D10_2二重积分的计算
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D10_2(1)直角坐标下二重积分的计算法
(
x) a
y x
2
b
(
x)
(由下到上)
1(x), 2 (x) 为[a, b]区间上的连续函数,
a, b为常数.
y y 2(x) D
x o a y 1(x)b x
特点: 穿过区域D且垂直于x轴的直线与区域D的边界
至多有两个交点.
D
:
1
(
x) a
y x
b
2
(
x)
计算公式 令 f (x, y) 0
课堂练习6： 交换积分次序
2
2
1.
2
dx
x f x, ydy
dy f (x, y)dx
0
y
0
0
1
y
2.
1
dx
x f x, ydy
dy f (x, y)dx
0
y2
0
x
例5. 计算 D xyd , 其中D 是抛物线 所围成的闭区域.
及直线解:由dx源自 21 1 2x2 3x4
0
dx
2
x
2 3
x3
3 5
x5
1 0
32 15
课堂练习3：
二次积分形式
课堂练习4：
计算二重积分 D xdxdy
1 x y 1
0
1
例3 计算 I D y 1 x2 y2 d , 其中D 是直线 y＝x,
x＝-1, 及y＝1 所围的闭区域.
解. D 按X型解
b
dx
2 (x) f (x, y) dy
d
dy
2(y)
f (x, y) dx
a
1( x)
c
1(y)
D102二重积分的计算83767
(1) y r ( )
(2) y r ( )
D
D
o
x
ox
答: (1) 0 ; (2)
2
2
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例6. 计算
其中D : x2 y2 a2.
解:
在极坐标系下 D
:
0ra
0 2
,
故
原式 D
y) y
x
D
1(
x)
2
(
y)
o a x bx
为计算方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序.
(2) 若积分域较复杂,可将它分成若干 y
D2
X-型域或Y-型域 , 则
D1
D D1 D2 D3
D3
o
x
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例1. 计算 I xyd , 其中D 是直线 y＝1, x＝2, 及 D
,
rk
sin k
)rk
rk
k
即 D f (x, y) d D f (r cos , r sin )r d r d
rd d
d
dr r
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设
D
:
1
( )
r
2
(
),
则
D r 2 ( )
f (r cos , r sin )r d r d
D r 2 ( )
r 1( )
o
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(3) 计算步骤及注意事项 • 画出积分域
域边界应尽量多为坐标线 • 选择坐标系
(2) y r ( )
D
D
o
x
ox
答: (1) 0 ; (2)
2
2
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例6. 计算
其中D : x2 y2 a2.
解:
在极坐标系下 D
:
0ra
0 2
,
故
原式 D
y) y
x
D
1(
x)
2
(
y)
o a x bx
为计算方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序.
(2) 若积分域较复杂,可将它分成若干 y
D2
X-型域或Y-型域 , 则
D1
D D1 D2 D3
D3
o
x
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例1. 计算 I xyd , 其中D 是直线 y＝1, x＝2, 及 D
,
rk
sin k
)rk
rk
k
即 D f (x, y) d D f (r cos , r sin )r d r d
rd d
d
dr r
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设
D
:
1
( )
r
2
(
),
则
D r 2 ( )
f (r cos , r sin )r d r d
D r 2 ( )
r 1( )
o
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(3) 计算步骤及注意事项 • 画出积分域
域边界应尽量多为坐标线 • 选择坐标系
10-2 二重积分的计算法
.
dy
dy
( y ) ( y ) ( y )
f ( x , y )dx
.
f ( x , y )d x
. . .
o
3 5 x 返回
10. 将二重积分换序
I dy
y
y
f ( x, y )dx
y
1
x
2
x
e dy
y x
y x2
1
1 2
3 1 x(e e )dx e e. 8 2
x
返回
二、极坐标系
D: x y 和 x y
之间的环域
引例 1
I
f ( x , y )d xdy
D
为什么引用极坐标计算二重积分
y
I
1
返回
e dx, e dx,
x2
1 x
sin x dx x
1 2
例 14 计算积分 I dy e dx dy e dx.
y 1 y
1 4 1 2 1 2
y x
y x
y
解 e dx 不能用初等函数表示
y x
先改变积分次序.
