情况（ =0）
s1,2 nn 21 jn
系统具有一对纯虚根极点。
传递函数
(s)X Xo i((ss))s22n 2 nsn 2
2 s2 2
X 0(s) (s)X i(s)s2 n2n 21 s1 ss2 sn 2
令 sin12 co s arc1 t a2 n
d n 12
x0(t)1
ent
12
sind(t)
２. 临界阻尼（=1）
s1,2nn 21 n
系统有两个相等的实极点，位于复平面左半面。
传递函数
(s)X Xo i((ss))s22n 2 nsn 2
s
2 n
n
2
单位阶跃响应
X0(s)(s)Xi(s)s n 2n21 s
3) 经过时间3T～4T，响应曲线达稳定值的95％～98％，可 以认为其调整时间已经完成，故一般取调整时间(3～4)T 。
4)
dx0(t) dt
t0
1 T
故在t＝0处，响应曲线的切线斜率为 1
T
2.一阶系统的单位斜坡响应
单位斜坡输入为 输出为
xi (t) t
Xi (s)
1 s2
11 1T T X0(s)G (s)Xi(s)T s1s2s2ss1
Xo (s)
闭环传递函数 (s)X Xo i((ss))s22n 2 nsn 2
阻尼比
n 无阻尼自然频率
二阶系统的特征方程
s22 ns20
特征方程的根（闭环极点）
s1,2nn 21
显然，特征根的性质取决于阻尼比的大小，而特征根在复
xo(t) 1
0
t
4. 无阻尼情况（ =0）
s1,2 nn 21 jn
系统具有一对纯虚根极点。
传递函数
(s)X Xo i((ss))s22n 2 nsn 2
2 s2 2
X 0(s) (s)X i(s)s2 n2n 21 s1 ss2 sn 2
令 sin12 co s arc1 t a2 n
d n 12
x0(t)1
ent
12
sind(t)
２. 临界阻尼（=1）
s1,2nn 21 n
系统有两个相等的实极点，位于复平面左半面。
传递函数
(s)X Xo i((ss))s22n 2 nsn 2
s
2 n
n
2
单位阶跃响应
X0(s)(s)Xi(s)s n 2n21 s
3) 经过时间3T～4T，响应曲线达稳定值的95％～98％，可 以认为其调整时间已经完成，故一般取调整时间(3～4)T 。
4)
dx0(t) dt
t0
1 T
故在t＝0处，响应曲线的切线斜率为 1
T
2.一阶系统的单位斜坡响应
单位斜坡输入为 输出为
xi (t) t
Xi (s)
1 s2
11 1T T X0(s)G (s)Xi(s)T s1s2s2ss1
Xo (s)
闭环传递函数 (s)X Xo i((ss))s22n 2 nsn 2
阻尼比
n 无阻尼自然频率
二阶系统的特征方程
s22 ns20
特征方程的根（闭环极点）
s1,2nn 21
显然，特征根的性质取决于阻尼比的大小，而特征根在复
第三章 时域瞬态响应分析
c (t ) 1 e nt 1
2
1 R( s ) s
sin( d t )
(t0)
浙江理工大学机械与自动控制学院
控制工程基础
c (t ) 1 e nt 1
2
第三章 时域瞬态响应分析
sin( d t )
(t0)
无稳态误差； 含有衰减的复指数振荡项: 其振幅衰减的快慢由ξ和ωn决定 振荡幅值随ξ减小而加大。
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控制工程基础
第三章 时域瞬态响应分析
系统的阶跃响应: 时间响应 1.强烈振荡过程 瞬态响应： 2.振荡过程 系统在某一输入信号作用下， 3.单调过程 其输出量从初始状态到进入稳 4.微振荡过程 定状态前的响应过程。
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稳态响应
控制工程基础
第三章 时域瞬态响应分析
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控制工程基础
第三章 时域瞬态响应分析
习题：
某系统在单位斜坡信号输入时，输出为
1 T T x 0 (t) t 3 9 9
3 t e T
试求出该系统的传递函数。
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控制工程基础
第三章 时域瞬态响应分析
第三章 时域瞬态响应分析
3.1 一阶系统的瞬态响应 3.2 二阶系统的瞬态响应 3.3 瞬态响应指标及其与系统参数的关系 3.4 具有零点的二阶系统的瞬态响应