原式 I 1dx
2
y x
i i
i
D
i
对D进 行 分 割 ：
i i i i
o o
i
A 返回
二重积分 在极坐标下 的计算法：
D
2 ( ) f ( cos , sin ) d f ( x , y )dxdy d 1 ( )
dy
dy
( y ) ( y ) ( y )
f ( x , y )dx
.
f ( x , y )d x
. . .
o
3 5 x 返回
10. 将二重积分换序
I dy
y
y
f ( x, y )dx
y
1
x
2
x
e dy
y x
y x2
1
1 2
3 1 x(e e )dx e e. 8 2
x
返回
二、极坐标系
D: x y 和 x y
之间的环域
引例 1
I
f ( x , y )d xdy
D
为什么引用极坐标计算二重积分
y
I
1
返回
e dx, e dx,
x2
1 x
sin x dx x
1 2
例 14 计算积分 I dy e dx dy e dx.
y 1 y
1 4 1 2 1 2
y x
y x
y
解 e dx 不能用初等函数表示
y x
先改变积分次序.
原式 I 1dx
2
y x
i i
i
D
i
对D进 行 分 割 ：
i i i i
o o
i
A 返回
二重积分 在极坐标下 的计算法：
D
2 ( ) f ( cos , sin ) d f ( x , y )dxdy d 1 ( )
D10_2二重积分的计算 高等数学高数
2
说明: 计算二重积分选择积分次序是重要的。既要考
虑区域D的形状，又要注意被积函数的特点。
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例4. 交换下列积分顺序
2
x2
22
8 x 2
I
0
dx 2 0
f (x, y)dy 2
dx0
f (x, y)dy
解: 积分域由两部分组成:
y
D1
:
0
y
1 2
x2,
0x2
D2
累次积好算为妙
图示法
• 写出积分限
( 先穿刺,后扫描 )
不等式
充分利用对称性 • 计算要简便
应用换元公式
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例1. 计算 I xyd , 其中D 是直线 y＝1, x＝2, 及 D
y＝x 所围的闭区域. 解法1. 将D看作X–型区域,
则D
:
11
y x
x 2
y
I
上面讨论的累次积分法仍然有效 .
(2) 若积分区域既是X–型区域又是Y –型区域 ,
则有 D f (x, y) dx dy
b
dx
a
2 (x) 1( x)
f (x, y) dy
d
dy
2(y)
f (x, y) dx
c
1(y)
y d
y 2(x)
x
y
c
1(
y) y
x
D
1(x)
2
(
y)
o a x bx
2
dx
1
x
xyd y 1
2 1
1 2
xy2
xd
二重积分的计算公式
二重积分的计算公式二重积分是微积分中的基本内容之一，它用于计算平面上一些区域内的一些函数的面积或者平面质量分布等问题。
在进行二重积分计算时，首先需要确定被积函数、积分区域以及坐标系，然后通过适当的积分方法进行计算。
本文将介绍二重积分的计算公式及其应用。
一、二重积分计算公式1.矩形区域上的二重积分考虑一个定义在矩形区域D上的函数f(x,y)，该区域上的二重积分可以通过将该区域分为许多小的矩形区域，并对每个小区域内的函数值进行求和，再取极限的方法进行计算。
设矩形区域D的边界为a≤x≤b，c≤y≤d，将其进行分割，得到对应的小矩形区域ΔxΔy，将f(x,y)在该矩形区域上的积分记为ΔI。
则整个矩形区域上的二重积分可以表示为：∬Df(x,y)dA = lim Δx,Δy→0 Σf(x,y)ΔxΔy其中Σ表示对所有小矩形区域进行求和，lim表示小矩形区域的数量趋于无穷小。
2.二重积分的换元法在计算二重积分时，有时可以通过变量替换将原来的积分变为更加简化的形式，这种方法称为换元法。
换元法的基本思想是将原坐标系中的二重积分转化为新坐标系下的二重积分，并通过求导和求逆变换的方法进行计算。
设原坐标系为（x,y），新坐标系为（u,v），变换公式为x=x(u,v)，y=y(u,v)，则原坐标系中的二重积分可以表示为：∬Df(x,y)dA = ∬D′f[x(u,v),y(u,v)]，J(u,v)，dudv其中D′为新坐标系下的区域，J(u,v)为变换矩阵的行列式，J(u,v)，为其绝对值。
二、二重积分的应用1.几何应用二重积分常常用于计算平面几何中的面积和质心等问题。
例如，可以通过对平面上一个区域内的特定函数进行二重积分来计算该区域的面积，并可以通过对函数的乘积进行二重积分来计算该区域的质心位置。
2.物理应用二重积分在物理学中具有广泛的应用，特别是在计算质量分布、重心位置和力矩等问题上。
例如，可以通过对平面上一些区域的质量分布函数进行二重积分来计算该区域的总质量，并可以通过对质量分布函数与各点与一些轴线的距离的乘积进行二重积分来计算该区域对该轴线的力矩。
D10_2二重积分的计算
被圆柱面 x y 2 a x
2
2
所截得的(含在柱面内的)立体的体积. z π 解: 设 D : 0 r 2 a cos , 0 2 由对称性可知
V 4
D
4 a r r d r d
2 2
O y
0
2 acos
2a x 4 a2 r 2 r d r
y
r 2a cos
D
r ( )
D
O
x
2π
0
d
0
( )
f (r cos , r sin ) r d r
此时若 f ≡1 则可求得D 的面积
2π 2 1 d ( ) d D 2 0
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例6. 计算
其中D : x 2 y 2 a 2 .
O
r rk
x
rk k
rk rk k
在 k 内取点(rk , k ), 对应有
k
O
rk
rk
k rk cos k , k rk sin k
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lim f ( rk cos k , rk sin k )rk rk k
定积分换元法 (3) 变换 T : D D是一一对应的 , 则
D
(t ) ) f ( x )x dd xy f [ (tx )] ,v (t), )d tu,(vx f ( x , y ) d f ( u y ( )) J ( u , v ) dudv a
D
二、利用极坐标计算二重积分
在极坐标系下, 用同心圆 r =常数 及射线 =常数, 分划区域D 为
D10_2二重积分的计算
2 2
2 a cos
0
f r cos , r sin r d r
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3. D : x 2 y 2 2b y b 0 r 2b sin
0 r 2b sin D: 0
y
2b
I d
0
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极坐标：
y
二重积分中被积函数 f x, y f r cos , r sin 求极坐标下的积分元素 d 的表示方法 y k k 在极坐标系下, 用同心圆 r =常数 k 及射线 =常数, 分划区域D 为 k
2b sin
0
f r cos , r sin r d r
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注：本题计算中若先对 y 后对 x 积分;
x y 1 D: 0 x 1
I x e
2 D
y2
d xd y x d x e
0 x
1 2
1 y2
dy
由于 e 只能采用先对 x 后对 y 积分。
y 2 的原函数不能用初等函数来表示，则本题
1
2
D3
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x
结束
例1. 计算 I x yd , 其中D 是直线 y＝1, x＝2, 及
D
y＝x 所围的闭区域.
1 y x 解法1. 将D看作X–型区域, 则D : 1 x 2 y x 1 2 2 2 yx 2 x dx xy I 1 x d x yd y y 2 1 1 1 1 9 1 2 3 x x d x 8 2 1 o 1 x 2x yx2 解法2. 将D看作Y–型区域, 则 D : 1 y 2 2 2 2 2 1 y3 d y 9 1 x 2 y 2d y I 1 y d y xd x 2 1 2 y 2 y 1 y 8
2 a cos
0
f r cos , r sin r d r
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3. D : x 2 y 2 2b y b 0 r 2b sin
0 r 2b sin D: 0
y
2b
I d
0
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极坐标：
y
二重积分中被积函数 f x, y f r cos , r sin 求极坐标下的积分元素 d 的表示方法 y k k 在极坐标系下, 用同心圆 r =常数 k 及射线 =常数, 分划区域D 为 k
2b sin
0
f r cos , r sin r d r
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结束
注：本题计算中若先对 y 后对 x 积分;
x y 1 D: 0 x 1
I x e
2 D
y2
d xd y x d x e
0 x
1 2
1 y2
dy
由于 e 只能采用先对 x 后对 y 积分。
y 2 的原函数不能用初等函数来表示，则本题
1
2
D3
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x
结束
例1. 计算 I x yd , 其中D 是直线 y＝1, x＝2, 及
D
y＝x 所围的闭区域.
1 y x 解法1. 将D看作X–型区域, 则D : 1 x 2 y x 1 2 2 2 yx 2 x dx xy I 1 x d x yd y y 2 1 1 1 1 9 1 2 3 x x d x 8 2 1 o 1 x 2x yx2 解法2. 将D看作Y–型区域, 则 D : 1 y 2 2 2 2 2 1 y3 d y 9 1 x 2 y 2d y I 1 y d y xd x 2 1 2 y 2 y 1 y 8
微积分D102二重积分计算
D 1
xlny( 1y2)dxdy 0
D2
例 6 ：f(x 设 )在 a,b上,连 证续 明
bx
b
adxaf(y)dya(bx)f(x)dx
bx
证明：记 I dx f(y)dy, 则积分区域D为 aa
axb,ayx,
将D改写为： ayb,yxb
于是有
bb
b
I dy f(y)dx f(y)(by)dy
2 y2 x
y
则
D
:
y2xy2 1y2
oD
1
4x yx2
xyd D
2
dy
1
y2
y 2 xydx
211 2x2yyy 22dy1 2 21[y(y2)2y5]dy
1y44y32y21y62 45
24 3
6 1 8
sinx
例3. 计算
D
x
dxdy,
其中D 是直线 yx,y0,
x所围成的闭区域.