t t 1 t T
)] T
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第三章 时域瞬态响应分析
一阶系统的单位 脉冲响应
r (t ) (t )
R( s ) 1
C ( s)
2
1 R( s ) s
sin( d t )
(t0)
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控制工程基础
c (t ) 1 e nt 1
2
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sin( d t )
(t0)
无稳态误差； 含有衰减的复指数振荡项: 其振幅衰减的快慢由ξ和ωn决定 振荡幅值随ξ减小而加大。
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系统的阶跃响应: 时间响应 1.强烈振荡过程 瞬态响应： 2.振荡过程 系统在某一输入信号作用下， 3.单调过程 其输出量从初始状态到进入稳 4.微振荡过程 定状态前的响应过程。
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习题：
某系统在单位斜坡信号输入时，输出为
1 T T x 0 (t) t 3 9 9
3 t e T
试求出该系统的传递函数。
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第三章 时域瞬态响应分析
第三章 时域瞬态响应分析
3.1 一阶系统的瞬态响应 3.2 二阶系统的瞬态响应 3.3 瞬态响应指标及其与系统参数的关系 3.4 具有零点的二阶系统的瞬态响应
t t 1 t T
)] T
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第三章 时域瞬态响应分析
一阶系统的单位 脉冲响应
r (t ) (t )
R( s ) 1
C ( s)
第三章 时域瞬态响应分析
特征方程的根为：
2 s1,2 ξωn jωn 1 -ξ
上式中，令： σ＝ξωn , 衰减系数
2 ωd ωn 1 ξ , 阻尼振荡频率
三、二阶系统的时域分析
31
1、定义（续）
二阶振荡环节为：
2 n 2 ωn G s 2 2 s ξωn jωd s ξωn jωd s 2 n s n
注意：
–系统的时域性能指标往往选择阶跃函数作为输入来定义。 –分析系统的频率特性一般用正弦函数作为典型输入信号。
一、时域响应及性能指标
6
（二）、典型输入信号
• 单位阶跃函数 1(t)
• 单位脉冲函数 δ(t)
• 单位加速度函数 (½)t2
• 单位斜坡函数 t
• 正弦函数 A sin(wt+ø)
一、时域响应及性能指标
二、一阶系统的时域分析 20
3、一阶系统的单位脉冲响应
单位脉冲输入x i t δt的象函数为X i s 1，则
1 X o s Gs Xi s 1 Gs 1 Ts 1 s T 1 1 Tt 进行拉氏反变换：x o t e 1t T 1 T
特征方程的特征根为：
2 s1,2 jωd ξωn jωn 1 -ξ
分类讨论： 1） ξ 0，负阻尼，两个正实 部的特征根，系统发散 。 2） ξ＝0 ，零阻尼，一对纯虚根 ，瞬态响应为等幅振荡 。 3） 0 ξ 1，欠阻尼，一对共轭 复根，位于左半s平面 。 4） ξ＝1 ，临界阻尼，两个相等 的负实根。 5） ξ 1，过阻尼，两个不等 的负实根。
三、二阶系统的时域分析 32
2、二阶系统单位阶跃响应
1 单位阶跃输入x i t 1t的象函数为X i s ，则 s 2 ωn 1 X o s Gs Xi s 2 2 s 2ξωns ωn s ωn 1 ＝ s ξωn jωd s ξωn jωd s
第三章 时域瞬态响应分析
第三章时域瞬态响应分析3.1 典型输入信号和性能指标3.2 一阶系统的瞬态响应3.3 二阶系统的瞬态响应3.4 高阶系统的瞬态响应时域分析法：根据系统在一定的输入信号作用下其输出随时间变化的关系，分析系统稳定性、瞬态性能和稳态性能的方法。
一、瞬态响应和稳态响应1.瞬态响应：系统在输入信号作用下，输出量从初始状态过渡到稳定状态的响应过程。
决定于：①系统结构参数；②输入信号的形式；③初始状态。