D
D
f2(x,y)dxdy
D
因此上面讨论的累次积分法仍然有效 .
例1. 计算 I xyd, 其中D 是直线 y＝1, x＝2, 及
D
y＝x 所围的闭区域. 解法1. 将D看作X–型区域,
则D
:
1yx 1x2
y
I
2
d
x
1
x x yd 1
y
2
1
1 2
xy2
| x
1
dx
2 y
yx
1
1212x312xdx
rkrkk
k
在 k 内取点(rk,k),对应有
k r k co k , k s r k si kn
xlny( 1y2)dxdy 0
D2
例 6 ：f(x 设 )在 a,b上,连 证续 明
bx
b
adxaf(y)dya(bx)f(x)dx
bx
证明：记 I dx f(y)dy, 则积分区域D为 aa
axb,ayx,
将D改写为： ayb,yxb
于是有
bb
b
I dy f(y)dx f(y)(by)dy
2 y2 x
y
则
D
:
y2xy2 1y2
oD
1
4x yx2
xyd D
2
dy
1
y2
y 2 xydx
211 2x2yyy 22dy1 2 21[y(y2)2y5]dy
1y44y32y21y62 45
24 3
6 1 8
sinx
例3. 计算
D
x
dxdy,
其中D 是直线 yx,y0,
x所围成的闭区域.
D
D
f2(x,y)dxdy
D
因此上面讨论的累次积分法仍然有效 .
例1. 计算 I xyd, 其中D 是直线 y＝1, x＝2, 及
D
y＝x 所围的闭区域. 解法1. 将D看作X–型区域,
则D
:
1yx 1x2
y
I
2
d
x
1
x x yd 1
y
2
1
1 2
xy2
| x
1
dx
2 y
yx
1
1212x312xdx
rkrkk
k
在 k 内取点(rk,k),对应有
k r k co k , k s r k si kn
二重积分的计算法
第二节
第九章
二重积分的计算法
一、利用直角坐标计算二重积分 二、利用极坐标计算二重积分 *三、二重积分的换元法
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一、利用直角坐标计算二重积分
• 二重积分定义为积分和式的极限．如果 直接用二重积分的定义去计算它的值， 是相当困难的，甚至是不可能的.
• 下面我们根据二重积分的几何意义—曲 顶柱体的体积来导出二重积分的计算方 法.
dx0
f (x, y)dy
解: 积分域由两部分组成:
y
D1
:
0
y
1 2
x2,
0x2
D2
: 0
y 2
8 x2 x2 2
将 D D1 D2 视为Y–型区域 , 则
x2 y2 8
2
y
1 2
x2 D1 D2
o 22 2 x
D
:
2y x 0 y2
8 y2
2
8 y2
I D f (x, y) d x d y 0 dy 2y f (x, y)dx
a x b
D
(x,
y)
c
y
d
0
c
a
z=f (x,y)
y
d
y
b
D
x
二重积分的计算 (D是矩形区域z )
I f ( x, y)dxdy
D
D是矩形区域
z
f (x, y y
y)
z=f (x,y)
a x b
D
(x,
y)
c
y
d
b
0
c
y
Q( y) a f (x, y)dx a
d
y
d
第九章
二重积分的计算法
一、利用直角坐标计算二重积分 二、利用极坐标计算二重积分 *三、二重积分的换元法
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一、利用直角坐标计算二重积分
• 二重积分定义为积分和式的极限．如果 直接用二重积分的定义去计算它的值， 是相当困难的，甚至是不可能的.
• 下面我们根据二重积分的几何意义—曲 顶柱体的体积来导出二重积分的计算方 法.
dx0
f (x, y)dy
解: 积分域由两部分组成:
y
D1
:
0
y
1 2
x2,
0x2
D2
: 0
y 2
8 x2 x2 2
将 D D1 D2 视为Y–型区域 , 则
x2 y2 8
2
y
1 2
x2 D1 D2
o 22 2 x
D
:
2y x 0 y2
8 y2
2
8 y2
I D f (x, y) d x d y 0 dy 2y f (x, y)dx
a x b
D
(x,
y)
c
y
d
0
c
a
z=f (x,y)
y
d
y
b
D
x
二重积分的计算 (D是矩形区域z )
I f ( x, y)dxdy
D
D是矩形区域
z
f (x, y y
y)
z=f (x,y)
a x b
D
(x,
y)
c
y
d
b
0
c
y
Q( y) a f (x, y)dx a
d
y
d
D10_2二重积分的计算1
第十章
第二节 二重积分的计算法
一、利用直角坐标计算二重积分 二、利用极坐标计算二重积分 *三、二重积分的换元法 三
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曲顶柱体体积的计算
y =ϕ2(x) 设曲顶柱的底为 ϕ1(x) ≤ y ≤ϕ2(x) y D= (x, y) a ≤ x ≤b
任取 截面积为 故曲顶柱体体积为 平面 截柱体的
2 2
0
dy
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一、利用直角坐标计算二重积分
被 函 由曲顶柱体体积的计算可知, 当 积 数 f (x, y) ≥ 0 y y =ϕ2(x) 且在D上连续时,
ϕ D 1(x) ≤ y ≤ϕ2(x) 若D为 X - 型区域 D: x a ≤ x ≤b Oa y =ϕ (x)b x 1 ϕ2(x) b 则 ∫∫D f (x, y)dxdy = ∫a dx∫ (x) f (x, y)dy ϕ1 y x =ψ2(y) ψ d 1(y) ≤ x ≤ψ2(y) 若D为Y - 型区域 D: y c ≤ y ≤d
则
∫c d y∫ (y) ψ
1
d
ψ 2 ( y)
c f (x, y)dx O
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x =ψ1(y)
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x
变号时, 变号 当被积函数 f (x, y)在D上变号 由于
f (x, y) + f (x, y) f (x, y) − f (x, y) f (x, y) = − 2 2
f1(x, y)
将D= D + D 视为Y - 型区域 , 则 1 2
2 2y ≤ x ≤ 8− y D: 0 ≤ y ≤ 2
第二节 二重积分的计算法
一、利用直角坐标计算二重积分 二、利用极坐标计算二重积分 *三、二重积分的换元法 三
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曲顶柱体体积的计算
y =ϕ2(x) 设曲顶柱的底为 ϕ1(x) ≤ y ≤ϕ2(x) y D= (x, y) a ≤ x ≤b
任取 截面积为 故曲顶柱体体积为 平面 截柱体的
2 2
0
dy
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一、利用直角坐标计算二重积分
被 函 由曲顶柱体体积的计算可知, 当 积 数 f (x, y) ≥ 0 y y =ϕ2(x) 且在D上连续时,
ϕ D 1(x) ≤ y ≤ϕ2(x) 若D为 X - 型区域 D: x a ≤ x ≤b Oa y =ϕ (x)b x 1 ϕ2(x) b 则 ∫∫D f (x, y)dxdy = ∫a dx∫ (x) f (x, y)dy ϕ1 y x =ψ2(y) ψ d 1(y) ≤ x ≤ψ2(y) 若D为Y - 型区域 D: y c ≤ y ≤d
则
∫c d y∫ (y) ψ
1
d
ψ 2 ( y)
c f (x, y)dx O
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x =ψ1(y)
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x
变号时, 变号 当被积函数 f (x, y)在D上变号 由于
f (x, y) + f (x, y) f (x, y) − f (x, y) f (x, y) = − 2 2
f1(x, y)
将D= D + D 视为Y - 型区域 , 则 1 2
2 2y ≤ x ≤ 8− y D: 0 ≤ y ≤ 2
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f ( x, y ) d y
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D ( x, y ) 1 ( y ) x 2 ( y ), c y d 特点：用平行于x 轴的直线自左往右穿过D 时，与D 的 y 边界最多只有两个交点。 d 则其体积可按如下两次积分计算 x 2 ( y) x 1 ( y) V f ( x, y ) d
第二节 二重积分的计算法
第十章
一、利用直角坐标计算二重积分
二、利用极坐标计算二重积分
*三、二重积分的换元法
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平行截面面积为已知的的立体体积
设立体介于x a , x b 之间, A(x)表示过点x且垂直于
x 轴的截面面积. 上连续, 取x为积分变量,其变化区间为[a,b]. 则对应于小区间
1 1
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1 2 (x3 1)dx 1 3 0 2
1
y
sin x d xd y, 其中D 是直线 例4. 计算 D x 所围成的闭区域. y y x 解: 由被积函数可知, 先对 x 积分不行, D xπ 因此取D 为X - 型域 : π x O 0 y x D: 0 xπ π sin x x sin x d xd y dx d y 0 D x 0 x
D
f ( x, y ) d 2
D1
f ( x, y ) d
D O
1
x
(2) f ( x , y) f ( x, y), 则 f ( x, y ) d 0
同样, 曲顶柱的底为
[
c
记 作
D d 2 ( y)
1 ( y )
f ( x, y ) d x ] d y
y c O d
x
1 ( y)
口诀：后积先定限，限内画条线， 先交为下限，后交为上限.