2. 稳态响应：信号输入后，时间趋向于无穷大时系统的输出状态。
x o(ωn t)x i(ωn t)=1(t)ωn t3. 时域响应分析中，往往选择典型输入信号①数学处理简单，给定典型信号下的性能指标，便于分析和综合系统。
②典型输入下的响应往往作为分析复杂输入时系统性能的基础；③便于进行系统辨识，确定未知环节的传递函数。
任一时间函数信号输入时系统的响应①任一时间函数信号x i (t )可分解为一系列脉冲信号【x i (τk )Δτ】的叠加。
②线性系统对x i (t )输入的响应x o (t )等于这一系列脉冲信号各个单独作用下系统响应【x i (τk )Δτ g (t -τk )】的叠加。
()()()()()()()1o i i i 0lim d *n tk k n k x t x g t x g t x t g t ττττττ-→∞==∆⋅-=-=∑⎰结论：任一时间函数信号输入下，系统的输出响应x o (t )为输入信号x i (t )与脉冲响应函数g (t )的卷积，即：x o (t ) =x i (t ) *g (t )。
()i x t ()o x t ()()i k k x g t τττ∆⋅-()()()1o i 0n k k k x t x g t τττ-==∆⋅-∑()i k x τx i (t )x o (t )=x i (t ) *g (t )5. 正弦信号()i sin 000a t t x t t ω>⎧=⎨<⎩ 系统分析时，典型输入信号的选择：视系统具体工作状况而定。
三章时域瞬态响应
则
Xo s
Xo Xi
s s
Xi
s
1 1 Ts 1
1
T
s
1 T
进行拉氏反变换
xo
(t)
1 T
1t
eT
1t
xo(t)
1 T
1t
eT
1t
3.2节小结
一阶系统的瞬态响应：
1. 单位斜坡响应 xot(t)tTTeT 1t 1t 2. 单位阶跃响应 xo1(t)1eT1t 1t
1
1
1 2( 2
2 11) 2( 2
2 11)
s s n n 2 1 s n n 2 1
进行拉氏反变换，得
x o (t) 1 2212 1 1e 2 1 n t 2212 1 1e 2 1 n t 1t
n
1 2
3. 求取最大超调量
Mp
将上式代入到单位阶跃响应表达式中，得
Mp xo (tp ) 1
=
1-
-n
e
n
1- 2
sin
arctan
1- 2
=e =e
-n
n
1- 2
xo
(t)
1t 1e T
1t
常数
故 T1lgetlg1xo(t)
据此鉴别系统是否为一阶惯性环节。
Lg[1-xo(t)] t
第3章 时域瞬态响应分析
0.8
0.6
0.4
0.2
0
tp 5
10
15 t
欠阻尼二阶系统单位阶跃响应曲线
当0< <1，二阶系统的单位阶跃响应以ωn为角频率的
衰减振荡，随ξ的减小，其振荡幅度加大。 29
(2) 临界阻尼（ =1）状态
Xo(s)
2 n
Xi (s) (s n )2
xo(1t)
X 0 (s)
X o (s) Xi (s)
S平面 O
S平面 O
S平面
S平面
S平面
O
O
O
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
26
2、二阶系统的单位阶跃响应
X
i
(s)
1 s
（1）欠阻尼（0< <1）状态
X o (s)
G(s)X i
(s)
s(s 2
2 n
2n s
2 n
)
s
n
2 n
jd s n
j d
1 s
1 s n
n
s
(s
n
)2
2 d
(s
0.632
B A
63.2% 86.5% 95% 98.2% 99.3% 99.8%
t
0 1T 2T 3T 4T 5T 6T
14
1t
xo (t) 1 e T
(t 0)一阶系统的单位阶跃响应特点:
1、一阶系统的总是稳定的，无振荡；
2、经过时间T曲线上升到0.632的高度，可以利用实 验的方法测出响应曲线达到稳态值的63.2％高度点所 用的时间，实质就是时间常数T可以求出；
具有两个相等的负实数极点： p1,2 n
第3章_时域瞬态响应分析_3.4时域分析性能指标
由此可见：
当ζ一定时，ωn越大，则tr越小。tr与ωn成反比。
当ωn一定时，ζ越大，则tr越大。
(2)峰值时间tp
指输出响应从0开始第一次达到最大峰值所需要的时间。
xo (t) 1
ent
1 2
s in(d t
)
令 dx0 (t) 0 ，当
dt
dxo (t) dt
|t t
p
0
时，
得
n 1 2
e nt p
得 p (%) e 12 100%
1 σp 0 0 σ p 100%
M
p
xo (t p ) xo () xo ()
100%
e 1 2 100%
表3.2 不同阻尼比的 最大超调量
ζ 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 M p % 100 72.9 52.7 37.2 25.4 16.3 9.49 4.61 1.52 0.15 0
①上升时间tr 响应曲线从零时刻出发首次到达稳态值所需时间。对 于无超调系统，响应曲线从稳态值的10%上升到90% 所需的时间。 ②峰值时间tp 响应曲线从零上升到第一个峰值所需时间。 ③调整时间ts 响应曲线到达并保持在允许误差范围内所需的时间。 其中允许误差范围一般取稳态值的±2%或±5%。 ④延迟时间td 响应曲线从0上升到稳态值的50%所需的时间。
)
当t=tr时, xo (tr ) 1
11
entr
1 2
sin
d
tr
arctan
1 2
Q 12 0
entr 0
sin dtr arctan
1
2
0
sin(dtr ) 0
第三章__时域瞬态响应分析
1 s
a s
b s 1
1 s
1 s 1
T
T
T
e xo
t
1
1 T
t
1t
一阶系统的单位阶跃响应曲线
xo t
1 0.632
B A
结论：
63.2% 86.5% 95% 98.2% 99.3%
1 一阶系统总是稳定的； 0 T 2T 3T 4T 5T t 2 可用实验方法测 T；
e xo
t
1
1 T
t
1t
1 1
s1.2 n n 2 1
0
2 1
s1.2 n
0
3 0 1 s1.2 n jn 1 2
0
4 0
s1.2 jn
0
一、二阶系统的单位阶跃响应
1. 0 1
欠阻尼
[s]此时sຫໍສະໝຸດ 1.2Xos s2n2jnn2sn
1 n2
1
s
2
an jbds c
s s2 2ns n2
0 at
t0 t 0
a
01
t
其中a为常数，当a 1时， 为单位斜坡函数。
3 加速度函数
xi t
0 at 2
t0 t 0
0
t
其 中a为 常 数 ， 当a 1 时 ， 2
称为单位加速度函数。
4 脉冲函数
lim xi t
0 t0 0
a t0
t0
或 t t0 0 t t0
a t0
其中a为常数
求 出 ：a,b,c
n
n
jn 1 2
0
jn 1 2
e e
xo
t
1
第三章 时域瞬态响应分析
2 1 式中， d 称为阻尼自 n 振角频率.
n n1
2 n
2 2
j
1 arccos arctan
2
0
s
j n
j
n
s
n j d
0
j
s
0
j
s
0
j n
n
n
2. 临界阻尼 ζ =1 此时,二阶系统的极点是二重负实根.
1 s 1 ,2 n T 1 1 n X ( s ) o 2 s ( s ) s n n 进行拉氏反变换,得
2 Xo(s) n 2 Xi (s) (s ) n
ζ为阻尼比;ωn=1/T为无阻尼自振角频率.
3.3.1 二阶系统的单位阶跃响应 单位阶跃输入 其象函数为 则 xi (t) =1(t) X i (s) = 1 /s
根据二阶系统的极点分布特点,分五种情况进行讨论.
1. 欠阻尼 0< ζ <1 此时,二阶系统的极点是一对共轭复根.
s j 1 , 2 n d
t
由此可见,一阶系统在单位斜坡信号作用下的稳态误差为T.显然, 时间常数越短,稳态误差越小.
3.2.3 一阶系统的单位脉冲响应
单位脉冲输入
xi (t) =δ(t) X i (s) = 1
其象函数为 则
进行拉氏反变换
三种典型输入信号及响应关系
输 入
xi (t) t x t) 1 ( t) i( x t) ( t) i(
由于δ函数拉氏变换等于 1,因此系统传
递函数即为脉冲响应函数的象函数.
当系统输入任一时间函数时,如下图所示,可将输入信号分割为n个脉冲.
n n1
2 n
2 2
j
1 arccos arctan
2
0
s
j n
j
n
s
n j d
0
j
s
0
j
s
0
j n
n
n
2. 临界阻尼 ζ =1 此时,二阶系统的极点是二重负实根.
1 s 1 ,2 n T 1 1 n X ( s ) o 2 s ( s ) s n n 进行拉氏反变换,得
2 Xo(s) n 2 Xi (s) (s ) n
ζ为阻尼比;ωn=1/T为无阻尼自振角频率.