2 ( y)
c
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由曲顶柱体体积的计算可知, 当被积函数 f ( x, y ) 0 y y 2 ( x) 且在D上连续时, 若D为 X - 型区域
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P155 6(3),(5)
例6. 交换下列积分顺序
1 1 y 2 1 y 1 x 2
2
x2 y 2 1
x 1 y 2
x
1 y 2
I d y
0
f ( x, y )d x
I d x
1
1
0
f ( x, y )d y
ln x 0 1
c
1 ( x) y 2 ( x) D: a xb
x
D
1 ( y)
1
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口诀：后积先定限,限内画条线 ,先交为下限，后交为上限. (1) 画出D的草图. (2)选择积分次序. (3)由D的草图定出积分限(关键)，写出二次积分. 积分限可用穿线法确定. 后积先定限(后积变量的上、下限都是常数)： 先将D向有关坐标轴投影，定出后积变量的范围及后 积变量的上、下限，再在后积变量的变化范围内画 条线(所画线段平行于坐标轴，且与坐标轴同向)。
π 2
0
dy
[sin y cos y ] d y
0
cos y sin y
π 2
0
2
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例2. 计算
y 2 y2 x 解: 为计算简便, 先对 x 后对 y 积分, y
所围成的闭区域. 则
D x yd , 其中D 是抛物线
及直线
y2 x y 2 D: 1 y 2
D
x
9 1 ( x x )dx 4 .
2 3
2
1
1 x 2 x ( ) 1 dx y x
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15.(1) 计算
D
x 1 dxdy,其中D是由y x, y , x 2 围成. 2 y x
2
写出先x后y的二次积分. 解: Y-型 D1 :1 y 2, y x 2.
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15.(1) 计算
D
x2 1 dxdy,其中D是由y x, y , x 2围成. 2 y x
解:
X-型
1 D : y x, 1 x 2. x
D
2 2 xx x2 d dx 1 2 dy 2 1 y x y 2 x 1 2 x dx 1 2 dy 1 x y
A( x )
的体积元素为
O
a
x
x
b
x dx
x
d V A( x) d x
b a
因此所求立体体积为 V A( x )d x
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一、利用直角坐标计算二重积分 y
设曲顶柱的底为
y 2 ( x)
1 ( x) y 2 ( x) D ( x, y ) a xb
I d x
1 1 0
e
f ( x, y )d y
y ln x
I d y y f ( x, y )d x
e
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利用积分区域的对称性和 被积函数的奇偶性 计算二重积分
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在闭区域上连续, 域D 关于x 轴对称, 设函数 y D 位于 x 轴上方的部分为D1 , 在 D 上 (1) f ( x , y) f ( x, y), 则 D
先交为下限(直线最先与D相交的点的坐标为先积变量的 下限);后交为上限(直线最后与D相交的点的坐标为先积变 量的上限); 先积变量的上、下限一般为后积变量的函数，或为常数。
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当被积函数 f ( x, y )在D上变号时, 由于
f ( x, y ) f ( x, y ) f ( x, y ) f ( x, y ) f ( x, y ) 2 2
2
2
8 y 2 2y
I f ( x, y ) d x d y d y
D
0
f ( x, y )d x
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注: 改换积分次序的解题步骤如下： (1)由积分上下限写出表示积分区域D的不等式；
(2)根据写出的D的不等式画D的草图；
(3)根据新的积分次序写出表示积分区域的不等式； (4)写出新的累次积分．
a b
2 ( x)
1 ( x)
d
y
y 2 ( x)
f ( x, y ) d y
f ( x, y ) d x
x 1 ( y)
d y
c
d
2 ( y)
1 ( y)
O a
y c
y 1 ( x)
D
x 2 ( y)
x
bx
D1 D3
为计算方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序. (2) 若积分域较复杂,可将它分成若干 y X - 型域或Y - 型域 , 则
2 2
及yx所围成的闭区域.