3.3.1 二阶系统的单位阶跃响应 单位阶跃输入 其象函数为 则 xi (t) =1(t) X i (s) = 1 /s
根据二阶系统的极点分布特点,分五种情况进行讨论.
1. 欠阻尼 0< ζ <1 此时,二阶系统的极点是一对共轭复根.
s j 1 , 2 n d
t
由此可见,一阶系统在单位斜坡信号作用下的稳态误差为T.显然, 时间常数越短,稳态误差越小.
3.2.3 一阶系统的单位脉冲响应
单位脉冲输入
xi (t) =δ(t) X i (s) = 1
其象函数为 则
进行拉氏反变换
三种典型输入信号及响应关系
输 入
xi (t) t x t) 1 ( t) i( x t) ( t) i(
由于δ函数拉氏变换等于 1,因此系统传
递函数即为脉冲响应函数的象函数.
当系统输入任一时间函数时,如下图所示,可将输入信号分割为n个脉冲.
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一阶系统单位阶跃响应
验测量惯性环节的时间常数T。
通常工程中当响应曲线达到并保持在稳态值的95%~98%时， 认为系统响应过程基本结束。从而过渡过程时间为3T~4T。
时间常数T反映了系统响应的快慢。T愈小，系统响应愈快。
14
为了减小调节时间（提高快速性），必须减小时 间常数T。下面是减小时间常数的一个方法：
2
n4
(1
2
)2
24 n
(1
2
)
求系统的单位阶跃响应和单位脉冲响应。
解：1）单位阶跃输入时
X0
s
Gs
Xi
s
2s 1
s s 12
1 s
1
s 12
1 s 1
所以： x0 t L X0 s 1 tet et
2）单位脉冲输入时，由于 t d 1t
jnd ) (nd )2
e
jd t
(d 2 jnd ) 2 d4 (nd )2
e
jd t
又 d n 1 2 ，则：
(d2 jnd )
2(1 2) j2 1 2
n
n
2 d4 (nd )2
4 1 1 eTs 4 2 1 eTs
s
2s 1
y t
4 1 1t
T
t 4 e 2
t T
e 2
4 1
t
e2
4
1 t
T
t T
e2
K1
K2
K3
s s n jd s n jd
25
K1
s2
n2 2n s
n2
s
0
1
K2
n2 s(s n
j )d sn jd
n2 2 jd (n
jd )
n2 2(d 2 jnd )
一、时间响应及典型输入信号
系统的时间响应：系统在输入信号作用下其输出随时间变化的规 律，即系统微分方程的解。
时间响应分为：瞬态响应和稳态响应。
y(t)
瞬态响应：系统受到外加作用激励后，从初始状态到最终状态的 响应过程，又称动态过程、瞬态过程。 c(t)
稳态响应：时间趋于瞬无态穷过大程时，系统的稳输态出过状程态。即稳态响应是 瞬态过程结束后仍然存在的时间响应。
kk
G(s) 1
1
m s2 B s k
1 k
s2
n2 2n s
n2
T 1
n
mm
m
B
y(t)
式中，n2
=
k m
，2n
B ， =
m2
B mk
=
2
B mk
B BC
粘性阻尼系数 临界阻尼系数
1/k为系统增益 （G(0)=?）
三、二阶系统的时间响应
二阶系统的传递函数的典型形式为：
一、时间响应及典型输入信号
常用的典型输入信号
名称
时域表达式 复数域表达式
单位脉冲信号
(t)
1
单位阶跃信号 单位斜坡信号 单位加速度
正弦信号
1(t )
t
1 t2 2
sin t
1 s
1 s2
1 s3
s2 2
一、时间响应及典型输入信号
典型输入信号的选用原则
能反映系统在工作过程中的大部分实际情况；如： 若实际系统的输入具有突变性质，则可选阶跃信号。阶 跃信号最常用，其跃变特性可用来测试系统对输入突变 响应的快速性、振荡程度和稳态误差。如：若实际系统 的输入随时间逐渐变化，则可选斜坡信号。斜坡函数可 用来测试系统对匀速变化的参考输入信号的跟踪能力。
dc t
dt
1 T2
t0
T越大，响应越慢。
c(t) 1 et/T T
初始斜率为 1 T2 0.368/T
0.135/T 0.05/T 0.018/T