分析 积分区域可表示为X型区域 D: 1x1, xy1. 积分区域也可表示为Y型区域 D: 1y1, 1x<y.
于是有
2 2 y 1 x y d d x y 1 x y d y D
2 2
1
1
1
x
或
y 1 x y d ydy
称D为 X – 型区域
D
y 1 ( x)
Oa
2 ( x)
b x
特点：用平行于y 轴的直线由下至上 穿过D 时，与D 的边界最多只有两个 交点。
a
1 ( x )
b
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四、曲顶柱体体积的计算
设曲顶柱的底为
y 2 ( x)
z f ( x , y ) z
1 ( x) y 2 ( x) D ( x, y ) a xb
O 1
D
4 x
x yd d y
D
2
y2
2
y x2
y2 2 1 2 x y 2 dy 2 y 1
1
y
xy d x
1 2 [ y ( y 2) 2 y 5 ] d y 2 1
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例3. 计算
D
y 1 x y d , 其中 D 是由直线 y 1, x 1
D2
2
D D D
1
D3
O
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x
结束
例1. 计算 I x yd , 其中D 是直线 y＝1, x＝2, 及
D
y＝x 所围的闭区域.
1 y x 解法1. 将D看作X - 型区域, 则 D : 1 x 2 y 2 x 2 yx 2 2 x 1 y I d x x yd y 1 2 x y d x 1 1 1 1 2 9 3 1 1 2 x 2 x d x 1 O 1 x2x 8 y x 2 解法2. 将D看作Y - 型区域, 则 D : 1 y 2 2 2 2 2 2 2 1 I d y x yd x x y d y 2 y 1 y 3 d y 9 2 1 1 2 y 1 y 8
f ( x, y ) d y
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D ( x, y ) 1 ( y ) x 2 ( y ), c y d 特点：用平行于x 轴的直线自左往右穿过D 时，与D 的 y 边界最多只有两个交点。 d 则其体积可按如下两次积分计算 x 2 ( y) x 1 ( y) V f ( x, y ) d
第二节 二重积分的计算法
第十章
一、利用直角坐标计算二重积分
二、利用极坐标计算二重积分
*三、二重积分的换元法
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平行截面面积为已知的的立体体积
设立体介于x a , x b 之间, A(x)表示过点x且垂直于
x 轴的截面面积. 上连续, 取x为积分变量,其变化区间为[a,b]. 则对应于小区间
1 1
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1 2 (x3 1)dx 1 3 0 2
1
y
sin x d xd y, 其中D 是直线 例4. 计算 D x 所围成的闭区域. y y x 解: 由被积函数可知, 先对 x 积分不行, D xπ 因此取D 为X - 型域 : π x O 0 y x D: 0 xπ π sin x x sin x d xd y dx d y 0 D x 0 x
D
f ( x, y ) d 2
D1
f ( x, y ) d
D O
1
x
(2) f ( x , y) f ( x, y), 则 f ( x, y ) d 0
同样, 曲顶柱的底为
[
c
记 作
D d 2 ( y)
1 ( y )
f ( x, y ) d x ] d y
y c O d
x
1 ( y)
口诀：后积先定限，限内画条线， 先交为下限，后交为上限.
2 ( y)
c
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由曲顶柱体体积的计算可知, 当被积函数 f ( x, y ) 0 y y 2 ( x) 且在D上连续时, 若D为 X - 型区域
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P155 6(3),(5)
例6. 交换下列积分顺序
1 1 y 2 1 y 1 x 2
2
x2 y 2 1
x 1 y 2
x
1 y 2
I d y
0
f ( x, y )d x
I d x
1
1
0
f ( x, y )d y
ln x 0 1
c
1 ( x) y 2 ( x) D: a xb
x
D
1 ( y)
1
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口诀：后积先定限,限内画条线 ,先交为下限，后交为上限. (1) 画出D的草图. (2)选择积分次序. (3)由D的草图定出积分限(关键)，写出二次积分. 积分限可用穿线法确定. 后积先定限(后积变量的上、下限都是常数)： 先将D向有关坐标轴投影，定出后积变量的范围及后 积变量的上、下限，再在后积变量的变化范围内画 条线(所画线段平行于坐标轴，且与坐标轴同向)。
π 2
0
dy
[sin y cos y ] d y
0
cos y sin y
π 2
0
2
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例2. 计算
y 2 y2 x 解: 为计算简便, 先对 x 后对 y 积分, y
所围成的闭区域. 则
D x yd , 其中D 是抛物线
及直线
y2 x y 2 D: 1 y 2
D
x
9 1 ( x x )dx 4 .