T 2T 3T 4T
t
二、一阶系统的时间响应
3、单位斜坡响应
当输入为单位斜坡函数
R(s) 1 s2 G(s) 1
Ts 1
第3章 时域瞬态响应分析
本章主要内容：
时间响应 一阶系统的时间响应 二阶系统的时间响应 瞬态响应的性能指标
第3章 时域瞬态响应分析
本章学习要点：
理解时间响应的概念 掌握典型输入信号和时域性能指标 掌握一阶系统的时域分析方法 掌握二阶系统的时域分析方法 了解高阶系统的时域分析方法
K3
2(d 2
n2 jnd
)
F (s) K1
K2
K3
s s n jd s n jd
f (t)1
n2
e (n jd )t
n2
e(n jd )t
2(d 2 jnd )
2(d 2 jnd )
1、阶跃响应的数学表达式 输入
（与有关）
求：
F(s)
s(s2
2 n
2ns
n2 )
0
1
的原函数。
解： F(s)
n2
s(s n n 2 1)(s n n 2 1)
令：d n 1 2 ，则：
F(s)
n2
s(s n jd )(s n jd )
x0 t 7 5e6t
求系统的传递函数。
解：由题意Xi(s)=1，所以：
Gs
X0 s Xi s
X0
s
L x0
t
L 7 5e6t
7 s
s
5
6
2s 42
ss 6
9
例：系统的单位脉冲响应函数为g(t)=2e(-t/2)，系统输入 x(t)如图，求系统的输出。
0t1 Biblioteka t① 系统的过渡过程不仅仅取决于系统本身的特性，还与外加 输入信号的形式有关。
② 许多系统的外加输入信号是事先不可能知道的。
一、时间响应及典型输入信号
典型输入信号
在分析和设计系统时，必须预先规定一些具有特殊 形式的试验信号作为系统的输入，这种输入信号称为典 型输入信号。
对典型信号的要求： 能够使系统工作在最不利的情形下； 形式简单，便于求解分析； 实际中可以实现或近似实现。
x(t)
1
0
t T
解： xt 1t 1t T
X s 1 1 eTs s
系统传递函数为：G s
L
1t 2e 2
s
2 0.5
4 2s 1
10
则：
Y s
4
s 2s 1
1 eTs
4(1 2 ) 1 eTs s 2s 1
C(s) 1 1 1 T 0
Ts 1 s s Ts 1
T 2T 3T 4T
t
1 s
s
1
1
T
拉氏反变换 c(t) 1 et /T
一阶系统单位阶跃响应
瞬态响应： et T
稳态响应：1
c(0)=0，随时间的推移，c(t)指数增大， 且无振荡。
c(t) 1 et /T
C(s) K R(s) Ts 1
K为系统增益；
T为一阶系统的时间常数
C(s) 1 R(s) Ts 1
二、一阶系统的时间响应
1、单位阶跃响应
当输入为单位阶跃函数
c(t) 初始斜率1/T
1
R(s) 1 G(s) 1
s
Ts 1
0.865 0.95 0.982 0.632
c(t)=1-e-t/T
T
c(t) 1 et/T T
初始斜率为 1 T2 0.368/T
0.135/T 0.05/T 0.018/T
T 2T 3T 4T
t
进行拉氏反变换
c(t)
1
t
eT
T
二、一阶系统的时间响应
3、单位脉冲响应
c(t)
响应分为两个部分
1
瞬态响应： 1 et T
T
T
稳态响应：0
c(0)=1/T，随时间的推移， 0 c(t)指数衰减。
第3章 时域瞬态响应分析
时域分析是三大分析方法之一,是通过求解系统微分 方程的解来分析、研究控制系统的性能，重点讨论过渡过 程的响应形式。其特点：1) 直观、精确；2) 比较烦琐。 时域分析的缺陷：
（1）高阶系统的分析难以进行； （2）难以研究系统结构参数变化对系统性能的影响； （3）当系统某些元件的传递函数难以列写时，整个系 统的分析工作将无法进行。
G(s)
n2
s2 2ns n2
1
T 2s2 2 Ts 1
(n
1 T
)
其中， －无阻尼自然频率
系统特征方程：
－阻尼比
二阶系统标准形式相应的方块图
R(s)
-
2 n
C(s)
s(s 2 n )
闭环特征方程根：
特征根与阻尼比有关。