2 3
2
1
1 x 2 x ( ) 1 dx y x
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15.(1) 计算
D
x 1 dxdy,其中D是由y x, y , x 2 围成. 2 y x
2
写出先x后y的二次积分. 解: Y-型 D1 :1 y 2, y x 2.
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15.(1) 计算
D
x2 1 dxdy,其中D是由y x, y , x 2围成. 2 y x
解:
X-型
1 D : y x, 1 x 2. x
D
2 2 xx x2 d dx 1 2 dy 2 1 y x y 2 x 1 2 x dx 1 2 dy 1 x y
A( x )
的体积元素为
O
a
x
x
b
x dx
x
d V A( x) d x
b a
因此所求立体体积为 V A( x )d x
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一、利用直角坐标计算二重积分 y
设曲顶柱的底为
y 2 ( x)
1 ( x) y 2 ( x) D ( x, y ) a xb
I d x
1 1 0
e
f ( x, y )d y
y ln x
I d y y f ( x, y )d x
e
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利用积分区域的对称性和 被积函数的奇偶性 计算二重积分
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在闭区域上连续, 域D 关于x 轴对称, 设函数 y D 位于 x 轴上方的部分为D1 , 在 D 上 (1) f ( x , y) f ( x, y), 则 D
先交为下限(直线最先与D相交的点的坐标为先积变量的 下限);后交为上限(直线最后与D相交的点的坐标为先积变 量的上限); 先积变量的上、下限一般为后积变量的函数，或为常数。
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当被积函数 f ( x, y )在D上变号时, 由于
f ( x, y ) f ( x, y ) f ( x, y ) f ( x, y ) f ( x, y ) 2 2
2
2
8 y 2 2y
I f ( x, y ) d x d y d y
D
0
f ( x, y )d x
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注: 改换积分次序的解题步骤如下： (1)由积分上下限写出表示积分区域D的不等式；
(2)根据写出的D的不等式画D的草图；
(3)根据新的积分次序写出表示积分区域的不等式； (4)写出新的累次积分．
a b
2 ( x)
1 ( x)
d
y
y 2 ( x)
f ( x, y ) d y
f ( x, y ) d x
x 1 ( y)
d y
c
d
2 ( y)
1 ( y)
O a
y c
y 1 ( x)
D
x 2 ( y)
x
bx
D1 D3
为计算方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序. (2) 若积分域较复杂,可将它分成若干 y X - 型域或Y - 型域 , 则
2 2
及yx所围成的闭区域.
分析 积分区域可表示为X型区域 D: 1x1, xy1. 积分区域也可表示为Y型区域 D: 1y1, 1x<y.
于是有
2 2 y 1 x y d d x y 1 x y d y D
2 2
1
1
1
x
或
y 1 x y d ydy
称D为 X – 型区域
D
y 1 ( x)
Oa
2 ( x)
b x
特点：用平行于y 轴的直线由下至上 穿过D 时，与D 的边界最多只有两个 交点。
a
1 ( x )
b
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四、曲顶柱体体积的计算
设曲顶柱的底为
y 2 ( x)
z f ( x , y ) z
1 ( x) y 2 ( x) D ( x, y ) a xb
O 1
D
4 x
x yd d y
D
2
y2
2
y x2
y2 2 1 2 x y 2 dy 2 y 1
1
y
xy d x
1 2 [ y ( y 2) 2 y 5 ] d y 2 1
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例3. 计算
D
y 1 x y d , 其中 D 是由直线 y 1, x 1
D2
2
D D D
1
D3
O
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x
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例1. 计算 I x yd , 其中D 是直线 y＝1, x＝2, 及
D
y＝x 所围的闭区域.
1 y x 解法1. 将D看作X - 型区域, 则 D : 1 x 2 y 2 x 2 yx 2 2 x 1 y I d x x yd y 1 2 x y d x 1 1 1 1 2 9 3 1 1 2 x 2 x d x 1 O 1 x2x 8 y x 2 解法2. 将D看作Y - 型区域, 则 D : 1 y 2 2 2 2 2 2 2 1 I d y x yd x x y d y 2 y 1 y 3 d y 9 2 1 1 2 y 1 y 8